PRA A-ALJABAR SEBAGAI SEBUAH POSET

(1)

Vol. No. Hal. 32 – 38 ISSN : 2303–2910

c

Jurusan Matematika FMIPA UNAND

PRA A*-ALJABAR SEBAGAI SEBUAH POSET

WELLY RAHMAYANTI Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Padang, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

[email protected]

Abstrak. _{Sistem matematika (A,}_∧,_∨,(·)∼_{) adalah Pra A*-Aljabar, bila}

anggota-anggotanya memenuhi sifat-sifat tertentu. Sistem (A,∧,∨,(·)∼_{) ditulis}_A_yang

meny-atakan Pra A*-Aljabar. Misalkan didefinisikan sebuah relasi terurut parsial ”≦” pada Pra A*-Aljabar ( yang anggota-anggotanya memenuhi sifat refleksif, antisimetri, dan transitif). Kemudianx≦yjika dan hanya jikay∧x=x∧y=x. HimpunanA bersama-sama dengan relasi terurut parsial padaAdinamakan dengan poset. Pada tulisan ini dikaji struktur aljabar dari Pra Aljabar. Selanjutnya, juga dikaji sifat-sifat Pra A*-Aljabar sebagai sebuah poset.

Kata Kunci: Aljabar Boolean, Poset, Pra A*-Aljabar.

1. Pendahuluan

Aljabar Boolean [1] merupakan suatu sistem matematika (B,∧,∨,(·)∼_{) dimana} _B

adalah himpunan tak kosong,∧ (meet) dan∨(join) adalah operasi-operasi biner, dan (·)∼ _{(tilda) adalah operasi tunggal, yang anggota-anggotanya memenuhi}

sifat-sifat: x∧1 =x, x∨0 = x,x∧y =y∧x, x∨y =y∨x,x∧(y∧z) = (x∧y)∧z,

x∨(y∨z) = (x∨y)∨z, x∧x∼ _{= 0,}_x_∨_x∼_{= 1,} _x_∧_x₌_x_, _x_∨_x₌_x_,_x_∧_{0 = 0,} x∨1 = 1,x∧(x∨y) =x∨(x∧y) =x,x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z),x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z), (x∼₎∼ ₌_x_,(_x_∧_y₎∼ ₌_x∼_∨_y∼_{, (}_x_∨_y₎∼ ₌_x∼_∧_y∼_{. Gagasan}

Pra A*-Aljabar pertama kali diperkenalkan pada tahun 2000 oleh J.Venkateswara Rao. Pra A*-Aljabar merupakan suatu sistem matematika (A,∧,∨,(·)∼_{) dimana}_A

adalah himpunan tak kosong,∧ (meet) dan∨(join) adalah operasi-operasi biner, dan (·)∼ _{(tilda) adalah operasi tunggal, yang anggota-anggotanya memenuhi}

sifat-sifat:x∼∼₌_x_,_x∧_x₌_x_,_x∧_y₌_y_∧x_{, (}_x∧y₎∼ ₌_x∼ _∨_y∼_,_x∧₍_y_∧z_{) = (}_x∧y₎_∧_z_, x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z), dan (x∧y) =x∧(x∼_∨y_{). Misalkan didefinisikan sebuah}

relasi terurut parsial pada Pra A*-Aljabar yaitu ”≦” ( yang anggota-anggotanya memenuhi sifat refleksif, antisimetri, dan transitif) makax≦y jika dan hanya jika

y∧x=x∧y=x. Himpunan Abersama-sama dengan relasi terurut parsial pada

Adinamakan dengan poset.

Makalah ini merupakan tinjauan ulang dari rujukan pustaka [3]. Pada makalah ini penulis mengkaji kembali tentang Pra A*-Aljabar sebagai sebuah poset.

(2)

2. Struktur Aljabar dari Pra A*-Aljabar

Pada tulisan, akan dikaji struktur aljabar dari Pra A*-Aljabar yang dinyatakan dalam proposisi, lema dan teorema berikut.

Definisi 2.1. [3] MisalA adalah himpunan tak kosong. Suatu sistem matematika

(A,∧,∨,(·)∼₎ _{dikatakan Pra A*-Aljabar, dengan} _∧ _{(meet) dan} _∨ _{(join) adalah} operasi-operasi biner, dan (·)∼ _{(tilda) adalah operasi tunggal, jika untuk setiap} x, y, z,∈A, berlaku:

(1) x∼∼₌_x, (2) x∧x=x, (3) x∧y=y∧x, (4) (x∧y)∼₌_x∼_∨_y∼_, (5) x∧(y∧z) = (x∧y)∧z, (6) x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z), (7) (x∧y) =x∧(x∼_∨_y₎_.

Definisi 2.2. Misalkan sistem(A,∧,∨,(·)∼₎_{adalah Pra A*-Aljabar dengan unsur} identitas1 dan0. Suatu sistem lain, namakanA∗ _{dinamakan dual dari}_A _jika:

(1) ∧diganti dengan∨, (2) ∨diganti dengan∧, (3) 0diganti dengan 1, (4) 1diganti dengan 0.

Contoh 2.3. Himpunan W={0,1,2} adalah suatu Pra A*-Aljabar dengan op-erasi∨,∧, dan (·)∼ _{yang didefinisikan seperti pada tabel berikut:}

∧ 0 1 2

0 0 0 2 1 0 1 2 2 2 2 2

Tabel 1. Operasi Biner∧padaA

∨ 0 1 2

0 0 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2

Tabel 2. Operasi Biner∨padaA

(3)

x x∼

0 1 1 0 2 2

Tabel 3. Operasi∼_pada_A

(1) x∨1 =x∨x∼_,

(2) x∧0 =x∧x∼_{, untuk setiap} _x_∈_A.

Bukti. Ambilx∈A.

(1) Akan ditunjukkanx∨1 =x∨x∼_.

Berdasarkan Definisi 2 mengenai prinsip dualitas dari Pra A*-Aljabar, maka Definisi 1 (7) dapat ditulis dalam bentukx∨y=x∨(x∼_∧_y_).

Perhatikan bahwa x∨1 =x∨(x∼_∧_{1) =}_x_∨_x∼_.

(2) Akan ditunjukkanx∧0 =x∧x∼_.

Perhatikan bahwa x∧0 =x∧(x∼_∨_{0) =}_x_∧_x∼_.

Lema 2.5. [3]Untuk setiap Pra A*-Aljabar, berlaku:

(1) x∨(x∼_∧_x_{) =}_x,

(2) (x∨x∼₎_∧_y_{= (}_x_∧_y₎_∨₍_x∼_∧_y₎_, (3) (x∼_∨_x₎_∧_x₌_x,

(4) (x∨y)∧z= (x∧z)∨(x∼_∧_y_∧_z₎_{, untuk setiap} _{x, y, z}_∈_A

Bukti. Ambilx, y, z∈A.

(1) Akan ditunjukkanx∨(x∼_∧_x_{) =}_x_.

Perhatikan bahwa x∨(x∼_∧_x_{) =}_x_∨_x₌_x_.

(2) Akan ditunjukkan (x∨x∼₎_∧_y_{= (}_x_∧_y₎_∨₍_x∼_∧_y_).

Perhatikan bahwa (x∨x∼₎_∧_y ₌ _y _∧₍_x_∨_x∼_{) = (}_y _∧_x₎_∨₍_y _∧_x∼_{) =}

(x∧y)∨(x∼_∧_y_).

(3) Akan ditunjukkan (x∼_∨_x₎_∧_x₌_x_.

Perhatikan bahwa (x∼_∨_x₎_∧_x₌_x_∧₍_x∼_∨_x_{) =}_x_∧_x₌_x_.

(4) Akan ditunjukkan (x∨y)∧z= (x∧z)∨(x∼_∧_y_∧_z_).

Perhatikan bahwa (x∨y)∧z=z∧(x∨y) =z∧(x∨(x∼_∧_y_{)) = (}_z_∧_x₎_∨

(z∧x∼_∧_y_{) = (}_x_∧_z₎_∨₍_x∼_∧_y_∧_z_).

Definisi 2.6. [2]Misalkan A adalah Pra A*-Aljabar. Suatu x∈A disebut elemen sentral dari Ajikax∨x∼_{= 1}_{. Selanjutnya, himpunan}_{x_∈_A_|_x_∨_x∼_{= 1}_} _adalah himpunan semua elemen sentral dari A yang disebut senter (centre) dari A dan dinotasikan denganB(A).

(4)

Bukti. Ambilx, y, z∈B(A). Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa Aksioma 1-10 dari Definisi aljabar Boolean terpenuhi.

(1) Akan ditunjukkanx∨x∼_{= 1}_{, x}_∧_x∼_{= 0.}

Berdasarkan Definisi 3, jelas bahwax∨x∼ _{= 1.}

Selanjutnya perhatikan bahwa

0 = 1∼_{= (}_x_∨_x∼₎∼ ₌_x∼_∧₍_x∼₎∼₌_x∼_∧_x_.

(2) Akan ditunjukkanx∧1 =x, x∨0 =x.

Perhatikan bahwa x∧1 =x∧(x∨x∼_{) =}_x_∧₍_x∼_∨_x_{) = (}_x∼_∨_x₎_∧_x₌_x_.

x∨0 =x∨(x∧x∼_{) =}_x_∨₍_x∼_∧_x_{) =}_x_.

(3) Akan ditunjukkanx∧0 = 0, x∨1 = 1.

Perhatikan bahwa x∧0 =x∧(x∧x∼_{) = (}_x_∧_x₎_∧_x∼₌_x_∧_x∼_{= 0.}

x∨1 =x∨(x∨x∼_{) = (}_x_∨_x₎_∨_x∼₌_x_∨_x∼ _{= 1.}

(4) Akan ditunjukkanx∧(x∨y) =x∨(x∧y) =x

Perhatikan bahwa x∧(x∨y) = (x∨0)∧(x∨y) =x∨(0∧y) =x∨0. Sedangkan untuk x∨(x∧y) =xadalah dual darix∧(x∨y) =x.

Karena A adalah Pra A*-Aljabar dan berdasarkan prinsip dualitas maka jelas bahwa Definisi aljabar Boolean (Aksioma 2, 3, 5, 8, 9 dan 10) terpenuhi.

Jadi karena B(A) memenuhi Aksioma 1-10 dari Definisi aljabar Boolean makaB(A) adalah aljabar Boolean.

Lema 2.8. [3]Misalkan Aadalah Pra A*-Aljabar dengan unsur identitas1, maka berlaku:

(1) jika x, y∈B(A)maka x∧x∼_∧_y₌_x_∧_x∼_,

(2) x∧(x∨y) =x∨(x∧y) =xjika dan hanya jikax, y∈B(A).

Bukti. MisalAadalah Pra A*-Aljabar,

(1) Jikax, y∈B(A), akan ditunjukkanx∧x∼_∧_y₌_x_∧_x∼_.

Ambilx, y∈B(A) maka berdasarkan Definisi 3 berlakux∨x∼_{= 1,} x∧x∼_{= 0 dan}_y_∨_y∼_{= 1}_{, y}_∧_y∼_{= 0.}

Perhatikan bahwa:x∧x∼_∧_y_{= (}_x_∧_x∼₎_∧_y_{= 0}_∧_y₌_y_∧_{0 = 0 =}_x_∧_x∼_.

(2) Akan ditunjukkan bahwa x∧(x∨y) = x∨(x∧y) = x jika dan hanya jika

x, y∈B(A).

Berdasarkan Teorema 1 maka B(A) adalah aljabar Boolean. Berarti memenuhi Definisi 1(7), artinyax, y∈B(A). Dan sebaliknya, jikax, y∈B(A) maka jelas berlakux∧(x∨y) =x∨(x∧y) =x.

3. Struktur Aljabar dari Pra A*-Aljabar

Pada tulisan, akan dibahas sifat-sifat Pra A*-Aljabar sebagai sebuah poset yang disampaikan dalam beberapa definisi, teorema, dan lema berikut.

(5)

Lema 3.2. [3] JikaA adalah sebuah Pra A*-Aljabar, maka (A,≦) adalah sebuah poset.

Bukti. MisalkanAadalah Pra A*-Aljabar, akan dibuktikan bahwa (A,≦) adalah sebuah poset yaitu akan ditunjukkan bahwa relasi ”≦” adalah refleksif, antisimen-tri dan transitif,

(1) Ambil x∈A. Akan ditunjukkanx≦x,∀x∈A.

Karena A adalah Pra A*-Aljabar. Artinyax∧x=xmaka x≦x,∀x∈A. Jadi relasi ”≦” adalah refleksif.

(2) Ambil x, y ∈A. Misalkan x≦y dan y ≦x. Akan ditunjukkan bahwa x=y. Berdasarkan Definisi 4, berlakuy∧x=x∧y=xdanx∧y=y∧x=y.

Perhatikan bahwa:x=x∧y=y∧x=y. Jadi terbukti bahwa ”≦” adalah antisimetri.

(3) Ambil x, y, z ∈ A. Misalkan x ≦ y dan y ≦ z. Akan ditunjukkan x ≦ z. Berdasarkan Definisi 4, berlakuy∧x=x∧y=xdanz∧y=y∧z=y.

Perhatikan bahwa:x=x∧y=x∧(y∧z) = (x∧y)∧z=x∧z. Berdasarkan Definisi 4 berlaku bahwa jika z∧x= x∧z = x maka x ≦ z. Jadi terbukti bahwa ”≦” adalah transitif.

Dari 1 sampai dengan 3 terbukti bahwa (A,≦) adalah poset.

Teorema 3.3. [3] Dalam poset (A,≦), untuk sebarang x ∈ A, berlaku: sup {x, x∼_}₌_x_∨_x∼ _{dan inf}_{{x, x}∼_}₌_x_∧_x∼_.

Bukti. Misalkan (A,≦) adalah poset, dan ambilx∈Asebarang.

(1) Akan ditunjukkan sup{x, x∼_}₌_x_∨_x∼_.

Pada Lema 1 (3),∀x∈Aberlakux∧(x∨x∼_{) =}_x_dan_x∼_∧₍_x_∨_x∼_{) =}_x∼_.

Akibatnya dengan menggunakan Definisi 4 diperoleh x ≦ x∨x∼ _dan _x∼ _≦ x∨x∼_{. Karena itu}_x_∨_x∼ _{adalah batas atas dari} _{{x, x}∼_}_.

Misalkann∈Aadalah batas atas lain dari{x, x∼_}_{, maka}_x_≦_n_dan_x∼_≦_n_.

Berdasarkan Definisi 4 diperolehn∧x=x∧n=xdann∧x∼₌_x∼_∧_n₌_x∼_.

Perhatikan bahwa

(x∨x∼₎_∧_n₌_n∧₍_x∨_x∼_{) = (}_n_∧x₎_∨₍_n_∧x∼_{) = (}_x_∧n₎_∨₍_x∼_∧n_{) =}_x∨_x∼_.

Ini menunjukkan bahwa x∨x∼ _≦ _n_{, sehingga} _x_∨_x∼ _{adalah batas atas}

terkecil dari{x, x∼_}_{. Jadi sup}_{{x, x}∼_}₌_x_∨_x∼_.

(2) Akan ditunjukkan inf{x, x∼_}₌_x_∧_x∼_.

Perhatikan bahwax∧(x∧x∼_{) =}_x∧x∼_{dan (}_x∧x∼₎_∧x∼₌_x∧x∼_{. Akibatnya}

dengan menggunakan Definisi 4 diperolehx∧x∼ _≦_x_dan_x_∧_x∼_≦_x∼_{. Karena}

itux∧x∼ _{adalah batas bawah dari}_{{x, x}∼_}_.

Misalkan m ∈ A adalah batas bawah lain dari{x, x∼_}_{, maka} _m _≦_x _dan m≦x∼_{. Berdasarkan Definisi 4 diperoleh}_x_∧_m₌_m_∧_x₌_m_dan _x∼_∧_m₌ m∧x∼₌_m_.

Perhatikan bahwa

(6)

Ini menunjukkan bahwa m≦x∧x∼_{, sehingga}_x_∧_x∼ _{adalah batas bawah}

terbesar dari{x, x∼_}_{. Jadi inf}_{{x, x}∼_}₌_x_∧_x∼_.

Teorema 3.4. [3] Dalam poset (A,≦) dengan unsur identitas 1, untuk sebarang x, y∈Aberlaku inf{x, y}=x∧y.

Bukti. Akan ditunjukkan inf{x, y}=x∧y.

Perhatikan bahwa (x∧y)∧x=x∧ydan (x∧y)∧y=x∧y. Akibatnya dengan menggunakan Definisi 4 diperolehx∧y≦xdanx∧y≦y. Karena itux∧y adalah batas bawah {x, y}.

Misalkanm∈A adalah batas bawah lain dari{x, y}, makam≦xdanm≦y. Berdasarkan Definisi 4 diperoleh x∧m = m∧x =m dan y∧m = m∧y =m. Perhatikan bahwa

m∧(x∧y) = (m∧x)∧y=m∧y=m.

Ini menunjukkan bahwam≦x∧y, sehinggax∧yadalah batas bawah terbesar dari{x, y}. Jadi inf{x, y}=x∧y.

Teorema 3.5. [3] Dalam poset (A,≦) dengan unsur identitas 1, untuk sebarang x, y∈B(A)maka sup{x, y}=x∨y.

Bukti. Misalkan (A,≦) adalah poset. Pada Lema 2 (2), ∀x, y ∈ B(A) berlaku (x∨y)∧x=x∧(x∨y) =xdan (x∨y)∧y =y∧(x∨y) =y. Akibatnya dengan menggunakan Definisi 4 diperolehx≦x∨ydany≦x∨y. Karena itux∨y adalah batas atas dari {x, y}.

Misalkan z adalah batas atas lain dari {x, y}, maka x ≦ z dan y ≦ z. Berdasarkan Definisi 4 diperoleh z ∧x = x∧z = x dan z∧y = y∧z = y. Perhatikan bahwa

(x∨y)∧z=z∧(x∨y) = (z∧x)∨(z∧y) = (x∧z)∨(y∧z) =x∨y.

Ini menunjukkan bahwax∨y≦z, sehinggax∨yadalah batas atas terkecil dari

{x, y}. Jadi sup{x, y}=x∨y.

Teorema 3.6. [3]Dalam poset (A,≦), jikax, y∈B(A) makax∨y≦x∨x∼_.

Bukti. Misalkan (A,≦) adalah poset. Ambilx, y∈B(A). Akan ditunjukkanx∨y≦

x∨x∼_.

Perhatikan bahwa

(x∨x∼₎_∧₍_x_∨_y_{) = (}_x_∨_y₎_∧₍_x_∨_x∼_{) = ((}_x_∨_y₎_∧_x₎_∨₍₍_x_∨_y₎_∧_x∼_{) =}

(x∧(x∨y))∨(x∼_∧₍_x_∨_y_{)) =}_x_∨₍_x∼_∧₍_x_∨_y_{)) =}_x_∨₍_x∼_∧_y_{) =}_x_∨_y_.

Maka berdasarkan Definisi 4 diperolehx∨y≦x∨x∼_{, x, y}_∈_B₍_A_).

Teorema 3.7. [3] Dalam poset (A,≦), jika x ≦ y maka untuk sebarang z ∈ A, berlaku:

(7)

Bukti. Misalkan (A,≦) adalah poset, dan jika x ≦ y maka y∧x = x∧y = x. Ambilz∈A.

(1) Akan ditunjukkanz∧x≦z∧y. Perhatikan bahwa

(z∧y)∧(z∧x) = (z∧x)∧(z∧y) = ((z∧x)∧z)∧y= ((x∧z)∧z)∧y= (x∧(z∧z))∧y= (x∧z)∧y= (z∧x)∧y=z∧(x∧y) =z∧x.

Maka berdasarkan Definisi 4 diperolehz∧x≦z∧y. (2) Akan ditunjukkanz∨x≦z∨y.

Perhatikan bahwa

(z∨y)∧(z∨x) = (z∨x)∧(z∨y) =z∨(x∧y) =z∨x. Maka berdasarkan Definisi 4 diperolehz∨x≦z∨y.

4. Kesimpulan

Misal suatu sistem matematika (A,∧,∨,(·)∼_{) adalah Pra A*-Aljabar.}

Se-lanjutnya diperoleh struktur aljabar dari Pra A*-Aljabar seperti pada bagian 2. Dengan mendefinisikan sebuah relasi terurut parsial pada Pra A*-Aljabar maka himpunanAbersama-sama dengan relasi terurut parsial padaAdinamakan dengan poset. Kemudian diperoleh sifat-sifat Pra A*-Aljabar sebagai sebuah poset seperti pada bagian 3.

5. Ucapan Terima kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Admi Nazra, Ibu Nova Noliza Bakar, Ibu Lyra Yulianti, Bapak Dodi Devianto, Bapak Efendi, yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.

Daftar Pustaka

[1] Birkhoff, G. 1973. Lattice Theory,Third Edition. American Mathematical Soci-ety.

[2] Satyanarayana, A. dan J.V. Rao. 2011. Representation of Pre A*-Algebra by Section of Sheaves. International Journal of computational Cognition, Vol. 9, No. 2, June 2011 (40-44).