BAB VI KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan mampu: 1. membedaka kan pengertian r

(1)

KOMPOSISI FUNGSI KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

V

V I I

B

B A A B B

Tujuan Pembelajaran Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan mampu:

1.

1. memembmbedaedakakan penn pengergertiatian reln relasasi dan fi dan fungungsisi,, 2.

2. membmemberikerikan an contcontoh oh fungfungsi-si-fungfungsi si sedesederhanrhana,a, 3.

3. memenjenjelalaskaskan sn sififat-at-sifsifat at fufungsngsi,i, 4.

4. menemenentukntukan atan aturan furan fungsungsi dari dari komi komposiposisi besi beberberapa fapa fungsungsi,i, 5.

5. menemenentukntukan nilan nilai fungai fungsi komsi komposiposisi tersi terhadahadap kompp komponen peonen pembembentukntuknya,nya, 6.

6. menemenentukntukan koman komponeponen fungn fungsi jika asi jika aturaturan kompn komposisosisinya dinya diketiketahuiahui,, 7.

7. memmemberiberikan kan syarsyarat aat agar gar fungfungsi si memmempunypunyai iai invernvers,s, 8.

8. menemenentukntukan aan aturaturan fun fungsi ngsi inveinvers drs dari ari suatsuatu fuu fungsingsi,, 9.

9. mengmenggambgambarkaarkan grafn grafik funik fungsi ingsi invers dvers dari grari grafiafik fungk fungsi asasi asalnyalnya..

(2)

Santi harus melakukan percobaan kimia melalui dua tahap yaitu tahap I dan tahap Santi harus melakukan percobaan kimia melalui dua tahap yaitu tahap I dan tahap II. Lamanya (dalam menit) proses percobaan pada setiap tahap merupakan fungsi terhadap II. Lamanya (dalam menit) proses percobaan pada setiap tahap merupakan fungsi terhadap banyaknya molekul yang dicobakan. Pada tahap I untuk bahan sebanyak

banyaknya molekul yang dicobakan. Pada tahap I untuk bahan sebanyak x x mol diperlukanmol diperlukan waktu selama

waktu selama f f (( x x ))

= =

xx

+ +

22 , sedangkan pada tahap II memerlukan waktu , sedangkan pada tahap II memerlukan waktu g g ((x x ))

= =

22xx²²

− −

11^.^. Jika bahan yang harus dilakukan untuk percobaan sebanyak 10 mol, maka berapa lama satu Jika bahan yang harus dilakukan untuk percobaan sebanyak 10 mol, maka berapa lama satu

percobaan sam

percobaan sampai selesai dpai selesai dilakukan? ilakukan? Sebaliknya, jika Sebaliknya, jika dalam percobadalam percobaan waktu yangan waktu yang diperlukan adalah 127 menit berapa mol bahan yang harus disediakan?

diperlukan adalah 127 menit berapa mol bahan yang harus disediakan?

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, Anda sebaiknya ingat kembali beberapa Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, Anda sebaiknya ingat kembali beberapa konsep tentang: himpunan, logika matematika, bentuk pangkat dan akar, persamaan kuadrat, konsep tentang: himpunan, logika matematika, bentuk pangkat dan akar, persamaan kuadrat, dan

dan trigonometrigonometri.tri. Dengan Dengan telah telah menguasamenguasai konsi konsep-konsep ep-konsep ini, ini, maka maka permasalpermasalahan dahan di atai atass akan dengan mudah diselesaikan.

akan dengan mudah diselesaikan.

Gambar 6.1 Anak SMA

Gambar 6.1 Anak SMA sedang melakukan percobaan kimia sedang melakukan percobaan kimia di sebuah laboratorium di sebuah laboratorium kimia kimia Sumber:

Sumber: elcom.umy.ac.id elcom.umy.ac.id

Pengantar

(3)

6. 6. 1 1 Pr Prod oduk uk Ca Cart rt es esiu ius s da dan n Re Rela lasi si Produk Cartesius

Produk Cartesius

Pasangan bilangan (

Pasangan bilangan (x, x, y y ) dengan) dengan x x sebagai urutan pertama dansebagai urutan pertama dan y y sebagai urutansebagai urutan kedua disebut

kedua disebut pasangan terurutpasangan terurut. . Karena urutan Karena urutan diperhatikan, maka diperhatikan, maka pasangan terurutpasangan terurut (2, 5) dan (5, 2) memberikan dua makna yang berbeda. Selanjutnya, misalkan diketahui (2, 5) dan (5, 2) memberikan dua makna yang berbeda. Selanjutnya, misalkan diketahui dua himpunan tak kosong

dua himpunan tak kosong AA dandan B B . Dari dua himpunan ini kita dapat membentuk. Dari dua himpunan ini kita dapat membentuk himpunan baru

himpunan baru C C yang anggota-anggotanya adalah semua pasangan terurut (yang anggota-anggotanya adalah semua pasangan terurut (x, x, y y )) dengan

dengan x x

∈ ∈

AA sebagai urutan pertama dansebagai urutan pertama dan y y

∈ ∈

BB sebagai urutan kedua. Himpunansebagai urutan kedua. Himpunan C C yang dibentuk dengan cara ini disebut

yang dibentuk dengan cara ini disebut produk Cartesiusproduk Cartesius atauatau perkalian Cartesiusperkalian Cartesius himpunan

himpunanAAdan himpunandan himpunanB B , yang disimbolkan dengan , yang disimbolkan dengan A A

× ×

BB . Oleh karena itu, produk. Oleh karena itu, produk Cartesius dapat didefinisikan berikut ini.

Cartesius dapat didefinisikan berikut ini.

Definisi 6.1 Definisi 6.1 Jika

JikaAAdandanB B adalah dua himpunan tak kosong, maka produk adalah dua himpunan tak kosong, maka produk Cartesius himpunanCartesius himpunan A

Adandan B B adalah himpunan semua pasangan terurut (adalah himpunan semua pasangan terurut (x, y x, y ) dengan) dengan x x

∈ ∈

AA ^dan^dan y

y

∈ ∈

BB . Ditulis dengan notasi. Ditulis dengan notasi

{

⁽⁽ ^,^, ⁾⁾^|^| ^d^da^anⁿ

} }

A

× ×

B B

= =

x x y y x x

∈ ∈

A A y y

∈ ∈

BB Grafik dari produk Cartesius disebut

Grafik dari produk Cartesius disebut grafik Cartesiusgrafik Cartesius. Ide perkalian himpunan. Ide perkalian himpunan A

A

× ×

BB pertama kali diperkenalkan olehpertama kali diperkenalkan oleh Renatus CartesiusRenatus Cartesius yang nama aslinya adalahyang nama aslinya adalah Rene Descartes

Rene Descartes (1596 1650), matematikawan berkebangsaan Perancis.(1596 1650), matematikawan berkebangsaan Perancis.

Contoh 6.1.1 Contoh 6.1.1

Diberikan himpunan

Diberikan himpunanAA= {= {a, b, c a, b, c } dan} dan B B = {1,2}. Tentukan tiap produk Cartesius berikut.= {1,2}. Tentukan tiap produk Cartesius berikut.

a.

a. A A

× ×

BB ^b.^b. ^B^B

× ×

^A^A c.c. A A

× ×

AA Penyelesaian:

Penyelesaian:

a.

a. ^A^A

× ×

^B^B

= = { {

⁽⁽^x^x^,^, ^y^y⁾⁾^|^|^x^x

∈ ∈

ÂÂ^d^daânⁿ ^y^y

∈ ∈

^B^B

} }

⁼⁼^{(^{(a,^{a,1), (}^{1), (b,}^{b,1), (}^{1), (c,}^{c,1), (}^{1), (a}^a^{, 2), (}^{, 2), (b}^b^{, 2), (}^{, 2), (c}^c^{, 2)},}^{, 2)},}

b.

b. ^B^B

× ×

^A^A

= = { {

⁽⁽^x^x^,^, ^y^y⁾⁾^|^|^x^x

∈ ∈

^B^B^d^da^anⁿ ^y^y

∈ ∈

^A^A

} }

= {(1,= {(1,a a ), (2,), (2,a a ), (1,), (1,b,b,), (2,), (2,b b ), (1,), (1,c c ), (2,), (2,c c )},)}, c.

c. ^A^A

× ×

^A^A

= = { {

⁽⁽^x^x^,^, ^y^y⁾⁾^|^|^x^x

∈ ∈

^A^A

} }

⁼⁼^{(^{(a,â,ââ^),^),⁽^(a,â,^b^b^),^),⁽^(a,â,^c^c^),^),⁽^(b^b^,^,aâ^),^),⁽^(b^b^,^,^b^b^),^),⁽^(b,^b,^c^c^),^),⁽^(c,^c,ââ^),^),⁽^(c,^c,^b^b^),^),⁽^(c,^c,^c^c^)}^)}^,^,

Dalam contoh 6.1.1, himpunan

Dalam contoh 6.1.1, himpunanAAmempunyai 3 anggota dan mempunyai 3 anggota dan himpunanhimpunanB B mempunyaimempunyai 2 anggota. Dari penyelesaian pertama tampak bahwa produk Cartesius

2 anggota. Dari penyelesaian pertama tampak bahwa produk Cartesius A A

× ×

BB mempunyai

mempunyai 33

× ×

22

= =

66 anggota, yaitu (anggota, yaitu (a,a,1), (1), (b,b,1), (1), (c,c,1), (1), (a a , 2), ( , 2), (b b , 2), dan ( , 2), dan (c c , 2). Secara umum, , 2). Secara umum, jika banyak anggota himpunan

jika banyak anggota himpunan AAadalahadalah m m dan banyak anggota himpunandan banyak anggota himpunan B B adalahadalah n n , , maka banyak anggota produk Cartesius

maka banyak anggota produk Cartesius A A

× ×

BB ^adalah^adalah ^m^m

× ×

ⁿⁿ anggota.anggota.

Relasi Relasi

W W

(4)

Dari produk Cartesius

Dari produk Cartesius A A

× ×

BB ini kita dapat mengambil beberapa himpunan bagian,ini kita dapat mengambil beberapa himpunan bagian, misalnya:

misalnya:

R

R ₁₁= {(1,= {(1,a a ), (2,), (2,a a ), (1,), (1,b,b,), (1,), (1,c c ), (2,), (2,c c )},)}, R

R ₂₂= {(1,= {(1,b,b,), (2,), (2,b b ), (1,), (1,c c ), (2,), (2,c c )},)}, R

R ₃₃= {(2,= {(2,a a ), (1,), (1,c c )}.)}.

Himpunan-himpunan

Himpunan-himpunanR R ₁₁ , ,R R ₂₂ , dan , danR R ₃₃yang merupakan himpunan bagian dari produkyang merupakan himpunan bagian dari produk Cartesius

Cartesius A A

× ×

BB , kita katakan sebagai relasi atau hubungan dari himpunan , kita katakan sebagai relasi atau hubungan dari himpunan AA keke himpunan

himpunan B B . Dengan pemaparan ini suatu relasi atau hubungan dapat didefinisikan. Dengan pemaparan ini suatu relasi atau hubungan dapat didefinisikan berikut ini.

berikut ini.

Definisi 6.2 Definisi 6.2 Suatu

Suatu relasirelasi atauatau hubunganhubungan dari himpunandari himpunan AA ke himpunanke himpunan B B adalah sembarangadalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius

himpunan bagian dari produk Cartesius A × B.A × B.

Jika

Jika R R adalah suatu relasi dari himpunanadalah suatu relasi dari himpunan AA ke himpunanke himpunan B B dan pasangan terurutdan pasangan terurut (

(x, y x, y ) adalah anggota) adalah anggota R R , maka dikatakan , maka dikatakanx x berelasi berelasi dengandengan y y , ditulis , ditulis x R x R y y . Tetapi jika. Tetapi jika pasangan (

pasangan (x, x, y y ) bukan anggota) bukan anggota R R , maka dikatakan , maka dikatakanx x tidak berelasitidak berelasi dengandengan y y , ditulis , ditulis x R y

x R y. Untuk ke tiga relasi. Untuk ke tiga relasi R R ₁₁ , , R R ₂₂ , dan , dan R R ₃₃di atas.di atas.

R

R ₁₁= {(1,= {(1,a a ), (2,), (2,a a ), (1,), (1,b,b,), (1,), (1,c c ), (2,), (2,c c )},)}, 1

1 R R ₁₁a a , , 22 R R ₁₁a a , , 11R R ₁₁b b , , 11 R R ₁₁c c , dan 2 , dan 2R R ₁₁c c , tetapi 2 , tetapi 2 R R₁₁b b .. R

R ₂₂= {(1,= {(1,b,b,), (2,), (2,b b ), (1,), (1,c c ), (2,), (2,c c )},)}, 1

1 R R ₂₂b b , , 22 R R ₂₂b b , , 11R R ₂₂c c , dan 2 , dan 2 R R ₂₂c c , tetapi 1 , tetapi 1 R R₂₂a,a, dan 2dan 2 R R₂₂ a.a.

R

R ₃₃= {(2,= {(2,a a ), (1,), (1,c c )}.)}.

2

2R R ₃₃a a dan 1dan 1R R ₃₃c,c,tetapi 1tetapi 1 R R₃₃a,a,11 R R₃₃b b , , 22 R R₃₃b b , dan 2 , dan 2 R R₃₃c c .. Misalkan

MisalkanR R adalah suatu relasi dari himpunanadalah suatu relasi dari himpunan AAke himpunanke himpunanB B yang ditulis sebagaiyang ditulis sebagai

{

⁽⁽ ^,^, ⁾⁾^|^| ^d^da^anⁿ

} }

R

= =

x x y y x x

∈ ∈

A A y y

∈ ∈

BB . Himpunan semua ordinat pertama dari pasangan. Himpunan semua ordinat pertama dari pasangan terurut (

terurut (x,y x,y ) disebut) disebut daerah asaldaerah asalatauatau domaindomain , ditulis dengan , ditulis dengan D D_R_R . Himpunan. HimpunanB B disebutdisebut daerah kawan

daerah kawan atauatau kodomainkodomain , ditulis dengan , ditulis dengan K K _R_R. Himpunan semua ordinat kedua. Himpunan semua ordinat kedua dari pasangan terurut (

dari pasangan terurut (x,y x,y ) disebut) disebut daerah hasildaerah hasil atauatau rangerange , ditulis dengan , ditulis dengan R R_R_R.. Sebagai contoh, jika

Sebagai contoh, jikaAA= {= {x, y, z x, y, z } dan} danB B = {1, 2, 3}, dan= {1, 2, 3}, danR R adalah relasi dariadalah relasi dariAAkekeB B yangyang diberikan oleh

diberikan olehR R = = {({(x x ,1), ( ,1), ( y y , 1), ( , 1), (z z , 2)}, maka : , 2)}, maka : -

- ddaaeerraah ah assaallnnyya aa addaallaahh D D_R_R = {= {x, y, z x, y, z }} -

- ddaeaerrah ah kkaawwanannynya a aaddaallaahh K K _R_R= {1, 2, 3}= {1, 2, 3}

-

- ddaaeerraah hh haassiillnnyya aa addaallaahh R R_R_R= {1, 2}.= {1, 2}.

Relasi

Relasi ^R^R

= = { {

⁽⁽^x^x^,^, ^y^y⁾⁾^|^|^x^x

∈ ∈

^B^B

} }

dapat digambarkan dengan dua cara, yaitudapat digambarkan dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan

dengan menggunakan diagram panahdiagram panah atauatau grafik pada bidang Cartesiusgrafik pada bidang Cartesius.. Contoh 6.1.2

Contoh 6.1.2 Misalkan

Misalkan AA= {2, 3, 4, 6, 8} dan= {2, 3, 4, 6, 8} dan B B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.= {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

a

a.. JJiikkaa a a

∈ ∈

AA ^dan^dan ^b^b

∈ ∈

^B^B , tentukan relasi , tentukan relasiR R daridari AA kekeB B yang menyatakan relasiyang menyatakan relasi a a dua dua kali

kali b b .. b

b.. TTununjujukkkkan an rerelalasisi R R dengan diagram panah.dengan diagram panah.

c

c.. TTununjujukkkkan ran reelalassii R R dalam grafik Cartesius.dalam grafik Cartesius.

(5)

Penyelesaian:

a

a.. RReellaassiiR R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)}= {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)}

b

b.. DiDiagagraram pam pananah unh untutukk R R adalahadalah

Gambar 6.2 Diagram panah relasi Gambar 6.2 Diagram panah relasi RR

c

c.. GrGrafafik ik CaCartrtesesiuius ds dararii R R adalahadalah

Gambar 6.3 Grafik Cartesius relasi Gambar 6.3 Grafik Cartesius relasi RR

W W

1

1.. MMiissaallkkaann AA adalah himpunan dari semua siswa di kelasmu, danadalah himpunan dari semua siswa di kelasmu, dan B B = {motor,= {motor, angkot, bus, sepeda, jalan kaki}. Buatlah relasi

angkot, bus, sepeda, jalan kaki}. Buatlah relasi ke sekolah dengan ke sekolah dengan dari himpunandari himpunanAA ke himpunan

ke himpunan B B dengan diagram panah.dengan diagram panah.

2.

2. PiPililih 10 h 10 tetemaman sn sekekelelasasmumu. N. NamamakakananAAadalah himpunan yang anggotanya teman-adalah himpunan yang anggotanya teman- temanmu tadi, dan ambil himpunan

temanmu tadi, dan ambil himpunan B B = { 1, 2, 3, 4, 5 }.= { 1, 2, 3, 4, 5 }.

a.

a. DeDengngan an didiagagraram m papananah h bubuatatlalah rh relelasasiianak nomor ke anak nomor ke daridariAAkekeB B .. b.

b. TTuliulislslah reah relalasi itsi itu sebu sebagaagai pasi pasangangan tean terurrurut.ut.

Latihan 6.1 Latihan 6.1

A A 2 2 3 3 4 4 6 6 8 8

0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 B B

2

2 3 3 4 4 5 5 6 6 88 1

1 2 2 3 3 4 4 5 5

0 0 y y

x x

(6)

4.

4. HimHimpunapunan pn pasanasangan gan teruterurut rut dari dari dua dua himphimpunan unan ditditentuentukan kan dengdengan:an:

{(1 ,2), (1,4), (3,6), (5,8), (7,10)}

Tuliskan anggota kedua himpunan yang dimaksud. Buatlah suatu relasi yang Tuliskan anggota kedua himpunan yang dimaksud. Buatlah suatu relasi yang mungkin dari himpunan pertama ke himpunan kedua.

mungkin dari himpunan pertama ke himpunan kedua.

5

5.. SSuuaattu u rreellaassii R R diberikan oleh:diberikan oleh:

{(

{( ¹¹₂₂ ,8), (1,4), (2,2), (4,1), (8, ,8), (1,4), (2,2), (4,1), (8, ¹¹₂₂ )}.)}.

a.

a. TTulisuliskan kan angganggota-aota-anggotnggota da dari ari himphimpunan unan pertapertama ma dan dan angganggota-aota-anggotnggotaa himpunan kedua. Nyatakan suatu relasi yang mungkin dari himpunan himpunan kedua. Nyatakan suatu relasi yang mungkin dari himpunan pertama ke himpunan kedua.

pertama ke himpunan kedua.

b.

b. GaGambmbararkakan grn grafafik Cik Carartetesisius rus relelasasii R R itu, kemudian gambarkan kurva yangitu, kemudian gambarkan kurva yang melalui titik-titik dari relasi

melalui titik-titik dari relasi R R ..

2 2. .2 2 F Fu un ng gs si a i at ta au P u Pe em me et ta aa an n

Diagram panah pada gambar 6.4 menunjukkan relasi

Diagram panah pada gambar 6.4 menunjukkan relasiukuran sepatunya ukuran sepatunya dari himpunandari himpunan siswa-siswa (

siswa-siswa (AA) ke himpunan ukuran-ukuran sepatu) ke himpunan ukuran-ukuran sepatu ((B B ). Setiap siswa hanya). Setiap siswa hanya mempunyai tepat satu ukuran sepatu, sehingga setiap anggota

mempunyai tepat satu ukuran sepatu, sehingga setiap anggota AAdipasangkan dengandipasangkan dengan tepat satu anggota

tepat satu anggota B B ..

Gambar 6.4 Diagram panah relasi ukuran sepatunya Gambar 6.4 Diagram panah relasi ukuran sepatunya

Relasi dari

Relasi dariAAkekeB B yang mempunyai sifat seperti di atas disebutyang mempunyai sifat seperti di atas disebut fungsifungsiatauataupemetaan,pemetaan, yang definisi formalnya diberikan berikut.

yang definisi formalnya diberikan berikut.

Definisi 6.3 Definisi 6.3 Fungsi

Fungsi atauatau pemetaanpemetaan dari himpunandari himpunan AA ke himpunanke himpunan B B adalah relasi yangadalah relasi yang mengawankan setiap anggota

mengawankan setiap anggota AA dengan tepat satu anggotadengan tepat satu anggota B B .. Suatu fungsi

Suatu fungsif f yang memetakan setiapyang memetakan setiapx x anggota himpunananggota himpunanAAkeke y y anggota himpunananggota himpunan B

B , dinotasikan dengan , dinotasikan dengan

:

: (( ))

f

f x x

→ →

y f y f x

= =

x Y

Yang dibacaang dibaca: :  f f memetakanmemetakan x x keke y y ,, y y disebutdisebut petapeta(( bayangan bayangan) dari) darix x oleholeh f f atauataunilainilai fungsi

fungsif f , dan , dan x x disebutdisebut prapetaprapetadaridari y y oleholeh f f . . Sebagai Sebagai contoh, jika contoh, jika fungsifungsi f

f :: x x

→ →

x x ²²

+ +

33 xx

− −

11 maka

maka f f x ((x ))

= =

x x ²²

+ +

33xx

− −

11^{. Nilai}^{. Nilai} ^f^{f x}⁽⁽^x⁾⁾

= =

^x^x²²

+ +

³³^x^x

− −

¹¹ ^disebut^disebut rumus untuk fungsirumus untuk fungsi f f ..

A

A ukuran sepatunyaukuran sepatunya B B Kia

Kia Tia Tia Nia Nia Lia Lia Mia Mia

3 366 3 377 3 388 3 399 4 400 4 411

(7)

1 1 2 2 3 3 4 4

a a e e i i o o

a a b b c c d d



11

1 1 A

A B B S S

T T

(

(aa)) ((bb))

5 5

Grafik

Grafik fungsifungsi f f dimaksudkan adalah himpunan pasangan (dimaksudkan adalah himpunan pasangan (x, y x, y ) pada bidang, sehingga) pada bidang, sehingga (

(x, y x, y ) adalah pasangan terurut dalam) adalah pasangan terurut dalam f f ..

Dari definisi di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa pasan

Dari definisi di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa pasangan terurut pada fungsigan terurut pada fungsi mempunyai sifat bahwa setiap anggota

mempunyai sifat bahwa setiap anggota AAhanya muncul sekali menjadi elemen pertamahanya muncul sekali menjadi elemen pertama dalam pasangan-pasangan terurut tersebut. Oleh karena itu, (4,2) dan (4,9) tidak dalam pasangan-pasangan terurut tersebut. Oleh karena itu, (4,2) dan (4,9) tidak mungkin muncul bersama sebagai pasangan-pasangan terurut pada fungsi.

mungkin muncul bersama sebagai pasangan-pasangan terurut pada fungsi.

Sebagaimana pada relasi, untuk fungsi dari himpunan

Sebagaimana pada relasi, untuk fungsi dari himpunan AA ke himpunanke himpunan B B kitakita mempunyai istilah-istilah yang sama. Himpunan

mempunyai istilah-istilah yang sama. Himpunan AA disebutdisebut daerah asaldaerah asal atauatau daerahdaerah definisi

definisi((domaindomain), ditulis), ditulis D D_f_f . Himpunan. Himpunan B B disebutdisebut daerah kawan (kodomain)daerah kawan (kodomain) , ditulis , ditulis

f

K f

K . Himpunan semua peta dalam. Himpunan semua peta dalam B B disebutdisebut daerah hasil (range)daerah hasil (range) , ditulis , ditulis R R_f_f . Untuk. Untuk contoh fungsi di depan, fungsinya adalah 

contoh fungsi di depan, fungsinya adalah ukuran sepatunya ukuran sepatunya  dengan dengan -

- ddaaeerraah h aassaal l aaddaallaahh AA= {Kia, Tia, Nia, Lia, Mia},= {Kia, Tia, Nia, Lia, Mia}, -

- ddaaeerraah kh kaawwaan an addaallaahh B B = { 36, 37, 38, = { 36, 37, 38, 39, 40, 41},39, 40, 41}, -

- dadaererah ah hahasisil l adadalalah ah { { 3737, , 3838, , 3939, , 4040}.}.

Contoh 6.2.1 Contoh 6.2.1

Dari relasi yang diberikan oleh diagram panah berikut manakah yang merupakan Dari relasi yang diberikan oleh diagram panah berikut manakah yang merupakan fungsi?

fungsi?

Gambar 6.5 Gambar 6.5

Penyelesaian:

Dari dua relasi tersebut yang merupakan fungsi adalah relasi (b). Relasi (a) bukan Dari dua relasi tersebut yang merupakan fungsi adalah relasi (b). Relasi (a) bukan fungsi karena elemen 4 tidak mempunyai kawan, dan juga elemen 5 mempunyai dua fungsi karena elemen 4 tidak mempunyai kawan, dan juga elemen 5 mempunyai dua kawan.

kawan.

W W Untuk kajian selanjutnya, notasi

Untuk kajian selanjutnya, notasi ¡¡ adalah menyatakan himpunan semua bilanganadalah menyatakan himpunan semua bilangan real.

real.

Contoh 6.2.2 Contoh 6.2.2 Diberikan fungsi

Diberikan fungsi f f ::^¡^¡

→ →

^¡^¡ dengan rumusdengan rumus f f ((x x ) =) = x x ²²

− −

44xx

+ +

55^,^, ^x^x

∈ ∈

^¡^¡ .. a

a.. TTeennttuukkaann f f (0),(0),f f (4),(4),f f (6) dan(6) dan f f ((

− −

11))^.^. b

b.. TTenentutukakan biln bilanangagann a a , sehingga , sehinggaf f ((a a ) = 17.) = 17.

(8)

Penyelesaian:

Dari rumus yang diketahui

Dari rumus yang diketahui y = f y = f ((x x ) =) = x x ²²

− −

44xx

+ +

55^,^, ^x^x

∈ ∈

^¡^¡ , maka setiap bilangan real , maka setiap bilangan real x x dipetakan ke bilangan real

dipetakan ke bilangan real y y yang nilainya sama denganyang nilainya sama dengan x x ²²

− −

44xx

+ +

55^.^. a

a.. UUnnttuukkx = x = 0, maka0, maka f f ((00))

= =

00²²

− −

44((00))

+ + =

55

=

55^,^, untuk

untukx = x = 3, maka3, maka f f ((33))

= =

33²²

− −

44((33))

+ +

55

= =

22^,^, untuk

untukx = x = 5, maka5, maka f f ((55))

= =

55²²

− −

44((55))

+ +

55

= =

1100^,^, untuk

untuk x x

= − = −

11^{, maka}^{, maka} f f ((

− = − = −

11)) ((

−

11))²²

− −

44((

− + − +

11)) 55

= =

1100^.^. b

b.. UUnnttuukk x = a,x = a, makamaka f f a ((a ))

= =

a a ²²

− −

44aa

+ +

55. Karena diketahui. Karena diketahui f f ((a a ) ) = = 17, 17, maka maka diperolehdiperoleh hubungan

hubungan

2

2 44 55 1177 a

a

− −

aa

+ + = = ⇔ ⇔

a a ²²

− −

₄₄aa

− −

₁₁₂₂

= =

₀₀

⇔

⁽⁽^a^a

− −

⁶⁶⁾⁾⁽⁽^a^a

+ +

²²⁾⁾

= =

⁰⁰

⇔

^a^{a = 6 atau}^{= 6 atau} ^a^{a = 2}^{= 2}

c

c.. GGrraaffiik k ffuunnggssii y = f y = f ((x x ) =) = x x ²²

− −

44xx

+ +

55 diperlihatkan pada gambar 6.6 berikut ini.diperlihatkan pada gambar 6.6 berikut ini.

Gambar 6.6 Grafik fungsi

Gambar 6.6 Grafik fungsi y = y = ff( ( xx ) = ) = x x ²²

− −

44xx

+ +

55 d

d.. DarDari gai gambmbar 6ar 6.6, .6, untuntuk duk daeaerah rah asaasall ^D^D_f_f

= = { {

^x^x

∈ ∈

^¡^¡^|^|¹¹

≤ ≤

^x^x

< <

⁴⁴

} }

diperoleh daerah hasildiperoleh daerah hasil

{

^|^|¹¹ ¹¹⁰⁰

} }

f

R f

R

= =

yy

∈ ∈

^¡^¡

≤ ≤

yy

< <

..

W W Jika daerah asal fungsi

Jika daerah asal fungsi f f tidak atau belum diketahui, maka daerah asaltidak atau belum diketahui, maka daerah asal f f diambildiambil semua himpunan bilangan real yang mungkin sehingga daerah hasilnya adalah semua himpunan bilangan real yang mungkin sehingga daerah hasilnya adalah himpunan bilangan real. Daerah asal seperti ini sering disebut

himpunan bilangan real. Daerah asal seperti ini sering disebut daerah asal alamidaerah asal alami.. Contoh 6.2.3

Contoh 6.2.3

Tentukan daerah asal alami untuk setiap fungsi berikut.

a.

a. 11

( ( ))

3 f 3

f xx x

=

x

= − −

^b.^b.

2

( 2

( )) 1166 f

f x x

= =

xx

− −

^c.^c. ⁽⁽ ⁾⁾ ₂₂ ¹¹

5 5 66 f

f xx

x

x xx

=

= − − + +

1 100

1

1 2 2 3 3 4 4 5 5 66 8

8

6 6

4 4

2 2

D D a a e e r r a a h h h h a a s s i i l l

Daerah asal Daerah asal

(9)

Penyelesaian:

a

a.. FFuunnggssii 11 (

( ))

3 3 f

f xx x

=

x

= − −

bernilai real asalkan penyebutnya tidak sama dengan 0. Halbernilai real asalkan penyebutnya tidak sama dengan 0. Hal ini dipenuhi apabila

ini dipenuhi apabila x x

≠ ≠

33. Jadi, daerah asal alami. Jadi, daerah asal alami 11 (

( ))

3 f 3

f xx x

=

x

= − −

^adalah^adalah

{

^|^| ³³

} }

f

D f

D

= =

x x

∈ ∈

^¡^¡ xx

≠ ≠

.. b

b.. FFuunnggssii f f x (( x ))

= =

xx²²

− −

1166 bernilai real asalkan bilangan di bawah tanda akar tidakbernilai real asalkan bilangan di bawah tanda akar tidak bernilai negatif, sehingga harus dipenuhi

bernilai negatif, sehingga harus dipenuhi x x²²

− −

1616

≥ ≥

00^,^,

2

2 1616 00 x

x

− − ≥ ≥ ⇔ ⇔

⁽⁽^x^x

− −

⁴⁴⁾⁾⁽⁽^x^x

− −

⁴⁴⁾⁾

≥ ≥

⁰⁰

⇔

^x^x

≤ − ≤ −

⁴⁴ atauatau x x

≥ ≥

44 Jadi, daerah asal alami

Jadi, daerah asal alami f f x (( x ))

= =

xx²²

− −

1166 ^adalah^adalah ^D^D_f_f

= = { {

^x^x

∈ ∈

^¡^¡^|^| ^x^x

≤ ≤ − −

⁴⁴âât^taâuû ^x^x

≥ ≥

⁴⁴

} }

^.^.

c

c.. FFuunnggssii

2 2

1 ( 1

( ))

5 5 66 f

f xx

x x xx

=

= − − + +

bernilai real asalkan penyebutnya tidak sama dengan 0,bernilai real asalkan penyebutnya tidak sama dengan 0, yaitu apabila bilangan di bawah tanda akar bernilai positif, sehingga harus yaitu apabila bilangan di bawah tanda akar bernilai positif, sehingga harus

2

2 55 66 00

x

− −

xx

+ + > >

^,^,

2

2 55 66 00

x

− −

xx

+ + > > ⇔ ⇔

⁽⁽^x^x

− −

²²⁾⁾⁽⁽^x^x

− −

³³⁾⁾

> >

⁰⁰

⇔

x x

≤ ≤

22 ^atau^atau x x

≥ ≥

33 Jadi, daerah asal alami

Jadi, daerah asal alami

2 2

1 ( 1

( ))

5 5 66 f

f xx

x x xx

=

= − − + +

^adalah^adalah ^D^D_f_f

= = { {

^x^x

∈ ∈

^¡^¡^|^| ^x^x

≤ ≤

²^{2 a}ât^taâuû ^x^x

≥ ≥

³³

} }

.. W W

1

1.. DDiikkeettaahhuuiiAA = {1, 2, 3, 4} dan= {1, 2, 3, 4} dan B B = {= {a, b, c a, b, c }. Apakah relasi-relasi dari}. Apakah relasi-relasi dari AAkekeB B berikutberikut merupakan fungsi? Jika tidak mengapa?

merupakan fungsi? Jika tidak mengapa?

a.

a. R R ₁₁= {(1,= {(1,a a ), (3,), (3,b b ), (4,), (4,c c ))}} cc.. R R ₃₃= {(1,= {(1,a a ), (2,), (2,a a ), (3,), (3,a a ), (4,), (4,a a )})}

b.

b. R R ₂₂= {(1,= {(1,c c ), (2,), (2,b b ), (3,), (3,c c ), (4,), (4,c c ))}} dd.. R R ₄₄= {(1,= {(1,b b ), (2,), (2,b b ), (3,), (3,a a ), (4,), (4,c c )})}

2.

2. TTentuentukan dakan daerah aerah asal, sal, daerdaerah kaah kawanwan, dan da, dan daerah herah hasil asil untuuntuk fungk fungsi-fsi-fungsungsi padai pada soal nomor 1.

soal nomor 1.

3.

3. DaDari rri relelasasi-i-rerelalasi psi padada hia himpmpununanan AA = {1, 2, 3, 4} dinyatakan dengan diagram= {1, 2, 3, 4} dinyatakan dengan diagram panah

panah berikut, berikut, manakah manakah yang yang merupakan fungsi?merupakan fungsi?

Latihan 6.2 Latihan 6.2

A

A AA AA AA AA AA

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3

(10)

4.

4. TTentuentukan dkan daeraaerah asalh asal, dae, daerah karah kawanwan, dan d, dan daeraaerah hasih hasil untul untuk fungk fungsi-si-fungfungsi pasi padada soal nomor 3.

soal nomor 3.

5

5.. DDaarri i rreellaassi i ppaaddaa ¡¡ yang digambarkan dalam bidang Cartesius pada gambaryang digambarkan dalam bidang Cartesius pada gambar 6.8, manakah yang merupakan suatu fungsi?

6.8, manakah yang merupakan suatu fungsi?

Gambar 6.8 Gambar 6.8

6

6.. FFuunnggssii f f ::^¡^¡

→ →

^¡^¡ ditentukan olehditentukan oleh f f ((xx))

= =

22^x^x^.^. a

a.. TTeennttuukkaannf f (0),(0),f f (1),(1),f f (2),(2),f f (2).(2).

b.

b. EleElemen men manmana daa dari dari daeraerah ash asal sal sehiehinggngga pea petantanya 6ya 64?4?

7

7.. DDiikkeettaahhuui i ffuunnggssii f f ::^¡^¡

→ →

^¡^¡^{, dengan}^{, dengan} f f (( x x ))

= =

aax x ²²

+ +

bbxx

− −

33^,^, ^x^x

∈ ∈

^¡^¡ , , f f (1) = 0, dan(1) = 0, dan f

f (3 ) = 12.(3 ) = 12.

a

a.. TTeennttuukkaan nn niillaaiia a dandanb b .. b

b.. HHiittuunnggf f (0),(0),f f (2),(2),f f (5), dan(5), danf f (2).(2).

c

c.. GaGambmbararkakan n sksketetsa sa grgrafafik ik fufungngsisi y y

= =

f f ((xx)) pada bidang Cartesius.pada bidang Cartesius.

d

d.. TTenentutukakan dn daeaerarah hh hasasil il fufungngsisi f f , jika daerah asal fungsi , jika daerah asal fungsi f f diambil himpunandiambil himpunan berikut.

berikut.

(i

(i)) ^D^D_f_f

= = { {

^x^x

∈ ∈

^¡^¡ ^|^|

− − ≤

³³

≤

^x^x

≤ ≤

¹¹

} }

(ii)

(ii) ^D^D_f_f

= = { {

^x^x

∈ ∈

^¡^¡^|^|

− − ≤

¹¹

≤

^x^x

≤ ≤

⁴⁴

} }

9.

9. PerhPerhatikatikan kean kembambali coli contoh 5ntoh 5.5.2.5.2. Leb. Lebar koar kotak 3 dtak 3 dm lebm lebih peih pendek ndek dari dari panjapanjangnyngnya,a, dan tingginya 1 dm lebih pendek dari lebarnya.

dan tingginya 1 dm lebih pendek dari lebarnya.

a

a.. JJiikka la leebbaar kr kototaak ak addaalalahh x x dm, nyatakan volume kotak sebagai fungsi daridm, nyatakan volume kotak sebagai fungsi dari x x .. b.

b. TTenentutukakan dan daererah aah asasal ful fungngsi isi inini.. 10.

10. Lihat keLihat kembali mbali soal anasoal analisis nomlisis nomor 1 bor 1 bab 5. ab 5. Suatu pabSuatu pabrik pembrik pembuat kotak uat kotak kalengkaleng akan membuat suatu kotak tanpa tutup dari selembar kaleng berukuran

akan membuat suatu kotak tanpa tutup dari selembar kaleng berukuran 88

× ×

1515 inchi dengan cara memotong keempat bujur sangkar di sudutnya dan melipat inchi dengan cara memotong keempat bujur sangkar di sudutnya dan melipat bagian sisinya.

bagian sisinya.

a.

a. JikJika paa panjanjang sng sisi isi bujbujur sur sangangkar kar yanyang dig dipotpotong ong adaadalahlah x x inchi, nyatakaninchi, nyatakan volume kotak sebagai fungsi dari

volume kotak sebagai fungsi dari x x .. b.

b. TTenentutukakan dan daererah aah asasal ful fungngsi isi inini.. 11.

11. SuatSuatu tanah lapanu tanah lapang berbeng berbentuk persetuk persegi panjangi panjang dikelig dikelilinglingi pagar sepai pagar sepanjangnjang 240 m.

240 m.

a

a.. JJiikkaa x x meter manyatakan panjang tanah lapang tersebut, nyatakan luas tanahmeter manyatakan panjang tanah lapang tersebut, nyatakan luas tanah lapang tersebut (dalam meter persegi) sebagai fungsi dari

lapang tersebut (dalam meter persegi) sebagai fungsi dari x x .. b.

b. ApApakakah ah dadaererah ah asasal al fufungngsi si inini?i?

y y

x x

y y

x x

y y

x x

(

(aa)) ((bb)) ((cc))