FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
1. RELASI DAN FUNGSI
Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua anggota B.
Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat ke satu anggota himpunan B disebut fungsi/pemetaan dari himpunan A ke B.
Cara menyatakan relasi ada 4 cara, yaitu : 1. Dengan diagram panah
2. Dengan himpunan pasangan berurutan 3. Dengan grafik/diagram
4. Dengan rumus
Contoh 1: Diketahui himpunan A:{1,2,3) dan B:{1,2,3,4,5}. Nyatakan relasi “kurang satu dari” dari himpunan A ke himpunan B dengan 4 cara di atas !
Jawab : 1. Dengan diagram panah
A B
1
1 2
2 3
3 4
5
2. Dengan himpunan pasangan berurutan R:{(1,2),(2,3),(3,4)}
3. Dengan grafik/diagram B
5 4 3 2 1
0 A
1 2 3
4. Dengan rumus
y = x + 1 jika y B dan
x A
A B Himpunan A disebut daerah asal (domain)
1 a Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) 2 b
3 c Himpunan {a,b,c} disebut daerah hasil (Range) d
e
Tidak semua daerah asal (Df) dan daerah hasil (Rf) terdefinisi. Misal a hanya
terdefinisi jika
a
0
dan pecahan ab terdefinisi jika
b
0
Contoh 2: Tentukan Df dan Rf yang terdefinisi dari fungsi :
a) f(x) = x3 b) f(x) = x x
1
2 3
Jawab : a) f(x) = x3 terdefinisi jika
x
3 0
atau ... Jadi Df : {x/...…….. }b) f(x) = x x
1
2 3 terdefinisi jika
2
x
3 0
atau ... Jadi Df:{x/.………... }f(x) = x x
1
2 3
y = xx
1
2 3
y(2x -3) = x + 1
2xy - 3y = x + 1
2xy - x = 3y + 1
x(2y - 1) = 3y + 1
x = 3 12 1
y y
Syarat pecahan di atas terdefinisi jika ...
0
atau y
... Jadi Rf:{y/...………. }LATIHAN SOAL
1. Nyatakan relasi berikut dengan rumus !
A B a. -1 -1
0 0 1 3 2 8 3
b. R : {(-3,-3),(-2,-1),(-1,1),(0,3),(1,5),(2,7)}
c. Y 17
11 7
3
X 2 4 7
2. Mana yang merupakan fungsi ? Beri alasannya !
A B A B f A B f
a. 1 a b. 1 f c. 1 a
2 b 2 a 2 b
3 c 3 b 3 c
4 d 4 c 4 d
3. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya ! a. R : {(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)}
b. R : {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)} c. R : {(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)} d. R : {(-1,1),(1,3),(2,4),(1,5)}
4. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya !
a. Y b. Y y =
x
2
1
y = x + 1
X X
c. y2 1 x d. e
Y Y Y y x3
x2y2 4
0 X 0 X 0 X
5. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari :
a. y = x + 1 b. y x x
2
1 c. y =
x
2
5
d. y =
x
2
2
x
4
e. y = x 2 f.1
2
x x x y
2. MACAM-MACAM FUNGSI
a. Fungsi Konstan
Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi konstan jika setiap elemen himpunan A berpasangan dengan tepat dengan sebuah elemen himpunan B. Fungsi konstan secara umum dinyatakan dengan y = f(x) = c, dengan c konstanta dan
x
R
.Contoh 1: Lukislah garis y = 5
Jawab : Y
0 X
b. Fungsi Identitas
Suatu fungsi disebut fungsi identitas jika untuk setiap anggota daerah asal dipasangkan dengan dirinya sendiri di daerah kawan.
Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x
c. Fungsi Modulus (Mutlak)
Suatu fungsi disebut fungsi modulus jika setiap anggota daerah asal dipasangkan ke harga modulus/mutlaknya di daerah kawan.
Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x x dibaca “harga mutlak x” yang besarnya :
0 ,
0 ,
x jika x
x jika x x
Misal : 2 2
0 0
Contoh 2: Lukislah kurva y = 2x 5
Jawab : Dengan menggunakan bantuan tabel :
x 0 1 2 2,5 3 4 5
y … … … …
Kurvanya : Y
0 X
d. Fungsi Linear
Fungsi linear yaitu fungsi yang berderajat satu atau pangkat tertinggi dari variabel/peubahnya hanya satu.
Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = mx + c, dimana m adalah gradien/arah/kemiringan garis dan c adalah konstanta.
Fungsi linear berupa garis lurus.
Contoh 3: Lukislah garis y = 2x + 3
Jawab : Untuk melukis suatu garis tertentu syaratnya minimal diketahui dua titik. Misal x = 0 maka y = …. atau melalui titik ( … , … )
Misal y = 0 maka x = …. atau melalui titik ( … , … )
Y
0 X
e. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat yaitu suatu fungsi yang berderajat dua atau pangkat tertingi dari variabelnya dua.
Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = ax2bxc, dimana
R c b a a 0, , ,
Contoh 4: Lukislah kurva y x2 2x 8 Jawab : Cara melukisnya :
1. Titik potong dengan sumbu X jika y = … 0 x2 2x 8 0(...)(...) x = … , x = …
2. Titik potong dengan sumbu Y jika x = … y = ….
3. Titik Puncak = TP = ( …. , ….. ) = …. 4. Beberapa titik bantu jika perlu.
X -2 -1 0 1 2 3 4
Y … … … …
Y
0 X
3. SIFAT-SIFAT FUNGSI
Sifat-sifat fungsi ada 4 , yaitu : a. Fungsi Injektif (Satu-satu)
Jika
a
1,
a
2
A
,
a
1
a
2maka
f
(
a
1)
f
(
a
2)
b. Fungsi Surjektif (Onto)
Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B (daerah kawan). c. Fungsi Into
Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B.
d. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Jika dan hanya jika fungsi f bersifat injektif dan surjektif.
LATIHAN SOAL
1. Fungsi-fungsi berikut termasuk fungsi into, fungsi onto, fungsi satu-satu atau fungsi korespondensi satu-satu dari :
a. 1 a b. 1 a c. 1 a d. 1 a
2 b 2 b 2 b 2 b
3 c 3 c 3 c 3 c
d 4
2. Lukislah fungsi-fungsi berikut ini :
a. y 3x 2 b. 4x 3y 12
c. y 5
d. yx2 2x 8 e. yx2 4x f. yx 3 g. y 2 x 4 1
h. 5 , 6 5 , 1 x untuk x untuk x y i. 6 , 1 6 3 , 3 , 2 x untuk x x untuk x x untuk x y
4. ALJABAR FUNGSI
Misalkan diketahui dua fungsi f(x) dan g(x) yang akan dioperasikan secara aljabar, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut :
1.
f g
(x)f(x)g(x) 2. (f g)(x)f(x) g(x) 3. (f.g)(x)f(x).g(x)4. , ( ) 0
Contoh 1: Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x – 1. Tentukan :
a. (f + g)(x) b. (f – g)(x) c. (f x g)(x) d. (x)
g f
Jawab : a. (f + g)(x) = …. b. (f – g)(x) = …. c. (f x g)(x) = ….
d. (x)
g f
= ….
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus f + g, f – g , g – f dan f x g untuk f dan g pada R dengan ketentuan sebagai berikut :
f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3 – 5x
2. Tentukan g
f
lalu tentukan domainnya agar g
f
merupakan fungsi dari :
a. f(x) = 2 – 3x, g(x) = 3 + 5x b. f(x) = x, g(x) = x2 x c. f(x) = x2 1 , g(x) = x + 1
3. Jika f(x) = 2x – 5 dan g(x) = x + 7 dengan f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real, maka tentukan :
a. rumus f + g, g – f dan f x g b. (f + g)(5), (f – g)(2) dan (f x g)(-1) c. Gambar grafik f + g, g – f dan f x g
4. Fungsi f(x), g(x) dan h(x) di definisikan sebagai berikut : f(x) = {(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
g(x) = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} h(x) = {(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)} Tentukan :
a. f + g, f + h dan g + h b. f – g, f – h dan g – h c. f x g, f x h dan g x h
5. FUNGSI KOMPOSISI
Fungsi komposisi berarti gabungan dari beberapa fungsi.
f g f memetakan x ke y ditulis y = f(x) x y z g memetakan y ke z ditulis z = g(y) h memetakan x ke z ditulis z = h(x)
h h merupakan komposisi dari fungsi f dilanjutkan g ditulis h = g o f dibaca “g noktah f” atau “g bundaran f” z = h(x) = g(y) = g(f(x))
Karena h(x) = (gof)(x), maka : (gof)(x) = g(f(x))
Begitupun untuk komposisi tiga fungsi akan berlaku :
(gofoh)(x) = g(f(h(x)))
Contoh 1: Jika f(x) = 2x-1 , g(x) = 3x+4 dan h(x) =
3
x
2, maka tentukan : a) (fog)(x) b) (fogoh)(x) c) (goh)(-2)Jawab : a) (fog)(x) = ……. b) (fogoh)(x) = ……….
Contoh 2: Diketahui f(x) = 2x-1 dan (fog)(x) = 6x+5, maka tentukan g(x) !
Jawab : (fog)(x) = f(g(x)) .... = ....
………….
Contoh 3: Diketahui f(x) = 3x-2 dan (gof)(x) = 9x2 12x7, maka tentukan g(x) !
Jawab : (gof)(x) = g(f(x)) ... = ....
Misal y = ....
x = .... Sehingga :g(y) = ... = ... Jadi g(x) = ....
LATIHAN SOAL
1. Jika f(x) = 5x - 3, g(x) = 1 1
x dan h(x) = 2 1
2
x , maka tentukan : a. (foh)(x) b. (hog)(2) c. (fogoh)(x)
d. (gofoh)(x) e. (hofog)(2) f. (gohof)(1 5)
2. Tentukan :
a. Jika f(x) = 4x + 3 dan (fog)(x) = 5x - 1, maka g(x) = .... b. Jika g(x) = 2x - 3 dan (fog)(x) = 10x+7, maka f(x) = ....
c. Jika f(x) = 2x + 1 dan (gof)(x) =
12
x
2
12
x
1
, maka g(x) = .... d. Jika g(x) = 3x - 5 dan (gof)(x) =3
x
2
9
x
5
, maka f(x) = .... e. Jika g(x) =x
2
x
1
dan (gof)(x) =x
2
5
x
5
, maka f(x) = ....3. Jika f(x) = 3 - 2x, h(x) =
x
2
2
x
2
dan (hof)(a) = 37, maka tentukan a !4. Diketahui f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 2x + p . Apabila f o g = g o f , maka tentukan nilai p !
5. Jika f(x) = x + 2 dan (gof) (x) = 2x2 4x1 , maka tentukan g(2x) !
6. SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI
Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi komposisi, kita gunakan contoh-contoh berikut :
Contoh 1: Misal f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x – 1. Tentukan : a. (fog)(x) b. (gof)(x)
Jawab : a. (fog)(x) = …. b. (gof)(x) = ….
Jadi bersifat : ….
Contoh 2: Jika f(x) = x2, g(x) = 2x – 2 dan h(x) = 3x, maka tentukan : a. ((fog)oh)(x) b. (fo(goh))(x)
Jawab : a. (fog)(x) = … ((fog)oh)(x) = ….
(fo(goh))(x) = ….
Jadi bersifat : ….
Contoh 3: Jika f(x) = 2x + 1 dan I(x) = x, maka tentukan : a. (foI)(x) b. (Iof)(x)
Jawab : a. (foI)(x) = …. b. (Iof)(x) = ….
Jadi bersifat : …..
LATIHAN SOAL
1. Jika f(x) = 4x - 3, g(x) = x 1
, h(x) = x2 1 dan I(x) = x, maka buktikan :
a. fog
gof b. foh
hof c. fo(goh) = (fog)oh d. go(hof) = (goh)of e. goI = Iog = g f. hoI = Ioh = h2. Jika f(x) = 10x - 1, g(x) = 3x + 4 dan h(x) = 1
x x
, maka buktikan :
a. (fog)(2)
(gof)(2) b. (foh)(-1)
(hof)(-1)c. ((fog)oh)(1) = (fo(goh))(1) d. (ho(gof))(m) = ((hog)of)(m)
3. Jika f(x) = 2x + 3, g(x) = 5x2 1 dan h(x) = 6 x2, maka buktikan :
a. (foh) (2)
(hof) (2) b. (gof) (-1)
(fog) (-1) c. ((hog)of) (3) = (ho(gof)) (3) d. (fo(goh)) (s) = ((fog)oh) (s)7. INVERS SUATU FUNGSI
Perhatikan gambar berikut ini : A B
y merupakan peta dari x oleh fungsi f dan x merupakan f peta dari y oleh fungsi f 1 maka dikatakan fungsi f dan
x y f1 saling invers.
f1
Jadi y = f(x) dan x = f1(y)
Sifat invers :
fof
x
f of
x I x
1 1 ( )
Syarat fungsi mempunyai invers jika fungsi itu korespondensi satu-satu.
Cara menentukan invers dari y = f(x) :
1. Ubah y = f(x) menjadi x = g(y) 2. Ubah x = g(y) menjadi f y g y
1( ) ( ) 3. Ubah y dengan x
Contoh 1: Tentukan invers dari y = 5x + 3
Jawab : y = 5x + 3
5x = .... x = .... ) (
1
y
f ....
) (
1
Contoh 2: Tentukan invers dari x x y 2 3 1 3
Jawab :
x x y 2 3 1 3
y( ... ) = 3x - 1... = ... ... = ... x ( ... ) = ...
x = ... 1( ) ...
x
f
Contoh 3: Jika f(x) = 1 5
x , maka tentukan daerah asal dan daerah hasil f !
Jawab : f(x) = 1 5
x
y = ... .... = .... x = ....Jadi daerah asal Df:{x/ ... } dan daerah hasil Rf: {y/ ... }
LATIHAN SOAL
1. Tentukan invers dari :
a. f(x) = 4x + 5 e. f(x) = 3 1 x x
b. f(x) = 1 3 2
x f. f(x) =
x x 2 3 1 5
c. f(x) = 2 3
x g. f(x) = 3 4
5
x
d. f(x) = 4
5 2x
h. f(x) = 3 5 4 1 2 x x
2. Jika f(x) =
3 2 5
x , maka tentukan ( 2)
1
f
3. Jika f(x) = ( 4) 3
2
x dan 1( ) 5
a
f , maka tentukan a !
4. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari :
a. 2 5 ) ( x x x
f b. f(x) x1 c. f(x) x2 4x
8. INVERS FUNGSI KOMPOSISI
A g o f C
B
1 1 1 f og goff g
x y z
1 1 1 g of fog
f 1 g1
gof
1Contoh 1: Jika f(x) = 5x - 3 dan g(x) = 2 + 4x, maka tentukan : a)
fog
1 x b)
) (
1 1of x
Jawab : a)
fog
x
f
g
x
= f(...) = ... y = .... x = ...
1 ...x fog
b) f(x) = 5x - 3 g(x) = 2 + 4x y = 5x - 3 y = 2 + 4x
x = .... x = ....
f1(x)... g1(x)...
g1of 1
(x) = ...Contoh 2: Diketahui
1 3 ) (
x x
f dan g(x) = 4x - 1. Tentukan
fog
1 3Jawab :
fog
x
f
g
x
= ... y = ... ... = .... x = ...
1 ...x fog
fog
1
3 ...
LATIHAN SOAL
1. Jika f(x) = 2x + 1 dan g(x) = 6x - 7, maka tentukan :
a. (gof)1(x) b.
) )(
(g1of1 x c.
) )(
(f1og1 x d.
) 5 ( )
( 1
fog
2. Jika f(x) = 3 2 1
x dan ( ) 1( ) 2
x x
gof , maka tentukan g(x) !
3. Jika f(x) = 3 + 2x, g(x) = 2 + x dan h(x) = 2x, maka tentukan x jika (fogoh) ( ) x
1 1
4. Diketahui f(x) = 5x2 5 dan g(x) = 2x - 3. Tentukan :
a. (fog)1(x) b. (g1of1)(x)
5. Jika f(x) = 3x dan g(x) = 1 2 1
x , maka tentukan (fog)1(3)
6. Jika f(x) = 1 1
x dan g(x) = 3 x 2
