MATERI MATEMATIKA EKONOMI 1st

(1)

PENDAHULUAN

(2)

Ruang Lingkup :

Konsep-konsep Dasar, Hubungan

Fungsional, Hubungan Nonlinear,

Diferensial fungsi, Integral dan Matriks

Sasaran:

(3)

Tujuan:

Mahasiswa diharapkan mampu memahami

Konsep-konsep Matematika dalam

penerapannya pada masalah ekonomi.

Kompetensi Lulusan:

(4)

LITERATUR

 Chiang A.C. 1984. Fundamental Methods Of Mathematical

Economics. Third Edition.

Mc. Graw-Hill Book Inc. New York

 Dumairy. 2004. Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan

Ekonomi. Edisi Ke dua belas. BPFE. Yogyakarta

 Legowo. 1984. Dasar-dasar Kalkulus Penerapannya dalam

Ekonomi, Ed. 2. Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia

 Suryawati dkk. 2001. Matematika Ekonomi. Sekolah Tinggi

Ilmu Ekonomi YKPN

 Weber, Jean E. 1982. Mathematical Analysis: Business and

(5)

RENCANA PENILAIAN

 Ujian Tengah Semester (UTS) 35 %  Ujian Akhir Semester (UAS) 40 %

 Tugas Terstruktur 10 %

 Kuis 10 %

(6)

MATERI

 Himpunan

 Sistem Bilangan, Akar dan Logaritma

 Deret dan Fungsi

 Fungsi Linier

 Fungsi Multivariat

 Fungsi Non Linier

 Derivatif

 Integral

(7)

SILABUS MATERI HIMPUNAN

 Pengertian Himpunan

 Penyajian Himpunan

 Himpunan Universal dan Himpunan Kosong

 Operasi Himpunan

(8)

SILABUS MATERI SISTEM

BILANGAN

 Hubungan Perbandingan antar Bilangan  Operasi Bilangan

 Operasi Tanda

- Operasi Penjumlahan - Operasi Pengurangan - Operasi Perkalian

- Operasi Pembagian

 Operasi Bilangan Pecahan

- Operasi Pemadanan

- Operasi Penjumlahan dan Pengurangan - Operasi Perkalian

(9)

SILABUS MATERI PANGKAT, AKAR DAN

LOGARITMA

 _Pangkat

 _{Kaidah pemangkatan bilangan}

 _{Kaidah perkalian bilangan berpangkat}  _{Kaidah pembagian bilangan berpangkat}

 Akar

 _{Kaidah pengakaran bilangan}

 _{Kaidah penjumlahan bilangan terakar}  _{Kaidah perkalian bilangan terakar}  _{Kaidah pembagian bilangan terakar}

 _Logaritma

- Basis Logaritma

- Kaidah-kaidah Logaritma

(10)

SILABUS MATERI DERET



Deret Hitung

- Suku ke-n dari DH

- Jumlah n suku



Deret Ukur

(11)

SILABUS MATERI FUNGSI



Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi



Jenis- jenis fungsi



Penggambaran fungsi Linear



Penggambaran fungsi non linear

- Penggal

- Simetri

- Perpanjangan

- Asimtot

(12)

SILABUS MATERI HUBUNGAN LINEAR

 Penggal dan lereng garis lurus  Pembentukan Persamaan Linear

- Cara dwi- kordinat

- Cara koordinat- lereng - Cara Penggal lereng - Cara dwi- penggal

 Hubungan dua garis lurus

 Pencarian Akar- akar persamaan linear  Cara substitusi

(13)

SILABUS MATERI HUBUGAN NON

LINEAR

 Fungsi kuadrat

- Identifikasi persamaan kuadrat

- Menentukan titik maksimum atau minimum permintaan, fungsi penawaran dan

keseimbangan pasar

- Fungsi penerimaan, fungsi ongkos produksi dan analisis BEP

 Fungsi Eksponensial dan aplikasinya

- Fungsi ongkos produksi

(14)

SILABUS MATERI DIFERENSIAL FUNGSI

SEDERHANA

 Kuosien Diferensi dan Derivatif  Kaidah- Kaidah Diferensiasi

 Hakikat Derivatif dan Diferensial  Derivatif dari Derivatif

 Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya

- Fungsi menaik dan fungsi menurun - Titik ekstrim fungsi parabolik

(15)

SILABUS MATERI DIFERENSIAL FUNGSI

MAJEMUK

 Diferensial Parsial

 Derivatif dari Derivatif Parsial

 Nilai ekstrim : Maksimum dan Minimum  Optimisasi Bersyarat

- Pengganda Lagrange - Kondisi Kuhn-Tucker

(16)

SILABUS MATERI INTEGRAL

 Integral tak tentu

 Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu  Integral tertentu

(17)

SILABUS MATERI MATRIKS



Pengertian Matriks dan Vektor



Kesamaan Matriks dan Kesamaan Vektor



Pengoperasian Matriks dan Vektor

(18)

Himpunan



Merupakan suatu kumpulan atau

gugusan dari sejumlah obyek.



Obyek yang membentuk himpunan

disebut anggota/elemen/unsur



Himpunan dilambangkan dengan huruf

(19)

Penulisan Matematis

(20)

Penyajian Himpunan



A = { 1, 2, 3, 4, 5} ; B = {kucing, anjing}



A = { x; 0 < x < 6} ; B = {x; 1 x 5}

≤ ≤



{ } atau 0 . Merupakan himpunan kosong.

Secara teori, himpunan kosong adalah

merupakan himpunan bagian dari setiap

himpunan apapun.



Notasi

U

digunakan untuk himpunan

(21)

Operasi Himpunan



Gabungan (Union):

A U B = {x; x A atau x B}

є



Irisan (Intersection):

A B = {x; x A dan x B}

∩

є



Selisih:

A – B A B = { x; x A tetapi x B}

≡

є



Pelengkap (Complement):

(22)

Matematika Ekonomi 22

2. Tanda pertidaksamaan

 Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”  Tanda > melambangkan “lebih besar dari”  Tanda “lebih kecil dari atau sama dengan”≤  Tanda “lebih besar dari atau sama dengan”≥

3. Sifat

 Jika a b, maka –a -b≤ ≥

(23)

Kaidah-kaidah Matematika

 Kaidah Indempoten:

a) A U A = A b) A A = A ∩

 Kadiah Asosiatif:

a) (A U B) U C = A U (B U C) b) (A B) C = A (B C)∩ ∩ ∩ ∩

 Kaidah Komutatif:

a) A U B = B U A b) A B = B A ∩ ∩

 Kaidah Distributif:

a) A U (B C) = (A U B) ( A U C)∩ ∩

(24)

Kaidah – kaidah Matematika

(lanjut)



Kaidah Identitas:

a) A U 0 = A

b) A 0 = 0

∩

c) A U

U

=

U

d) A

∩

U

= A



Kaidah Kelengkapan:

a) A U A =

U

b) A A = 0

∩

c) (A) = A

d)

U

= 0, 0 =

U



Kaidah De Morgan:

(25)

Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir

A _B

S

Sifat-sifat gabungan

(26)

Operasi potongan (irisan) = ∩

A ∩ B = { x / x ε A

dan

x ε B }

A ∩ B, baca A

irisan

B; atau A

dan

B

Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 }

A ∩ B = { 5, 15 }

Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir:

A B

(27)

Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi)

b. (A ∩

B) A dan (A ∩ B) B

Operasi selisih

Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B

A – B = { x / x € A, tetapi x € B }

Diagram Venn A – B sebagai berikut:

A B

(28)

Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g }

A – B = { a, c } serta B – A = { f, g }

A – B sering dibaca “A bukan B”.

Sifat: a (A – B) A; (B – A) B

(29)

Komplemen

A’ = { x / x € S, tetapi x € A }

A’ baca “komplemen A” atau “bukan A”

Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat

positip

A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil

A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap

Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir)

S

A

A’

(30)

Sifat: a. A U A’ = S

b. A ∩ A’ = ø

c. (A’)’ = A

Latihan 1

Gambarkan sebuah diagram venn untuk

menunjukkan himpunan universal S dan

himpunan-himpunan bagian A serta B jika:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

A = {2, 3, 5, 7 }

B = {1, 3, 4, 7, 8 }

Kemudian selesaikan :

a). A – B b). B – A c) A ∩ B

d). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩

A’

(31)

Latihan 2

Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: _€ atau _€

A B A B∩ AUB (A B)’∩ (AUB)’

€ € 2; 5 U 2,5 {0}

€ €

(32)

Hubungan

Himpunan Hasil kali Cartesius

Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y).

Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3.

Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3}

(33)

Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb:

X

1 2 3

1

(1, 1) (1, 2) (1, 3)

2

(2, 1) (2, 2) (2, 3)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3)

X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),

(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}

(34)

Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan

dalam sistem koordinat cartesius berikut:

Y

3 • • • •

2 • • • •

1 • • • •

0 1 2 3 4 X

Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah

H

₁

H

₂

H

₃

H

₄

PR = {1, 2} malas

PR = {3, 4} rajin

U = {1, 2} kurang mengerti

U = {3} pintar

Terdapat 4 himp bag

H

₁

= {malas ttp pintar}

H

₂

= {malas dan krg

(35)

Daerah dan Wilayah (Range) hubungan

 Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius:

H = {(1,1), (1,2), (1,3),

(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut,

disebut dengan Daerah hubungan

 D_h = {1, 2, 3, 4}

Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan:

(36)

Kesimpulan:

 Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan

pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x X dipasangkan dengan setiap unsur y Y. € €

 X x Y = { (x, y) / x X, y Y }€ €  Daerah hubungan

D_h = { x / x X}_€

 Wilayah hubungan:

(37)

(38)

SISTEM BILANGAN

Nyata

+ dan -

Khayal

Rasional

Irrasional

Bulat

Pecahan

Bilangan

2; -2; 1,1; -1,1 Akar negatip

√(-4) = ± 2

Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau

desimal berulang 0,1492525

Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang

0,14925253993999… π, ℮

1; 4; 8; termasuk 0

½; 2/7 dsb

(39)

Penggolongan Bilangan (lanjut)



Bilangan nyata dapat positif maupun

negatif.



Bilangan khayal adalah bilangan yang

berupa akar pangkat genap dari suatu

bilangan negatif.



Bilangan rasional= bilangan bulat,

pecahan terbatas



Bilangan irrasional adalah bilangan

(40)

Jenis-jenis Bilangan Lainnya



Bilangan asli: bilangan bulat positif tidak

termasuk nol



Bilangan cacah: bilangan bulat positif

atau nol



Bilangan prima: bilangan asli yang

(41)

2. Tanda pertidaksamaan

 Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”  Tanda > melambangkan “lebih besar dari”  Tanda “lebih kecil dari atau sama dengan”≤  Tanda “lebih besar dari atau sama dengan”≥

3. Sifat

 Jika a b, maka –a -b≤ ≥

(42)

Operasi Bilangan

 Kaidah Komutatif:

a + b = b + a a x b = b x a

 Kaidah Asosiatif:

( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( a x b ) x c = a x ( b x c )

 Kaidah Pembatalan:

Jika a + c = b + c jika ac = bc (c = 0) maka a = b maka a = b

 Kaidah Distributif:

(43)

Operasi Bilangan (lanjut)



Unsur Penyama:

a ± 0 = a

a x 1 = a

a : 1 = a



Kebalikan:

(44)

Berbagai Operasi Tanda



Operasi Penjumlahan



Operasi Pengurangan



Operasi Perkalian

(45)

Operasi Bilangan Pecahan

 Operasi Pemadanan

a/b = (axc)/(bxc) a/b = (a:c)/(b:c)

 Operasi Penjumlahan dan Pengurangan  Operasi Perkalian

(a/x) x (b/y) = (ab)/(xy)

 Operasi Pembagian:

a/b : c/d = a/b x d/c

(46)

(47)

PANGKAT

 Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks

yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan.

 Notasi xn berarti bahwa x harus dikalikan dengan x

itu sendiri secara berturut-turut sbanyak n kali

 Contoh:

* 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 cukup ditulis 46

* 100.000 dapat diringkas menjadi 105

* 1/100.000 dapat diringkas menjadi 10-5

* 35.000.000.000 dapat diringkas menjadi 35 x 109

* 4.500.000.000 dapat diringkas menjadi 4,5 x 109

(48)

Kaidah-Kaidah Pemangkatan

 Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah satu

x0 = 1 ( x 0) ≠ Contoh: 50 = 1

 Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri

x1 = x Contoh: 51 = 5

 Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol

0x = 0 Contoh: 05 = 0

 Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali

(49)

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut)

 Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari

bilangan itu sendiri, dengan suku pembagi

dalam pecahan menjadi pangkat dari akarnya, sedangkan suku terbagi menjadi pangkat dari bilangan yang bersangkutan

Contoh:

 Bilangan pecahan berpangkat adalah hasilbagi

suku-suku berpangkatnya Contoh: b a b a

x



₃₅ 5 ₃2 5 ₉ ₁_,₅₅

(50)

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut)

 Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah

bilangan berpangkat hasilkali pangkat-pangkatnya (xa)b = xab Contoh: (22)3 = 22x3 = 26 =64

 Bilangan dipangkatkan pangkat-berpangkat adalah

bilangan berpangkat hasil pemangkatan pangkatnya

dalam hal ini c = ab

Contoh:

c

a

x

b



721

.

046

.

43

3

(51)

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut)

 Hasilkali bilangan-bilangan berpagnkat yang basisnya

sama adalah bilangan basis berpangkat jumlah pangkat-pangkatnya

xa….xb …..xz = xa+b+..+z Contoh: 23 x 23 = 23+3 = 26 = 64

 Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang

pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang

bersangkutan

(52)

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut)

 Hasilbagi bilangan-bilanganerpangkat yang basisnya

sama adalah bilangan basis berpangkat selisih pangkat-pangkatnya

xa : xb = xa-b Contoh: 55 : 53 = 55-3 = 52= 25

 Hasilbagi bilangan-bilangan berpangkat yang

pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang

bersangkutan

(53)

AKAR

 Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan

bilangan berpangkat

 Akar dari suatu bilangan ialah basis yang memenuhi

bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya.

 Jika xa, maka x sebagai basis dan a sebagai pangkat  Jika xa = m, maka x dapat disebut sebagai akar

pangkat a dari m dan dapat ditulis sebagai:

jika _x xa = m

m

a

(54)

Kaidah-kaidah Pengakaran

Bilangan

 Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi

bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya

dalam hal ini adalah basis

 Akar dari bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri

berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan

bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari akar menjadi suku pembagi

a a _m _m

1



m

a

1

b a b

m

a

m

(55)

Kaidah-kaidah Pengakaran

Bilangan (lanjut)

 Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari

akar-akarnya

 Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar

suku-sukunya

 Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah

(selisih) koefisien-koefisien terakar

 Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari

bilangan bersangkutan; pangkat baru akarnya ialah hasilkali pangkat dari akar-akar sebelumnya

b b

b xy _ x y

b b b y x y x  bc a c a

b x _ x

b a b a

b _x a _n _x _m _n _x

(56)

LOGARITMA

 Logaritma merupakan kebalikan dari proses

pemangkatan dan/ atau pengakaran.

 Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat

yang harus dikenakan pada (memenuhi)

bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.

 Jika xa = m (dalam hal ini x adalah basis dan a

adalah pangkat), maka pangkat a disebut juga logaritma dari m terhadap basis x yang ditulis dalam bentuk:

a = x log m

 Biasanya logaritma berbasis 10 sehingga cukup

(57)

Kaidah-kaidah Logaritma

 xlog x = 1 sebab x1 = x  xlog1 = 0 sebab x0 = 1  xlog xa = a sebab xa = xa  xlog ma = a xlog m

 xlog m n = xlog m + xlog n  xlog m/n = xlog m – xlog n

 xlog m mlog x = 1 sehingga xlog m = 1/mlog x  xlog m mlog n nlog x = 1

(58)

Kasus

 Sederhanakan dan selesaikan:

a) b)

 Carilah x jika log x = 1,2304!

 Selesaikan x untuk log (3x + 298) = 3!

5 7 5 2 5