1 Rexa
Dafa Astuti
Siemen Nokia
Samsung Esia Memiliki
A B
A. RELASI
1. Pengertian Relasi
Astuti memiliki handphone merk Nokia dan Samsung, Dafa memiliki handphone merk Nokia saja, dan Rexa memiliki handphone merk Esia dan Siemen.
Dari keterangan di atas kita dapat membagi menjadi dua himpunan (kelompok) sebagai berikut :
Himpunan 1 menyatakan nama anak: {Astuti, Dafa, Rexa}
Himpunan 2 menyatakan merk handphone : {Nokia, Samsung, Esia, Siemens} Dari dua himpunan itu kita dapat membuat relasi, seperti pada gambar dibawah ini.
Himpunan A disebut domain/daerah asal Bimpunan B disebut kodomain/daerah kawan
Relasi (hubungan) dari himpuanan A ke himpunan B adalah memasangkan anggota himpunan A ke anggota himpunan B.
2. Menyatakan relasi
Ada tiga untuk meyatakan relasi atau hubungan antara dua himpunan, yaitu : a. Diagram Panah
Untuk menyatakan hubungan dua himpunan satu diantaranya dengan diagram panah.
Misalnya; P = {Yosi, Sinta, Tia} dan Q = {Merah, Biru}
Relasi dari himpunan P dan Q, dengan relasi “ Menyukai warna “, dapat dinyatakan seperti pada gambar dibawah ini.
Relasi dari himpunan P ke Q disimbolkan dengan “ tanda panah”. Tanda panah menunjukkan nama relasi,
sedangkan arah panah menunjukkan pengaturan relasi
b. Pasangan Berurutan
Hubungan /relasi dari himpunan P dan himpunan Q dapat pula dinyatakan dalam pasangan berurutan. Himpunan P dituliskan pada urutan pertama dan himpunan Q dituliskan pada urutan kedua dan tanda koma memisahkan anggota kedua himpunan itu.
Misalkan :
P = {2,3} dan Q = {2, 4, 6}
Kedua himpuan dihubungkan “ faktor dari “, maka dalam pasangan berurutan dituliskan : {(2,2),(2,4),(2,6),(3,6)}
c. Diagram Cartesius
Misalkan pasangan berurutan dari himpunan P = {2, 3} dan himpunan Q = {2, 4, 6} yang dihubungkan dengan “ faktor dari “ adalah {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6)}.
Dari pasangan tersebut bila digambarkan dalam diagram Cartesius, maka hasilnya seperti di bawah ini.
Q
Suka warna
Sinta
Yosi Merah
2
Q Tanda titik (noktah) pada diagram disamping menunjukkan pernyataan relasai, yang berarti “faktor dari”.
2. Produk Cartesius
MENYATAKAN FUNGSI DAN PRODUK CARTESIUS
1. Tentukan nama relasi dari pasangan berurutan dibawah ini. a. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
g. {(Bandung, Jawa Barat), (Semarang, Jawa Tengah), (Surabaya, Jawa Timur)} h. {(termometer, suhu), (jangka sorong, panjang), (jam dinding, waktu)}
2. Tentukan nama relasi dari diagram panah berikut ini!
3. Diketahui himpunan H = {2, 4, 6, 8, 10} dan himpunan I = {1, 2, 3, 4, 5} dengan relasi “ Dua kali dari “. Nyata relasi itu dalam :
a. Diagram Panah b. Pasangan Berurutan c. Diagram Cartesius
4. Suatu relasi dari himpunan M ke himpunan N dinyatakan dalam pasangan berurutan : {(3, 1), (6, 2), (9, 3), (12, 4)}, tentukan :
a. nama relasi
b. anggota himpunan M c. anggota himpunan N.
5. Perhatikan diagram panah berikut ini.
3 A
B A B
6. Diketahui himpunan A = {1, 4, 9, 16} dan himpunan B = [1, 2, 3, 4, 5} dengan relasi himpunan A ke B “Kuadrat dari “. Nyatakan relasi tersebut dalam :
a. Diagram Panah b. Pasangan Berurutan c. Diagram Cartesius
7. Relasi R ditentukan sebagai berikut : 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, dan relasi ditentukan dari himpunan P ke himpunan Q.
a. Tuliskan dalam pasangan berurutan
b. Nyatakan hubungan yang mungkin dari relasi itu.
8. Tentukan range dari suatu relasi yang menyatakan “ p = 2x2 – 1, jika domainnya yang dinyatakan dengan {x / -4 < x < 8, x anggota bilangan genap}!
9. Diketahui:
P = {m, n} dan Q = {4, 5, 6, 7, 8} a. Tuliskan anggota P x Q
b. Berapa banyak anggota P x Q
10. Tentukan n(A x B), jika :
a. A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {faktor dari 6}
b. A = {x/ x<10, x Prima} dan B = {y/ y < 9, yGenap}
c. A = {Lima bilangan cacah pertama} dan B = {x / -2 < x
4, xGenap}d. A = {Bilangan prima kurang dari 11} dan B = {bilangan komposit kurang dari 10}
11. Jika n(A x B) = 12 dan n(B) = 4, tentukan banyak anggota himpunan A!
12. Jika n(K x L) = 6 dan n(K x M) = 5. Hitunglah n(L x M)!
13. Himpunan pasangan berikut menyatakan relasi dari himpunan C ke himpunan D. Tentukan nilai a, b, c, d, e, f, g, dan h!
a. {(1, 1), (2, 8), (3, a), (4, b)}
b. {(pensil, melukis), (pulpen, menulis), (c, melukis), (kalkulator, d)} c. {(kuping, mendengar), (mata, melihat), (lidah, e), (kulit, f)} d. {(timur, barat), (Utara, selatan), (timur laut, g), (h, tenggara)}
14. Diketahui n(A x B) = (n(A) + 1) (n(B) – 3). Jika n(B) = 7 dan n(A x B) = 36. Tentukan n(A)!
15. Dua anak memiliki kaos dan jaket dengan warna yang berbenda.
Rexa dengan kaos warna: merah, kuning, dan hijau sedangkan jaket berwarna : hitam , putih, merah dan biru. Dafa dengan kaos warna : merah, kuning, hijau, hitam, dan coklat, sedangkan jaket berwarna : hijau dan abu-abu.
a. Gambarkan relasi dari keterangan di atas.
b. Berapa banyak Rexa dapat memakai jaket dan kaos dengan warna yang berbeda ? c. Berapa banyak Dafa dapat memakai jaket dan kaos dengan warna yang berbeda ?
B. Fungsi
1.Pengertian Fungsi
Untuk memahami fungsi/pemetaan perhatikan diagram panah berikut ini.
Dari dua gambar di atas merupakan contoh dari fungsi atau pemetaan.
Suatu pemetaan/fungsi dari himpunan A dan himpunan B adalah
memasangkan setiap anggota himpunan A tepat satu ke anggota himpunan B. Dinotasikan : f : A B
4 Contoh : 2. 1
Diketahui P= {a, b, c) dan Q = {1, 2}, tentukan n(f: A B) Penyelesaian :
n(P) = 3 dan n(Q) = 2 n(f: A B) = 23 = 8.
2. Fungsi satu-satu
Pemetaan/fungsi satu-satu disebut juga kerenpondensi satu-satu . Untuk memahami pengertian korespondensi satu-satu, perhatikan contoh berikut ini.
Fungsi atau pemetaan satu-satu dari himpunan A ke himpunan B adalah memasangan setiap anggota himpunan A tepat satu ke anggota himpunan B, atau sebaliknya.
Pemetaan satu dari himpunan A ke B dituliskan f: A 11 B.
Jika n(A) = p dan n(B) = p, maka n(f: A 11 B) = p!, dengan p! = 1 x 2 x 3 x … x p.
Contoh: 2. 2
P = {faktor dari 4} dan Q = {bilangan genap kurang dari 6}, tentukan n(f: P 11 Q). Penyelesaian :
P = {1, 2, 4} , maka n(P) = 3 Q = {0, 2, 4}, maka n(Q) = 3
n(f: P
1
1 Q) = 3! = 3 x 2 x 1 = 6.PENDALAMAN MATERI 3
PEMETAAN DAN KORESPONDENSI SATU-SATU
1. Tentukan pernyataan berikut “ Benar atau Salah “ a. Setiap relasi merupakan pemetaan.
b. Setiap korespondensi satu-satu merupakan relasi. c. Setiap pemetaan merupakan fungsi 1-1.
d. Pemetaan merupakan relasi.
e. Setiap fungsi 1-1 merupakan pemetaan.
2. Manakah dari pasangan di bawah ini yang merupakan pemetaan ? a. {(1, 1), (2, 1), (3, 1)}
b. {(2, 2), (3, 3), (4, 4)} c. {2, 1), (2, 2), (1, 2)}
d. {(1, 2), (0, 1), (2, 3), (3, 2)} e. {(7, 8), (8, 7), (5, 6), (6, 5)}
3. Manakah pernyataan berikut ini yang merupakan pemetaan satu-satu. a. Propinsi dan ibukotanya
b. Negara dan lagu kebangsaannya c. Negara dan benderanya
d. Presiden dan para mentrinya
4. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}.
a. Gambarkan pemetaan dari A ke B dan hitunglah banyak pemetaan yang mungkin. b. Gambarkan pemetaan dari B ke A dan hitunglah banyak pemetaan yang mungkin.
5. Diketahui himpunan A = {1, 2} dan B = { b, c}, tentukan :
a. Semua anggota (f: A 11 B)
b. n(f: A 11 B) q
p x
y
p
q
x
5 x
y y
x y
x
y
x 6. Diberikan n(A) k dan n(B) = 3k – 12. Jika himpunan A ke B merupakan korespondensi
satu-satu, tentukan : a. Nilai x,
b. n(f: A
1
1 B)7. Seseorang menggunakan kode yang unik, sebagaiberikut : A B C … I
1 2 3
a. Tulis kode rahasia, jika perintahnya tertulis “ ADI DAFA “ b. Jika kodenya 3131 45458, maka tuliskan maksudnya.
8. Tentukan dari kurva dibawah ini, manakah yang merupakan : a. pemetaan,
b. Korespondensi satu-satu.
a. b. c. d.
3. Merumuskan Suatu Fungsi
Dari grafik di samping : x anggota dari domain
y anggota dari range ( y disebut bayangan/peta dari x)
Untuk lebih memahami ini simaklah beberapa contoh di bawah ini.
Contoh : 2. 3
Suatu fungsi f : x
8x + 5 dengan x = {1, 2, 3, 4}, tentukan : a. rumus untuk fungsib. bayangan dari 2 c. peta dari 3 d. f(4)
Penyelesaian : a. f(x) = 8x + 5
b. f(2) = 8. 2 + 5 = 21 c. f(3) = 8. 3 + 5 = 29 d. f(4) = 8.4 + 5 = 37
Contoh : 2. 4
Suatu fungsi ditentukan f(x) = ax + b. Jika f(1) = 9 dan f(3) = 43. a. Tentukan nilai a dan b
b. Tentukan rumus fungsi f(x) c. Pembuat nol fungsi.
Penyelesaikan : a. f(x) = ax + b
f(1) = a. 1 + b = 9 dan f(3) = a . 3 + b = 49
a + b = 9 dan 3a + b = 43 kedua persamaan disubstitusikan. a = 9 – b
3a + b = 43 27 – 3b + b = 43 b = -8 dan a = 17 Jadi a = 17 dan b = -8
b. f(x) = 17x – 8
c. f(0) = 17. 0 – 8 = -8
A
x
y = f(x)
6 PENDALAMAN MATERI 4
MERUMUSKAN SUATU FUNGSI
1. Suatu fungsi ditentukan f: x
2x – 1 a. Tuliskan rumus fungsi,b. Tentukanf(3).
2. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = 10 – 3x a. Tentukan bayangan dari 2
b. Tentukan peta dari -1
3. Diketahui h(x) = 3x + 5
a. Tentukan peta dari 2 dan -3 b. Apabila h(a) = 26, carilah nilai a !
4. Pemetaan dirumuskan m(x) = px + 5 dan m(2) = 19. a. Tentukan nilai p
b. Hitunglah nilai m(10).
5. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = 4x + 6, hitunglah: a. f(2) + f(-3)
b. 7f(1) – f(-5)
6. Suatu fungsi g(x) = 2x – 1 dengan R = {-9, -7, 17, 47}. Tentukan daerah asalnya!
7. Suatu fungsi ditentukan f(x) = ax + b. Jika f(3) = 4 dan f(-2) = -11. a. Carilah nilai a dan b
b. Tuliskan rumus f(x)
c. Tentukan pembuat nol fungsi
8. Diketahui grfaik fungsi f(x) = px + q melalui titik A(2, 19) dan titik B(4, 11). Tentukan : a. Nilai p dan q
