Solusi Persamaan Schroodinger dalam Koordinat Bola
Mohammad Fajar
20211019
19 Oktober 2013
1
Persamaan Schroodinger
Dalam koordinat bola berlaku
x = rsinθcosφ (1)
y = rsinθsinφ (2)
z = rcosθ (3)
yang mengakibatkan Laplacian berubah menjadi
∂2
∂x2 +
∂2
∂y2 +
∂2
∂z2 =
1
r2
∂ ∂r r
2 ∂
∂r
!
+ 1
r2
1 sinθ
∂
∂θ sinθ ∂ ∂θ
!
(4)
+ 1
sin2θ
∂2
∂φ2
!
(5)
Sehingga persamaan Schroodinger dapat dituliskan sebagai
− ¯h
2
2m
" 1
r2
∂ ∂r r
2 ∂
∂r
!
+ 1
r2sinθ
∂
∂θ sinθ ∂ ∂θ
!
+ 1
r2sin2θ
∂2
∂φ2
#
ψ
+V(r)ψ =Eψ (6)
Dengan melakukan pemisahan variabel yakni ψ(r, θ, φ) = R(r)Y(θ, φ) maka persamaan Schroodinger dapat dituliskan menjadi
1
r2
∂ ∂r r
2 ∂
∂r
!
R(r)Y(θ, φ) + 1
r2sinθ
∂
∂θ sinθ ∂ ∂θ
!
R(r)Y(θ, φ)
+ 1
r2sin2θ
∂2
∂φ2R(r)Y(θ, φ)−
2m
¯
h2 [V(r)−E]R(r)Y(θ, φ) = 0 (7)
atau
Y(θ, φ)1
r2
∂ ∂r r
2 ∂
∂r
!
R(r) +R(r) 1
r2sinθ
∂
∂θ sinθ ∂ ∂θ
!
Y(θ, φ)
+R(r) 1
r2sin2θ
∂2
∂φ2Y(θ, φ)−
2m
¯
Dengan membaagi kedua sisi persamaan 8 dengan R(r)Y(θ, φ) akan diperoleh
( 1
R(r)
∂ ∂r r
2 ∂
∂r
!
R(r)− 2mr
2
¯
h2 [V(r)−E]
)
+ "
1
Y(θ, φ) sinθ ∂
∂θ sinθ ∂ ∂θ
!
Y(θ, φ) + 1
Y(θ, φ) sin2θ ∂2
∂φ2Y(θ, φ)
#
= 0 (9)
Pada persamaan 9 suku dalam kurung kurawal hanya bergantung pada jarak radial r se-mentara suku pada kurung siku hanya bergantung pada sudut (θ, φ). Persamaan tersebut konsisten jika dan hanya jika kedua suku sama dengan nol (trivial) atau kedua suku sama dengan konstanta tertentu. Solusi trivial tentu tidak menghasilkan apa-apa. Sementara jika kedua suku sama dengan sebuah konstanta, maka terdapat banyak konstanta yang bisa kita pilih untuk disubstitusikan. Akan tetapi untuk memudahkan perhitungan selan-jutnya kita dapat memilih konstanta tersebut dalam bentuk l(l+ 1). Dengan demikian diperoleh untuk suku radial
1
R(r)
d dr r
2 d
dr
!
R(r)− 2mr
2
¯
h2 [V(r)−E] =l(l+ 1) (10)
dan untuk suku angular
1
Y(θ, φ) sinθ ∂
∂θ sinθ ∂ ∂θ
!
Y(θ, φ) + 1
Y(θ, φ) sin2θ
∂2
∂φ2Y(θ, φ)
=−l(l+ 1) (11)
2
Solusi suku Angular
Bagian angular dapat kita pisahkan lebih lanjut dengan separasi variabel yakniY(θ, φ) =
f(θ)g(φ) yang menghasilkan
1
f(θ)g(φ) sinθ ∂
∂θ sinθ ∂ ∂θ
!
f(θ)g(φ) + 1
f(θ)g(φ) sin2θ ∂2
∂φ2f(θ)g(φ)
=−l(l+ 1)
⇒ 1
f(θ) sinθ ∂
∂θ sinθ ∂ ∂θ
!
f(θ) + 1
g(φ) sin2θ ∂2
∂φ2g(φ) = −l(l+ 1) (12)
Dengan mengalikan kedua ruas dengan sin2θ akan diperoleh
sinθ f(θ)
∂
∂θ sinθ ∂ ∂θ
!
f(θ) +l(l+ 1) sin2θ+ 1
g(φ)
∂2
∂θ2g(φ) = 0 (13)
Karena masing-masing suku hanya bergantung pada satu variabel, maka keduanya dapat diganti dengan sebuah konstanta yakni untuk kemudahan penurunan dinyatakan sebagai
m2 sehingga diperoleh
sinθ f(θ)
d
dθ sinθ d dθ
!
f(θ) +l(l+ 1) sin2θ=m2 (14)
dan
1
g(φ)
d2
dφ2g(φ) =−m
Suku sudut azimuth pada persamaan 15 mempunyai solusi umum dalam bentuk
g(φ) = eimφ ⇒gm(θ) = eimφ (16)
Sementara suku sudut kutub pada persamaan 15 dapat dituliskan sebagai
sinθ d
dθ sinθ d dθ
!
f(θ) +l(l+ 1) sin2θf(θ)−m2f(θ) = 0 (17)
Suku pertama pada persamaan 17 dapat dievaluasi yang menghasilkan
sinθ d
dθ sinθ d dθ
!
f(θ) = sinθ d
dθ sinθ df(θ)
dθ
!
= sinθ cosθdf(θ)
dθ + sinθ
d2f(θ)
dθ2
!
= sin2θd2f(θ)
dθ2 + sinθcosθ
df(θ)
dθ (18)
Dengan demikian persamaan 17 dapat diturunkan menjadi
sin2θd
2f(θ)
dθ2 + sinθcosθ
df(θ)
dθ +l(l+ 1) sin
2θf(θ)−m2f(θ) = 0 (19)
Dengan melakukan pergantian variabel yakni x= cosθ maka diperoleh
df(θ)
dθ = df(x)
dx dx dθ =
df(x)
dx (−sinθ) =−sinθ df(x)
dx (20)
dan
d2f(θ)
dθ2 =
d
dθ −sinθ df(x)
dx
!
=−cosθdf(x)
dx −sinθ d dθ
df(x)
dx
= −cosθdf(x)
dx −sinθ d dx
dx dθ
df(x)
dx
= −cosθdf(x)
dx −sinθ d
dx(−sinθ) df(x)
dx
= −cosθdf(x) dx + sin
2θd2f(x)
dx2 (21)
Dengan mensubstitusikan hasil-hasil ini ke dalam persamaan 19 diperoleh
sin2θ sin2θd
2f(x)
dx2 −cosθ
df(x)
dx
!
+ sinθcosθ −sinθdf(x) dx
! +
l(l+ 1) sin2θf(x)−m2f(x) = 0 (22)
Dengan membagi semua ruas dengan sin2θ diperoleh
sin2θd
2f(x)
dx2 −cosθ
df(x)
dx −cosθ df(x)
dx +l(l+ 1)f(x)− m2
Karena cosθ =xmaka sin2θ = 1−cos2θ = 1−x2 yang meghasilkan
(1−x2)d
2f(x)
dx2 −2x
df(x)
dx +l(l+ 1)f(x)− m2
1−x2f(x) = 0 (24)
Persamaan 24 merupakan persamaan legendre terasosiasi yang solusi umumnya adalah
Pl,m = (−1)mq(1−x2)m d m
dxmPl(x) (25)
dengan
Pl(x) = (−1)
l
2ll! dl
dxl(1−x
2)l (26)
Dengan demikian solusi suku angular (pers. 11) adalah perkalian solusi sudut kutub dan sudut azimuth yakni
Pl,m(cosθ)·eimφ (27)
3
Solusi suku radial
Untuk memperolah solusi radial terlebih dahulu kita tentukan potensial yang digunakan dalam persamaan 6. Pada kasus atom hidrogen potensial yang digunakan adalah V(r) =
−e2/r. Sementara massa yang dinyatakan pada persamaan 6 sebagai massa partikel
tunggal haruslah diganti dengan massa tereduksi dari proton dan elektron yakni
µ= mpme
mp+me (28)
Dengan demikian suku radial dapat dituliskan menjadi
1
R(r)
d dr r
2 d
dr
!
R(r)−2µr
2
¯
h2
"
−e
2
r −E
#
−l(l+ 1) = 0
⇒ d
dr r
2 d
dr
!
R(r)− 2µr
2
¯
h2
"
−e
2
r −E
#
R(r)−l(l+ 1)R(r) = 0
⇒ d
dr r
2 d
dr
!
R(r) + "
2µr2
¯
h2 e2
r +
2µr2
¯
h2 E−l(l+ 1)
#
R(r) = 0 (29)
Selanjutnya dilakukan pemisalan
y(r) =rR(r) ⇒ R(r) = y(r)
r (30)
Dengan demikian
d dr r
2 d
dr
!
R(r) = d
dr r
2 d
dr
!
r−1
y(r)
= d
drr
2
"
−r−2
y(r) +r−1dy(r)
dr
#
= d
dr
"
−y(r) +rdy(r) dr
#
= −dy(r)
dr + dy(r)
dr +r d2y(r)
dr2
= rd
2y(r)
Dengan hasil ini maka persamaan 29 akan dapat dituliskan menjadi
rd
2y(r)
dr2 +
" 2µre2
¯
h2 +
2µr2
¯
h2 E−l(l+ 1)
#
y(r)
r = 0
⇒ d
2y(r)
dr2 +
" 2µe2
rh¯2 + 2µE
¯
h2 −
l(l+ 1)
r2
#
y(r) = 0 (32)
Selanjutnya jika dilakukan substitusi yakni
ǫ
2 2
=−2µE
¯
h2 (33)
Tanda negatif pada ruas kanan digunakan karena terdapat kemungkinan keadaan energi
E <0 yang mengakibatkan ǫ menjadi imajiner jika ruas kanan positif. Dengan demikian persamaan 32 dapat dituliskan menjadi
d2y(r)
dr2 +
" 2µe2
r¯h2 − ǫ2
4 −
l(l+ 1)
r2
#
y(r) = 0 (34)
Jika dilakukan pergantian variabel yakni
x=re⇒r= x
ǫ (35)
maka
dr= dx
ǫ (36)
dan
d2y(r)
dr2 =
d dr
dy(r)
dr =ǫ d dxǫ
dy(x)
dx =ǫ
2d2y(x)
dx2 (37)
Sehingga suku radial di dapat dinyatakan sebagai
ǫ2d
2y(x)
dx2 +
" 2µe2ǫ
xh¯2 −
ǫ2
4 −ǫ
2l(l+ 1)
x2
#
y(x) = 0
⇒ d
2y(x)
dx2 +
"
−1
4 + 2µe2
¯
hǫx −
l(l+ 1)
x2
#
y(x) = 0 (38)
Persamaan 38 merupakan persamaan laguerre yang terasosiasi jika
l(l+ 1) = k
2−1
4 (39)
dan
2µe2
¯
hǫ =
2j+k+ 1
2 (40)
yang solusi umumnya dapat dinyatakan sebagai polonomial Laguerre terasosiasi yakni
ykj(x) =e−x/2
x(k+1)/2Lkj(x) (41)
Dalam teori atom Bohr suku ¯h/µe2 menyatakan radius Bohr yakni
a0 =
¯
h2
dari persamaan 39 diperolehk= 2l+1 dengan demikian ruas kanan persamaan 40 menjadi
2j+k+ 1
2 =
2j+ (2l+ 1) + 1
2 =j+l+ 1 (43)
Dalam polinomial Laguerreidanj tidak boleh negatif dengan demikianj+l+ 1 haruslah lebih besar atau sama dengan 1 yang dapat dinyatakan sebagai
n =j+l+ 1 (44)
Nilain sendiri dapat dipandang sebagai bilangan kuantum prinsipal. Dari persamaan 40 dan persamaan 43 diperoleh
j +l+ 1 =n = 2µe
2
¯
hǫ
⇒ǫ= 2µe
2
¯
hn
⇒ǫ2 = 4µ
2e4
¯
h4n2 (45)
Dengan mensubstitusi hasil ini ke dalam persamaan 33 untuk mengganti ǫ dengan E
diperoleh
−42µE ¯
h2 =
4µ2e4
¯
h4n2
⇒E =−µ
2e4¯h2
2µ¯h4n2 =−
µe2
¯
h2
!2 ¯
h2
2µn2
⇒En =− ¯h
2
2µa2 0n2
=−13.6eV
n2 (46)
Dengan demikian solusi radial dapat dituliskan sebagai
ynl(x) = e−x/2
xl+1L2nl−+1l−1(x) (47)
Sementara
ǫ
2 2
=−−2µE
¯
h2 =−
2µ
¯
h2 −
¯
h2
2µa2 0n2
!
= 1
a2 0n2
⇒ǫ2 = 4
a2 0n2
⇒ǫ= 2
a0n
⇒x= 2r
na0
(48)
yang menghasilkan
ynl(r) =e−r/na0
2r
na0
l+1
L2nl−+1l−1
2r
na0
(49)
Karena y(r) = rR(r) maka diperoleh
rRn,l(r) = e−r/na0
2r
na0
l+1
L2nl−+1l−1
2r
na0
⇒ Rn,l(r) = Ae−r/na0
2r
na
l
L2nl−+1l−1
2r
na
dengan A menyatakan konstanta yang digunakan untuk menyerap faktor 2/na0 dari
2r
na0
l+1
akibat pembagian dengan r. Selanjutnya yang perlu dilakukan adalah
menor-malisir solusi Rn,l(r) yakni
hψ(r)|ψ(r)i= Z ∞
0 (Rn,l(r))
∗
Rn,l(r)r2dr= 1 (51)
dengan faktor r2 menyatakan faktor koreksi volume untuk koordinat bola. Dengan
demikian
Integral di atas dapat kita evaluasi dengan menggunakan hubungan 1
Z ∞
Masalahnya adalah pada persamaan 52 nilai indeks atas dari polinomial Leguerre dan bentuk pangkat tidak sama yakni berturut-turut 2l+ 2 dan 2l+ 1. Untuk itu dilakukan penyesuaian dengan menggunakan hubungan 2
zLab(z) = (a+ 2b+ 1)Lab(z)− b+ 1
a+b+ 1L
a
b+1(z)−(a+b)2Lab−1(z) (54)
Persamaan 52 dapat dituliskan ulang menjadi
|A|2
Dengan menggunakan persamaan 54 suku dalam kurung kurawal pada persamaan 55 dapat dituliskan menjadi
2r
Pada persamaan 56 hanya polinomial Laguerre suku pertama yang indeks bawahnya berni-lai n−l−1 yang sama dengan polinomial Laguerre di luar kurung kurawal pada per-samaan 55, sementara suku kedua dan seterusnya berbeda sehingga jika dikalikan dengan
polinomial di luar kurung dan diintegralkan akan menghasilkan nol. Dengan demikian persamaan 55 dapat dituliskan menjadi
|A|2
na
0
2
3Z ∞
0 e
−2r/na0
2r
na0
2l+1
2nL2nl−+1l−1
2r
na0
L2nl−+1l−1
2r
na0
d
2r
na0
=|A|22n
na
0
2
3Z ∞
0 e
−2r/na0
2r
na0
2l+1
L2nl−+1l−1
2r
na0
L2nl−+1l−1
2r
na0
d
2r
na0
= 1 (57)
Karena indeks bawah dan indeks atas dari polinomial Laguerre pada persamaan 57 sudah sama maka kita dapat menggunakan hubungan 53 sehingga diperoleh
=|A|22n
na
0
2
3Z ∞
0 e
−2r/na0
2r
na0
2l+1
L2nl−+1l−1
2r
na0
L2nl−+1l−1
2r
na0
d
2r
na0
=|A|22n
na
0
2
3 [Γ (2l+ 1 +n−l−1 + 1)]3 Γ (n−l−1 + 1)
=|A|22n
na
0
2
3 [Γ(n+l+ 1)]3 Γ(n−l)
=|A|22n
na
0
2
3 [(n+l)!]3
(n−l−1)! = 1 (58)
yang mana menghasilkan
A= v u u t
2
na0
3 (n−l−1)!
2n[(n+l)!]3 (59)
Dengan demikian solusi suku radial pada persamaan 10 diperoleh yakni
Rn,l(r) = v u u t
2
na0
3 (n−l−1)! 2n[(n+l)!]3e
−r/na0
2r
na0
l
L2nl−+1l−1
2r
na0
(60)
Dengan demikian solusi persamaan 6 adalah
