Contoh soal dan pembahasan : Contoh soal dan pembahasan : 1.
1. Dalam sebuah program studi pendidikan matematika yang terdiri aDalam sebuah program studi pendidikan matematika yang terdiri atas 350tas 350 mahasiswa, terdapat 175 mahasiswa yang mengambil mata kuliah
mahasiswa, terdapat 175 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaanpersamaan diferensial dan 225 mahasiswa yang
diferensial dan 225 mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis kompleks,mengambil mata kuliah analisis kompleks, dan 50 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan
dan 50 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan analisis kompleks. Ada berapa mahasiswa di dalam perkuliahan itu
analisis kompleks. Ada berapa mahasiswa di dalam perkuliahan itu jika setiapjika setiap mahasiswa mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, mahasiswa mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya? atau kedua-duanya? Penyelesaian: Penyelesaian: Misalkan Misalkan
A : banyaknya mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial A : banyaknya mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial B : mahasiswa yang mengambil mata kuliah
B : mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis kompleks.analisis kompleks. Maka A B merupakan himpunan mahasiswa
Maka A B merupakan himpunan mahasiswa yang mengambil kedua matayang mengambil kedua mata kuliah tersebut. Banyaknya mahasiswa di dalam kelas
kuliah tersebut. Banyaknya mahasiswa di dalam kelas itu yang mengambil mataitu yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya adalah
kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya adalah n(A
n(A
∪∪
B) = n(A) + n(B) B) = n(A) + n(B) – – n(A ∩ B)n(A ∩ B) = 175 + 225= 175 + 225 – – 50 50 = 350
= 350
Ini berarti, terdapat 350 mahasiswa di
Ini berarti, terdapat 350 mahasiswa di dalam kelas yang mengambil mata kuliahdalam kelas yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau
persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya. Karenakedua-duanya. Karena banyaknya siswa keseluruhan di dalam kelas tersebut adal
banyaknya siswa keseluruhan di dalam kelas tersebut adalah 350 mahasiswa,ah 350 mahasiswa, artinya tidak terdapat mahasiswa yang tidak memilih salah satu d
artinya tidak terdapat mahasiswa yang tidak memilih salah satu dari keduaari kedua konsentrasi itu.
konsentrasi itu.
2.
2. Di sebuah jurusan dalam suatu Di sebuah jurusan dalam suatu perguruan tinggi terdapat 134 mahasiswa tingkatperguruan tinggi terdapat 134 mahasiswa tingkat 3. Dari sekian banyak mahasiswa
3. Dari sekian banyak mahasiswa tersebut, 87 di antaranya mengambil matatersebut, 87 di antaranya mengambil mata kuliah teori graf diskrit, 73 mengambil mata kuliah
kuliah teori graf diskrit, 73 mengambil mata kuliah matematika ekonomi, danmatematika ekonomi, dan 29 mengambil mata kuliah teori graf
29 mengambil mata kuliah teori graf dan matematika ekonomi. Berapa banyakdan matematika ekonomi. Berapa banyak mahasiswa yang tidak mengambil sebuah mata kuliah baik d
maupun dalam matematika ekonomi?
Penyelesaian:
Untuk menentukan banyaknya mahasiswa tingkat 3 yang tidak mengambil mata kuliah teori graf ataupun matematika ekonomi, kurangilah banyaknya
mahasiswa yang mengambil mata kuliah dari salah satu mata kuliah ini dari keseluruhan banyaknya mahasiswa tingkat 1.
Misalkan
A : himpunan semua mahasiwa tingkat 3 yang mengambil mata kuliah teori graf B : himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika ekonomi. Maka n(A)=87
n(B)=73 dan n(A ∩ B) = 29
Banyaknya mahasiswa tingkat 3 yang mengambil mata kuliah teori graf atau matematika ekonomi adalah
n(A
∪
B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 87 + 73 – 29= 160-29 = 131
Ini artinya terdapat sebanyak 134 – 131 = 3 mahasiswa tingkat 3 yang tidak mengambil mata kuliah teori graf ataupun matematika ekonomi.
3. Ada berapa bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 100 yang habis dibagi 6 atau 9?
Penyelesaian Misalkan
A: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 B: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 9.
Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 atau 9 adalah
22 5 11 16 18 100 9 100 6 100 | | | | | | | |
B A B A B A4. Misalkan ada 1467 mahasiswa angkatan 2004 di ITB. 97 orang di antaranya adalah mahasiswa Departemen Informatika, 68 mahasiswa Departemen Matematika, dan 12 orang mahasiswa double degree Informatika dan
Matematika. Ada berapa orang yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika?
Peyelesaian : Misalkan
A : himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika B : himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Matematika Maka |A| = 97,
|B| = 68, dan |AB| = 12.
Banyaknya mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika atau Matematika adalah
|A B| = |A| + |B| - |A B| = 97 + 68 – 12
= 153
Jadi, terdapat 1467 – 153 = 1314 mahasiswa angkatan 2004 yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika.
5.
Dalam sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa yang menyukai matematika diskrit, 13 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 8 orang diantaranya menyukaimatematika diskrit dan aljabar linier. Berapa mahasiswa terdapat dalam kelas tersebut ?
Penyelesaian Misalkan
A : himpunan mahasiswa yang menyukai matematika diskrit dan B : himpunan mahasiswa yang menyukai aljabar linier
Himpunan mahasiswa yang menyukai kedua mata kuliah tersebut dapat dinyatakan sebagai himpunan
A
B.
Banyaknya mahasiswa yang menyukai salah satu dari kedua mata kuliah tersebut atau keduanya dinyatakan dengan
A
B
.
Dengan demikian
A
B
=
A
+
B
-
A
B
= 25 + 13
–
8
= 30
Jadi terdapat 30 orang mahasiswa dalam kelas tersebut.
6. Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 7 atau 11 ?
Penyelesaian Misalkan
P : himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 Q : himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 11
Dengan demikian
P
Q
adalah himpunan bilangan bulat positif tidakmelampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11, dan
P
Q
himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan habisdibagi 11.
|| = [
1000
7
]
= 142
|| = [
1000
11
]
= 90
P
Q
=
[
1000
(7,11)
]
-
[
1000
77
]
= 12
P
Q
=
P
+
Q
-
P
Q
= 142 + 90
–
12
= 220
Jadi, terdapat 220 bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11.
7. Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 5, 7 atau 11 ?
Penyelesaian Misalkan
P : himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 5, Q : himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7, R : himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 11. Dengan demikian
P
Q
Radalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 5 atau 7 atau 11,
P
Q
Radalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 5, 7 dan 11.
P
Q adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 5 dan 7
P
Radalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 5 dan 11
Q
R adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan 11.|| = [
1000
5
]
= 200
|| = [
1000
7
]
= 142
|| = [
1000
11
]
= 90
P
Q
[
1000
(5,7)
]
[
1000
35
]
P
R
[
1000
(5,11)
]
[
1000
35
]
Q
R
[
1000
(7,11)
]
[
1000
77
]
P
Q
R
[
1000
(5,7,11)
]
[
1000
385
]
P
Q
R
= 200 + 142 + 90
–
28
–
18
–
12 + 2
= 376.
Jadi, terdapat 376 bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 5, 7 atau habis dibagi 11.
8. Sebanyak 115 mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, 71 Kalkulus Peubah Banyak, dan 56 Geometri. Di antaranya, 25 mahasiswa mengambil Matematika Diskrit dan Kalkulus Peubah Banyak, 14
Matematika Diskrit dan Geometri, serta 9 orang mengambil Kalkulus
Peubah Banyak dan Geometri. Jika terdapat 196 mahasiswa yang mengambil paling sedikit satu dari ketiga mata kuliah tersebut, berapa orang yang
mengambil ketiga mata kuliah sekaligus?
Penyelesaian Misalkan
MD : himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, KPB: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak
G: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Geometri. Maka
|MD| = 115, |KPB| = 71, |G| = 56,
|MD
KPB| = 25, |MD
G| = 14, |KPB
G| = 9, dan |MD
KPB
G| = 196Dengan mempergunakan prinsip inklusi-eksklusi:
- |KPB
G| + |MD
KPB
G|196 = 115 + 71 + 56 - 25 - 14 - 9 + |MD
KPB
G| 196 – 194 = |MD
KPB
G|MD
