Makalah Prinsip Inklusi-Eksklusi Kelompok 1[1] (1)

MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI

Disusun Oleh:

Ayu Selvia 24205014 Eky Putri Prasanti 24205015

Fauzan Fajri 24205005

Dosen Pengampu:

Dr. Yulyanti Harisman, S.Si, M.Pd

PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2025

i

KATA PENGANTAR

Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Panyayang, kami ucapkan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah- Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah dengan judul “Prinsip Inklusi- Eksklusi” dengan baik.

Tujuan kami membuat makalah ini adalah untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Diskrit dengan Dosen Pengampu Dr. Yulyanti Harisman, S.Si, M.Pd. Kami menyadari bahwa makalah ini belum sempurna dan masih terdapat kekurangan baik pada teknis penyusunan maupun materi. Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak demi perbaikan makalah kami selanjutnya.

Akhir kata, kami berharap semoga dengan adanya makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca untuk menambah pengetahuan dalam mempelajari mata kuliah Metode Penelitian.

Padang, 19 Februari 2025

Penulis

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

DAFTAR ISI ... ii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 1

C. Tujuan Penulisan ... 1

BAB II PEMBAHASAN ... 2

A. Prinsip Inklusi-Eksklusi ... 2

B. Bentuk Umum Prinsip Inklusi-Eksklusi ... 3

BAB III PENUTUP ... 9

A. Kesimpulan ... 9

DAFTAR PUSTAKA ... 10

1 BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membicarakan objek-objek diskrit, misalnya buku, komputer, mahasiswa, nilai ujian, dan lain-lain. Dalam membicarakan objek diskrit, kita sering berhadapan dengan situasi yang berhubungan dengan sekumpulan objek di dalam suatu kelompok. Misalnya, “semua mahasiswa Matematika UNP Angkatan 2025” adalah sebuah kelompok yang terdiri atas sejumlah mahasiswa UNP Angkatan 2025 dari Program Studi Matematika.

Terminologi dasar tentang sekumpulan objek diskrit adalah himpunan.

Himpunan digunakan untuk mengelompokkan objek secara bersama-sama. Himpunan merupakan struktur diskrit fundamental yang mendasari struktur diskrit lainnya seperti relasi, kombinasi, dan graf.

Berapa banyak anggota di dalam gabungan dua buah himpunan A dan himpunan B? Penggabungan dua buah himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B. Cara-cara menentukan banyaknya anggota dalam gabungan antara himpunan terhingga dari sebuah himpunan dinamakan Prinsip Inklusi-Eksklusi. Dengan demikian, penulis dalam makalah ini akan membahas tentang Prinsip Inklusi-Eksklusi.

B. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang ingin disampaikan dalam makalah ini adalah:

1. Apakah yang dimaksud dengan Prinsip Inklusi-Eksklusi?

2. Bagaimana cara menyelesaikan persoalan matematika yang menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi?

C. Tujuan Penulisan

1. Memahami Prinsip Inklusi-Eksklusi.

2. Dapat menyelesaikan persoalan matematika yang menggunakan Prinsip Inklusi- Eksklusi.

2 BAB II PEMBAHASAN A. Prinsip Inklusi-Eksklusi

Prinsip Inklusi-Eksklusi merupakan perluasan dari ide operasi himpunan (irisan dan gabungan). Dalam bab ini konsep tersebut diperluas dan diperkaya melaui berbagai masalah kombinatorik. Prinsip Inklusi-Eksklusi memiliki banyak aplikasi, diantaranya dalam menentukan bilangan antara 1 - 1000 yang mempunyai sifat tertentu, menentukan banyak solusi bulat non-negatif dari suatu persamaan, dan beberbagai masalah pendistribusian obyek-obyek dengan syarat-syarat tertentu.

Misalkan S adalah suatu himpunan dari N obyek dan a1,a2, …, an adalah sifat- sifat yang mungkin dimiliki oleh obyek-obyek yang ada di S. sebuah obyek di S mungkin saja memiliki beberapa (bias nol) sifat dari sifat-sifat yang ada. Banyaknya obyek S yang mempunyai sifat a, dilambangkan dengan N(ai) sedangkan N(ai’) menyatakan banyaknya obyek S yang tidak memiliki sifat ai,. Dengan demikian

N = N(ai) +N(ai’)

Selanjutnya N(ai aj) menyatakan banyaknya objek S yang memiliki sifat ai dan aj, dan N(ai’ aj’) melambangkan banyaknya objek yang tidak memiliki sifat ai maupun aj. Begitu pula, N(ai’ aj) menyatakan banyaknya objek yang memiliki sifat aj tapi bukan sifat ai. Secara umum N(ai1, ai2, …, aik) adalah banyaknya objek S yang memiliki sifat- sifat ai1, ai2, …, dan aik.

Misalakn A adalah himpunan bagian dari S yang anggota-anggotanya memiliki sifat a1 dan B adalah himpunan bagian dari S yang anggota-anggotanya memiliki sifat a2. Maka himpunan bagian dari S yang anggota-anggotanya memiliki sifat a1 dan a2

adalah A ∩ B. Begitu pula himpunan bagian dari S yang anggota-anggotanya tidak memiliki sifat a1 maupun a2 adalah A’ ∩ B’ yang sama dengan (A ∪ B)’.

Kita peroleh,

|S| = N, |A| = N(a1), |B| = N(aj), dan

|A’ ∩ B’| = |(A ∪ B)’| = N(a1, a2).

Karena

S = (A ∪ B) ∪ (A ∪ B)’ dan (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)’ = ∅, maka

|S| = |(A ∪ B)| + |(A ∪ B)’|

3 Dapat ditunjukkan bahwa,

|(A ∪ B)| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Sehingga diperoleh,

|(A ∪ B)’| = |S| - |(A ∪ B)|

= |S| – (|A| - |B| - |(A ∩ B)|) = |S| – |A| - |B| + |A ∩ B)|

Dengan demikian, banyaknya obyek di S yang tidak memiliki sifat a1 dan tidak memiliki sifat a2 adalah;

N(a1’a2’) = N – N(a1) – N(a2) – N(a1 a2) (4.1.1)

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa banyaknya obyek di S yang tidak memiliki sifat di a1, a2, ataupun a3 adalah,

N(a1’a2’a3’) = N – N(a1) – N(a2) – N(a3) + N(a1 a2) + N(a1 a3) + N(a2 a3) – N(a1 a2 a3) (4.1.2)

Persamaan (4.1.1) dan (4.1.2) adalah bentuk-bentuk khusus dari suatu prinsip yang disebut prinsip inklusi-eksklusi.

Bentuk umum dari prinsip inklusi-eksklusi akan disajikan di bagian berikut.

Sebelumnya mari kita tinjau sejenak formula |(A ∪ B)| = |A| + |B| - |A ∩ B| yang telah kita pakai untuk memperoleh persamaan (4.1.1). untuk menghitung ruas kiri dari formula ini, kita telah ”melibatkan” (to include)semua elemen A dan semua elemen B mendapatkan |A| + |B|; sedangkan dalam menghitung nilai |A| + |B| setiap elemen sekutu dari A dan B dihitung dua kali. Dengan kata lain sebanyak |A ∩ B| elemen dihitung dua kali. Sehingga sebesar |A ∩ B| pula yang harus dikurangkan atau

“dikeluarkan” (to be excluded) dari |A| + |B| untuk memperoleh |(A ∪ B)|. Kiranya jelas, istilah include dan exclude mengilhami istilah inklusi-eksklusi yang kita pakai.

Sudah kita singgunag sebelumnya, beberapa bentuk khusus dari prinsip inklusi- eksklusi. Berikut kita sajikan bentuk umumnya.

B. Bentuk Umum Prinsip Inklusi-Eksklusi

Jika N adalah banyaknya obyek dalam himpunan S dan a1, . . . , ar sifat sifat yang mungkin dimiliki oleh suatu obyek di S, maka banyaknya obyek di S yang tidak memiliki sifat a1, a2, . . ., ar adalah

N(a1’ , a2’ , . . . , ar’) = N - ∑ 𝑁_𝑖 (ai) + ∑ 𝑁_𝑖,𝑗 (aiaj) + ∑_{𝑖,𝑗,𝑘}𝑁(aiajak) + . . . + (-1)^r N (a1, a2, . . . , ar)

4 Catatan :

Dalam persamaan (4.2.1) “sigma” pertama mencakup semua i ∈ (1, 2, 3, . . . , r) ;

“sigma” kedua mencakup semua pasangan {i, j}, i ≠ j, i, j ∈ (1, 2, 3, . . . , r) ; “sigma”

ketiga mencakup semua triple {i, j, k}, ∈ (1, 2, 3, . . . , r) dan i, j, k berbeda; dan seterusnya.

Contoh 1:

Tentukan banyak bilangan bulat dari dari 1 sampai 200 yang tidak habis dibagi 3 maupun 4

Penyelesaian:

Misalkan:

𝑎₁ adalah sifat bilangan dari 1 - 200 yang habis dibagi 3 𝑎₂ adalah sifat bilangan dari 1 - 200 yang habis dibagi 4 Banyak bilangan bulat 1 - 200 = n = 200

(𝑎₁ ) = banyak bilangan 1 - 200 yang habis dibagi 3 =  ²⁰⁰

3  = 66

(  x  adalah pembulatan ke bilangan bulat terbesar yang kurang atau sama dengan x) (𝑎₂ ) = banyak bilangan 1 - 200 yang habis dibagi 4 yaitu  ²⁰⁰

4  = 50 (𝑎₁𝑎₂ ) = banyak bilangan 1 - 200 yang habis dibagi 3 dan 4

= banyak bilangan 1 - 200 yang habis dibagi 12 yaitu  ²⁰⁰

12 = 16

Jadi, banyak bilangan bulat 1 - 200 yang tidak habis dibagi 3 maupun 4 adalah:

(𝑎₁^′ 𝑎₂^′ ) = 𝑛 − (𝑎₁ ) − (𝑎₂ ) + 𝑁(𝑎₁𝑎₂ ) = 200 - 66 - 50 + 16 = 107 Contoh 2:

Ada beberapa bilangan bulat dari 1 sampai dengan 1000 yang : a. Tidak habis dibagi 3 dan tidak habis dibagi 5 ?

b. Tidak habis dibagi 3, 5, atau 7 ?

5 Penyelesaian :

Misalnya S = {1, 2, 3, . . . , 1000} dan a1 : sifat habis dibagi 3,

a2 : sifat habis dibagi 5, a3 : sifat habis dibagi 7.

Yang dinyatakan adalah:

a. N(a1 a2) b. N(a1 a2 a3)

Jelas bahwa N = | S | = 1000.

Selanjutnya kita peroleh,

N(a1) = banyaknya anggota S yang habis dibagi 3

=  ¹⁰⁰⁰

3  = 333

N(a2) = banyaknya anggota S yang habis dibagi 5

=  ¹⁰⁰⁰

5  = 200

N(a3) = banyaknya anggota S yang habis dibagi 7

=  ¹⁰⁰⁰

7  = 142

N(a1 a2) = banyaknya anggota S yang habis dibagi 3 dan 5

=  ¹⁰⁰⁰

15  = 66

N(a1 a3) = banyaknya anggota S yang habis dibagi 3 dan 7

=  ¹⁰⁰⁰

21  = 47

N(a2 a3) = banyaknya anggota S yang habis dibagi 5 dan 7

=  ¹⁰⁰⁰

35  = 28

6

N(a1 a2 a3) = banyaknya anggota S yang habis dibagi 3, 5 dan 7

=  ¹⁰⁰⁰

105  = 9

Sehingga dengan prinsip inklusi-eksklusi, didapat : (a) N (a1 a2 ) = N - N(a1 ) - N(a2) + N(a1 a2)

= 1000 – 333 – 200 + 66 = 533

(b) 𝑁(𝑎₁^′ 𝑎₂^′𝑎₃^′ ) = N - N(a1 ) - N(a2) - N(a3) + N(a1 a2) + N(a1 a3) + N(a2 a3) - N(a1 a2 a3)

= 1000 – 333 – 200 – 142 + 66 + 47 + 28 – 9

= 457 Contoh 3:

a. Berapa banyak cara menempatkan 3 orang ke dalam 2 kamar berbeda sedemikian sehingga tidak ada kamar yang kosong?

b. Berapa banyak cara menempatkan 5 orang ke dalam 4 kamar berbeda sedemikian sehingga tidak ada kamar yang kosong?

Penyelesaian:

a. Secara intuitif, soal ini dapat dijawab dengan cara berikut.

Misalkan ketiga orang tersebut adalah A, B, dan C, serta kamar yang akan ditempati adalah

Kamar I Kamar II

ABC -

- ABC

AB C

C AB

AC B

B AC

BC A

A BC

Jadi, banyak cara menempatkan 3 orang ke dalam 2 kamar berbeda = 8 = 2³. Bila disyaratkan tidak boleh ada kamar yang kosong, maka banyak cara adalah 8-2 = 6 cara. Berikut ini kita selesaikan masalah tersebut dengan prinsip Inklusi-Ekslusi.

7

Misalkan 𝑎1 menyatakan kamar I kosong dan 𝑎2 menyatakan kamar II kosong, maka diperoleh:

n = banyak cara menempatkan 3 orang ke dalam 2 kamar = 2³ = 8.

N(a1) = banyak cara menempatkan 3 orang ke dalam 2 kamar yang mana kamar I kosong

= banyak cara menempatkan 3 orang ke dalam 1 kamar = 1³ = 1.

N(a2) = banyak cara menempatkan 3 orang ke dalam 2 kamar yang mana kamar II kosong

= banyak cara menempatkan 3 orang ke dalam 1 kamar = 1³ = 1.

N(a1 a2) = banyak cara menempatkan 3 orang ke dalam 2 kamar yang mana kamar I dan kamar II kosong = 0 3 = 0.

Jadi, banyak cara menempatkan 3 orang ke dalam 2 kamar berbeda sedemikian sehingga tidak ada kamar yang kosong adalah:

(𝑎₁^′ 𝑎₂^′) = 𝑁 − (a1) − (a2) + 𝑁(a1 a2) = 8 − 1 − 1 + 0 = 6.

b. Misalkan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4 berturut-turut menyatakan kamar I, II, III, dan IV kosong, maka diperoleh:

 𝑁(𝑎1) = 𝑁(𝑎2) = 𝑁(𝑎3) = 𝑁(𝑎4) = banyak cara menempatkan 5 orang ke dalam 4 kamar, yang mana 1 kamar kosong = 3⁵

 𝑁(𝑎1𝑎2) = 𝑁(𝑎1𝑎3) = 𝑁(𝑎1𝑎4) = 𝑁(𝑎2𝑎3) = 𝑁(𝑎2𝑎4) = 𝑁(𝑎3𝑎4) = banyak cara menempatkan 5 orang ke dalam 4 kamar, yang mana 2 kamar kosong = 2⁵

 𝑁(𝑎1𝑎2𝑎3) = 𝑁(𝑎1𝑎2𝑎4) = 𝑁(𝑎1𝑎3𝑎4) = 𝑁(𝑎2𝑎3𝑎4) = banyak cara

menempatkan 5 orang ke dalam 4 kamar, yang mana 3 kamar kosong = 1⁵

 𝑁(𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4) = banyak cara menempatkan 5 orang ke dalam 4 kamar, yang mana 4 kamar kosong = 0⁵

Jadi, banyak cara menempatkan 5 orang ke dalam 4 kamar sedemikian sehingga tidak ada kamar yang kosong adalah:

(𝑎1′𝑎2′𝑎3′𝑎4′) = 4⁵ − 4 ∙ 3⁵ + 6 ∙ 2⁵ − 4 ∙ 1⁵ + 0⁵ = 1024 - 972 + 192 - 4 + 0 = 240

Contoh 4:

Sebanyak n bola yang berbeda ditempatkan ke dalam k kotak yang berbeda. Berapakah peluang bahwa tidak terdapat kotak yang kosong?

8 Penyelesaian:

Misal S adalah himpunan semua kejadian (pendistribusian) yang mungkin. Ei adalah kejadian bahwa kotak ke I kosong dan ai adalah sifat bahwa kejadian Ei muncul. Dalam hal ini I ϵ {1,2,3,…,k}.

Kita peroleh N = |S| = kⁿ ; … dan seterusnya. Selanjutnya terdapat (^𝑘₁) cara memilih sifat ai ; (^𝑘₂) cara memilih sifat ai dan aj ; (^𝑘₃) cara memilih sifat ai, aj, dan ak dan seterusnya. Sehingga banyaknya cara menempatkan (mendistribusikan) n bola ke dalam n kotak sedemikian sehingga tidak ada kotak yang kosong adalah :

N(a’1 a’2 … a’k) = kⁿ - (^𝑘₁)(𝑘 − 1)ⁿ + (^𝑘₂)(𝑘 − 2)ⁿ + … + (-1)^k(^𝑘_𝑘)(𝑘 − 𝑘)ⁿ = ∑^𝑘_𝑖=0(−1)ⁱ(^𝑘_𝑖)(𝑘 − 𝑖)ⁿ

9 BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan

Prinsip Inklusi dan Eksklusi merupakan perluasan ide dalam Diagram Venn beserta operasi irisan dan gabungan. Misalkan A dan B sembarang himpunan.

Penjumlahan A B adalah menghitung banyaknya elemen A yang tidak terdapat dalam B dan banyaknya elemen B yang tidak terdapat dalam A tepat satu kali, dan banyaknya elemen yang terdapat dalam AB sebanyak dua kali. Oleh karena itu, pengurangan banyaknya elemen yang terdapat dalam AB dari A B membuat banyaknya anggota

B

A dihitung tepat satu kali. Dengan demikian, B

A B A B

A     .

Sehingga, untuk r buah himpunan berlaku teorema berikut:

          

n



n n

k j i

k j i n

j i

j n

i

n n A nA A nA A A nA A A

A A

A

n             ^   



















 



^{ }

 ¹ _{1 2}

1 1

1 1

1 2

1 1

Generalisasi dari hal tersebut bagi gabungan dari sejumlah himpunan dinamakan Prinsip Inklusi-Eksklusi.

10

DAFTAR PUSTAKA

Lipschutz, Seymour dan Lipson, Marc Lars. 2001. Matematika Diskrit 1. Jakarta : Salemba Teknika.

Mayapada, Retno. 2016. Makalah Prinsip Inklusi-Eksklusi dan Permutasi. [Online].

Tersedia: retnomayapada.blogspot.co.id/2016/03/makalah-prinsip-inklusi-eksklusi- dan.html. (3 Maret 2017).

Munir, Rinaldi. 2004. Matematika Diskrit. Bandung : Informatika.