Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab-

(1)

Komputasi untuk Sains dan Teknik

-Menggunakan

Matlab-Supriyanto Suparno

( Website: http://supriyanto.fisika.ui.ac.id )

( Email: supriyanto@sci.ui.ac.id atau supri92@gmail.com )

Edisi Pertama

Revisi terakhir tgl: 24 Oktober 2014

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univeristas Indonesia

(2)

(3)

(4)

Usia bukan ukuran kedewasaan

(5)

Kata Pengantar

Segala puji saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kesempatan yang telah Dia dibe-rikan untuk menulis Buku Komputasi untuk Sains dan Teknik. Buku ini disusun dengan tujuan yaitu, pertama, untuk memperkenalkan sejumlah metode komputasi numerik kepada maha-siswa sarjana ilmu ﬁsika; kedua, memperkenalkan tahap-tahap pembuatan program komputer (script) dan logika pemrograman dalam bahasa Matlab untuk memecahkan problem ﬁsika seca-ra numerik. Rujukan utama buku adalah pada buku teks standar yang sangat populer di dunia komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires dengan judul

Numerical Analysis edisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson Learning Aca-demic Resource Center. Namun demikian, buku ini telah dilengkapi dengan sejumlah contoh script yang mudah dipahami oleh programmer pemula.

Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, semoga ia dapat memberikan sumbangan yang berarti untuk peningkatan kapasitas dan kompetensi anak bangsa generasi penerus. Bagi yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan dikirimkan ke email:

supriyanto@sci.ui.ac.id

Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede Dju-hana yang telah berkenan memberikan format LA_{TEX-nya sehingga tampilan tulisan pada buku}

ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Tak lupa, saya pun berterima kasih kepada seluruh mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika dan Anaisis Nu-merik di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia atas diskusi yang berlangsung selama kuliah. Kepada seluruh mahasiswa dari berbagai universitas di Timur dan di Barat Indonesia juga saya ungkapkan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaan yang turut memperkaya isi buku ini. Tak lupa saya ingin sampaikan rasa terima kasih kepada Dikti, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, RI atas segala dukungan dan apresiasi terhadap penerbitan buku ini.

Depok, 24 Oktober 2014 Supriyanto Suparno

(6)

(7)

Daftar Isi

Lembar Persembahan i

Kata Pengantar iii

Daftar Isi iii

Daftar Gambar ix

Daftar Tabel xiii

1 Pendahuluan 1

1.1 Inisialisasi variabel . . . 1

1.2 Perhitungan yang berulang . . . 2

1.3 Mengenal cara membuat graﬁk . . . 3

1.3.1 Gerak mobil . . . 3

1.3.2 Osilasi teredam . . . 5

1.4 Baris-baris pembuka . . . 6

1.5 Membuat 2 graﬁk dalam satu gambar . . . 6

1.6 Latihan . . . 11

2 Matriks dan Komputasi 15 2.1 Mengenal matriks . . . 15

2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom . . . 16

2.3 Inisialisasi matriks dalam memori komputer . . . 16

2.4 Macam-macam matriks . . . 17

2.4.1 matriks transpose . . . 17

2.4.2 matriks bujursangkar . . . 18

2.4.3 Matrik simetrik . . . 18

2.4.4 matriks diagonal . . . 18

2.4.5 matriks identitas . . . 18

2.4.6 matriks upper-triangular . . . 19

2.4.7 matriks lower-triangular . . . 19

2.4.8 matriks tridiagonal . . . 19

2.4.9 matriks diagonal dominan . . . 19

2.4.10 matrikspositive-definite . . . 20

2.5 Operasi matematika . . . 20

2.5.1 Penjumlahan matriks . . . 20

2.5.2 Komputasi penjumlahan matriks . . . 21

(8)

vi

2.5.3 Perkalian matriks . . . 24

2.5.4 Komputasi perkalian matriks . . . 27

2.5.5 Perkalian matriks dan vektor-kolom . . . 35

2.5.6 Komputasi perkalian matriks dan vektor-kolom . . . 36

2.6 Penutup . . . 39

2.7 Latihan . . . 40

3 Fungsi 41 3.1 Fungsi internal . . . 41

3.2 Fungsi eksternal . . . 42

3.3 Fungsi eksternal pada operasi matrik . . . 44

3.4 Fungsi eksternal penjumlahan matrik . . . 46

3.5 Fungsi eksternal perkalian matrik . . . 47

3.6 Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom . . . 49

3.7 Penutup . . . 51

3.8 Latihan . . . 52

4 Aplikasi dalam Sains 55 4.1 Metode gravitasi . . . 55

5 Mencari Solusi Satu Variabel 65 5.1 Deﬁnisi akar . . . 65

5.2 Metodebisection . . . 65

5.2.1 Script Matlab metodebisection . . . 69

5.3 Metode Newton . . . 72

5.3.1 Contoh 1: penerapan metode Newton . . . 72

5.3.2 Script metode Newton untuk contoh 1 . . . 75

5.3.3 Contoh 2: penerapan metode Newton . . . 76

5.4 Soal-soal Latihan . . . 78

6 Integral Numerik 79 6.1 Metode Trapezoida . . . 79

6.2 Metode Simpson . . . 80

6.3 Peran faktor pembagi, n . . . 82

6.3.1 Source code metode integrasi . . . 82

6.4 Metode Composite-Simpson . . . 83

6.5 Adaptive Quardrature . . . 85

6.6 Gaussian Quadrature . . . 85

6.6.1 Contoh . . . 86

(9)

vii

7 Diferensial Numerik 89

7.1 Metode Euler . . . 89

7.2 Metode Runge Kutta . . . 95

7.2.1 Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor . . . 98

7.3 Latihan I . . . 103

7.4 MetodeFinite Difference . . . 106

7.4.1 Aplikasi . . . 112

7.5 Latihan II . . . 113

7.6 Persamaan Diferensial Parsial . . . 114

7.7 PDP eliptik . . . 114

7.7.1 Contoh pertama . . . 116

7.7.2 ScriptMatlab untuk PDP Elliptik . . . 119

7.7.3 Contoh kedua . . . 122

7.8 PDP parabolik . . . 122

7.8.1 MetodeForward-difference . . . 123

7.8.2 Contoh ketiga: One dimensional heat equation . . . 124

7.8.3 MetodeBackward-difference . . . 129

7.8.4 Metode Crank-Nicolson . . . 132

7.9 PDP Hiperbolik . . . 135

7.9.1 Contoh . . . 138

7.10 Latihan . . . 138

8 Metode Iterasi 141 8.1 Kelebihan Vektor-kolom . . . 141

8.2 Pengertian Norm . . . 142

8.2.1 Scriptperhitungan norm dua . . . 142

8.2.2 Scriptperhitungan norm tak hingga . . . 143

8.2.3 Perhitungan norm-selisih . . . 143

8.3 Iterasi Jacobi . . . 144

8.3.1 Scriptmetode iterasi Jacobi . . . 146

8.3.2 Stopping criteria . . . 155

8.3.3 Fungsi eksternal iterasi Jacobi . . . 157

8.4 Iterasi Gauss-Seidel . . . 158

8.4.1 Scriptiterasi Gauss-Seidel . . . 159

8.4.2 Algoritma . . . 166

8.4.3 Scriptiterasi Gauss-Seidel dalam Fortran . . . 166

8.5 Iterasi dengan Relaksasi . . . 168

8.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi . . . 169

9 Metode Eliminasi Gauss 171 9.1 Sistem persamaan linear . . . 171

(10)

viii

9.2.1 Cara menghilangkan sebuah variabel . . . 173

9.2.2 Permainan indeks . . . 173

9.3 Triangularisasi dan Substitusi Mundur . . . 174

9.3.1 Contoh pertama . . . 174

9.3.2 Contoh kedua . . . 176

9.4 Matrik dan Eliminasi Gauss . . . 177

9.4.1 Matrik Augmentasi . . . 177

9.4.2 Penerapan pada contoh pertama . . . 178

9.4.3 Source-codedasar . . . 181

9.4.4 Optimasisource code . . . 183

9.4.5 Pentingnya nilain . . . 190

9.4.6 Jangan puas dulu.. . . 191

9.4.7 Pivoting . . . 191

9.5 Function Eliminasi Gauss . . . 192

9.6 Contoh aplikasi . . . 194

9.6.1 Menghitung arus listrik . . . 194

9.6.2 Mencari invers matrik . . . 196

9.7 Penutup . . . 203

10 Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi 205 10.1 Inversi Model Garis . . . 205

10.1.1 Script matlab inversi model garis . . . 208

10.2 Inversi Model Parabola . . . 209

10.2.1 Script matlab inversi model parabola . . . 213

10.3 Inversi Model Bidang . . . 214

10.4 Contoh aplikasi . . . 216

10.4.1 Menghitung gravitasi di planet X . . . 216

11 MetodeLU Decomposition 223 11.1 Faktorisasi matrik . . . 223

11.2 Algoritma . . . 227

12 Interpolasi 233 12.1 Interpolasi Lagrange . . . 233

12.2 Interpolasi Cubic Spline . . . 237

13 Solusi Sistem Persamaan Non Linear 247 13.1 Fungsi ber-input vektor . . . 247

13.2 Fungsi ber-output vektor . . . 248

13.3 Fungsi ber-output matrik . . . 249

13.4 Metode Newton untuk sistem persamaan . . . 249

13.5 Aplikasi: Mencari sumber sinyal . . . 251

(11)

ix

14 Metode Monte Carlo 257

14.1 Penyederhanaan . . . 257

15 Inversi 261

15.1 Inversi Linear . . . 261 15.2 Inversi Non-Linear . . . 264

16 Lampiran 267

16.1 Script Iterasi Jacobi, jcb.m . . . 267 16.2 Script Iterasi Gauss-Seidel, itgs.m . . . 268

(12)

(13)

Daftar Gambar

1.1 Data perubahan kecepatan terhadap waktu . . . 4

1.2 Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar . . . 4

1.3 Kurva simpangan benda yang mengalami gerak osilasi teredam . . . 5

1.4 Graﬁk gelombang berfrekuensi 5 Hz dalam rentang waktu dari 0 hingga 1 detik . 7 1.5 Graﬁk yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul . . . 8

1.6 Graﬁk yang dilengkapi dengan font judul 14pt . . . 8

1.7 Dua buah graﬁk dalam sebuah gambar . . . 9

1.8 Tiga buah graﬁk dalam sebuah gambar . . . 10

1.9 Lintasan elektron ketika memasuki medan magnet . . . 11

1.10 Kapasitor dan induktor masing-masing terhubung seri dengan sumber tegangan bolak-balik . . . 12

3.1 Kurva lintasan gerak parabola yang dihasilkan oleh fungsi eksternalparabol() . . 43

4.1 Vektor percepatan gravitasi dalam arah vertikal akibat benda anomali dan akibat bumi . . . 56

4.2 Benda anomali berupa bola berada dibawah permukaan bumi . . . 57

4.3 Variasi nilai percepatan gravitasi terhadap perubahan jarak horizontal . . . 63

5.1 Fungsi dengan dua akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu padax=₋2danx = 2. . . 66

5.2 Fungsi dengan satu akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, ya-itu padax=₋1,2599 . . . 67

5.3 Fungsi kuadrat yang memiliki 2 akar . . . 68

5.4 Awal perhitungan: batas kiri adalaha= 0, batas kanan adalahb= 1; sementara padalah posisi tengah antaraadanb . . . 68

5.5 Iterasi kedua: batas kiri adalah a= 0,5, batas kanan adalah b= 1; sementarap adalah posisi tengah antaraadanb . . . 69

5.6 Iterasi ketiga: batas kiri adalaha= 0,5, batas kanan adalahb= 0,75; sementara padalah posisi tengah antaraadanb . . . 70

5.7 Perubahanf(p)danpterhadap bertambahnya iterasi . . . 71

5.8 Nilai akar ditandai oleh lingkaran kecil pada kurva yang memotong sumbu-x . . . 72

(14)

xii DAFTAR GAMBAR

6.1 Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsif(x)dengan batas bawah integral adalahadan batas atasb. Gambar sebelah kanan menunjukan cara meto-de Trapesoida menghitung integral meto-dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurvaf(x)dalam batas-batasa danb. Jika anda perhatikan dengan teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas garis miring yang berada diluar bidang trapesium. Metode Trapesoida tidak menghitung luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida.. . . 80 6.2 Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f(x) dengan batas

bawah integral adalahadan batas atasb. Gambar sebelah kanan menunjukan cara me-tode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurvaf(x) dibagi 2 dalam batas intervala−x₁danx₁−bdengan lebar masing-masing adalahh. . 81 6.3 Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f(x) dengan batas bawah integral adalaha

dan batas atasb. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masing-masing adalahh. . . 84

7.1 Kiri: Kurvay(t)dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebesar h. Pasangant1adalahy(t1), pasangant2adalahy(t2), begitu seterusnya. Kanan: Garis singgung yang menyinggung kurvay(t)pada t=a, kemudian berdasarkan garis singgung tersebut, ditentukan pasangant₁ sebagaiw₁. Perhatikan gambar itu sekali lagi! w₁dan y(t1)beda tipis alias tidak sama persis. . . 90

7.2 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (7.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu nilaiwi. . . 94 7.3 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva

menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (7.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta orde 4, yaitu nilaiwi. . . 98 7.4 Rangkaian RC . . . 99 7.5 Kurva pengisian muatanq(charging) terhadap waktut . . . 104 7.6 Kurva suatu fungsif(x)yang dibagi sama besar berjarakh. Evaluasi kurva yang

dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah x0 = a hingga batas atas x6 =b . . . 106 7.7 . . . 111 7.8 Skemagrid linesdanmesh pointspada aplikasi metodeFinite-Difference . . . 115 7.9 Susunan grid linesdan mesh pointsuntuk mensimulasikan distribusi temperatur

pada lempeng logam sesuai contoh satu . . . 117 7.10 Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur.

Ja-rak antar titik ditentukan sebesarh= 0,1. . . 124 7.11 Intervalmesh-pointsdengan jarakh= 0,1dalam interval waktuk= 0,0005 . . . 124 7.12 Posisimesh-points. Arahxmenunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan

(15)

DAFTAR GAMBAR xiii

10.1 Sebaran data observasi antara suhu dan kedalaman . . . 206

10.2 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . 209

10.3 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . 214

10.4 Graﬁk data pengukuran gerak batu . . . 218

10.5 Graﬁk hasil inversi parabola . . . 220

12.1 Kurva hasil interpolasi Lagrange . . . 236

12.2 Sejumlah titik terdistribusi pada koordinat kartesian. Masing-masing titik memi-liki pasangan koordinat(x, y) . . . 237

12.3 Kurva interpolasi cubic spline yang menghubungkan semua titik . . . 238

12.4 Sejumlah polinomial cubic yaituS0, S1, S2...dan seterusnya yang saling sambung-menyambung sehingga mampu menghubungkan seluruh titik . . . 238

12.5 Proﬁl suatu object . . . 244

12.6 Sampling titik data . . . 244

12.7 Hasil interpolasi cubic spline . . . 245

12.8 Hasil interpolasi lagrange . . . 245

13.1 Koordinat sumber sinyal berada padax=₋4dany=₋8 . . . 251

14.1 Lingkaran dan bujursangkar . . . 257

14.2 Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar . . . 258

(16)

(17)

Daftar Tabel

5.1 Perubahan nilaif(p)danphingga iterasi ke-20 . . . 67

6.1 Polinomial Legendre untukn=2,3,4 dan 5 . . . 86

7.1 Solusi yang ditawarkan oleh metode eulerwi dan solusi exacty(ti) serta selisih antara keduanya . . . 93

7.2 Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 (wi) dan solusi exact y(ti)serta selisih antara keduanya . . . 98

7.3 Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (7.16) . . . 103

7.4 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerikforward-difference. Ko-lom ke-4 dan ke-6 adalah selisih antara solusi analitik dan numerik . . . 128

7.5 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backward-differencedimanak= 0,01 . . . 132

7.6 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu (t) dalam 1-dimensi dengan metodebackward-differencedan Crank-Nicolson . . . 136

8.1 Hasil akhir elemen-elemen vektorxhingga iterasi ke-10 . . . 154

8.2 Hasil perhitungan norm2-selisih hingga iterasi ke-10 . . . 155

8.3 Hasil Iterasi Gauss-Seidel . . . 159

8.4 Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel . . . 169

8.5 Hasil perhitungan iterasi Relaksasi denganω = 1,25 . . . 169

10.1 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . 205

10.2 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . 210

10.3 Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . 217

13.1 Koordinat Sumber Sinyal dan Waktu Tempuh Sinyal . . . 251

13.2 Data Gempa . . . 256

(18)

(19)

Bab 1

Pendahuluan

✍Objektif :

⊲ Mengenal cara inisialisasi variabel.

⊲ Mengenal operasi matematika.

⊲ Mengenal fungsi-fungsi dasar.

⊲ Mengenal cara membuat grafik.

1.1 Inisialisasi variabel

Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel da-lam proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak menggunakan variabel dada-lam proses per-hitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variabel dalam proses perhitungan.

Misalnya kita ingin mengalikan 2 dengan 3. Dengan kalkulator, langkah pertama yang akan kita lakukan adalah menekan tombol angka 2, kemudian diikuti menekan tombol _×, lalu me-nekan tombol angka 3, dan diakhiri dengan meme-nekan tombol=; maka keluarlah hasilnya yaitu angka 6. Kalau di komputer, proses perhitungan seperti ini dapat dilakukan dengan memanfa-atkan variabel. Pertama-tama kita munculkan sebuah variabel yang diinisialisasi1dengan angka 2, misalnyaA = 2. Kemudian kita munculkan variabel lain yang diinisialisasi dengan angka 3, misalnyaB = 3. Setelah itu kita ketikkanA_∗B; maka pada layar monitor akan tampil angka 6. Bahkan kalau mau, hasil perhitungannya dapat disimpan dalam variabel yang lain lagi, misalnya kita ketikkanC =A_∗B; maka hasil perhitungan, yaitu angka 6 akan disimpan dalam variabel C. Skrip2_{Matlab untuk melakukan proses perhitungan seperti itu adalah sebagai berikut}

A = 2;

B = 3;

C = A * B

1_{inisialisasi adalah proses memberi nilai awal pada suatu variabel}

2_{Skrip atau dalam bahasa Inggris ditulis} _Script _{adalah daftar baris-baris perintah yang akan dikerjakan}

(di-eksekusi) oleh komputer

(20)

2 BAB 1. PENDAHULUAN

Nama suatu variabel tidak harus hanya satu huruf, melainkan dapat berupa sebuah kata. Misalnya kita ingin menyatakan hukum Newton kedua, yaituF =ma, denganmadalah massa, aadalah percepatan danF adalah gaya. Maka,scriptMatlab dapat ditulis seperti berikut ini

massa = 2;

percepatan = 3;

gaya = massa * percepatan

Atau bisa jadi kita memerlukan variabel yang terdiri atas dua patah kata. Dalam hal ini, kedua kata tadi mesti dihubungkan dengan tandaunderscore. Perhatikan contoh berikut

besar_arus = 2;

beda_potensial = 3;

nilai_hambatan = beda_potensial / besar_arus

Semua contoh di atas memperlihatkan perbedaan yang begitu jelas antara penggunaan kom-puter dan kalkulator dalam menyelesaikan suatu perhitungan.

1.2 Perhitungan yang berulang

Di dalam Matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika variabel thendak diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya sangat mudah, cukup dengan mengetikkan

t = 0:10;

Angka 0 pada script di atas merupakan nilai awal; sedangkan angka 10 adalah nilai akhir. Contoh lainnya, jika Anda hanya menginginkan bilangan genap, cukup ketikkan

t = 0:2:10;

angka 2 bertindak sebagai nilai interval dari 0 sampai 10. Sehingga angka-angka yang muncul adalah 0, 2, 4, 6, 8 dan 10. Urutan angka dapat dibalik dengan mengetikkan

t = 10:-2:0;

sehingga angka yang muncul adalah 10, 8, 6, 4, 2 dan 0. Adakalanya proses perhitungan meminta kita untuk memulainya dari angka kurang dari nol, misalnya

t = -10:3:4;

maka angka-angka yang tersimpan pada variabel t adalah -10, -7, -4, -1 dan 2.

Dengan adanya kemampuan dan sekaligus kemudahan inisialisasi urutan angka seperti ini, maka kita dimudahkan dalam melakukan perhitungan yang berulang. Sebagai contoh, kita ingin mensimulasikan perubahan kecepatan mobil balap yang punya kemampuan akselerasi 2 m/s2. Rumus gerak lurus berubah beraturan sangat memadai untuk maksud tersebut

(21)

1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK 3

Jika kita hendak mengamati perubahan kecepatan mobil balap dari detik pertama di saat se-dang diam hingga detik ke-5, kita dapat menghitung perubahan tersebut setiap satu detik, yaitu

pada t= 1 _⇒ v1 = (0) + (2)(1) _⇒2m/s pada t= 2 _⇒ v2 = (0) + (2)(2) ⇒4m/s pada t= 3 _⇒ v3 = (0) + (2)(3) ⇒6m/s pada t= 4 _⇒ v4 = (0) + (2)(4) ⇒8m/s pada t= 5 _⇒ v5 = (0) + (2)(5) ⇒10m/s skrip Matlab untuk tujuan di atas adalah

a = 2;

t = 1:5;

vo = 0;

v = vo + a * t

Jarak tempuh mobil juga dapat ditentukan oleh persamaan berikut

s=vot+

1 2at

2 _(1.2)

Untuk menentukan perubahan jarak tempuh tersebut, skrip sebelumnya mesti ditambah satu baris lagi

1 a = 2;

2 t = 1:5;

3 vo = 0;

4 s = vo * t + 1/2 * a * t.^2

Ada hal penting yang perlu diperhatikan pada baris ke-4 di atas, yaitu penempatan tanda titik padat.∧₂_{. Maksud dari tanda titik adalah setiap angka yang tersimpan pada variabel}_t_harus

di-kuadratkan. Jika Anda lupa menempatkan tanda titik, sehingga tertulist∧2, maka skrip tersebut tidak akan bekerja.

1.3 Mengenal cara membuat grafik

1.3.1 Gerak mobil

Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam bentuk graﬁk. Pada contoh mobil balap di atas, kita bisa menggambar data perubahan kece-patan mobil terhadap waktu dengan menambahkan perintahplotseperti ditunjukkan oleh skrip dibawah ini

1 a = 2;

2 t = 1:5;

3 vo = 0;

4 v = vo + a * t

(22)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gambar 1.1: Data perubahan kecepatan terhadap waktu

Jika skrip tersebut di-run, akan muncul Gambar 1.1. Untuk melengkapi keterangan gambar, beberapa baris perlu ditambahkan

1 a = 2;

2 t = 1:5;

3 vo = 0;

4 v = vo + a * t;

5 plot(t,v,’o’);

6 xlabel(’Waktu (s)’);

7 ylabel(’Kecepatan (m/s)’)

8 title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Waktu (s)

Kecepatan (m/s)

Data Kecepatan vs Waktu

(23)

1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK 5

1.3.2 Osilasi teredam

Gerak dari suatu benda yang mengalami osilasi teredam (damped oscillations) memenuhi persa-maan berikut:

y=Ae−(b/2m)tcos(ωt+θ) (1.3)

dengan A = amplitudo, b = faktor redaman (damping factor), m = massa benda,ω= frekuensi angular dan t = waktu. Adapun frekuensi angular (ω) dirumuskan oleh

ω=

s

k

m +

b

2m

2

(1.4)

dengan k = kontanta pegas.

Diketahui suatu benda bermassa 10,6 kg, digantung pada ujung pegas yang memiliki kon-stanta pegas sebesar 2,05_×104N/m serta faktor redaman sebesar 63,50 N.s/m. Jika efek gravi-tasi diabaikan dan benda diberi simpangan awal sebesar 0,1 m, maka gerak osilasi benda akan nampak seperti Gambar 1.3.

0 0.5 1 1.5 2

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Waktu (detik)

Simpangan (meter)

Gambar 1.3: Kurva simpangan benda yang mengalami gerak osilasi teredam

Skrip Matlab untuk menghasilkan Gambar 1.3 adalah

1 m = 10.6;

2 k = 2.05e4;

3 b = 63.50;

4 A = 0.1;

5 theta = 0;

6 t = 0:0.001:2;

7

8 w = sqrt((k/m)+(b/(2*m))^2);

9 y = A*exp((-b/(2*m))*t).*cos(w*t+theta);

10

(24)

12 xlabel(’Waktu (detik)’);

13 ylabel(’Simpangan (meter)’);

1.4 Baris-baris pembuka

Ketika Anda membuat skrip di komputer, Anda mesti menyadari bahwa skrip yang sedang Anda buat akan memodiﬁkasi isi memory komputer. Oleh karena itu disarankan agar sebelum kom-puter menjalankan skrip, maka pastikan bahwa memory komkom-puter dalam keadaan bersih. Cara membersihkan memory komputer, di dalam Matlab, adalah dengan menuliskan perintahclear. Alasan yang sama diperlukan untuk membersihkan gambar dari layar monitor. Untuk maksud ini, cukup dengan menuliskan perintahclose. Sedangkan untuk membersihkan teks atau tulis-an di layar monitor, tambahktulis-an perintah clc. Ketiga perintah tersebut disarankan ditulis pada baris-baris pembuka suatu skrip Matlab, seperti contoh berikut

1 clear

2 close

3 clc

4

5 a = 2;

6 t = 1:5;

7 vo = 0;

8 v = vo + a * t;

9 plot(t,v,’o’);

10 xlabel(’Waktu (dt)’);

11 ylabel(’Kecepatan (m/dt)’)

12 title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar

Misalnya, sebuah gelombang dinyatakan oleh persamaan

y=Asin(2πf t+θ) (1.5)

dengan A = amplitudo; f = frekuensi; t = waktu; θ = sudut fase gelombang. Jika suatu gelombang beramplitudo 1 memiliki frekuensi tunggal 5 Hz dan sudut fase-nya nol, maka skrip untuk membuat graﬁk gelombang tersebut adalah

1 clc

2 clear

3 close

4

5 A = 1; % amplitudo

6 f = 5; % frekuensi

7 theta = 0; % sudut fase gelombang

8 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

9 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10

(25)

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Gambar 1.4: Graﬁk gelombang berfrekuensi 5 Hz dalam rentang waktu dari 0 hingga 1 detik

Grafik di atas muncul karena ada perintah plot(t,y)yang diletakkan di baris paling akhir pada skrip. Kata atau kalimat yang ditulis setelah tanda % tidak akan dikerjakan oleh komputer. Modifikasi skrip perlu dilakukan untuk memberi keterangan pada sumbu-x dan sumbu-y serta menambahkan judul grafik

1 clc

2 clear

3 close

4

5 A = 1; % amplitudo

6 f = 5; % frekuensi

7 theta = 0; % sudut fase gelombang

9 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10

11 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang

12 xlabel(’Waktu, t (detik)’); % melabel sumbu-x

13 ylabel(’Amplitudo’); % melabel sumbu-y

14 title(’Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Untuk memperbesar font judul graﬁk, tambahkan katafontsize{14}padatitle(), contohnya

title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Untuk menggambar dua buah graﬁk, contoh skrip berikut ini bisa digunakan

1 clc

2 clear

3 close

4

6

(26)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Waktu, t (detik)

Amplitudo

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

Gambar 1.5: Graﬁk yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Waktu, t (detik)

Amplitudo

(27)

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 9

8 f1 = 5; % frekuensi gelombang 1

9 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1

10 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 1

11

12 A2 = 1; % amplitudo gelombang 2

14 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2

16

17 figure

18

19 subplot(2,1,1)

20 plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1

21 xlabel(’Waktu, t (detik)’);

22 ylabel(’Amplitudo’);

23 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

24

25 subplot(2,1,2)

29 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1

−0.5 0 0.5 1

Waktu, t (detik)

Amplitudo

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1

−0.5 0 0.5 1

Waktu, t (detik)

Amplitudo

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4

Gambar 1.7: Dua buah graﬁk dalam sebuah gambar

Sekarang, jika ingin melihat tampilan superposisi kedua gelombang di atas, maka skrip berikut ini bisa digunakan

1 clc

2 clear

3 close

4

6

(28)

11

14 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2

16

17 y3 = y1 + y2; % superposisi gelombang

18

19 figure

20

21 subplot(3,1,1)

25 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

26

27 subplot(3,1,2)

31 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

32

33 subplot(3,1,3)

34 plot(t,y3) % menggambar grafik superposisi gelombang

37 title(’\fontsize{14} Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz’);

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1 0 1

Waktu, t (detik)

Amplitudo

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1 0 1

Waktu, t (detik)

Amplitudo

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2 0 2

Waktu, t (detik)

Amplitudo

Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz

(29)

1.6. LATIHAN 11

1.6 Latihan

1. Jarak tempuh mobil balap yang bergerak dengan percepatan 2 m/s2 dari posisi diam di-tentukan oleh rumus berikut

s=vot+

1 2at

2

Buatlah skrip untuk menggambarkan graﬁk jarak tempuh terhadap waktu dimulai dari t = 0 hingga t = 20 dt.

2. Sebuah elektron memasuki daerah yang dipengaruhi oleh medan listrik seperti Gambar 1.9

Gambar 1.9: Lintasan elektron ketika memasuki medan magnet

diketahui besar muatan elektron = 1,6_×10−19_{C, massa elektron = 9,11}_×₁₀−31_kg, kece-patanv= 3_×106m/s, kuat medan listrikE = 200 N/C , dan panjang platℓ= 0,1 meter. Posisi koordinat elektron memenuhi persamaan

x=vt y=₋1

2

eE mt

2 _{dengan percepatan} _a₌ eE

m

Buatlah skrip untuk menentukan variasi posisi elektron (x, y) terhadap waktu (t), mulai darit= 0 detik hinggat= 3,33_×10−8detik dengan interval waktu 3,33_×10−10detik.

3. Berkali-kali bola ditendang dari depan gawang ke tengah lapangan oleh penjaga gawang yang sedang berlatih. Misalnya bola ditendang sedemikian rupa sehingga bola selalu ber-gerak dengan kecepatan awal 5 m/dt. Diketahui konstanta gravitasi adalah 9,8 m/s2_.

(a) Plot variasi ketinggian maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30◦ hing-ga 60◦_{dengan interval 5}◦_{. Persamaan untuk menghitung ketinggian maksimum}

ada-lah

hmaks= v2

osin2α

2g

(b) Plot variasi jangkauan maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30◦

(30)

ada-12 BAB 1. PENDAHULUAN

lah

xmaks=

v2_osin 2α g

4. Tuliskan sebuah skrip untuk menggambar superposisi gelombang yang terbentuk dari 9 gelombang berfrekuensi 9 Hz, 18 Hz, 27 Hz, 35 Hz, 47 Hz, 57 Hz, 65 Hz, 74 Hz dan 82 Hz.

5. Sebuah kapasitor 8µF dan sebuah induktor sebesar 25 mH, masing-masing dihubungkan ke sumber tegangan bolak-balik 150 Volt dengan frekuensi 60 Hz seperti terlihat pada Gambar 1.10

Gambar 1.10: Kapasitor dan induktor masing-masing terhubung seri dengan sumber tegangan bolak-balik

(a) Tentukan nilai reaktansi kapasitif pada rangkaian (a); dan reaktansi induktif pada rangkaian (b).

(b) Tuliskan skrip Matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangka-ian (a); kemudrangka-ian plot gambar kurva-nya.

(c) Tuliskan skrip Matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangka-ian (b); kemudrangka-ian plot gambar kurva-nya.

6. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = 20µC terletak pada x = 1. Buatlah skrip Matlab untuk tujuan:

(a) plot kurva medan listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1

(b) menghitung medan listrik pada x = 0 (cek: dititik ini, medannya TIDAK NOL; dima-nakah posisi yang medannya NOL ?)

(c) mencari titik x yang medan-nya nol pada -1<x<1 (d) mencari titik-titik x yang medannya bernilai 20000

7. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = 4µC terletak pada x = 1. Buatlah skrip Matlab untuk tujuan:

(31)

1.6. LATIHAN 13

(b) menghitung potensial listrik pada x = 0

(c) menghitung potensial listrik pada x = 2 (cek: besar potensial harus sama dengan point pertanyaan (a))

(d) menghitung medan listrik pada -1<x<1 dengan interval 0.1

(e) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik terkecil ada di x = 0; dan nilai potensial listrik meningkat ketika mendekati x = -1 atau x = 1)

(f) menghitung potensial listrik pada -10<x<-1 dengan interval 0.1

(g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik harus meningkat ketika mendekati x = -1)

(h) menghitung potensial listrik pada 1<x<10 dengan interval 0.1

(i) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial harus meningkat ketika mende-kati x = 1)

(j) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1

8. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = -20µC terletak pada x = 1. Buatlah skrip Matlab untuk tujuan:

(a) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1 (b) menghitung potensial listrik pada x = 0

9. Sebuah bola pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur pada permukaan bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah keluar bola. Dengan memanfaatkan hukum Gauss, tentukan:

(a) Total muatan yang terdapat pada kulit bola (b) Apakah muatan-nya positif atau negatif ?

(c) Kuat medan listrik pada jarak 1 meter dari pusat bola (d) Kuat medan listrik pada jarak 0,5 meter dari pusat bola

(32)

(33)

Bab 2

Matriks dan Komputasi

✍Objektif :

⊲ Mengenalkan matriks, vektor dan jenis-jenis matriks.

⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matriks ke dalam memori komputer.

⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matriks.

⊲ Membuat skrip operasi matriks.

2.1 Mengenal matriks

Notasi suatu matriks berukurann _×mditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya

An×m. Hurufnmenyatakan jumlah baris, dan hurufm jumlah kolom. Suatu matriks tersusun atas elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil lalu diikuti oleh angka-angka indeks, misalnya aij. Indeks i menunjukkan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom ke-j.

A= (aij) = 

    

a11 a12 . . . a1m a21 a22 . . . a2m

..

. ... ...

an1 an2 . . . anm 

    

(2.1)

Pada matriks ini, a11, a12, ..., a1m adalah elemen-elemen yang menempati baris pertama. Se-mentaraa12,a22, ...,an2 adalah elemen-elemen yang menempati kolom kedua.

Contoh 1: MatriksA2×3

A= "

3 8 5 6 4 7 #

dengan masing-masing elemennya adalah a11 = 3, a12 = 8, a13 = 5, a21 = 6, a22 = 4, dan a23= 7.

(34)

16 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom

Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matriks dina-makan vektor-baris berukuranm, bila hanya memiliki satu baris danmkolom, yang dinyatakan sebagai berikut

Sedangkan suatu matriks dinamakan vektor-kolom berukurann, bila hanya memiliki satu kolom dannbaris, yang dinyatakan sebagai berikut

a=

2.3 Inisialisasi matriks dalam memori komputer

Sebelum dilanjutkan, disarankan agar Anda mencari tahu sendiri bagaimana cara membuat m-filedi Matlab dan bagaimana cara menjalankannya. Karena semua skrip yang terdapat dalam buku ini ditulis dalam m-file. Walaupun sangat mudah untuk melakukan copy-paste, namun dalam upaya membiasakan diri menulis skrip dim-file, sangat dianjurkan Anda menulis ulang semuanya.

Dalam Matlab terdapat 3 cara inisialisasi matriks. Cara pertama1_{, sesuai dengan Contoh 1,}

adalah

1 clear all

2 clc

Sedangkan untuk matriksB3×2, sesuai Contoh 2 adalah

1_{Cara ini bisa diterapkan pada bahasa C, Fortran, Pascal, Delphi, Java, Basic, dll. Sementara cara kedua dan cara}

(35)

2.4. MACAM-MACAM MATRIKS 17

1 clear all

2 clc

3

4 B(1,1) = 1;

5 B(1,2) = 3;

6 B(2,1) = 5;

7 B(2,2) = 9;

8 B(3,1) = 2;

9 B(3,2) = 4;

10 B

Cara kedua relatif lebih mudah dan benar-benar merepresentasikan dimensi matriksnya, dengan jumlah baris dan jumlah kolom terlihat dengan jelas.

1 clear all

2 clc

3

4 A=[ 3 8 5

5 6 4 7 ];

6

7 B=[ 1 3

8 5 9

9 2 4 ];

Cara ketiga jauh lebih singkat, namun tidak menunjukkan dimensi matriks lantaran ditulis ha-nya dalam satu baris.

1 clear all

2 clc

3

4 A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ];

5 B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4];

2.4 Macam-macam matriks

2.4.1 matriks transpose

Operasi transpose terhadap suatu matriks akan menukar elemen kolom menjadi elemen-elemen baris. Notasi matriks tranpose adalahAT atauAt.

Contoh 3: Operasi transpose terhadap matriksA

A= "

3 8 5 6 4 7 #

AT = 

 

3 6 8 4 5 7 

 

Dengan Matlab, operasi transpose cukup dilakukan dengan menambahkan tanda petik tunggal di depan nama matriksnya

1 clear all

(36)

2.4.2 matriks bujursangkar

matriks bujursangkar adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama.

Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebut matriks bujursangkar orde 3

2.4.3 Matrik simetrik

matriks simetrik adalah matriks bujursangkar yang elemen-elemen matriks transpose-nya ber-nilai sama dengan matriks asli-nya.

Contoh 5: matriks simetrik

A=

2.4.4 matriks diagonal

matriks diagonal adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonalnya.

Contoh 6: matriks diagonal orde 3

A=

2.4.5 matriks identitas

matriks identitas adalah matriks bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.

Contoh 7: matriks identitas orde 3

(37)

2.4. MACAM-MACAM MATRIKS 19

2.4.6 matriks upper-triangular

matriks upper-tringular adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen di-agonal bernilai 0 (nol).

Contoh 8: matriks upper-triangular

A=

2.4.7 matriks lower-triangular

matriks lower-tringular adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diago-nal bernilai 0 (nol).

Contoh 9: matriks lower-triangular

A=

2.4.8 matriks tridiagonal

matriks tridiagonal adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada disekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol).

Contoh 10: matriks tridiagonal

A=

2.4.9 matriks diagonal dominan

matriks diagonal dominan adalah matriks bujursangkar yang memenuhi

|aii|> n X

j=1,j6=i

|aij| (2.4)

dengani=1,2,3,..n. Coba perhatikan matriks-matriks berikut ini

(38)

Pada elemen diagonalaiimatriksA,|7|>|2|+|0|, lalu|5|>|3|+|−1|, dan|−6|>|5|+|0|. Maka matriksAdisebut matriks diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matriksB,

|6_|< _|4_|+_{| −}3_|, _{| −}2_|< _|4_|+_|0_|, dan _|1_|< _{| −}3_|+_|0_|. Dengan demikian, matriksB bukan matriks diagonal dominan.

2.4.10 matrikspositive-definite

Suatu matriks dikatakanpositive-definitebila matriks tersebut simetrik dan memenuhi

xTAx>0 (2.5)

Contoh 11: Diketahui matriks simetrik berikut

A=

untuk menguji apakah matriksAbersifatpositive-definite, maka

xTAx = hx1 x2 x3

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matriksAbersifatpositive-definite, karena memenuhi x2₁+ (x1−x2)2+ (x2−x3)2+x23 >0

kecuali jikax1=x2=x3=0.

2.5 Operasi matematika

2.5.1 Penjumlahan matriks

Operasi penjumlahan pada dua buah matriks hanya bisa dilakukan bila kedua matriks tersebut berukuran sama. Misalnya matriksC2×3

C= "

(39)

2.5. OPERASI MATEMATIKA 21

dijumlahkan dengan matriksA2×3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matriksD2×3

D=A+C

D =

"

3 8 5 6 4 7 #

+ "

9 5 3 7 2 1 #

= "

3 + 9 8 + 5 5 + 3 6 + 7 4 + 2 7 + 1 #

= "

12 13 8 13 6 8 #

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matriks, operasi penjumlahan antara matriks A2×3 dan C2×3, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matriks tersebut, yaitu

"

d11 d12 d13

d21 d22 d23

# =

"

a11+c11 a12+c12 a13+c13 a21+c21 a22+c22 a23+c23

#

Dijabarkan satu persatu sebagai berikut

d11=a11+c11 d12=a12+c12

d13=a13+c13 (2.6)

d21=a21+c21 d22=a22+c22 d23=a23+c23

Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matriks

dij =aij+cij (2.7)

dengan i=1,2 dan j=1,2,3. Perhatikan baik-baik! Batas i hanya sampai angka 2 semen-tara batas j sampai angka 3. Kemampuan Anda dalam menentukan batas indeks sangat penting dalam duniaprogramming.

2.5.2 Komputasi penjumlahan matriks

Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (2.7)lebih cepat

berubah dibanding indeksisebagaimana ditulis pada 3 baris pertama dari Persamaan (2.6),

(40)

Jelas terlihat, ketika indeks imasih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai 3. Hal ini membawa konsekuensi pada skrip pemrograman, denganlooping untuk indeksj harus diletakkan di dalamloopingindeksi.Aturan mainnya adalah yang looping-nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya,loopingterluar adalahloopingyang indeksnya paling jarang berubah.

Bila Anda masih belum paham terhadap kalimat yang dicetak tebal, saya akan berikan con-toh source code dasar yang nantinya akan kita optimasi selangkah demi selangkah. OK, kita mulai darisource codepaling mentah berikut ini.

1 clear all

2 clc

3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5

6 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matriks B

7

8 % ---proses penjumlahan

matriks----9 D(1,1)=A(1,1)+C(1,1);

10 D(1,2)=A(1,2)+C(1,2);

11 D(1,3)=A(1,3)+C(1,3);

12 D(2,1)=A(2,1)+C(2,1);

13 D(2,2)=A(2,2)+C(2,2);

14 D(2,3)=A(2,3)+C(2,3);

15

16 % ---menampilkan matriks A, C dan

D----17 A

18 C

19 D

Tanda % berfungsi untuk memberikan komentar atau keterangan. Komentar atau keterangan tidak akan diproses oleh Matlab. Saya yakin Anda paham dengan logika yang ada pada bagian %

—proses penjumlahan matriks—- dalam source code di atas. Misalnya pada baris ke-9, elemen d11adalah hasil penjumlahan antara elemena11danc11, sesuai dengan baris pertama Persamaan 2.6.

Tahap pertama penyederhanaan source code dilakukan dengan menerapkan perintah for -enduntuk proseslooping.Source codetersebut berubah menjadi

1 clear all

2 clc

3

5

7

matriks----9 for j=1:3

10 D(1,j)=A(1,j)+C(1,j);

11 end

12

13 for j=1:3

14 D(2,j)=A(2,j)+C(2,j);

(41)

16

D----18 A

19 C

20 D

Pada baris ke-9 dan ke-13, saya mengambil hurufjsebagai nama indeks denganjbergerak dari 1 sampai 3. Coba Anda pikirkan, mengapaj hanya bergerak dari 1 sampai 3?

Modiﬁkasi tahap kedua adalah sebagai berikut

1 clear all

2 clc

3

5

7

matriks----9 i=1

10 for j=1:3

11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

12 end

13 14 i=2

15 for j=1:3

16 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

17 end

18

D----20 A

21 C

22 D

Saya gunakan indeks i pada baris ke-9 dan ke-14 yang masing-masing berisi angka 1 dan 2. Dengan begitu indeks ibisa menggantikan angka 1 dan 2 yang semula ada di baris ke-11 dan ke-16. Nah sekarang coba Anda perhatikan, statemen pada baris ke-10, ke-11 dan ke-12 sama persis dengan statemen pada baris ke-15, ke-16 dan ke-17, sehingga mereka bisa disatukan kedalam sebuahloopingyang baru denganimenjadi nama indeksnya.

1 clear all

2 clc

3

5

7

matriks----9 for i=1:2

10 for j=1:3

11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

12 end

13 end

14

(42)

17 C

18 D

Coba Anda pahami dari baris ke-9, mengapa indeksihanya bergerak dari 1 sampai 2?

Source code di atas memang sudah tidak perlu dimodiﬁkasi lagi, namun ada sedikit saran untuk penulisan looping bertingkat dimana sebaiknya looping terdalam ditulis agak menjorok kedalam seperti berikut ini

1 clear all

2 clc

3

5

7

10 for j=1:3

11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

12 end

13 end

14

D----16 A

17 C

18 D

Sekarang Anda lihat bahwaloopingindeksjditulis lebih masuk kedalam dibandingkan looping indeksi. Semoga contoh ini bisa memperjelasaturan umum pemrograman dimana yang lo-oping-nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya,loopingterluar adalah loopingyang indeksnya paling jarang berubah. Dalam contoh ini loopingindeks j bergerak lebih cepat dibandingloopingindeksi.

2.5.3 Perkalian matriks

Operasi perkalian dua buah matriks hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Jadi kedua matriks tersebut tidak harus berukuran sama seperti pada penjumlahan dua matriks. Misalnya matriksA2×3 dikalikan dengan matriks

B3×2, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matriksE2×2

(43)

E =

"

3 8 5 6 4 7 #



 

1 3 5 9 2 4 

 

= "

3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4 6.1 + 4.5 + 7.2 6.3 + 4.9 + 7.4 #

= "

53 101 40 82

#

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matriks, operasi perkalian antara ma-triksA2×3 danB3×2, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matriks ter-sebut, yaitu

"

e11 e12 e21 e22

# =

"

a11.b11+a12.b21+a13.b31 a11.b12+a12.b22+a13.b32 a21.b11+a22.b21+a23.b31 a21.b12+a22.b22+a23.b32

#

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matriksE2×2adalah

e11=a11.b11+a12.b21+a13.b31 (2.8) e12=a11.b12+a12.b22+a13.b32 (2.9) e21=a21.b11+a22.b21+a23.b31 (2.10) e22=a21.b12+a22.b22+a23.b32 (2.11) Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemene, elemenadan elemenbmulai dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11). Perhatikan peru-bahan angka-indeks-pertama pada elemeneseperti berikut ini

e1..=.. e1..=.. e2..=.. e2..=..

Pola perubahan yang sama akan kita dapati pada angka-indeks-pertama dari elemena

e1..=a1...b...+a1...b...+a1...b... e1..=a1...b...+a1...b...+a1...b... e2..=a2...b...+a2...b...+a2...b... e2..=a2...b...+a2...b...+a2...b...

(44)

polanya sama

ei.. =ai...b...+ai...b...+ai...b... ei.. =ai...b...+ai...b...+ai...b... ei.. =ai...b...+ai...b...+ai...b... ei.. =ai...b...+ai...b...+ai...b...

dengan i bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan i=1,2. Selanjut-nya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), marilah kita perhatikan perubahan angka-indeks-kedua pada elemenedan elemenb,

ei1 =ai...b..1+ai...b..1+ai...b..1 ei2 =ai...b..2+ai...b..2+ai...b..2 ei1 =ai...b..1+ai...b..1+ai...b..1 ei2 =ai...b..2+ai...b..2+ai...b..2

Dengan demikian kita bisa mencantumkan hurufjsebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya sama

eij =ai...b..j+ai...b..j+ai...b..j eij =ai...b..j+ai...b..j+ai...b..j eij =ai...b..j+ai...b..j+ai...b..j eij =ai...b..j+ai...b..j+ai...b..j

dengan j bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan j=1,2. Selanjut-nya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), mari kita perhatikan perubahan angka-indeks-kedua elemen a dan angka-indeks-pertama elemen b, dimana kita akan dapati pola sebagai berikut

eij =ai1.b1j +ai2.b2j+ai3.b3j eij =ai1.b1j +ai2.b2j+ai3.b3j eij =ai1.b1j +ai2.b2j+ai3.b3j eij =ai1.b1j +ai2.b2j+ai3.b3j

(45)

dengankbergerak mulai dari angka 1 hingga angka 3, atau kita nyatakank=1,2,3.

eij =aik.bkj+aik.bkj+aik.bkj eij =aik.bkj+aik.bkj+aik.bkj eij =aik.bkj+aik.bkj+aik.bkj eij =aik.bkj+aik.bkj+aik.bkj Kemudian secara sederhana dapat ditulis sebagai berikut

eij =aik.bkj+aik.bkj+aik.bkj (2.12) Selanjutnya dapat ditulis pula formula berikut

eij = 3

X

k=1

aikbkj (2.13)

dengani=1,2;j=1,2; dank=1,2,3.

Berdasarkan contoh ini, maka secara umum bila ada matriksAn×myang dikalikan dengan ma-triksBm×p, akan didapatkan matriksEn×p dengan elemen-elemen matriksEmemenuhi

eij = m X

k=1

aikbkj (2.14)

dengani=1,2,. . . ,n;j=1,2. . . ,p; dank=1,2. . . ,m.

2.5.4 Komputasi perkalian matriks

Mari kita mulai lagi darisource codepaling dasar dari operasi perkalian matriks sesuai dengan contoh di atas.

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

7 % ---proses perkalian

matriks----8 E(1,1)=A(1,1)*B(1,1)+A(1,2)*B(2,1)+A(1,3)*B(3,1);

9 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

10 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

11 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

12

13 % ---menampilkan matriks A, B dan

E----14 A

15 B

(46)

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-9 sampai ke-12 sambil dikaitkan dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian matriks yaitu

eij =aik.bkj+aik.bkj+aik.bkj (2.15) Dari sana ada 4pointyang perlu dicatat:

• elemenememiliki indeksidan indeks j dengan indeksj lebih cepat berubah dibanding indeksi.

• pada baris statemen ke-8 sampai ke-11 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi penjumlahan yang semuanya melibatkan indeksi, indeksjdan indeksk. Namun indeksk selalu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indekskpaling cepat berubah diban-ding indeksidan indeksj.

• elemenamemiliki indeks idan indekskdimana indeksklebih cepat berubah dibanding indeksi.

• elemenbmemiliki indekskdan indeksj dimana indeksklebih cepat berubah dibanding indeksj.

Tahapan modiﬁkasi source code perkalian matriks tidak semudah penjumlahan matriks. Dan mengajarkan logika dibalik source code perkalian matriks jauh lebih sulit daripada sekedar me-modiﬁkasi source code tersebut. Tapi akan saya coba semampu saya lewat tulisan ini walau harus perlahan-lahan. Mudah-mudahan mudah untuk dipahami.

Saya mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung nilaiE(1,1)

1 clear all

2 clc

3

6

matriks----8 % ---E(1,1) dihitung 3 kali

9 E(1,1)=A(1,1)*B(1,1);

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1);

11 E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);

12

13 % ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula

14 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

15 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

16 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

17

E----19 A

20 B

21 E

(47)

1 clear all

2 clc

3

6

matriks----8 % ---E(1,1) dihitung 3 kali

9 E(1,1)=0;

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,1)*B(1,1);

11 E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1);

12 E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);

13

15 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

16 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

17 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

18

E----20 A

21 B

22 E

Dari sini kita bisa munculkan indeksk

1 clear all

2 clc

3

6

matriks----8 E(1,1)=0;

9 for k=1:3 % k bergerak dari 1 sampai 3

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);

11 end

12

14 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

15 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

16 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

17

E----19 A

20 B

21 E

Kemudian cara yang sama dilakukan padaE(1,2),E(2,1), danE(2,2). Anda mesti cermat dan hati-hati dalam menulis angka-angka indeks!!!

1 clear all

2 clc

3

(48)

matriks----8 E(1,1)=0;

9 for k=1:3

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);

11 end

12

13 E(1,2)=0;

14 for k=1:3

15 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2);

16 end

17

18 E(2,1)=0;

19 for k=1:3

20 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);

21 end

22

23 E(2,2)=0;

24 for k=1:3

25 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);

26 end

27

E----29 A

30 B

31 E

Inisialisasi elemen-elemen matriks E dengan angka nol, bisa dilakukan diawal proses perkalian yang sekaligus memunculkan indeksidanjuntuk elemenE

1 clear all

2 clc

3

6

matriks----8 for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2

9 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for k=1:3

15 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);

16 end

17

18 for k=1:3

19 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2);

20 end

21

22 for k=1:3

23 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);

24 end

25

26 for k=1:3

27 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);

28 end

(49)

E----31 A

32 B

33 E

Sekarang coba Anda perhatikan statemen pada baris ke-15 dan ke-19, lalu bandingkan indeks idan indeksj pada elemenE. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya adalah indeks j. Dengan demikian kita bisa munculkan indeksj

1 clear all

2 clc

3

6

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13 14 j=1;

15 for k=1:3

16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

17 end

18 19 j=2;

20 for k=1:3

21 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

22 end

23

24 for k=1:3

25 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);

26 end

27

28 for k=1:3

29 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);

30 end

31

E----33 A

34 B

35 E

Lihatlah, statemen dari baris ke-15 sampai ke-17 memiliki pola yang sama dengan statemen dari baris ke-20 sampai ke-22, sehingga mereka bisa disatukan kedalamloopingindeksj

1 clear all

2 clc

3

6

(50)

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for j=1:2

15 for k=1:3

16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

17 end

18 end

19

20 for k=1:3

21 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);

22 end

23

24 for k=1:3

25 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);

26 end

27

E----29 A

30 B

31 E

Sekarang coba sekali lagi Anda perhatikan statemen pada baris ke-21 dan ke-25, lalu bandingk-an indeks idan indeksj pada elemenE. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya tetap indeksj. Dengan demikian kita bisa munculkan juga indeksjdisana

1 clear all

2 clc

3

6

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for j=1:2

15 for k=1:3

16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

17 end

18 end

19 20 j=1;

21 for k=1:3

22 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j);

23 end

24 25 j=2;

26 for k=1:3

27 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j);

28 end

(51)

E----31 A

32 B

33 E

Cermatilah, statemen dari baris ke-21 sampai ke-23 memiliki pola yang sama dengan statemen dari baris ke-25 sampai ke-27, sehingga mereka pun bisa disatukan kedalamloopingindeksj

1 clear all

2 clc

3

6

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for j=1:2

15 for k=1:3

16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

17 end

18 end

19

20 for j=1:2

21 for k=1:3

22 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j);

23 end

24 end

25

E----27 A

28 B

29 E

Akhirnya kita sampai pada bagian akhir tahapan modiﬁkasi. Perhatikan baris ke-16 dan ke-22. Indeksipada elemenE danAbergerak dari 1 ke 2, sehingga indeksibisa dimunculkan

1 clear all

2 clc

3

6

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13 14 i=1;

(52)

16 for k=1:3

17 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

18 end

19 end

20 21 i=2;

22 for j=1:2

23 for k=1:3

24 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

25 end

26 end

27

E----29 A

30 B

31 E

Sekarang, statemen dari baris ke-15 sampai ke-19 memiliki pola yang sama dengan statemen dari baris ke-22 sampai ke-26. Mereka bisa disatukan olehloopingindeksi

1 clear all

2 clc

3

6

9 for j=1:2

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for i=1:2

15 for j=1:2

16 for k=1:3

17 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

18 end

19 end

20 end

21

E----23 A

24 B

25 E

Inilah hasil akhir dari tahapan-tahapan modiﬁkasi yang selanjutnya saya sebut sebagai proses

(53)

tahu dimana letak kesalahannya. Hanya dengan cara begitu ilmuprogramming ini akan bisa menyatu pada diri Anda.

2.5.5 Perkalian matriks dan vektor-kolom

Operasi perkalian antara matriks dan vektor-kolom sebenarnya sama saja dengan perkalian an-tara dua matriks. Hanya saja ukuran vektor-kolom boleh dibilang spesial yaitu m x1, dengan m merupakan jumlah baris sementara jumlah kolomnya hanya satu. Misalnya matriks A, pa-da contoh 1, dikalikan dengan vektor-kolom x yang berukuran 3 x 1 atau disingkat dengan mengatakan vektor-kolomxberukuran3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan vektor-kolomy

y=Ax

y =

"

3 8 5 6 4 7 #



  2 3 4 

 

= "

3.2 + 8.3 + 5.4 6.2 + 4.3 + 7.4 #

= "

50 52 #

Sekali lagi, tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing, operasi perkalian antara matriksAdan vektor-kolomx, bisa juga dinyatakan dalam indeksnya masing-masing, yaitu

"

y1 y2

# =

"

a11.x1+a12.x2+a13.x3 a21.x1+a22.x2+a23.x3

#

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen vektor-kolomyadalah

y1 =a11.x1+a12.x2+a13.x3 y2 =a21.x1+a22.x2+a23.x3 kemudian secara sederhana dapat diwakili oleh rumus berikut

yi= 3

X

j=1 aijxj

dengani=1,2.

(54)

dengan elemen-elemen vektor-kolomymemenuhi

yi= m X

j=1

aijxj (2.16)

dengani=1,2,. . . ,n.

2.5.6 Komputasi perkalian matriks dan vektor-kolom

Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian antara matriks dan vektor-kolom sesuai dengan contoh di atas

1 clear all

2 clc

3

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matriks dan

vektor----8 y(1,1)=A(1,1)*x(1,1)+A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1);

9 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

10

E----12 A

13 x

14 y

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-8 dan ke-9 sambil dikaitkan dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian antara matriks dan vektor-kolom yaitu

yi1 =aij.xj1+aij.xj1+aij.xj1 (2.17) Dari sana ada 3pointyang perlu dicatat:

• elemenydan elemenxsama-sama memiliki indeksiyang berpasangan dengan angka 1.

• pada baris statemen ke-8 dan ke-9 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i dan indeks j. Namun indeks j sela-lu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks j lebih cepat berubah dibanding indeksi.

• elemenamemiliki indeksidan indeksj dengan indeksj lebih cepat berubah dibanding indeksi.

Kita mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung nilaiy(1,1)

1 clear all

2 clc

(55)

6

vektor----8 y(1,1)=A(1,1)*x(1,1);

9 y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1);

10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1);

11

12 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

13

E----15 A

16 x

17 y

Agar baris ke-8 memiliki pola yang sama dengan baris ke-9 dan ke-10, upaya yang dilakukan adalah

1 clear all

2 clc

3

6

vektor----8 y(1,1)=0;

9 y(1,1)=y(1,1)+A(1,1)*x(1,1);

10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1);

11 y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1);

12

13 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

14

E----16 A

17 x

18 y

Dari sini kita bisa munculkan indeksj

1 clear all

2 clc

3

6

vektor----8 y(1,1)=0;

9 for j=1:3

10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1);

11 end

12

13 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

14

E----16 A

17 x

(56)

Dengan cara yang sama, baris ke-13 dimodiﬁkasi menjadi

1 clear all

2 clc

3

6

vektor----8 y(1,1)=0;

9 for j=1:3

10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1);

11 end

12

13 y(2,1)=0;

14 for j=1:3

15 y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1);

16 end

17

E----19 A

20 x

21 y

Inisialisasi vektory dengan angka nol dapat dilakukan diawal proses perkalian, sekaligus me-munculkan indeksi

1 clear all

2 clc

3

6

vektor----8 for i=1:2

9 y(i,1)=0;

10 end

11

12 for j=1:3

13 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1);

14 end

15

16 for j=1:3

17 y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1);

18 end

19

E----21 A

22 x

23 y

Kemudian, untuk menyamakan pola statemen baris ke-13 dan ke-17, indeksikembali dimun-culkan

1 clear all