PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN
1.1 DEFINISI HIMPUNAN
Pengertian
Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan secara jelas dalam sembarang urutan atau keberurutan objek-objek anggotanya tidak diperhatikan. Objek-objek itu disebut elemen-elemen atau anggota-anggota himpunan
Anggota Himpunan
Himpunan memiliki objek yang disebut anggota atau elemen himpunan. Jika himpunan A memiliki x sebagai anggotanya maka dapat dituliskan sebagai x∈A, dibaca ”x adalah anggota himpunan A” atau “x adalah elemen dari himpunan A”. Jika objek y bukan elemen atau anggota dari himpunan A maka dapat ditulis y∉A.
Himpunan Hingga dan Takhingga (Finite and Infinite Set)
Himpunan hingga (Finite set) merupakan himpunan yang berisi sejumlah hingga elemen yang berbeda selain itu disebut sebagai himpunan tak hingga (Infinite set).
1.2 NOTASI
Notasi Himpunan
Himpunan dinyatakan dengan huruf besar : A, B, C, D, E, … . Sedangkan elemen-elemen dalam suatu himpunan dinyatakan dengan huruf kecil : a, b, c, d, e, …
Contoh :
1. Himpunan A terdiri atas bilangan 2, 4, 6, 8, maka dapat dituliskan sebagai :
A = {2, 4, 6, 8}; elemen-elemen didaftarkan dengan dipisahkan tanda koma (‘,’) dan dalam tanda kurung kurawal {}.
2. Himpunan B adalah himpunan bilangan genap positif, maka dapat dituliskan dengan : B = {x | x genap > 0}
Cara Penulisan Himpunan
Cara penulisan himpunan terdiri atas 3 cara, yaitu : 1. Enumerasi
Dengan menyebutkan semua (satu per satu) elemen himpunan Contoh:
B = {1,2,3,4,5}
D = {apel, mangga, jambu}
2. Notasi khusus himpunan atau simbol standar
Dengan simbol-simbol standar yang biasa digunakan untuk mewakili suatu himpunan, antara lain :
Contoh :
P = Himpunan bilangan integer positif = {1,2,3, …}
Q = Himpunan bilangan natural = {0,1,2, …}
Z = Himpunan bilangan rasional = {… , -2, -1, 0, 1, 2, …}
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Dengan menyebutkan sifat atau syarat keanggotaan dari himpunan.
Contoh :
B = { x | x ≤ 5 , x ∈ A }
Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan himpunan :
• Bagian kiri tanda ‘|’ melambangkan elemen himpunan
• Tanda ‘|’ dibaca sebagai dimana atau sedemikian sehingga
• Bagian di kanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
• Setiap tanda ‘,’ dibaca sebagai dan 4. Diagram Venn
Dengan menggambarkan keberadaan himpunan terhadap himpunan lain. Himpunan Semesta (S) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lain digambarkan sebagai lingkaran.
Contoh :
S = {1,2, … , 7, 8}
A = {1,2,3,5}
B = {2,5,6,8}
S A B
1 2 6
3 5 8
Himpunan Area
A 1,2
B 2,3
A ∩ B 2
A ∪ B 1, 2, 3
Definisi-Definisi
a. Himpunan semesta/universal Simbol : S atau U
b. Himpunan bagian (Subset)
A merupakan himpunan bagian dari B jika dan hanya jika setiap elemen A juga merupakan elemen B.
Simbol : A ⊆ B Contoh :
A = Bilangan Integer dan B = Bilangan Real Maka A ⊆ B
Catatan :
∅⊆ A dan A ⊆ A
c. Himpunan Kosong (Null Set)
Himpunan kosong merupakan himpunan yang tidak memiliki elemen atau anggota.
Himpunan kosong selalu merupakan salah satu himpunan bagiannya.
Simbol : { } atau ∅ Contoh : F = { x | x < x }
S A B
1 2 3
d. Himpunan Kuasa (Power Set)
Himpunan dari seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan Contoh :
Himpunan bagian dari A = {1, 2} adalah ∅, {1}, {2}, {1, 2} maka Himpunan kuasa dari A = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
e. Himpunan bagian yang sebenarnya ( Proper Subset )
A himpunan bagian yang sebenarnya dari B bila tiap elemen A adalah elemen B dan B≠∅, tapi himpunan A tidak sama dengan B atau bila A ⊆ B dan A ≠ B
Contoh : A = {1, 2, 3, 4}
B = {0, 1, 2, 3, 4}
Maka A merupakan proper subset dari B
f. Himpunan yang sama
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B juga merupakan elemen A.
Simbol : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A Contoh :
A = {0, 1, 2, 3}
B = {0, 1, 2, 3}
Maka A = B
g. Himpunan yang ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himupunan tersebut sama.
Simbol : A ∼ B Contoh :
A = {0, 1, 2, 3, 4} à | A | = 5 B = {5, 6, 7, 8, 9} à | B | = 5 Maka A ~ B
h. Himpunan Saling Lepas ( Disjoint )
Dua himupunan A dan B dikatakan saling lepas jika tidak memiliki elemen yang sama.
Contoh :
A = { x | x < 8, x ∈ P } B = { 10, 20, 30, … }
Maka A dan B adalah himpunan yang saling lepas.
1.3 OPERASI-OPERASI DASAR HIMPUNAN
Union (Gabungan)
Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua elemen yang termasuk dalam A atau B atau keduanya. Union teresebut dapat dinyatakan sebagai :
A ∪ B : dibaca A Union B Contoh :
A = { a, b, c, d } dan B = {e, f, g }, maka A ∪ B = { a, b, c, d, e, f, g } Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }
Berlaku hukum : A ∪ B = B ∪ A
Subhimpunan :
A dan B keduanya selalu berupa subhimpunan dari A ∪ B, yaitu : A ⊂ (A ∪ B) dan B ⊂ (A ∪ B)
Irisan (Perpotongan)
Irisan himpunan A dengan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang dimiliki bersama oleh A dan B, yatu elemen-elemen yang termasuk di A dan juga termasuk di B.
Irisan dinyatakan dengan : A ∩ B dibaca A “irisan” B
Contoh
A = { a, b, c, d } dan B = { b, d, f, g } maka A ∩ B = { b, d } Dapat dinyatakan dengan : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
Setiap himpunan A dan himpunan B mengandung A ∩ B sebagai subhimpunan, yaitu : (A ∩ B) ⊂ A dan (A ∩ B) ⊂ B
Jika himpunan A dan himpunan B tidak mempunyai elemen-elemen yang dimiliki bersama, berarti A dan B terpisah, maka irisan dari keduanya adalah himpunan kosong :
A ∩ B = ∅
Selisih
Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B, dan dinyatakan dengan :
A – B dibaca “selisih A dan B’ atau ‘A kurang B’
Dapat dinyakan dengan : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }
Himpunan A mengandung A – B sebagai subhimpunan, berarti : (A – B) ⊂ A
Komplemen
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen-elemen yang tidak termasuk A, yaitu selisih dari himpunan semesta S dan A. Komplemen dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut :
A’ = { x | x ∈ S dan x ∉ A } atau A’ = { x | x ∉ A }
Union sebarang himpunan A dan komplemennya A’ adalah himpunan semesta, yaitu : A ∪ A’ = S
A ∩ A’ = ∅
Komplemen dari komplemen himpunan A adalah himpunan A sendiri : (A’)’ = A
Selisih dari A dan B sama dengan irisan A dan komplemen B;
A – B = A ∩ B’
Perbedaan Simetris ( Symmetric Difference )
Perbedaan simetris dari himpunan A dan B adalah sutau himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.
Simbol : A ∆ B = A ⊕ B = ( A ∪ B ) – ( A ∩ B ) = ( A – B ) ∪ ( B – A ) Contoh :
A = { 2, 4, 6 } ; B = { 2, 3, 5 } A ⊕ B = { 3, 4, 5, 6 }
1.4 ALJABAR HIMPUNAN
Aljabar himpunan mempunyai sifat yang analogi dengan aljabar aritmetika. Operasi pada aljabar aritmetika adalah penambahan (+) dan perkalian (•).
Sifat-sifat operasi pada aljbar aritmetika : Misal a, b, c, adalah sembarang bilangan 1. Tertutup ( Closure )
A1 : a + b adalah bilangan M1 : a • b adalah bilangan
A2 : ( a + b ) + c = a + ( b + c ) M2 : (a • b) • c = a • ( b • c ) 3. Identitas
A3 : Ada sebuah bilangan unik yaitu nol (0) sedemikian sehingga untuk semua bilangan berlaku bahwa a + 0 = 0 + a = a
M3 : Ada sebuah bilangan unik yaitu 1 sedemikian sehingga untuk semua bilangan berlaku bahwa a • 1 = 1 • a = a
4. Invers
A4 : Untuk setiap bilangan a terdapat bilangan unik (-a) sedemikian sehingga berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0
M4 : Untuk setiap bilangan a ≠ 0, terdapat bilangan unik ( a 1 ) sedemikian sehingga berlaku a • a 1 = a 1 • a = 1
5. Komutatif
A5 : a + b = b + a M6 : a • b = b • a 6. Distributif
A6 : a • ( b + c ) = ( a b ) + ( a c ) M6 : (a + b) • c = ( a c ) + ( b c )
Sifat-sifat tersebut berlaku pula pada aljabar himpunan dimana terdapat perubahan :
• Operator penjumlahan (+) diganti dengan operator perbedaan simetris (∆ )
• Operator perkalian (•) diganti dengan operator irisan (∩)
• Sifat M4 bilangan unik nol (0) diganti himpunan ∅, bilangan unik 1 diganti himpunan semesta S
• A4 Bilangan unik (-a) diganti dengan A’, sedemikian sehingga berlaku : A ∆ A’ = S
A ∩ A = ∅
1.5 TRANSISI DARI HIMPUNAN KE LOGIKA
Pada dasarnya Aljabar Boolean memberikan perantaraan antara Aljabar himpunan dan Logika sebagai berikut :
• Operasi-operasi dasar dalam aljabar himpunan dengan 2 elemen yaitu ∅ dan A
∅ A ∅ A
∅ ∅ A ∅ ∅ ∅
A A A A ∅ A
α ∪ β α ∩ β
Jika diinterpretasikan sebagai aljabar boolean maka kedua elemen pada aljabar himpunan berkorespodensi dengan elemen pada aljabar Boolean yaitu 0 dan 1
• Operasi-operasi dasar dalam Aljabar Boolean dengan 2 elemen yaitu : 0 dan 1
0 1 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 1 1 0 1
α + β α• β
• Operasi-operasi dasar dalam Logika (Kalkulus Proposisi) melibatkan elemen False dan True
α∨ β α∧ β
False True False True
False False True False False True
True True True True False True
