TEORI HIMPUNAN LOGIKA MATEMATIKA

TEORI HIMPUNAN

SMTS 1101 / 3SKS

LOGIKA MATEMATIKA

Disusun Oleh :

DAFTAR ISI

Cover pokok bahasan ... 87

Daftar isi ... 88

Judul Pokok Bahasan ... 89

4.1. Pengantar ... 89

4.2. Kompetensi ... 89

4.3. Uraian Materi ... 89

4.3.1 Cara Menulis Himpunan ... 90

4.3.2 Macam-macam Himpunan ... 91 4.3.3. Operasi-operasi Himpunan ... 95 a. Gabungan ... 95 b. Irisan ... 96 c. Komplemen ... 97 d. Selisih ... 98 e. Selisih simetris ... 98

4.3.4 Hukum-hukum Aljabar Himpunan... 98

4.3.5. Pergandaan Himpunan ... 100 4.3.6 Keluarga Himpunan ... 102 4.3.7. Partisi (penggolongan) ... 103 Rangkuman ... 104 Soal-penyelesaian ... 107 Soal-soal latihan ... 113

TEORI HIMPUNAN

4.1 Pengantar

Setelah mahasiswa mempelajari tentang materi pokok proposisi di bab sebelumnya, diharapkan mampu menggunakanya dalam pembahasan di modul ini. Disisni akan membahas tentang konsep-konsep dasar teori himpunan yang sering digunakan di bidang lain.

4.2 Kompetensi

Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: a. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori himpunan secara benar. b. Mampu melakukan hitungan-hitungan dalam operasi-operasi himpunan antara

lain gabungan, irisan, komplemen, selisih, pergandaan himpunan, dan partisi. c. Terampil dalam mengerjakan soal-soal kuis / latihan.

4.3 Uraian Materi

Dalam upaya untuk melakukan pengamatan, pengumpulan, penghimpunan, atau pemisahan (mengklasifikasikan) dari suatu obyek-obyek menurut sifatnya, perlu adanya pengertian tentang himpunan. Menghimpun adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki bersama. Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan ini dapat berupa daftar, koleksi atau kelas. Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan dapat berupa benda, orang, bilangan-bilangan atau huruf. Obyek-obyek ini disebut anggota, unsur atau elemen dari himpunan tersebut. Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefisnisikan secara jelas, sehingga dapat dibedakan obyek mana yang menjadi anggota dan obyek mana yang bukan menjadi anggota.

Contoh (4.1):

1. Himpuanan semua huruf hidup dari abjad, yaitu a, i, u, e, o

3. Himpunan semua bilangan genap, yaitu 0,

±

2,

±

6,

±

8, . . . 4. Himpunan semua bilangan riel x yang memenuhi

x

2

+ =

3

0

Himpunan-himpunan yang akan dibahas disini kita beri simbol dengan huruf besar dari abjad : A, B, C, ..….,K, L, M,……. ,X ,Y, Z. Sedangkan anggota-anggota dari himpunanya ditulis dengan huruf kecil a, b, …….. x, y, ….. dan seterusnya.

Jika x anggota dari himpunan A, maka dinyatakan x ∈ A. Dan jika x bukan anggota dari himpunan A, maka ditulis x ∉ A.

4.3.1. Cara Penulisan Himpunan

Untuk menuliskan atau menyatakan himpunan seperti pada contoh-contoh di atas diraskan sangat bertele-tele tidak singkat. Oleh karena itu diperlukan cara menuliskan secara matematis, singkat dan jelas. Di dalam konsep teori himpunan, ada tiga cara dalam penulisan himpunan antara lain:

1. Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung kurawal.

Contoh (4.2):

a. A = { a, b, c, x, k } artinya

A merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah

a, b, c, x, dan k.

b. B = {Niken, Aisya, Aji} artinya

B merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah Niken, Aisya dan Aji.

c. C adalah himpunan semua bilangan x yang memenuhi x2 – 3x – 4 = 0 Jadi C = {-1, 4}

2. Dengan cara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya.

Contoh (4.3):

D = himpunan bilangan riil. E = himpunan orang-orang asing.

Contoh (4.4):

F = {x / x adalah bilangan riil} G = {x / x adalah orang asing}

4.3.2. Macam-macam Himpunan.

Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya, himpunan terbagi menjadi beberapa macam :

1. Himpunan kosong (himpunan hampa)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sering dinyatakan sebagai ∅ atau { }.

Contoh (4.5) :

Himpunan semua bilangan riil x yang memenuhi

x

2

+ =

3

0

Atau 2

3

0

H

=

{x / x

=

bilanganriil, x

+ =

}

ditulis H = ∅ 2. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua obyek yang sedang dibicarakan. Biasanya ditulis S atau U (singkatan dari Universal).

Contoh (4.6):

S = { 5, 7, -4, 9}, A = {7, 9}

Dikatakan

S merupakan semesta dari himpunan A.

3. Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga (infinit).

Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga.

Contoh (4.7):

a. H = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif } = {1, 2, 3, ……}

H disebut himpunan tak berhingga.

b. K = { Ani, Joko, Tuti}

K disebut himpunan berhingga.

4. Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis “

A ⊆ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Dinyatakan dengan simbol : A ⊆ B jika dan hanya jika (∀x) x∈A → x ∈ B.

Contoh (4.8) :

Misal

A = { /x = bilangan bulat positif }

x dan

B = { /x = bilangan riil}

x maka A ⊆ B

Sebab setiap elemen dalam A merupakan elemen dalam B, tetapi tidak sebaliknya.

Teorema (4.1):

“Himpunan kosong ∅ merupakan himpunan bagian setiap himpunan” atau ditulis sebagai ∅ ⊆ H. ( dimana H adalah sembarang himpunan)

Artinya :

x

∀

x

∈ → ∈

φ

x

H

. Implikasi ini bernilai benar. Dimana anteseden salah dan konsekuennya benar.

Bukti : [Teorema 4.1]

Akan ditunjukkan : ∅ ⊆ H. menggunakan Reductio Ad Absurdum Andaikan himpunan ∅ bukan himpunan bagian dari H,

ditulis

∅ ⊄

H

atau

∅ ⊆

H

Diturunkan menjadi:

∅ ⊆ H ↔ ∀x x∈ ∅ → x ∈ H

x x

x

H

x x

. . x

H

↔ ∃

∈ ∅ ∧

∈

x x

. . x

H

↔ ∃

∈ ∅ ∧

∉

( mustahil

)

Karena himpunan kosong ∅ tidak mempunyai anggota, maka kalimat terakhir ini bernilai salah.

Pengandaian harus diingkar Yaitu himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan dinyatakan ∅ ⊆ H.

Jadi terbukti bahwa himpunan kosong ∅ merupakan himpunan bagian setiap himpunan.

Contoh (4.9):

Misal : A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 7, 9}

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himunan B

5. Kesamaan Himpunan.

Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis “ A = B ”, jika dan hanya jika

A ⊆ B dan B ⊆ A. Dinyatakan dengan simbol

A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A

A = B

↔

(∀x, x ∈ A → x ∈ B) .∧. (∀x, x ∈ B → x ∈ A)

Akibat adanya definisi kesamaan dua himpunan ini, maka a).

A

⊂

B

apabila A merupakan himpunan bagian murni dari B.

artiya A himpunan bagian dari b tetapi A ≠ B

b).

A

⊆

B

apabila A merupakan himpunan bagian dari B.

⊂

A

B

, A ≠ B A=B

B

A

U

U

A=B

Contoh (4.10) :

Misalkan A = {a, b, c, d}, B = { c, b, a, d}, dan C={ a,b, b, a, c, d}

A, B dan C adalah himpunan – himpunan yang sama Yaitu A = B = C

6. Himpunan Berpotongan.

Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis “A ∝ B” jika dan hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota B.

Contoh (4.11):

Misalkan himpunan A = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 5, 8} A dan B adalah dua himpunan yang saling berpotongan.

7. Himpunan Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis “A // B” jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama.

Contoh (4.12):

Misalnya

A = { /x = bilangan bulat positif}

x x

B = { /x = bilangan bulat negatif}

Maka A dan B merupakan dua himpunan yang saling lepas.

Telah dikemukakan diatas bahwa anggota dari suatu himpunan itu dapat berupa obyek apa saja. Jadi dapat terjadi bahwa anggota suatu himpunan adalah himpunan. Agar istilah yang digunakan tidak membingungkan, maka himpunan yang mempunyai anggota himpunan ini kita namakan Famili himpunan. Diberi notasi huruf besar latin:

A, B,C,D, ...

Contoh (4.13):

a. Misalkan

A

= {{2,5}, {3},{4,6}}, maka

A

adalah suatu famili himpunan dengan anggota-anggotanya adalah {2,5}, {3}, dan {4,6}

b. Pandang himpunan

B

= {1,3}, 2 ,{4,6,8},{5}, 7}. Himpunan B ini bukan suatu famili himpunan karena 2 dan 7 bukan himpunan.

Contoh (4.13):

Misalkan A suatu himpunan. Famili semua himpunan bagian dari A ditulis P(A). Jika A = {a, b, c, d} tentukan P(A)

Jawab:

Himpunan-himpunan bagian dari A adalah: ∅, {a}, {b}, {c}, {d},

{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d} ada 16 anggota

Jadi P(A)= {∅, {a}, {b}, {c}, {d},{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d},{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d}}

Catatan:

Jika A suatu himpunan dengan n-anggota, maka famili dari A ditulis P(A) dengan jumlah anggotanya ada

2

n.

Untuk contoh (4.13), n = 4 sehingga P(A) =

2

n=

2

4

=

16

4.3.3. Operasi-Operasi Dalam Himpunan. 1. Gabungan ( Union ).

Gabungan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∪ B”, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A, atau anggota B, atau sekaligus kedua-keduanya. Atau A ∪ B didefinisikan sebagai :

(A ∪ B) = {x / x ∈ A .∨. x ∈ B} atau

x∈( A ∪ B )

↔

∀x x ∈ A .∨. x ∈ B

Diagram venn untuk A ∪ B adalah suatu daerah yang diberi tanda

Contoh (4.14): Misalkan A = { a, b, c } dan B = { b, c, d, e } A ∪ B = { a, b, c, d, e } B ∪ A = { a, b, c, d, e } Kesimpulan A ∪ B = B ∪ A = { a, b, c, d, e } A ∪ A = A dan B ∪ B = B 2. Irisan ( Intersection )

Irisan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∩ B”, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan sekaligus anggota B. didefinikan sebagai:

(A ∩ B) = {x / x ∈ A.∧. x ∈ B}. atau

x∈( A ∩ B )

↔

∀x x ∈ A .∧. x ∈ B

Diagram venn A ∩ B digambarkan sebagai daerah yan diarsir (ditengah)

A

∩

B

= ∅

A

∩

B

≠∅

A

B

A

B

A ∪ B

A

∩

B

B

B

A

A

Contoh (4.15):

Misalkan A ={ a, b, c } , B = { b, c, d, e } dan C = {a,b,c,e,f} A ∩ B = { b, c } B ∩ A = { b, c } B ∩ C = {b, c, e} (A ∩ B) ∩ C = { b, c } A ∩ (B ∩ C) = { b, c } Kesimpulan 1. A ∩ A = A dan B ∩ B = B 2. A ∩ B = B ∩ A 3. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. Komplemen.

Komplemen dari himpunan A ditulis

A

catau Al adalah himpunan yang anggota-anggotanya dalam semesta (S) yang bukan anggota A. Atau

A

c

didefinisikan sebagai : c x

A = { /x

∉ ∧ ∈

A

x

S }

atau c

x

∈

A

↔ ∀

( x) x

∉

A

c

A

Contoh (4.16): Misalkan S = { a, b, c, d, e, f, g, h } dan A = { b, d, e, h } c

A

= { a, c, f, g }

A

S

4. Selisih Dua Himpunan

Selisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A – B” atau “A ∩ Bc

” adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan bukan anggota. Atau A – B didefinikan sebagai:

A – B =

{ /x

x

∈

A

∧ ∉

x

B}

=

{ /x

x

∈

A

∧ ∈

x

B }

c = A ∩

B

c Contoh (4.17): Misalkan A = { a, b, c, d, e } dan B = { b, d, e, g, h } A – B = { a, c } B – A = { b, c } Kesimpulan: umumnya: A – B ≠ B – A

5. Jumlah Dua Himpunan (Selisih Simetri)

Jumlah dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ⊕ B” adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A yang bukan anggota B dan anggota B yang bukan anggota A. Atau A ⊕ B didefinikan sebagai :

A ⊕ B = {x / x ∈ (A – B) .∨. x ∈ (B – A)} atau A ⊕ B = {x/x ∈ (A ∪ B) .∧. x ∉ (B ∩ A)} A⊕ =B (A∪B)−(A∩B) A⊕B Contoh (4.18): Misalkan A = { a, b, c, d, e } dan B = { b, d, e, f, g, h } A ∪ B = { a, b, c, d, e, f, g, h }

A

B

A

−

B

A ∩ B = { b, d, e } A ⊕ B = { a, c, f, g, h } B ⊕ A = { a, c, f, g, h } Kesimpulan A ⊕ B = B ⊕ A

4.3.4. Hukum-hukum Aljabar Hipunan

1. Hukum Idempoten: a.

A

∪ =

A

A

b.

A

∩ =

A

A

2. Hukum Assosiatif : a.

(A

∪

B)

∪ = ∪

C

A

(B

∪

C)

b.

(A

∩

B)

∩ = ∩

C

A

(B

∩

C)

3. Hukum Komulatif: a.

A

∪ = ∪

B

B

A

b.

A

∩ = ∩

B

B

A

4. Hukum Distributif : a.

(A

∪

B)

∩ =

C

(A

∩

B)

∪

(A

∩

C)

b. A

∪

(B

∩

C)

=

(A

∪

B)

∩

(A

∪

C)

c.

(A

∩

B)

∪ =

C

(A

∪

C)

∩

(B

∪

C)

d.

A

∩

(B

∪

C)

=

(A

∩

B)

∪

(A

∩

C)

5. Hukum identitas: a. A

∪

∅ = A b.

A

∩ =

S

A

6. Hukum identitas: a.

A

∪ =

S

S

b.

A

∩

∅ = ∅ 7. Hukum Komplemen: a.

A

∪

A

c

=

S

b.

A

∩

A

c

=

∅ 8. Hukum Komplemen: a.

(A )

c c

=

A

b.

S

c= ∅ dan ∅c = S 9. Hukum De Morgan: a. (A

∪

B)

c

= A

c

∩

B

c

4.3.5. Pergandaan Himpunan

Secara intuitif, pasangan (x,y) dikatakan pasangan terurut, atau berurutan dengan x dikatakan urutan pertama dan y urutan kedua.

Dua pasangan terurut (a, b) dan (c, d) dikatakan sama jika hanya jika a = c dan b = d. Dapat ditulis sebagai :

(a, b) = (c, d)

↔

a = c . ∧ . b = d. Dapat diperluas menjadi n–pasangan terurut yaitu :

(a1, a2, ….., an) = (b1, b2, ... bn)

↔

ai = bi, untuk i = 1, 2, …..n.

Contoh (4.17):

1) (2, 5) dan (5, 2) merupakan dua pasangan yang berbeda.

2) Setiap titik-titik pada koordinat kartesius menyetakan pasangan terurut dari bilangan-bilangan riil.

3) Himpunan {3, 2, 7} bukan pasangan terurut, sebab 3, 2 dan 7 tidak mempunyai urutan.

Definisi: [Pergandaan Kartesius]

Jika A dan B sembarang himpunan, maka perkalian dua himpuan A dan B ditulis A x B adalah himpunan dari semua pasangan terurut berbentuk (x,y) dengan

x ∈ A dan y ∈ B . Perkalian ini juga disebut “pergandaan Kartesius (Cartesian product)”

Secara matematis dinyatakan sebagai:

{

}

=

(x,y)

∈ ∧ ∈

A x B

/ x

A

y

B

Atau

• Jika himpunan A mempunyai n-anggota dan himpunan B mempunyai m-anggota maka perkalian himpunan A x B mempunyai (nxm) m-anggota

• Jika A dan B adalah dua himpunan kosong, maka A x B adalah himpunan kosong, yaitu A = ∅ atau B = ∅, maka A x B = ∅.

• Jika H adalah suatu himpunan yang tidak kosong, maka hasil ganda terhadap dirinya sendiri dinyatakan sebagai A x A atau A2.

Contoh (4.18):

Misalkan H = {1, 3, 7},

maka

H x H = {(1,1), (1,3), (1,7), (3,1), (3,3), (3,7), (7,1), (7,3), (7,7)}

Diagram koordinatnya sbb: :

• Pada umumnya pergandaan himpunan tidak mempunyai sifat kumutatif yaitu

A x B

≠ B x A

.

Contoh (4.19):

Ambil H = {a, b} dan K = {c, d} maka

Diagram Koordinat H x H

0 1 3 7 y 1 3 7 x

H x K = {(a, c), (a, d), (b, c), (b ,d)}

dan

K x H = {(c, a), (c, b), (d, a), (d, b)}

Karena (a, c) ≠ (c, a), (a, d) ≠ (d, a), (b, c) ≠ (c, b) dan (b, d) ≠ (d, b) maka (H x K)

≠

(K x H)

4.3.5. Keluarga Himpunan , Hipunan Kuasa dan Himpunan Indeks

1. Keluarga himpunan

Yang dimaksud keluarga himpunan adalah himpunan dimana obyek-obyeknya terdiri atas himpunan-himpunan. Biasanya dinyatakan dengan huruf skrip (Script Letter) seperti A, B, ….. dan seterusnya, atau dapat juga dengan huruf besar biasa.

Contoh(4.20) :

A = { {2}, {a}, {1,3} }

B = {{1,3},{2},{2,3,5},{6,79}}

2. Himpunan kuasa ,

Yang dimaksud himpunan kuasa dari himpunan A ditulis 2A adalah keluarga himpunan yang obyek-obyeknya terdiri atas himpunan bagian (subset) dari A.

Contoh(4.21) :

Misalkan A = {a, b}, maka

Himpunan kuasa dari A = 2A = { ∅, {a}, {b}, {a, b} }

Dengan banyakanggota nya = n(A) = n(2A) = 22 = 4 anggota.

3. Himpunan indeks

Yang dimaksud himpunan indeks ditulis I adalah himpunan yang terdiri atas indeks-indeks.

Contoh (4.22) : 1. Misalkan I = {1, 2, 3,…..} Maka 1 2 i i I

H

H

H

...

I

∈

=

∩

∩

adalah keluarga himpunan

1 2 i i I

H

H

H

...

U

∈

=

∪

∪

adalah keluarga himpunan 2. Misalkan I = { α, β, χ, …..} Maka i i I

H

H

_α

H

_β

...

∈

=

∩

∩

I

adalah keluarga himpunan

i i I

H

H

_α

H

_β

...

U

_∈

=

∪

∪

adalah keluarga himpunan

4.3.6. Partisi ( penggolongan )

Suatu partisi pada himpunan X adalah suatu cara untuk membagi himpunan X menjadi beberapa himpunan bagian yang saling lepas, dan gabungan dari himpunan-himpunan bagian tersebut sama dengan X. Himpunan bagian pada suatu partisi disebut “sel” ( katakan

A

_i= sel;

i

=

1, 2,....

m

). Jadi koleksi dari himpunan-himpunan bagian X yaitu

X

=

{

A A

₁

,

₂

,...,

A

_m

}

disebut suatu partisi atau penggolongan jika memenuhi syarat :

(1) m 1 2 m i 1

X

A

A

...

A

A

=

=

∪

∪

∪

=

i

U

(2) Ai ∩ Aj = ∅; untuk setiap

A

_i

≠

A

_j

Contoh (4.23):

Misalkan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Perhatikan kelas-kelas pada himpunan bagian X.

(i) {{1, 3, 5}, {2, 5}, {4, 8, 9}}

(iii) {{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}}

maka

(i) . Bukan partisi dari X, sebab 7

∈

X , tetapi 7 tidak termasuk pada

suatu sel.

(ii). Bukan partisi dari X, sebab 5∈X dan 5∈{1, 3, 5}sekaligus 5∈{5, 7, 9}

(iii). Prtisi dari X, sebab X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Rangkuman

1. Himpunan-himpunan diberi simbol dengan huruf besar dari abjad : A, B, C, ..….,K, L, M,……. ,X ,Y, Z. Sedangkan anggota-anggotanya ditulis dengan huruf kecil a, b, …….. x, y, ….. dan seterusnya.

2. Ada tiga cara dalam penulisan himpunan antara lain:

a. Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung kurawal.

b. Dengan cara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya. c. Dengan menyatakan syarat keanggotaannya.

3. Macam-macam Himpunan.

a. Himpunan adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sering dinyatakan sebagai ∅ atau { }.

b. Himpunan semesta adalah himpunan dari semua obyek yang sedang dibicarakan. Biasanya ditulis S atau U.

c. Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga.

d. Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis “

A ⊆ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B. Dinyatakan

dengan simbol A ⊆ B jika dan hanya jika (∀x) x∈A → x ∈ B.

4. Teorema (4.1):

“Himpunan kosong ∅ merupakan himpunan bagian setiap himpunan” atau ditulis sebagai ∅ ⊆ H. ( dimana H adalah sembarang himpunan)

5. Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis “ A = B ”, jika dan hanya jika

A ⊆ B dan B ⊆ A. Dinyatakan dengan simbol

A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A

A = B

↔

(∀x x ∈ A → x ∈ B) .∧. (∀x x ∈ B → x ∈ A)

6. Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis “A ∝ B” jika dan hanya

jika ada anggota A yang menjadi anggota B.

7. Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis “A // B” jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama. 8. Operasi-Operasi Dalam Himpunan.

a. Gabungan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A

∪

B” didefinisikan sebagai : (A ∪ B) = {x / x ∈ A .∨. x ∈ B}

b. Irisan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∩ B”, didefinikan sebagai: (A ∩ B) = {x / x ∈ A.∧. x ∈ B}.

c. Komplemen dari himpunan A ditulis

A

c didefinisikan sebagai : c x

A = { /x

∉ ∧ ∈

A

x

S }

d. Selisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A – B” didefinikan sebagai: A – B =

{ /x

x

∈

A

∧ ∉

x

B}

=

{ /x

x

∈

A

∧ ∈

x

B }

c = A ∩

B

c

A ⊕ B = {x/x ∈ (A – B) .∨. x ∈ (B – A)}

A⊕ =B (A∪B)−(A∩B)

9. Hasil ganda kartesius (Cartesian product) dari dua himpunan H dan K ditulis “H x K” didefinikan sebagai :

H x K ={ (x, y) / x ∈ H .∧. y ∈ K }

10. Yang dimaksud keluarga himpunan adalah himpunan dimana obyek-obyeknya terdiri atas himpunan-himpunan. Biasanya dinyatakan dengan huruf skrip (Script Letter) seperti A, B, ….. dan seterusnya, atau dapat juga dengan huruf besar biasa.

11. Yang dimaksud himpunan kuasa dari himpunan A ditulis 2A adalah keluarga himpunan yang obyek-obyeknya terdiri atas himpunan bagian (subset) dari A. 12. Himpunan indeks (ditulis I) adalah himpunan yang terdiri atas indeks-indeks.

a. _{i 1 2} i I

H

H

H

...

I

∈

=

∩

∩

b. _{i 1 2} i I

H

H

H

...

U

∈

=

∪

∪

c. _i i I

H

H

_α

H

_β

...

∈

=

∩

∩

I

d. _i i I

H

H

_α

H

_β

...

U

_∈

=

∪

∪

13. Himpunan

X

=

{

A A

₁

,

₂

,...,

A

_m

}

disebut suatu partisi ( penggolongan) jika

memenuhi syarat :

(1) m 1 2 m i 1

X

A

A

...

A

A

=

=

∪

∪

∪

=

i

U

(2) Ai ∩ Aj = ∅; untuk setiap

A

_i

≠

A

_j

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Diketahui himpunan-himpunan P = {a, b, c, d}, Q = {c, d, e, f} dan R = {b, c, d, e} Tentukan :

(a)

P ∩ Q ; P ∪ Q ; P ∩ R ; P ∪ R ; Q ∩ R ; Q ∪ R

(b)

Apakan sifat assosiatif (P ∩ R) ∩ R = P ∩ ( Q ∩ R)

(c)

Apakah sifat distributif P ∩ ( Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) dan

(d)

P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ ( P ∪ R) dipenuhi ? Jelaskan !

(e)

Gambarkan diagram venn untuk soal 1a s/d 1f

Jawab :

(a) P ∩ Q = {c, d} ; P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f}; P ∩ R = {b, c, d}; P ∪ R = {a, b,

c, d, e}; Q ∩ R = {c, d, e}; dan Q ∪ R = {b, c, d, e, f}

(b) Dipenuhi, sebab : (P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R) = {c, d} dan (P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R) = {a, b, c, d, e, f}.

(c) Dipenuhi, sebab : P ∩ (Q ∩ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) = {b, c, d} dan

P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ R) ∩ (P ∪ R) = {a, b, c, d, e}

(d) Diagram-diagram Venn.

P ∩ Q = {c, d} P ∩ R = {b, c, d} Q ∩ R = {c, d, e} P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f} P ∪ R = {a, b, c, d, e} Q ∪ R = {b, c, d, e, f}

2. Untuk P, Q, dan R pada soal nomor 1, tunjukan apakah sifat-sifat berikut ini dipenuhi (a) P ⊕ (Q ∪ R) = (P ⊕ Q) ∪ (P ⊕ R) (b) P ∪ (Q ⊕ R) = (P ∪ Q) ⊕ (P ∪ R) a b b c d c d e e f P R Q S P a b c d e f Q S S S

Jawab : (a) Q ∪ R = {b, c, d, e, f} P ⊕ (Q ∪ R) = {a, e, f} P ⊕ Q = {a, b, e, f} P ⊕ R = {a, e} Jadi P ⊕ (Q ∪ R) ≠ (P ⊕ R) ∪ (P ⊕ R) (b) Q ⊕ R = {b, f} P ∪ (Q ⊕ R) = {a, b, c, d, e, f} P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f} P ∪ R = {a, b, c, d, e} (P ∪ Q) ⊕ (P ∪ R) = {f} Jadi P ∪ (Q ⊕ R) ≠ (P ∪ Q) ⊕ (P ∪ R)

3. Buktikan : Jika A ⊆ B maka Bc _{⊆ A}c

Bukti : Untuk membuktikan ada 2 cara.

(a) Secara langsung. (menggunakan kontraposisinya)

(b) Secara tidak langsung. (menggunakan bukti kemustahilan) Yang harus dibuktikan : A ⊆ C

→

Bc ⊆ Ac

(a) Secara langsung

Dari ketentuan A ⊆ B berarti ∀x x ∈ A

→

a ∈ B

Dengan kontraposisinya : ∀x x ∉ B

→

x ∉ A

Ambil sembarang x ∈ Bc_{, berarti x ∉ B. Sehingga x ∉ A, yaitu x ∈ A}c

. Terbukti ∀x x ∈ Bc

→

x ∈ Ac. Jadi Bc ⊆ Ac

(b) Secara tidak langsung (bukti kemustahilan) Dari ketentuan A ⊆ B, akan ditunjukkan Bc _{⊆ A}c

atau

Diketahui : A ⊆ B berarti ∀x x ∈ A

→

x ∈ B

Akan ditunjukkan : Bc ⊆ Ac. Bukti :

Andaikan Bc ⊄ Ac berarti _Bc ⊆_Ac _{menurut definisi}

∀

∈

c

→

∈

c

x x

B

x

A

c c

x x

B

x

A

↔ ∃

∈

→

∈

c c

x x

B . . x

A

↔ ∃

∈

∧

∉

c

x x

B . . x

A

↔ ∃

∈

∧

∈

c

x x

B . . x

B

↔ ∃

∈

∧

∉

diketahui

(

c

)

x x

B

B

x x

( mustahil)

↔ ∃

∈

∩

↔ ∃

∈∅

=

Karena himpunan ∅ tidak mempunyai anggota, maka kalimat “x ∈ ∅” pasti bernilai salah.

Pengandaian harus diingkar, yaitu Bc ⊆ Ac Jadi terbukti A ⊆ B

→

Bc ⊆ Ac .

4. Buktikan : A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) bernilai benar.

Jawab : A – (B ∪ C) = {x / x ∈ A .∧. x ∉ (B ∪ C)} = {x / x ∈ A .∧. x ∈ (B ∪ C)c} = {x / x ∈ A .∧. x ∈ (Bc∩ Cc)} = {x / x ∈ A .∧. (x ∈ Bc _{.∧. x ∈ C}c )} = {x / (x ∈ A .∧. x ∈ Bc_{) .∧. (x ∈ A .∧. x ∈ C}c )} = {x / x ∈ A .∧. x ∉ B} .∩. {x / x ∈ A .∧. x ∉ C} = (A – B) .∩. (A – C) Jadi terbukti A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)

5. Diketahui : A = {a, b}, B = {2, 3}, dan C = {3, 4}. Tentukan : (1) A x (B ( C)

(2) (A x B) ∪ (A x C) (3) A x (B ( C)

(4) (A x B) ∩ (A x C)

Jawab :

(1) B ∪ C = {2, 3, 4}

A x (B ∪ C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}

(2) A x B = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)}

A x C = {(a, 3), (a, 4),(b, 3), (b, 4)}

(A x B) ∪ (A x C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)} (3) B ∩ C = {3}

A x (A ∩ C) = {(a, 3), (b, 3)} (4) A x B dan A x C lihat jawaban (2)

(A x B) ∩ (A x C) = {(a, 3), (b, 3)}

Perhatikan, dari jawaban (1) s/d (4) diperoleh :

A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) dan A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

6. Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {2, 4}, dan C = {3, 4, 5}. Tentukan A x B x C.

Jawab :

Salah satu cara untuk menentukan A x B x C adalah dengan membuat “diagram pohon” seperti di bawah ini.

7. Buktikan : a) A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) b) (A x B) ∪ C = (A ∪ C) x (B ∪ C)

Jawab :

Ambil sembarang himpunan-himpunan A, B, dan C. (a) A x (B ∪ C) = {(x, y) / x ∈ A .∧. y ∈ (B ∪ C)} = {(x, y) / x ∈ A .∧. (y ∈ B .∨. y ∈ C)} = {(x, y) / (x ∈ A .∧. y ∈ B) .∨. (x ∈ A .∧. y ∈ C)} = {(x, y) / x ∈ A .∧. y ∈ B} ∪ {(x, y) / x ∈ A .∧. y ∈ C)} = (A x B) . ∪. (A x C) Terbukti A x (B ∪ C) = (A x B) .∪. (A x C) (b) (A x B) ∪ C = {k / k ∈ (A x B) ∨ k ∈ C} = {(x, y) / (x ∈ A .∧. y ∈ B) ∨ (x, y) ∈ C} ………..(*) (1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 2, 5) (1, 4, 3) (1, 4, 4) (1, 4, 5) (2, 2, 3) (2, 2, 4) (2, 2, 5) (2, 4, 3) (2, 4, 4) (2, 4, 5) (3, 2, 3) (3, 2, 4) (3, 2, 5) (3, 4, 3) (3, 4, 4) (3, 4, 5) 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 2 4 2 4 2 4 1 2 3

(A ∪ C) x (B ∪ C) = {(x, y) / x ∈ (A ∪ C) .∧. y ∈ (B ∪ C)}

= {(x, y) / (x ∈ A .∨. x ∈ C) .∧. (y ∈ B .∨. y ∈ C)} = {(x, y) / (x ∈ A .∧. y ∈ B) ∨ (x ∈ C .∧. y ∈ C)} = (x ∈ C .∧. y ∈ B) ∨ (x ∈ C .∧. y ∈ C)} ………. (**)

dari (*) dan (**) diperoleh (A x B) ∪ C ≠ (A ∪ C) x (B ∪ C).

8. Misalkan A = B ∩ C. Tentukan manakah dari pernyataan berikut ini yang mempunyai nilai benar ?

(a) A x A = (B x B) ∩ (C x C) (b) A x A = (B x C) ∩ (C x B).

Jawab :

(a) Benar, sebab A x A = (B ∩ C) x (B ∩ C)

= {(x,y) /x ∈ (B ∩ C) .∧. y ∈ (B ∩ C)} = {(x,y) / x ∈ B .∧. x ∈ C .∧. y ∈ B .∧. y ∈ C} = {(x,y) / (x∈ B .∧. y ∈ B) .∧. (x ∈ C .∧. y ∈ C)} = {(x,y) / x ∈ b .∧. y ∈ B} ∩ {(x,y) /x ∈ C .∧. y ∈ C} = (B x B) .∩. (C x C) Jadi A x A = (B x B) ∩ (C x C) (b) Benar, sebab A x A = (B ∩ C) x (B ∩ C) = {(x,y)/x ∈ (B ∩ C) .∧. y ∈ (B ∩ C)} = {(x,y)/x ∈ B .∧. x ∈ C .∧. y ∈ B .∧. y ∈ C} = {(x,y)/(x ∈ B .∧. y ∈ C) ∧ (x ∈ C .∧. y ∈ B)} = {(x,y)/x ∈ B .∧. y ∈ C} ∩ {(x,y)/x ∈ C .∧. y ∈ C} = (B x C) ∩ (C x B) Jadi A x A = (B x C) ∩ (C x B)

9. Diketahui X = {a, b, c, d, e, f, g} dan himpunan bagian himpunan bagian

dari adalah,

(a) A

1

= {a, c, e}, A

2

= {b}, dan A

3

= {d, g}

(b) B

1

= {a, e, g}, B

2

= {c, d}, dan B

3

= {b, e, f}

(c)

C

1

= {a, b, e, g}, C

2

= {c}, dan C

3

= {d, f}

(d) D

1

= {a, b, c, d, e, f, g}

Maka tentukan yang mana diantara (a) sampai dengan (d) yang

merupakan partisi dari X ?

Jawab:

(a) {A

1

,A

2

,A

3

} bukan partisi dari X, sebab f

∈

X , f

∉

A

1

, f

∉

A

2

dan f

∉

A

3

.

(b) {B

1

,B

2

,B

3

} bukan partisi dari X, sebab e

∈

X , tetapi e

∈

B

1

dan e

∈

B

3

.

(c) {C

1

, C

2

, C

3

} partisi dari X, sebab X = {C

1

, C

2

, C

3

}

(d) {D

1

} merupakan partisi dari X.

10. Tentukan semua partisi dari X = {a, b, c, d}.

Jawab :

Partisi dari X adalah : [{a, b, c, d}] ; [{a}, {b, c, d}], [{b}, {a, c, d}], [{c}, {a,

b, d}], [{d}, {a, b, c}] ;

[{a,b}, {c,d}] ; [{a,c}, {b,d}] ; [{a,d}, {b,c}] ; [{a}, {b}, {c,d}] ; [{a}, {c}, {b,d}];

[{a}, {d}, {b,c}] ; [{b}, {c}, {a, d}] ; [{b}, {d}, {a,c}] ; [{c}, {d}, {a,b}] ;

[{a}, {b}, {c}, {d}]

Ada 15 partisi yang berbeda dari X.

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Apakah dari himpunan berikut ada yang sama ? Jelaskan

a. {r, t, s}, {s, t, r, s}, {t, s, t, r}, {s, r, s, t}

b.

∅, {0}, {∅}

2. Tentukan apakah himpunan berikut merupakan himpunan kosong.

(a) X = {x / x2 = 9 .∧. 2x = 4}

(b) Y = {x / x ≠ x} (c) Z = {x / x + 8 = 8}

3.

Misalkan himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f, g}. A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e,g} dan C = {b, e, f, g} Tentukan : (a) A ∪ C (d) Bc ∪ C (g) C ⊕ Ac (b) B ∩ A (e) A ⊕ B (h) (A – C)c (c) C – B (f) Cc ∩ A (i) (A – Bc)c (j) (A ∩ Ac)c

4.

Tentukan diagram Venn untuk soal no. 3

5.

Diketahui himpunan-himpunan P = {a, b, c}, Q = {b, c, d} dan R = {a, d}. Tentukan P x Q x R, kemudian tunjukkan bahwa (P x Q) x R = P x (Q x R)

6.

Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ini benar untuk A, B dan C himpunan-himpunan sembarang. (a) A – (A – B) = A ∩ B (b) (A – B)c = B ∪ Ac (c) A – (B ∩ A) = A – B (d) (A – B) ∩ B = ∅ (e) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (f) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C) (g) A– (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) (h) (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)

7.

Buktikan (menggunakan bukti kemustahilan) pernyataan-pernyataan berikut ini : (a) Bc ⊆ Ac ⇒ A ⊆ B.

(b) A ⊆ Bc _{jika dan hanya jika A ∩ B = ∅}

(c) A ∪ B = S jika dan hanya jika Ac _{⊆ B (disini S = himpunan semesta)}

(d) A ⊆ B jika dan hanya jika A ∩ B = A (e) Jika A ∩ B = ∅, maka B ∩ Ac = B (f) Jika A ∩ B = ∅, maka A ∪ Bc

8.

Tentukan himpunan kuasa dari : (a) himpunan H = {1, 2, 3} (b) himpunan N = {a, b, c, d}

9.

Jika himpunan indeks I = {α, β, γ, ….} maka tunjukkan bahwa :

(a) c c i i i I i I

H

H

∈ ∈



_{ =}







U



I

(b) c c i i i I i I

H

H

∈ ∈



_{ =}







I



U

10.

Untuk setiap himpunan K dan untuk setiap himpunan indeks I, berlakulah :

(a) _i

(

_i

)

i I i I

K

H

K

H

∈ ∈





∪

_

_

=

∪



I



I

(b) _i

(

_i

)

i I i I

K

H

K

H

∈ ∈





∩

_

_

=

∩



U



U

(c) _i

(

_i

)

i I i I

K

H

K

H

∈ ∈





−

_

_

=

−



I



I

(d) _i

(

_i

)

i I i I

K

H

K

H

∈ ∈





−

_

_

=

−



U



U

11.

Selidiki apakah pernyataan di bawah ini bernilai benar. (a) (H x K) ∩ M = (H x M) .∩. (K x M) (b) H x (K ∩ M) = (H x K) ∩ (H x M) (c) H x (K ∪ M) = (H x K) ∪ (H x M) (d) (H – K) x M = (H x M) – ( K x M) (e) H – (K x M) = (H – K) x (H – M) (f) (H1 ∩ H2) x (K1 ∪ K2) = (H1 x K1) ∪ (H1 x K2) .∩. (H2 x K1) ∪ (H2 x K2) (g) (H1 ∪ H2) x (K1 ∩ K2) = (H1 x K1) ∩ (H1 x K2) .∪. (H2 x K1) ∩ (H2 x K2)

12.

Apabila M ⊆ H dan N ⊆ K, maka tunjukkan bahwa (M x K) ∩ (H x N) = M x N.