1
PROBABILITAS
Pengertian
Pada awal perkuliahan, sebelum menjelaskan probabilitas, dibahas sepintas
sebagai pengantar tentang eksperimen, titik sampel, ruang sampel, dan peristiwa, serta variabel random secara umum. Dasar semua ini, perlu pula diingat kembali teori himpunan. Selanjutnya, dijelaskan materi probabilitas.
Definisi 1.1: Jika A suatu peristiwa yang bersesuain dengan suatu eksperimen X dan ruang sample berhingga S yang setiap titik sampelnya berpeluang sama
terjadi, maka probabilitas peristiwa A, ditulis P(A), didefinisikan:
P(A) =
) (
) (
S n
A n
Contoh 1.1: Pada pelantunan sebuah dadu, tentukan probabilitas dari peristiwa
A : memuat semua titik sampel gasal
B : memuat semua titik sampel prima
C : memuat semua titik sampel yang tak kurang dari 3.
Jawab:P(A) = ½, P(B) = 2/3, dan P(C) = ½.
Apabila X suatu variabel random yang bersesuaian dengan suatu eskperimen X
dan ruang sample S, sedangkan peristiwa A berkaitan dengan suatu harga tertentu
dari X, yaitu xi, maka P(A) = P(X = xi). Dengan demikian, dapat diperoleh untuk
peristiwa-peristiwa lain, sebagai P(B) = P(X £ xi) atau P(C) = P(X ³ xi) atau
P(D) = P(xi £ X £ xj), dan seterusnya.
(a) P(X = 0) (c) P(X = 2) (e) P(X £ 3) (g) P(X > 1)
(b) P(X = 1) (d) P(X = 3) (f) P(X £ 1) (h) P(X > 3)
Jawab: dibiarkan sebagai latihan!
Sifat dan Teorema Dasar Probabilitas
Definisi probabilitas (probabilitas a priori) di atas mempunyai beberapa
kelemahan, yaitu
(a) Tidak berlaku untuk ruang sampel takhingga;
(b) Persyaratan: ²Setiap titik sampel berpeluang sama untuk muncul² tidak selalu
dipenuhi oleh setiap eksperimen.
Sehingga untuk mengembangkan teori probabilitas lebih kanjut, disusunlah
beberapa sifat berikut:
1. P(A) adalah bilangan real yang non-negatif untuk setiap peristiwa A dalam S,
P(A) ³ 0
2. P(S) = 1
3. Jika A1, A2, … merupakan peristiwa-peristiwa yang saling asing di S, Ai Ç Aj =
Æ untuk i ¹ j = 1, 2, 3, …, maka P(A1 È A2 È …) = P(A1) + P(A2) + …
Dari sifat-sifat di atas dapat diturunkan beberapa teorema berikut:
Teorema 1.2:P(Ac) = 1 –P(A)
Bukti: Karena A Ç Ac = Æ dan A È Ac = S, maka P(A È Ac)= P(A) + P(Ac) = P(S) = 1.
Jadi P(Ac) = 1 –P(A).
Bukti:P(A) ³ 0 jelas. Akan dibuktikan P(A) £ 1, sebagai berikut: P(Ac) = 1 –P(A) atau P(Ac) = P(A)= 1 –P(Ac)
Karena P(Ac) ³ 0 dan P(A) ³ 0, maka jelas P(A) £ 1.
Teorema 1.4:P(Æ) = 0
Bukti: Karena A È Æ = A dan A Ç Æ = Æ, sehingga P(A È Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A).
Jadi P(Æ) = 0.
Teorema 1.5: Untuk peristiwa-peristiwa A dan B sebarang, berlaku:
P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)
Bukti: Dari teori himpunan, diketahui bahwa A È B = A È (Ac Ç B), dan
A Ç (Ac Ç B) = Æ. Maka P(A È B) = P(A) + P(Ac Ç B) … (*)
Di lain pihak B = S Ç B = (A È Ac) Ç B = (A Ç B) È (Ac Ç B).
Karena (A Ç B) Ç (Ac Ç B) = Æ, maka P(B) = P(A Ç B) + P(Ac Ç B). (**)
Dari (*) dan (**), diperoleh P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B).
Teorema 1.6: Untuk setiap peristiwa A, B, dan C berlaku
P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AÇB)–P(AÇC)–P(BÇC)+P(AÇBÇC)
Bukti:P(A È B È C) = P((AÈB) È C)
= P(AÈB) + P(C) - P((AÈB) Ç C)
= P(A) + P(B) –P(A Ç B ) + P(C) – P((A Ç C) È (B Ç C))
= P(A) + P(B) + P(C) –P(A Ç B ) – [P(A Ç C) + P(B Ç C)
Teorema 1.7: Jika A Í B, maka P(A) £ P(B)
Bukti: Karena A Í B berarti A È (B–A) = B.
Sehingga P(B) = P(A È (B–A)) = P(A) + P(B–A) –P(A Ç (B–A))
= P(A) + P(B– A) –P(A Ç (B–A))
= P(A) + P(B– A) –P(A Ç B Ç Ac)
= P(A) + P(B– A) –P(A Ç Ac Ç B) ³ P(A)
Peristiwa-peristiwa Saling Lepas dan Saling Bebas
Definisi 1.8: Dua peristiwa A dan B disebut saling lepas, apabila A Ç B = Æ.
Definisi 1.9: Dua peristiwa A dan B disebut saling bebas jika dan hanya jika
P(AÇB) = P(A)P(B).
Definisi 1.10: Tiga peristiwa A, B, dan C disebut saling bebas, jika dan hanya jika keempat syarat berikut dipenuhi:
P(A Ç B) = P(A)P(B)
P(A Ç C) = P(A)P(C)
P(B Ç C) = P(B)P(C)
P(A Ç B Ç C) = P(A)P(B)P(C)
Contoh 1.3: Pada pelantunan dua dadu, ditentukan peristiwa-peristiwa berikut:
A = {(x, y) | x = 5}, B = {(x, y) | y = 4}, C = {(x, y) | x > y}
(a) Tentukan peristiwa-peristiwa yang lepas
(b) Tentukan dua peristiwa yang bebas.
Teorema 1.11: Jika A dan B bebas, maka Ac dan Bc bebas, A dan Bc bebas, serta
Probabilitas Bersyarat
Definisi 1.12: Jika dan A dan B merupakan dua peristiwa di dalam satu ruang sampel S dan P(A) ¹ 0, maka probabilitas bersyarat dari B jika A diketahui, ditulis
P(B | A), didefinisikan sebagai P(B | A) =
) (
) (
A P
B A
P Ç
Teorema 1.13: Jika A dan B merupakan dua peristiwa di dalam ruang sampel S dan P(A) ¹ 0, maka berlaku P(A Ç B) = P(A)P(B | A)
Teorema 1.14: Jika A,B, dan C merupakan tiga peristiwa di dalam ruang sampel S sedemikian hingga P(A) ¹ 0 dan P(A Ç B) ¹ 0, maka
P(A Ç B Ç C) = P(A)P(B | A)P(C | A Ç B)
Teorema 1.15: Jika A dan B dua peristiwa saling bebas, maka P(B|A) = P(B)
Bukti: Untuk Teorema 1.13, 1.14, dan 1.15 dibiarkan sebagai latihan
Contoh 1.4: Suatu industri suku cadang pesawat terbang mengetahui dari pengalaman sebelumnya bahwa probabilitas suatu pesanan siap dikapalkan pada
waktunya adalah 0.80, dan probabilitas pesanan akan siap dikapalkan dan juga
diantarkan pada saatnya adalah 0.72. Carilah probabilitas, bahwa pesanan tersebut
akan diantarkan pada saatnya jika diketahui telah dikapalkan pada saatnya.
2
Fungsi Distribusi
Variabel Random Diskrit
Definisi 2.1: Jika X suatu variabel random, dan jika banyak harga-harga yang mungkin dari X adalah berhingga (finite) atau takhingga terhitung (countable
infinite, denumerable), maka X disebut suatu variabel random diskrit. Jadi
harga-harga X tersebut dapat disusun sebagai x1, x2, …, xn, …
Definisi 2.2: Jika X suatu variabel random diskrit dengan harga-harga x1, x2, …, maka suatu fungsi f(x) = P(X = x) disebut suatu fungsi probabilitas atau fungsi
densitas probabilitas (probability density function), disingkat pdf, dari X, apabila
memenuhi syarat-syarat:
(i) f(x) ³ 0 untuk semua x (ii)
å
= ni i
x f 1
) ( = 1
Contoh 2.1: Jika X variabel random diskrit dengan harga-harga 0, 1, 2, …, sedang
P(X = k) = k k n k np q
-C , dengan k, p, dan q non-negatif dan p+q=1, maka P(k)
memenuhi syarat untuk fungsi probabilitas dari X.
Variabel Random Kontinu
Definisi 2.3:X disebut suatu variabel random kontinu, jik aterdapat suatu fungsi f, yang disebut fungsi densitas probabilitas (pdf) dari X, memenuhi syarat sebagai
berikut:
(i) f(x) ³ 0, untuk semua x
(ii)
ò
¥ f x dx ¥- ( ) = 1
(iii) Untuk suatu a, b dengan -¥ < a < b < ¥ diperoleh P(a £ X £ b) =
dx x f
b
Contoh 2.2: Tunjukkan bahwa f(x) yang didefinisikan sebagai
f(x) = ïî ï í
ì < <
lain yang x untuk , 0
1 0
,
1 x
merupakan pdf dari variabel random kontinu X.
Jawab: (i) f(x) ³ 0 jelas dari fungsi di atas;
(ii)
ò
¥ f x dx ¥- ( ) =
ò
-¥ dx0
0 +
ò
1 dx01 +
ò
dx¥
1 0 = 1
Jadi, terbukti f(x) merupakan pdf dari X.
Contoh 2.3: Jika diketahui X variabel random kontinu dengan pdf
f(x) = ïî ï í
ì £ £
lain yang x untuk , 0
2 0
, x
cx
Carilah: (a) harga konstanta c (c) P(X > 1)
(b) P(1/2 < X < 3/2) (d) Grafik f(x)
Jawab: (a) c = ½ (b) P(1/2 < X < 3/2) = ½ (c) P(X > 1) = ¾
Fungsi Distribusi
Definisi 2.4: Jika X suatu variable random, diskrit atau kontinu, maka fungsi distribusi kumulatif (cummulative distribution function, CDF), ditulis F(x),
didefinisikan sebagai F(x) = P(X £ x).
Fungsi distribusi kumulatif seringkali disebut fungsi distribusi.
Teorema 2.5:
(a) Jika X suatu variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas f(x), maka:
F(x) =
å
= n
i i
x f 1
)
( di mana xi £ x
Contoh 2.4: Jika suatu variabel random X mempunyai harga 0, 1, dan 2 dengan probabilitas berturut-turut 1/3, 1/6, dan ½, maka fungsi kumulatifnya adalah
F(x) =
Grafik fungsinya adalah:
F(x)
0 1 2 3 X
Contoh 2.5: Jika X suatu variabel kontinu dengan fungsi densitas
f(x) =
maka fungsi kumulatifnya adalah
F(x) =
Grafiknya dapat dibuat sebagai latihan.
Contoh 2.6: Sasaran tembak pada suatu latihan menembak, membentuk lingkaran dengan jari-jari R dan berpusat di titik O(0,0). Fungsi distribusi F(x) untuk
3
Distribusi Multivariat
Distribusi Bivariat dan Trivariat
Definisi 3.1 : J i ka X1 d a n X2 variabel-variabel random diskrit, maka fu n g si
f(x1, x2) = P(X1 = x1, X2 = x2) untuk setiap (x1, x2) dalam X1 dan X2, disebut
fungsi probabilitas bersama atau distribusi probabilitas bersama (joint
distribution) dari X1 dan X2.
Teorema 3.2: Suatu fungsi bivariat dapat merupakan distribusi probabilitas bersama dari sepasang variabel random diskrit X1 dan X2 jika dan hanya jika
f(x1, x2) memenuhi syarat berikut:
(i) f(x1, x2) ³ 0 untuk setiap (x1, x2) dalam domainnya;
(ii)
åå
1 2
) , ( 1 2
x x
x x
f = 1, di mana ;jumlah dobel berlaku untuk semua
pasangan (x1, x2) yang mungkin dalam doimainnya.
Contoh 3.1: Tentukan harga c sedemikian hingga fungsi f(x1, x2) = cx1x2 untuk x1,
x2 = 1, 2, 3 merupakan distribusi probabilitas bersama.
Jawab: Diselesaikan sendiri, sehingga memperoleh c = 1/36.
Definisi 3.3: Jika X1 dan X2 merupakan variabel random diskrit, maka fungsi:
F(x1, x2) = P(X1 £ x1, X £ x2) =
å å
£1 £ 2
) , (
x
s t x
t s
f untuk -¥ < x1 £ ¥, -¥ < x2 £ ¥;
di mana, f(s, t) harga-harga dari distribusi probabilitas bersama dari X1 dan X2
pada (s, t); disebut fungsi distribusi bersama, atau distribusi kumulatif bersama
Definisi 3.4: Suatu fungsi bivariat dengan harga-harga f(x1, x2) yang didefinasikan
Teorema 3.5: Suatu fungai bivariat merupakan suatu fungsi densitas probabilitas bersama dari sepasang variabel random kontinu X1 dan X2, jika harga-harganya
f(x1, x2) memenuhi syarat
Fungsi densitas probabilitas bersama sering disebut densitas bersama (joint
density)
maka dengan menyelesaikannya, diperoleh fungsi distribusi bersama adalah
Distribusi Marginal
Definisi 3.6: Jika X1 dan X2 merupakan variabel random diskrit dan f(x1, x2) adalah harga dari distribusi probabilitas bersama di (x1, x2), maka fungsi yang
diberikan oleh
g(x1) =
å
Demikian pula, fungsi yang dtberikan oleh
h(x2) =
å
diberikan oleh
g(x1) =
ò
¥
¥
- f (x1,x2)dx2
untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥
disebut densitas marginal dari X1.
Demikian pula, fungsi yang dtberikan oleh
h(x2) =
ò
¥
¥
- f (x1,x2)dx1
untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥
disebut densitas marginal dari X2.
Contoh 3.4: Jika densitas bersama
Seperti halnya pada distribusi univariat, di sini didefinisikan pula fungsi
distribusi marginal dan fungsi distribusi marginal bersama berikut.
Definisi 3.8: Jika F(x1, x2) adalah harga dari fungsi distribusi bersama dari variabel random X1 dan X2 di titik (x1, x2), maka fungsi G dengan
G(x1) = P(X1 £ x1, X2 = 1) untuk -¥ < x1 < ¥
disebut fungsi distribusi marginal dari X1. Demikian pula fungsi H dengan
H(x2) = P(X1 = 1, X2 £ x2) untuk -¥ < x2 < ¥
disebut fungsi distribusi Marginal dari X2.
Definisi 3.9: Jika F(x1, x2, x3) merupakan harga dari fungsi distribusi bersama variabel randomX1 ,X2, dan X3 di titik (x1, x2,x3),maka fungsi G dengan
G(x1, x2) = P(X1 £ x1, X2 £ x2, X3 = 1), untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥.
disebut fungsi distribusi marginal bersama dari X1 dan X2.
Contoh 3.5: Jika diketahui densitas dari variabel random X1, X2, dan X3 berikut
maka fungsi distribusi marginal bersama dari X1 dan X3 dengan
F(x1, x2, x3) =
dan fungsi distribusi marginal dari X1 adalah
Distribusi Bersyarat
Contoh 3.6: Jika diketahui fungsi densitas variabel random X1 dan X2
