MATEMATIKA DISKRIT
By :
SRI ESTI TRISNO SAMI
Bahan Bacaan / Refferensi :
1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit
Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company, Penerbit Salemba Teknika.
2. Drs. Jong Jek Siang, M. Sc, Matematika Diskrit dan Aplikasinya, Penerbit Andi Yogyakarta.
PENDAHULUAN
Matematika diskrit atau diskret adalah cabang matematika yang membahas
segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan
(lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika Diskrit – seperti bilangan bulat, graf, atau kalimat logika – tidak berubah secara kontinyu, namun memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang dibahas dalam
matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi,
rekursif, teori graf, dan lain-lain. Matematika diskrit merupakan mata kuliah utama
BAB I
HIMPUNAN
Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Huruf-huruf besar A, B, C, ... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c, ... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan.
Notasi himpunan :
p Є A p adalah elemen dari A atau p anggota dari A
A B atau B A A adalah himpunan bagian/samadengan (subset) B atau B mengandung A
A B atau B A A adalah himpunan bagian (proper subset) dari B atau sebaliknya;
∅ himpunan kosong
U / S himpunan semesta
1.
Himpunan
a. Suatu himpunan ditunjukkan oleh anggota-anggota himpunannya (Prinsiple of Extension) : Dua himpunan A dan B adalah sama jika dan hanya jika mereka mempunyai anggota yang sama.
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.
himpunan P, ada suatu himpunan A sedemikian hingga elemen-elemen dari A merupakan anggota dari himpunan U yang mempunyai sifat himpunan P. c. Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
Himpunan kosong atau Ø atau {} tidak memuat satu elemenpun. Himpunan {0} memuat satu elemen yaitu 0. Himpunan {Ø} juga memuat satu elemen yaitu himpunan kosong (ini adalah himpunan dari himpunan). Himpunan kosong merupakan subset dari himpunan manapun.
d. A B (A adalah subset dari B) menyatakan bahwa setiap elemen dari A juga anggota dari B, yang memungkinkan bahwa A = B.
Notasi : A = B ↔ A B danB A
A B (A adalah proper subset dari B) menyatakan bahwa A adalah himpuan
bagian dari B tetapi A ≠ B; atau setidaknya satu elemen di B yang tidak ada di A
e. (i) Untuk sembarang himpunan A, kita mempunyai Ø A U (ii) Untuk sembarang himpunan A, kita mempunyai A A (iii) Jika A B dan B C, maka A C
(iv) A = B jika dan hanya jika A B dan B A Bukti :
(i) Setiap himpunan A adalah suatu subset dari himpunan U karena, menurut definisi, semua anggota dari A adalah anggota dari U. Demikian juga himpunan Ø adalah subset dari A
(ii) Setiap himpunan A adalah subset dari dirinya sendiri karena elemen elemen dari A adalah anggota dari A.
(iii) Jika setiap elemen dari himpunan A anggota dari B, dan setiap elemen dari B adalah anggta dari suatu himpunan C, maka jelas setiap elemen dari A adalah anggota dari C. dengan kata lain, jika A B dan B C, maka A C.
(iv) Jika A B dan B C maka A dan B mempunyai elemen-elemen yang sama, sehingga A = B. Sebaliknya jika A = B maka A B dan B C karena setiap himpunan adalah subset dari dirinya sendiri.
f. Simbol-simbol Baku
N = Himpunan bilangan asli = {1, 2, …}
Z = Himpunan bilangan bulat = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Q = Himpunan bilangan rasioanal (bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0)
R = Himpunan bilangan riil (bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri). Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, atau bilangan yang bukan bilangan rasional. Contohnya : √2, √3, √5
C = Himpunan bilangan kompleks (bilangan yang berbentuk a + bi)
Contoh :
1. Tulislah kembali pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan notasi himpunan :
1. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2, 3,
a. A = {x : x Є N, 3 ˂ x < 9} b. B = {x : x Є N, x2 + 1 = 10}
c. C = {x : x Є N, x bilangan ganjil, -5 < x < 5}
2. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini Z = {bilangan bulat)
a. A = {x : x Є Z, 3 ˂ x < 9} b. B = {x : x Є Z, x2 + 1 = 10}
c. C = {x : x Є Z, x bilangan ganjil, -5 < x < 5}
3. Tentukan himpunan-himpunan berikut dengan menuliskan elemen-elemennya {w, x, y, z}, {z, w}. Manakah dari himpunan-himpunan tersebut yang sama dengan himpunan A = {w, y, z}?
6. Tentukan himpunan-himpunan berikut dengan menuliskan elemen-elemennya:
a. M= {x l x adalah nama hari dalam satu minggu} b. P = {x l x2– 4 = 0}
c. N = { x l x bilangan asli} d. A = {x l x2 =9, x genap}
7. Tulislah notasi yang tepat untuk himpunan berikut: a. A = {2,1,4} dan B = {4,1,3}, maka …
b. P = {x l x2– 3x = -2}, dan Q = {2,1}, maka … c. P = {1,2,4} dan Q = {1,4,5,2}, maka …
2.
Diagram Venn
menjadi anggota di B dan tidak ada elemen di B yang menjadi anggota di A.Sebuah diagram Venn adalah suatu perwakilan gambar dari himpunan-himpunan berupa titik-titik dalam bidang. Himpunan semesta U diwakili oleh bagian dalam suatu persegi, dan himpunan-himpunan yang lain diwakili oleh cakram-cakram dalam persegi. Jika A B, maka perwakilan cakram A seluruhnya akan berada di dalam cakram B seperti gambar (a). Jika A dan B disjoint, yaitu tidak mempuyai elemen bersama. Maka perwakilan cakram A akan terpisah dari cakram B seperti gambar (b). Gambar (c) adalah beberapa objek ada di A tetapi tidak di B, ada di B tetapi tidak di A, ada di A dan B, dan tidak di kedua-duanya.
(a) A B (b) A & B saling asing (c)
Latihan soal :
3. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana ketiga himpunan tersebut saling asing.
4. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana akan membagi himpunan semesta U kedalam 23 = 8 bagian. Mengapa terdapat 8? 5. Perhatikan suatu diagram Venn umum dari 4 himpunan A, B, C,dan D.Dalam
berapa daerah bagiankah himpunan semesta U dapat dibagi?
3.
Operasi antar Himpunan
a. Gabungan (union)
Gabungan dari dua himpunan A dan B , dinyatakan dengan A U B, adalah himpunan semua elemen A atau B :
A U B = {x : x Є A atau x Є B}
b. Irisan (intersection)
Irisan dua buah himpunan A dan B, dinyatakan dengan A ∩ B, adalah himpunan yang elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan juga B.
A ∩ B = {x : x Є A atau x Є B}
Jika A ∩ B = ∅ berarti A dan B tidak mempunyai elemen bersama, yaitu , bahwa A dan B adalah himpunan yang saling asing (disjoint).
c. Komplemen suatu Himpunan (Absolute Complement)
Komplemen himpunan dinyatakan dengan Ac, adalah himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A :
Ac= {x : x Є U, x A}
d. Selisih dari Dua Himpunan (The Relative Complement)
Selisih dari A dan B dinyatakan dengan A\B, adalah himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B :
A U B A ∩ B Ac A\B
Latihan soal :
1. Diketahui: S ={1,2,3,...,8,9}, A ={1,2,3,4},B ={2,4,6,8}, C ={3,4,5,6} Tentukan :
1) A U B 14) Bc
2) A U C 15) Cc
3) B U C 16) A\B
4) B U B 17) C\A
5) (A U B) U C 18) B\C
6) A U (B U C) 19) B\A
7) A ∩ B 20) B\B
8) A ∩ C 21) A ∩ (B U C)
9) B ∩ C 22) (A ∩ B) U (A ∩ C)
10) B ∩ B 23) (A U B)c
11) (A ∩ B) ∩ C 24) Ac∩ Bc 12) A ∩ (B ∩ C) 25) (A ∩ B)\C
13) Ac 26) (A\B)c
2. Diketahui: U ={a,b,c,d,e}, A ={a,b,d},B ={b,d,e}. Tentukan :
1) A U B 6) A U Bc
2) B ∩ A 7) AC U Bc
3) Bc 8) (A ∩ B)C
4) B\A 9) BC\AC
5) Ac∩ B 10) (A U B)C
4.
Aljabar Himpunan
Latihan soal :
Pada bagian ini diagram venn digunakan untuk menunjukkan kebenaran dari suatu argumen.
Contoh :
1. Terjemahkan setiap pernyataan berikut dalam bentuk diagram venn : a. Semua mahasiswa adalah malas
b. Beberapa mahasiswa adalah malas c. Tidak ada mahasiswa yang malas d. Tidak semua mahasiswa adalah malas
Jawab :
(a) (b) dan (d) (c)
(d) Dalam hal ini himpunan mahasiwa tidak tercakup dalam himpunan orang-orang malas. Ini menunjuk pada gambar b (dengan kemungkinan bahwa irisan himpunannya kosong)
2. Tunjukkan bahwa argumen berikut adalah benar :
S1 : Panci adalah sesuatu yang saya punya, terbuat dari timah
S2 : Saya mendapatkan semua pemberian kamu yang sangat berguna
S3 : Tak satupun dari panci saya yang berguna
S : Pemberian kamu pada saya bukan terbuat dari timah
Menurut S1 barang dari timah tercakup dalam himpunan panci dan
menurut S3 himpunan panci dan barang berguna adalah saling asing;
seperti digambarkan dalam diagram venn berikut :
Menurut S2himpunan “hadiah anda” adalah subset dari himpunan barang
berguna seperti gambar berikut :
Kesimpulannya dengan jelas cocok oleh diagram venn di atas karena
himpunan “hadiah anda” adalah disjoint dari himpunan barang yang tebal
Latihan soal :
1. Perhatikan asumsi-asumsi berikut : S1 : Penyair adalah orang yang bahagia
S2 : Setiap dokter adalah orang kaya
S3 : Tak satupun orang yang bahagia adalah orang kaya
Tunjukkan kebenaran dari setiap kesimpulan berikut : a. Tak ada penyair yang kaya
b. Dokter adalah orang yang bahagia
c. Tak ada satupun yang menjadi penyair dan dokter
2. Perhatikan argumen-argumen berikut :
S1 : Semua ahli matematik adalah orang-orang yang menarik
S2 : Beberapa guru menjual asuransi
S3 : Beberapa ahli filsafat adalah ahli matematik
S4 : Hanya orang yang tidak menarik menjadi penjual asuransi
Tunjukkan kebenaran dari setiap kesimpulan berikut : a. S : Penjual asuransi bukan ahli matematik
b. S : Beberapa orang yang menarik adalah bukan guru c. S : Beberapa guru bukan ahli filsafat
3. Tunjukkan bahwa argumen berikut adalah tidak benar : S1 : Semua mahasiswa adalah pemalas
S2 : Tak seorangpun yang kaya adalah seorang mahasiswa
S : Orang pemalas adalah tidak kaya
4. Tunjukkan bahwa argumen berikut benar S1 : Tidak ada mahasiswa yang pemalas
S2 : John adalah seorang artis
S3 : Semua artis adalah pemalas
S : John bukan seorang mahasiswa
5. Tunjukkan bahwa arguman berikut adalah benar : S1 : Semua pengacara adalah orang kaya
S2 : Penyair adalah orang temperamental
S3 : Audrey adalah seorang pengacara
S4 : Tidak ada orang temperamental adalah orang kaya
6. Tunjukkan bahwa argumen berikut adalah tidak benar (mekipun setiap pernyataannya benar):
S1 : Beberapa binatang dapat berpikir
S2 : Man adalah seekor binatang
S : Man dapat berpikir
7. Tunjukan bahwa argumen berikut adalah benar : S1 : Guru adalah orang yang tenteram hidupnya
S2 : Setiap raja merupakan orang kaya
S3 : Tidak ada orang kaya yang tenteram hidupnya
S : Tidak ada seorang pun guru yang juga raja
8.
Induksi Lengkap
Prinsip bentuk induksi matematika yang ekuivalen :
1. Bentuk I : Misalkan P adalah sebuah proporsisi yang didefinisikan pada bilangan bulat positif N; P(n) bisa benar atau salah utuk setiap n dalam N. anggap P mempunyai dua sifat berikut :
(i) P(1) adalah benar
(ii) P(n + 1) bernilai benar bilamana P(n) benar Maka P berlaku untuk setiap bilangan bulat positif.
2. Bentuk II (induksi lengkap) : Misalkan P adalah sebuah proporsisi yang didefinisikan pada bilangan bulat positif N, sedemikian hingga :
(i) P(1) adalah benar
(ii) P(n) bernilai benar bilaman P(k) benar untuk setiap 1 ≤ k ≤ n. Maka P berlaku untuk setiap bilangan bulat positif.
Prinsip induksi matematika dimulai dengan n0 = 1 dan membuktikanbahwa P(n)
berlaku untuk setiap n ≥ 1. Atau dapat dimulai dengan sembarang n0 = m dan
Contoh :
1. Misalkan P adalah proposisi bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2, yaitu,
P(n): 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2
(Bilangan ganjil ke-n adalah 2n – 1, dan bilangan ganjil berikutnya adalah 2n + 1). Buktikan P berlaku untuk setiap bilangan bulat positif n Є N.
Penyelesaian :
Karena 1 = 12, maka P(1) benar. Asumsikan P(n)benar. kita tambahkan 2n + 1 pada kedua sisi P(n), di dapat :
1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2 yang mana adalah P(n + 1). Sehingga P(n + 1) benar bilamana P(n) benar. Menurut prinsip induksi matematika, P berlaku untuk setiap n
2. Buktikan proposisi P, jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah ½ n(n + 1); yaitu
P(n) : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n (n + 1)
Penyelesaian :
Proposisi berlaku untuk n = 1 karena 1 = ½ (1) (1 + 1), sehingga P(1) benar. Asumsikan P(n) benar, kita tambahkan n + 1 pada kedua sisi P(n), didapat :
1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = ½ n (n + 1) + (n + 1)
= ½ [(n (n + 1) + 2(n + 1)] = ½ [(n + 1)(n + 2)]
Latihan soal :
Buktikan proposisi berikut :
1. P(n) : 12 + 22+ … + n2 = 2. P(n) : 1 + 4 + 7 + … + (3n – 2) =
3. P(n) : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) =
4. P(n) : 1(1!) + 2 (2!) + … + n(n!) = (n + 1)! - 1
5. P(n) : 12 - 22 - 32 + (-1)n+1 n2 =
6. P(n) : 13 + 23 + 33 + … + n3 = [ ] 7. P(n) : 20 + 21 + 22+ … + 2n= 2n+1
