SISTEM KOMUNIKASI DIGITAL

(1)

SISTEM KOMUNIKASI DIGITAL

Berikut ini digambarkan salah satu blok diagram sistem komunikasi sederhana.

Gbr. 1 : Salah satu model sistem komunikasi

• Fungsi sistem komunikasi adalah memancarkan informasi secara andal dari sumber informasi ke pengguna informasi

• Dari blok diagram diatas dapat dilihat bahwa :

o keluaran dari sumber informasi adalah sudah berbentuk

signal-signal digital , yaitu berupa urutan simbol-simbol dari berbagai abjad yang sudah menjadi signal-signal diskrit

• Simbol-simbol ini diproses oleh koder sumber menjadi simbol-simbol

bentuk lain (atau disebut kelompok simbol) agar supaya :

o dapat dibuat menjadi simbol-simbol yang pada saat dipancarkan ke pengguna informasi , banyaknya simbol tersebut adalah menjadi seminimal mungkin

• Keluaran dari koder sumber menjadi masukan bagi koder saluran dimana :

o koder saluran tersebut berfungsi untuk

memperbesar efisiensi

komunikasi

, yaitu dengan jalan :

mengubah urutan bit keluaran koder sumber menjadi urutan bit simbol yang berbeda dari abjad yang dikirim dari sumber informasi

• Keluaran koder saluran masuk ke modulator , kemudian dipancarkan lewat Kanal Diskrit Tanpa Memori = DMC (Discrete Memoryless Channel) menuju ke demodulator yang menjadi bagian sistem penerima, terus masuk ke dekoder kanal sistem penerima

• Manfaat DMC ini mencakup :

o melakukan

pengurangan terhadap pengaruh distorsi

signal

sewaktu melewati kanal komunikasi gelombang

• detektor kanal yang mendapat masukan dari demodulator , akan beru-paya untuk :

o merekonstruksi urutan keluaran yang berasal dari koder

sum-ber , menjadi

urutan bit yang seasli mungkin

• Dengan menggunakan disain enkoder-dekoder yang tepat, maka akan dapat :

Sumber Informasi Koder Sumber Koder Kanal Modulator Gelombang Kanal Gelombang Demodulator Gelombang Dekoder Kanal Dekoder Sumber Pengguna Informasi

(2)

o

mengoreksi beberapa kesalahan transmisi yang terjadi

di Kanal Diskrit Tak Bermemori

(DMC) tadi, sehingga

dapat memperbaiki keandalan komunikasi

• Dengan memakai keluaran dekoder kanal, maka dekoder sumber akan dapat

membuat

perkiraan urutan bit informasi yang

dipan-carkan

KODE KELOMPOK

(Block Code)

Kode kelompok adalah suatu kode yang dapat mengoreksi kesalahan bit secara mandiri (self error correction) , dimana :

• bentuk kode terdiri atas :

o kode yang menggambarkan suatu kharakter sebanyak k buah bit

o kode yang digunakan sebagai uji paritas sebanyak qbuah bit

• kemungkinan kharakter yang terjadi = m buah = 2 kbuah

• pada kode kelompok banyaknya bit menjadi k + q = nbuah bit

Jika

salah satu kharakter tersebut

adalah :

(

d

₁

d

₂

d

_k

)

d

=

⋅⋅

1 atau 0 bernilai s/d d₁ _k , maka :

• dengan memakai enkoder (alat untuk membuat kode), maka :

o

kode kharakter data yang terdiri atas k bits tersebut diubah

menjadi kharakter baru yang terdiri atas

n

bits

o tambahan bit sebanyak

=

q

=

(

n

−

k

)

bits, merupakan bit uji paritas

• Kata kodenya ditulis dengan kode (n , k)

• Tujuan penambahan q bits paritas tersebut adalah :

untuk membuat kode yang terdiri atas n bits tadi menjadi

kode yang dapat

mendeteksi

dan

mengoreksi

ke-salahan bit secara mandiri (

self detection and correcting code)

• Kesalahan bit tersebut dapat terjadi karena signal-signal biner tersebut

melalui media transmisi dalam perjalanannya dari sumber signal ke tujuan

• Data yang keluar dari encoder tersebut , yang disebut dengan kata kode (code word), dinyatakan sebagai berikut :

(

)

(

₁ ₂ _k _k ₁ _k ₂ _n

)

q k 2 k 1 k k 2 1

x

atau

x

⋅⋅

⋅

=

⋅⋅

⋅

=

+ + + + +

Untuk kode sistematis, maka :

k k 3 3 2 2 1 1

d

x

d

x

d

x

d

x

=

⋅⋅

=

(3)

q k n= + = baru kode setiap bit seluruh Banyaknya

Bit-bit uji paritas untuk kode sistimatis tersebut dibuat memenuhi hubungan

yang sesuai dengan persamaan berikut ini :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ + k 2 1 qk q2 q1 2k 22 21 1k 12 11 n 2 k 1 k

d

h

x

M

L

M

L

M

Contoh :

Suatu kode (15,11), mempunyai kode data :

(

0

1

0

1

0

1

0

1

1 )

=

d

, dengan n = 15 ; q=4 dan k = 11 ;

Misalkan kode uji paritas dinyatakan dengan persamaan matrix sebagai berikut :

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + 11 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 15 14 13 12 4 11 3 11 2 11 1 11 2 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 d d d d d d h h h h h h h h h x x x x x x x x x x x k qk q q k k n k k M M L M M M M L L M ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ + ⊕ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 15 14 13 12 x x x x

Maka kode sistimatis lengkap yang dikirimkan adalah :

(

1 2 11 12 13 14 15

) (

= 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0

)

= x x x x x x x

x LLL

Jika m adalahsalah satu dari 2k buah kode untuk data yang mungkin terjadi, maka salah satu kode data adalah x_m₁,x_m₂,...,x_mk.

Dengan kata lain salah satu kode data tesebut adalah :

[

_m _m _mk

]

dm

x

=

₁

,

₂

,

L

,

k qk 3 q3 2 q2 1 q1 n q k k 2k 3 23 2 22 1 21 2 k k 1k 3 13 2 12 1 11 1 k

d

h

d

h

d

h

d

h

x

..

...

d

h

d

h

d

h

d

h

x

d

h

d

h

d

h

d

h

x

+

⋅

+

=

+

⋅

+

=

+

⋅

+

=

+ + +

(4)

Jika kode tersebut diberi bit uji paritas ( parity checking bit ) yang banyaknya q buah bit , maka keseluruhan bit keluaran dari enkoder yang menggambarkan suatu kharakter, akan menjadi terdiri atas n buah bit, sehingga susunannya menjadi :

[

m m mn

]

m

x

=

₁ ₂

L

Jika digambarkan secara blok diagram :

Operasi enkoder yang dikerjakan dalam suatu enkoder blok biner linier dapat digambarkan sebagai

himpunan

n

buah persamaan dalam bentuk

ma-trix

sebagai berikut :

j k j m j m j m j m x g x g x g c = ₁ ₁ + ₂ ₂ +_L + dengan j=1,2,_L,n;m=1,2, ⋅⋅ ⋅⋅2k 1 0 dimana g_i_j = atau Contoh :

Kode ( 7,4 ) ; maka m_j adalahsalahsatudari 24 kemungkinankode

Data yang mungkin terjadi jika setiap data terdiri atas 4 bit adalah Kode-kode bit paritas yang terkait tergantung dari matrix H.

Matrix H tersebut dapat dilihat pada pembahasan berikut :

]

• Seperti sudah dibahas sebelumnya, kata kode dinyatakan dengan :

(

x

k

x

k

x

k

x

n

)

x

=

₁ ₂

⋅

⋅⋅

₊₁ ₊₂

⋅⋅

• Kode data dinyatakan dengan

d

=

(

d

_m₁

d

_m₂

d

_m₃

...

d

_mk

)

dimana :

mjadalah salah satu dari 2 kbuah jenis kata kode yang mungkin terjadi

• Selanjutnya dapat ditulis :

dG

x

=

dimana : 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Enkoder

bit Masukan k bit Keluaran n

(5)

G =

matrix generator kode

dan merupakan

matrix k x n

Matrix generator G dinyatakan dengan persamaan matrix :

[

I P

]

G= _k

dengan I_k =matrix identitas dan ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = qn 2k 1k q3 23 13 q2 22 12 qn 21 11 T h h h h h h h h h h h h H P L L M M M M L L L L L L Contoh :

Suatu kode (7,4) dengan generator matrix : G=

[

I_k P

]

Disini n = 7 ; k = 4 ; q = 3

Dari contoh ini, karena :

• banyaknya bit untuk setiap kode adalah k = 4

• banyak bit untuk paritas adalah q = 3 , maka :

o dapat digambarkan kemungkinan seluruh kode blok yang terjadi adalah :

Jika rumus-rumus yang ada diuraikan lebih lanjut :

[

]

[

] [

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = = T qk q q k k k k h h h h h h h h h d d d P I d dG c L M L M M L L M L L M M L L L 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 G ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 H k I Data Matrix T H P= = =dG x ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(6)

[

]

[

d d d

[

d d d

]

P

]

h h h h h h h h h d d d c _k _k qk k k q q k L L L M L M M L L M L L M M L L L 1 2 1 2 2 1 2 22 12 1 21 11 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = Maka

[

d dP

]

[

c cp

]

c= =

Jadi urutan bit uji paritas adalah cp =dP

Jika urutan bit yang diterima adalah kata kode yang tepat , maka :

Jika urutan bit yang diterima tepat , maka rumus diatas dapat ditulis dalam persamaan matrix sebagai berikut :

[

]

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + = q p p I P c d c dP 0

hal ini karena

[ ]

q p

p

I

c

=

Jika tak terjadi kesalahan bit , maka : dP⊕c_p =0

[

]

[

]

P 0P 0 I P c d P c d cH q p p T = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = =

Syarat urutan bit yang diterima dekoder tidak terjadi kesalahan bit : cHT =0

Didalam hal ini , sesuai dengan perhitungan diatas , yang dimaksudkan dengan HT adalah :

[

q

]

T q T I P H I P H _⎥→ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

Dalam persamaan matrix

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = qk q q k k h h h h h h h h h L M L M M M L M M L L 2 1 2 22 12 1 12 11 H paritas uji Matrix Contoh :

Kode (7, 3) dengan matrix uji paritas :

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = → ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 T H p H bit Urutan dihitung yang dekoder di bit Urutan paritas uji diterima yang 0 c dP ⊕ _p =

(7)

Kata kode : c=dG

Bila tanpa kesalahan bit maka : cHT =0

Bila terjadi kesalahan bit yang diterima di dekoder , maka vektor kode yang diterima adalah : e

c

r= ⊕

Jika terjadi kesalahan bit , maka : r≠c→e≠

(

0 0 _L_L 0

)

Jika tidak terjadi kesalahan bit , maka : r=c→e=

(

0 0 _L_L 0

)

Syndrome =

s

=

rH

T

=

(

c

⊕

e

)

H

T

=

cH

T

⊕

eH

T

=

0 +

eH

T Syndrome = s=eHT

Jika tanpa kesalahan bit , maka : s=

(

0 0 _L_L 0

)

Jika ada kesalahan bit , maka : s≠

(

0 0 _L_L 0

)

• Anggaplah bahwa terjadi kesalahan pada bit ke-i

[

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ' 2 1 2 22 21 1 12 11 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L qk q q k k k h h h h h h h h h I H H

( ) (

)

(

i i qi

)

qk k k qi i i q q T h h h h h h h h h h h h h h h H e s Syndrome = ⋅ ⋅ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = ₁ ₂ 2 1 2 1 2 22 12 1 21 11 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 ' 1 M M M M M M M M M M M M L L

• Persyaratan suatu kode dapat dikoreksi bilamana terjadi 1 kesalahan bit adalah :

o Semua kolom matrix H sudah ditentukan nilainya dengan pasti

o Semua isi kolom ke-1 s.d. ke-k sudah tertentu nilainya dengan pasti

o q kolom berikutnya merupakan matrix identitas Ik

o Agar matrix identitas Ik dapat membuat syndrome yang dapat ditentukan nilainya, maka harus : 2q −

(

q−1

)

≥k

o Misalkan q=3→8−2=6≥k

o Jadi kode blok (7, 4) , yang berarti bahwa : k=4→q=3→memenuhi q₋(q₋ )_≥k

1 2

o Ketidak samaan (inequity) 2q −

(

q−1

)

≥k yang harus dipenuhi bagi kode berkesalahan tunggal adalah hal yang khusus daripada ketidak samaan Ham-ming dH ≥2t+1→dHmin =2t+1 digit i ke−

(

0 0 0 _L_L 1 _L_L 0

)

= e adalah ya kesalahann vektor

(8)

• Ketidak samaan Hamming dH ≥2t+1 yang dapat digunakan secara umum untuk

pengoreksian kode yang mengalami kesalahan t buah bit , dapat diterangkan dengan contoh berikut ini :

o Kode blok ( 7, 3 ) berarti n = 7 ; k = 3 ; q = 4 .

o Penerapan ketidak samaan 2q−

(

q−1

)

≥k→24−

(

4−1

)

=13≥k=3

o Dengan demikian kode blok ( 7, 3 ) adalah kode yang dapar mengoreksi kesalahan tunggal

o Contoh kode blok yang tak dapat mengoreksi meskipun kesalahannya tunggal adalah kode bloK ( 6, 4) , yang berati q =2 ; dengan memasukkan ke ketidak samaan q−

(

q−

)

≥k

1

2 , dimana 22−

(

2−1

)

=3< =4

k

• Kode dengan kesalahan yang lebih besar dari 1 , misalnya terjadi kesalahan t bit , salah satunya dapat diselesaikan dengan Hamming bound , yang mana salah satunya yang khusus adalah menggunakan rumus ketidak samaan 2q−

(

q−1

)

≥k

• Hamming bound ini menentukan , bahwa :

o Banyaknya pattern bit uji paritas yang mungkin terjadi harus setidak-tidaknya

sama dengan banyaknya cara , dimana kesalahan dapat terjadi sampai dengan t buah kesalahan bit

o Untuk kode ( n, k ) berlaku hubungan :

∑

= − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≥ t i k n t n 0 2

Ini berati bahwa _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = − n t n n n q k n L L 2 1 0 2 2

Untuk kode (7, 4) dan banyaknya kesalahan bit adalah t = 3 , maka :

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≥ = = − − 7 3 7 2 7 1 7 0 4 7 8 2 2n k

Penyelesaian persamaan diatas dapat digunakan untuk membuat tabel berikut ini : Tabel kode-kode yang dapat mengoreksi kesalahan

( )

(

15,11

)

0.73 11 15 57 . 0 4 , 7 4 7 5 . 0 3 , 6 3 6 4 . 0 2 , 5 2 5 1 4 Efisiensi Kode max k n ) 1 t ( tunggal kesalahan mengoreksi dapat yang kode -Kode =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

25,13

)

0.52 13 25 55 . 0 11 , 20 11 20 53 . 0 8 , 15 8 15 36 . 0 4 , 11 4 11 4 . 0 4 , 10 4 10 Efisiensi Kode max k n ) 2 t ( ganda kesalahan mengoreksi dapat yang kode -Kode =

(9)

• Jarak Hamming : perbedaan banyaknya posisi diantara 2 kata kode apa saja

• Jarak Hamming ini memegang peranan kunci didalam penaksiran kapasitas atau kemampuan kode-kode mengoreksi kesalahan

• Jarak Hamming =dH ≥2t+1→dHmin =2t+1

dimana : dikoreksi dapat dan salah yang bit banyaknya = t

• Kode-kode yang dapat mengoreksi kesalahan tunggal : t=1→dHmin =2

( )

1 +1=3

•

JARAK HAMMING DAN BOBOT HAMMING

(HAMMING DISTANCE and HAMMING WEIGHT)

Sebagai contoh adalah kode blok ( 7, 4) ; Efisiensi kode = 7 4

=

R

• Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa setip kata kode (setelah dibalik cara penulisannya ) berbeda satu-sama lain , dengan perbedaan paling tidak 3 posisi , yang dapat dilihat pada tabel dibawah ini :

Tabel kode blok khusus

• Jadi jika terjadi kesalahan bit sampai dengan 2 buah , maka kesalahan tersebut tidak akan menyebabkan kodenya menjadi kode yang sama dengan setiap kode lainnya , apapun juga kode lain itu

• Berita dan kata kode (serta berita dan kata kode yang dibalik cara penulisannya) yang mungkin terjadi adalah sebagai tabel berikut ini :

(

)

(

)

(

)

(

24,12

)

0.55 12 24 52 . 0 12 , 23 12 23 33 . 0 5 , 15 5 15 2 . 0 2 , 10 4 10 Efisiensi Kode max k n ) 3 t ( ganda kesalahan mengoreksi dapat yang kode -Kode = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 ` 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 ` 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ` 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 menjadi dibalik berita

(10)

• Didalam hal ini penulisan kata kode yang telah dibalik susunannya akan mampu memberi tahu pengguna bahwa kesalahan transmisi telah terjadi , meskipun tidak dapat mengoreksi kesalahan-kesalahan tersebut

• Suatu kode khusus ditampilkan pada tabel berikut ini :

• Contoh :

Kode blok(7, 4) ; kode datanya terdiri atas k bit atau 4 bit ; kode paritasnya terdiri atas q bit atau 3 bit

Jenis kode data yang terdiri atas 4 bit adalah 2k = 24 = 16 buah .

Semua jenis kode data yang masing-masing terdiri atas 4 bit dapat digambarkan sebagai berikut : ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Misalkan matrik uji paritas adalah :

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 h h h h h h h h h h h h H

(11)

[

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 4 34 3 33 2 32 1 31 4 24 3 23 2 22 1 21 4 14 3 13 2 12 1 11 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 4 3 2 1 7 6 5 d h d h d h d h d h d h d h d h d h d h d h d h h h h h h h h h h h h h d d d d dH c c c Jika ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ → ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 2 1 4 3 2 3 2 1 7 6 5 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 d d d d d d d d d c c c H

Rumus untuk kata kode adalah c=dG=

[

dI_kP

]

=

[

dI_kHT

]

c = Seluruh kata kode yang mungkin terjadi

( )

x =

W non-zero weight = pembobot bukan nol = banyaknya bit bukan nol dalam 1 kata kode

( )

x min dHmin W = ; 2 1 3 1 jika min min = + = = t H t d

• Untuk kode blok (n, k) ; berarti q= n - k

• Misalkan n = 7 ; k = 4 , berarti q = m = 3; khusus kode ini memenuhi hubungan : 1

2 −

= q

n →23−1=8−1=7

O Tidak semua jenis kode blok memenuhi hubungan itu ; misalnya kode blok (7, 3) ; jika diterapkan rumus diatas , maka n=2q −1=24 −1=16−1=15≠7

• Efisiensi kode = code rate =

n q n q n n k ₌ − ₌ ₋ 1

O Untuk kode blok khusus sebagaimana contoh diatas :

1 2 1 − − = _qq n k

O Untuk efisiensi kode ≅1→ ≅1

n k

O Untuk kode blok khusus ≅ → − ≅∞→ ≅∞

− → − − = ≅ q q q q q q n k 2 1 2 0 1 2 1 2 1 1 Berarti q>>1 d c k I P ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 7 4 4 3 3 4 4 3 4 3 3 4 4 3 3 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

( )

x W weight zero non−

(12)

• Kata kode yang ke-i adalah xi yang terdiri atas :

o mi buah bit berita , dimana i = 1, 2, 3 …… k o ci - kbuah bit koreksi, dimana i = k+1, k+2, ……n.

• Sebagai contoh adalah sebuah kata kode ( 7,4 )

o ini berarti n = 7 dan k = 4 q = banyak-nya bit uji paritas = 3

o Dengan 7 bit per kata kode berarti banyaknya kode yang bisa terjadi adalah = 27 = 128 jenis kata kode yang berbeda satu sama lain

o Namun karena kode untuk data hanya terdiri atas 4 bit saja, maka hanya terdapat 24 = 16 jenis kata kode saja yang digunakan, dari 128 buah jenis kata kode yang mungkin terjadi

o Bentuk kata kode tersebut adalah : x=[m1 m2 m3 m4 c1 c2 c3] T

o Jika H = matrix uji paritas, maka H adalah matrix persegi q x n yang bentuknya sebagai berikut :

o dimana bagian kanan dari matrix tersebut adalah matrix satuan (unit matrix)

q x q

o Dengan pemilihan matrix uji paritas tersebut maka harus dipenuhi :

H x = 0 ( dimana x = kode tertentu )

Dengan demikian :

[

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 M M M L L M M M M M M M M M L L L L L L L L M M M M M M M M M L L L q k qk q q k k T q k qk q q k k c c c m m m h h h h h h h h h c c c m m m h h h h h h h h h Hx k q q

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

1

0

1

0

1

2 1 2 22 21 1 12 11

L

M

L

qk q q k k

h

H

(13)

Maka : h_j₁m₁⊕h_j₂m₂⊕_L⊕h_jkm_k ⊕c_j =0 ; j =1,2,_Lq

Misalkan sebuah kata kode x dipancarkan mengalami beberapa kesalahan bit-nya sewaktu diteri-ma di tujuan. Jika kata kode yang diterima adalah y , dimana pola kesalahannya (error-pattern) adalah e.

Maka y = x⊕e.

Ini berarti setiap kata kode yang diterima adalah yi =xi⊕ei dengan i=1,2,Lk.

Jika ⎩ ⎨ ⎧ = → ≠ → = i i i i i x y x y e 0 1 Contoh : T T y x ] 0 0 1 1 0 [ ] 1 0 0 1 0 [ = = e=[00101] T→

Jika di penerima kesalahan e dapat ditentukan , maka semua kesalahan yang terjadi dapat diko-reksi. Untuk dapat menentukan kesalahan “e” dari kata kode yang diterima “ y” , maka kata kode yang dipancarkan “x” harus diketahui.

Untuk itu harus dihitung sebuah q-digit syndrome.

Yang dimaksudkan dengan q-digit syndrome adalah :

Hy s =

Lebih lanjut s dapat diuraikan menjadi :s=Hx⊕He Karena Hx=0, maka :

He s=

Jadi dapat dilihat bahwa jika tanpa kesalahan atau e=0 maka s=0.

Jika berita yang diterima hanya salah 1 digit saja, misalkan yang mengalami kesalahan digit ke-j, maka dapat dibuktikan bahwa :

T qj j j h h h s=[ 1 2 L ] dimana j≤k Contoh : Kode ( 7,4 ) berarti k = 4 ; n = 7 ; q =3

Kode paritas untuk setiap berita adalah :

q

Hc = 0 ( dimana c = kode tertentu yang dikirim)

]Dengan demikian :

[

]

T q k qk q q k k c c c d d d h h h h h h h h h c H _L _L L L M M M M M M M M M L L L 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

Kesalahan terjadi pada digit ke-3 dan ke-5

k q ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 22 21 1 12 11 L L M M M M M M M M M L L L qk q q k k h h h h h h h h h H q

(14)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 M M M L L M M M M M M M M M L L L L q k qk q q k k c c c d d d h h h h h h h h h Hc :

h

j1

d

1

⊕

h

j2

d

2

⊕

L

⊕

h

jk

d

k

⊕

c

j

=

0

;

j

=

1 ,

2 ,

L

q

0

1

0

1

0

1

0

1

0 ;

4 ;

3 :

1 13 12 1 14 13 12 11 4 3 2 1

=

⊕

→

=

⊕

→

=

c

h

c

h

j

d

k

q

Untuk

• Matrix Uji Paritas adalah :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

→

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

₊ + + 4 3 2 1 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 7 6 5 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1

d

h

c

d

h

c

k qk q q k k q k n k k

M

L

M

L

M

4 34 3 33 2 32 1 31 7 4 24 3 23 2 22 1 21 6 4 14 3 13 2 12 1 11 5

d

h

d

h

d

h

d

h

c

d

h

d

h

d

h

d

h

c

d

h

d

h

d

h

d

h

c

⊕

=

⊕

=

⊕

=

• Nilai syndrome atau s ini sama dengan isi kolom ke-j dari kolom matrix uji paritas H

• Karena itu syndrome memberikan informasi seolah-olah tidak ada kesalahan yang terjadi (no error) , atau posisi sebuah kesalahan asalkan semua kolom matrix uji paritas H adalah berbeda dan bukan nol

• Dengan demikian didapatkan kode pengoreksi kesalahan tunggal (jika kesalahan yang terjadi hanya 1, maka langsung dikoreksi)

• Jika digunakan dengan model ini, maka suatu kode (n,k) akan mempunyai Probabilitas Kesalahan :

( )

2

,word n e

P

≈

( )

(

)

2 ,

2 P

2 k

n

1 c

n

k

P

_e _bit

≈

_n

≈

−

• Namun kesalahan-kesalahan yang terjadi berulang-ulang (multiple errors) akan menyebabkan keruwetan atau komplikasi

(15)

o karena meskipun kesalahan-kesalahan yang sebenarnya itu bisa dihilangkan, tapi akibatnya akan salah didalam membetulkan digit berita lainnya

o yang mana beritanya akan menjadi lebih jelek

o Akibatnya dikehendaki kode yang lebih kuat

kecuali jika c sebegitu kecil sehingga kesalahan-kesalahan yang berulang akan amat jarang terjadi.

• Sayangnya dengan melengkapi suatu syndrome dan matrix uji paritas yang tepat untuk mengoreksi kesalahan yang berulang-ulang adalah :

o suatu kerja yang jauh lebih ruwet

o Oleh karena itu kode pengoreksi dua kesalahan yang pertama kali dibuat orang :

lebih didasarkan pada coba-coba (trial-and-error) daripada dirancang berdasarkan metode tertentu.

• Akhirnya Slepian pada tahun 1956 mengambil teori koding yang berdasarkan sepenuhnya pada matematika, pada saat dia :

o berhasil menemukan relasi konsep koding dengan aljabar modern.

• Segera setelah itu , dengan memakai teori medan Galois, para ahli yang bernama :

o Bose, Chaudhuri dan Hocquenghem mengembangkan ke-lompok kode yang dapat mengoreksi kesalahan yang berulang-ulang (sekarang disebut dengan kode BCH (singkatan dari Bose-Chaudhuri-Hocquenghem) yang :

efisien dan mempunyai hubungan relative sederha-na dengan persyaratan perangkat keras bagi coding dan dekoding.

Pendeteksian Kesalahan Dengan Kode Siklis

- Meskipun sebagian besar upaya didalam penkodean (coding) yang telah dipelajari adalah yang berkaitan dengan kode-kode FEC = Forward Error Correction , namun pendeteksian kesalahan juga dipakai secara luas dilam komunikasi data modern

-

Pendeteksian kesalahan tersebut biasanya memerlukan lintasan catubalik dari penerima informasi ke pemancar , yang memberi tahu bahwa telah terjadi kesalahan bit yang diterima , yaitu urutan bit informasi tidak cocok dengan urutan bit paritasnya

-

Selanjutnya pemancar akan mengirim ulang urutan bit katakode yang benar

-

Beberapa versi implementasi FEC adalah dengan cara :

o

Pengenalan negatip (NAKs = Negative Acknowledments) berarti lintasan catubalik hanya diterapkan terhadap signal yang diterima salah saja , dimana pemancar akan mengirim ulang signal informasi jika signal NAK diterima

o

Pengenalan positip (ACKs) berati bahwa lintasan catubalik hanya diterapkan terhadap signal yang diterima dengan benar saja , dimana akan secara otomatis dikirim ulang signal informasi dari pemancar jika tidak diterima signal ACK , selama interval waktu tertentu

o

Kombinasi ACK dan NAK

- Cara seperti yang disebutkan diatas disebut ARQ = Automatic Repeat reQuest , atau pengenalan dengan cara teknik pengiriman kembali (retransmission)

-

Semua jaringan switching data-paket dan jaringan komputer melakukan pendeteksian kesalahan dengan pengiriman kembali bilamana kesalahan terdeteksi

-

Contoh jaringan-jaringan tersebut adalah :

o

Jaringan-jaringan dengan pembagian waktu (time-shared networks)

(16)

o

Jaringan-jaringan perusahaan swasta (private corporate networks) , misalnya perbankan , pemesanan tiket pesawat udara , penjualan produk manufacture secara eceran , dan sebagainya) dan jaringan-jaringan yang terus berkembang , yang menggunakan banyak komputer untuk komunikasi data secara bersama - Jaringan-jaringan ini terdiri atas banyak saluran komunikasi (jalur = link) yang

dihubungkan dengan berbagai topologi jaringan , dengan pendeteksian kesalalahan dilakukan secara umum terhadap jalur-lalur tersebut

-

Kode siklis digunakan paling sering digunakan didalam melakukan fungsi pendetek-sian kesalahan

-

Blok-blok data yang dikirimkan didalam jaringan-jaringan ini sering kali disebut dengan paket

-

Paket-paket tersebut dapat berentang dari 500 sampai dengan 1000 bit panjangnya , bahkan lebih

-

Jadi pengkoreksian kesalahan untuk kata-kode kode sepanjang itu bukanlah pekerjaan yang mudah

-

Pendeteksian kesalahan terhadap kata-kata kode yang bit uji paritasnya tetap dapat mudah dilakukan

-

Adanya q buah bit uji paritas memungkinkan setiap kesalahan lonjakan (burst error) sepanjang q buah bit (ataupun kurang) tersebut untuk dideteksi kesalahannya (jika terjadi)

-

Pendeteksian tersebut tidak tergantung pada panjang paket data

-

Karena pada umumnya dirancang agar k>>q (agar efisiensi pengkodean tinggi) , maka deret generator g

( )

x , atau enkoder siklis jenis-sisa (remaider-type cyclic enco-der) pada umumnya digunakan didalam aplikasi pendeteksian kesalahan tersebut

-

Misalkan kode siklis (n, k) , pada pendeteksian ini , dimana n=10;k =6;q=4

-

Pada pendeteksian ini , k buah bit data tersebut dikelompokkan menjadi

-

Perlu untuk dicatat bahwa hanya terdapat 1 bit saja didalam setiap lonjakan b buah bit (ataupun kurang) yang akan mempengaruhi setiap bit uji paritas , dan selanjutnya dapat yang dideksi

-

Hal ini adalah benar , apakah lonjakan-lonjakan tersebut terjadi dalam salah satu dari segmen-segmen b buah bit , dimana urutan data telah dikelompokkan , ataupun bertumpang tindih sampai meluberi 2 buah segmen seperti itu

-

Sebagai tambahan terhadap pendeteksian sebuah lonjakan didalam b buah bit (ataupun kurang) suatu kode linier dengan bit uji paritas sebanyak q = b buah bit akan mendeteksi lonjakan-lonjakan yang lebih panjang dengan prosentasi yang tinggi

-

Jika sebagian daripada lonjakan b buah bit tersebut menyebabkan :

o

b > q , maka yang tetap tak terdeteksi pada kode siklis (n, k) adalah

q

−

2 , jika b > q + 1

o

Jika b = q + 1 maka yang tetap tak terdeteksi pada kode siklis (n, k) adalah ( 1)

2−q−

-

Teorema

o

Jika banyaknya kode paritas q cukup banyak , maka hampir

semua kesalah-an dapat terdeteksi

o

Sebagai misal jika q=16 , maka semua lonjakan kesalahan sebanyak 16 buah ataupun kurang akan dapat dideteksi

(17)

o

Jika bagian lonjakan kesalahan yang terjadi menyebabkan b>17 , maka yang tetap tak dapat dideteksi adalah 2−16s.d.4x10−6(suatu jumlah yang betul-betul kecil)

o Untuk membuktikan teorema tersebut , misalkan suatu lonjakan kesalahan terjadi di pengelompokan b buah bits , mulai dari bit yang ke-i dan berakhir dengan bit yang ke-

[

i+

(

b−1

)

]

o Dalam bentuk deret lonjakan kesalahan (burst polynomial : b

( )

x =x'b₁

( )

x

o b1

( )

x deret berpangkat tertinggi (b−1)→ 1( )= 1+ 2+ + + 1+ + 1+1 − − − − − b i i b b b x x x x x x b L L

o Jika diperlihatkan dengan gambar , dimana adanya kesalahan ditunjukkan dengan bit 1 , yang terjadi pada bit i dan bit diakhir lonjakan , yaitu bit

(

i+b−1

)

sebagai berikut ini :

(

i b 1

)

biti bit 1 1 L L L L L L L L L L L − + − − − −

o Lonjakan kesalahan sepanjang b buah bit mempunyai kemungkinan sebanyak

2

2b−

buah simbol (1 atau 0) diantara permulaan dan akhir , yang bedasarkan difinisi , masing-masing dikendalai dengan bit 1 (untuk menyatakan bahwa pada urutan bit tersebut terjadi kesalahan)

o Hal ini sesuai dengan 2b−2 kemungkinan pattern lonjakan kesalahan disepan-jang b buah bit tadi , atau kemungkinan terjadinya 2b−2 buah bentuk daripada deret b1

( )

x

o Oleh karena perhitungan bit uji paritas di penerima dilakukan dengan jalan pembagian oleh deret generator g

( )

x yang mempunyai pangkat tertinggi r ,

satu kesalahan tetap tak terdeteksi , jika dan hanya jika b1

( )

x dapat

dibagi oleh g

( )

x

o Dari sini persyaratan bagi suatu pattern kesalahan lonjakan untuk tetap tak ter-deteksi adalah bahwa b₁

( )

x mempunyai b₁

( ) ( ) ( )

x =g x Q x

o Karena b1

( )

x adalah deret dengan pangkat tertinggi

(

b−1

)

dan g

( )

x adalah deret

dengan pangkat tertinggi q , maka Q

( )

x adalah deret dengan pangkat tertinggi

(

)

[

b−1 −q

]

o Kemungkinan yang bisa terjadi adalah :

Yang pertama adalah : lonjakan kesalahan sepanjang

(

b−1

)

=q , sehingga pangkat tertinggi daripada Q

( )

x adalah

[

(

b−1

)

−q

]

=0 , sehi-ngga Q

( )

x =1; dengan demikian hanya terdapat 1 pattern

lonjakan yang tak dapat terdeteksi

• Bagian lonjakan yang tak terdeteksi secara sederhana dirumuskan sebagai

Bagian dari lonjakan kesalahan yang tak terdetekasi = ₂

2 1

−

b

=2−(q−1) dimana b −1 = q

Yang kedua adalah jika b−1 > q_{; oleh karena pangkat tertinggi deret}

( )

x

[

(

b

)

q

]

Q adalah −1 − , dan harus berakhir dengan 1 , maka suku

dari-pada deret Q

( )

x adalah sebanyak

[

(

b−1

)

−q−1

]

, yang masing-masing dengan koefisien 1 atau 0

Kesalahan Pattern

(18)

Bagian dari lecutan kesalahan bit yang tak terdetekasi = _b q q b 2 2 2 2 1 1 = − − − −

Dua kemungkinan hasil yang diperoleh diatas membuktikan bahwa kode yang dapat mendeteksi kesalahan dengan bit uji paritas moderat atau cukup , akan mendeteksi kejadian pada sebagian besar pattern lonjakan kesalahan

o Karena semua jaringan data maupun komputer yang modern menggunakan beberapa bentuk deteksi kesalahan dengan teknik ARQ bila menerima paket data yang salah , maka :

Pemakaian teknik pendeteksi kesalahan akan dapat mengurangi probabilitas terjadinya kesalahan suatu paket data , sehingga menjadi 2−q

Prosedur deteksi kesalahan yang khusus , mempunyai bit uji paritas dengan rentang antara 8 s.d. 32 buah bit

Standard internasional untuk pengontrolan jalur data (link data control) , adalah menggunakan protokol HDLC (High-Level Data Link Control) , dima-na pada pengontrolan jalur ini menggudima-nakan :

• bit uji paritas sebanyak 16 bit dan deret generator

( )_x =_x16+_x12+_x5+1

g

o Perhitungan sebenarnya daripada probabilitas kesalahan suatu paket atau blok data yang dilindungi oleh suatu bit uji paritas siklis ada-lah :

sulit dilakukan karena masih kurangnya pengetahuan tentang mekanis-me yang mekanis-menghasilkan ledakan-ledakan kesalahan khusus

Jika mekanisme yang dimaksudkan adalah :

• noise suhu yng terus-menerus terjadi dan pengaruh-penga-ruhnya diberi model sebagai AWGN = Additive White Gaussian Noise , maka :

o kesalahan-kesalahan bit yang berturut-turut didalam suatu burst (lecutanan bit) akan bebas satu sama lain

o Probabilitas bahwa suatu paket atau blok sepanjang n bit akan diterima salah adalah :

(

)

[

1− 1− p

]

n≅np ; np<<1 ; p=probabilitaskesalahan bit

Namun pada kanal telepon band terbatas , yang paling sering dipakai sebagai tulang punggung jalur komunikasi untuk jaringan-jaringan data , noisenya tidak dimodelkan sebagai kanal AWGN

Lecutan-lecutan kesalahan pada kanal ini berpengaruh terhadap :

• memory

• menimbulkan kesalahan yang tergantung pada :

o bit-bit yang berturut didalam suatu aliran data (data stream)

o Hal ini membuat perhitungan probabilitas-probabilitas kesalahan sangat sulit

o Namun demikian , pengujian-pengujian telah menunjukkan bahwa : pengaruh kesalahan terhadap blok-blok data :

• membuat suatu kesalahan blok bergerak sebanding sewaktu panjang blok bertambah

o hal ini adalah model yang tepat untuk :

probabilitas kesalahan blok yang mempu-nyai hubungan yang sebanding dengan panjang blok

(19)

o Dengan demikian dapat dirumuskan : np P_b ≅ = blok kesalahan as Probabilit

dimana p=suatu parameter yangditentukanberdasarkan pengamatan

o Jadi semakin panjang blok , maka semakin besar kesalahan yang terjadi

• Jika dilakukan pengujian siklis , hasil yang sederhana adalah 2 kejadian kesalahan −q tak dapat dideteksi (hal ini dilakukan dengan menganggap panjang lonjakan b > q , atau q >> 1

• Probabilitas kesalahan blok keseluruhan dapat didekati dengan :

q e np P ≅ 2− • Contoh : 1. 2.

Rangkuman

- Tekanan pembahasan sistem komunikasi digital ini adalah mengenai pengoptimalan rancangan sistem dengan memaximalkan kecepatan transmisi informasi , yang menghadapi kendala-kendala berupa daya signal terbatas , noise dan lebar pita

- Beberapa aspek optimisasi dibahas dari berbagai sudut pandang

- Dalam pembahasan tentang komunikasi biner , diutarakan tentang pengaturan ambang pengambilan keputusan , apakah suatu signal diputuskan bernilai 0 atau 1

- Konsep matched filter dibahas untuk pemaximalan SNR pada transmisi biner

- Ketidak samaan Schwarz digunakan didalam membicarakan jaringan emphasis (preamphasis dan deemphasis) yang optimal untuk transmisi analog FM dan AM

- Pembahasan tentang SNR , perubahan lebarpita pada sistem PCM - Teori Shanon tentang sistem transmisi digital optimum

- Pembahasan transmisi optimum dengan cara yang lebih statistik didalam sistem komu-nikasi digital

- Prosedur optimisasi pada sistem komunikasi digital berdasarkan minimisasi proba-bilitas terjadinya kesalahan bit , dalam keadaan adanya AWGN

- Prosedur ini akan menjawab pertanyaan “apakah ada gelombang-gelombang biner yang optimum dan mekanisme penerima yang optimum untuk meminimalkan probabilitas terjadinya kesalahan

- Pembahasan dimulai dari sample-sample signal tunggal yang diterima dan selanjutnya melakukan generalisasi terhadap sample-sample yang berulang (multiple) secara bebas - Dari probabilitas distribusi yang diketahui dapat diperoleh prosedur pemrosesan

opti-mum , yang terdiri atas peningkatan pengaturan perbandingan kemungkinam (like-lihood ratio) dan menentukan apakah perbandingan tersebut lebih besar atau lebih kecil dibandingkan dengan suatu konstanta yang diketahui

- Sebagai alternatip , prosedur optimum terdiri atas sample-sample signal terima ruang berdimensi-m , yang dapat dibagi menjadi 2 daerah untuk pengambilan keputusan yang tidak tumpang tindih (disjoint decision regions)

- Dengan melakukan pensignalan multidimensi yang menggunakan signal-signal ortho-gonal M-susun , maka :

o dapat diperoleh penurunan probabilitas kesalahan , namun : memerlukan lebarpita yang lebih lebar

rangkaian memjadi bertambah komplex

( )( )( ) ( ) ( )₈ 4 ( )3( )5 ( 14) 12 5 32 5 5 10 4 10 64 4 10 256 4 2 10 1000 2 10 1000 32 ; 1000 ; 10 − − − − − − − ₌ ₌ _→ _≅ ₌ _≅ _≅ _≅ = n bits q bits P x p e ( )

( )( )

5 8 ( ) 5 5 10 2 256 105 500 2 10 500 8 ; 500 ; 10− = = → ≅ − − = ≅ − = n bits q bits P x p e

(20)

- Cara diatas adalah hal yang khusus daripada teorema kapasitas kanal Shanon , dimana :

• secara teoritis dapat dibuat sistem komunikasi dengan probabilitas kesalahan rendah , meskipun terdapat adanya noise AWGN , sehingga :

o dapat dilakukan operasi pengkodean dan pendekodean seca-ra memuaskan

o Hal diatas dimungkinkan asalkan :

kecepatan transmisi bit = R bps tidak melebihi kapasitas kanal , yang mana :

kapasitas kanal tersebut ditentukan oleh :

• lebarpita kanal transmisi , daya signal rata-rata dan kerapatan spektral

- Penggunaan metode-metode untuk mendeteksi dan mengoreksi kesalahan bit adalah :

o sebagai suatu cara untuk memperbaiki kinerja sistem komunikasi digital

- Cara yang umum dilakukan untuk mendeteksi dan mengoreksi kesalahan bit adalah :

o dengan jalan menyisipkan bit-bit uji paritas dalam aliran biner (binary stream) , sehingga dimungkinkan untuk :

mendeteksi dan mengoreksi kesalahan dalam jumlah tertentu - Langkah yang diambil dalam hal ini adalah :

o memilih kode yang mendekati kinerja kesalahan yang diramalkan oleh Shanon

PEMBUATAN KODE SIKLIS

• Deret generator g

( )

x langsung dapat digunakan untuk pembuatan kode siklis

• Pembuatan kode secara serial dapat dilakukan dengan mengimplementasikan register geser

• Dasar pemikirannya sebagai berikut :

• Berdasarkan rumus untuk deret katakode = c

( ) ( ) ( )

x =a x g x , dimana :

o deret urutan data : d

( )

x =d₁xk−1+_L+d_k₋₁x+d_k ; derajat (pangkat tertinggi) deret ini adalah

(

k−1

)

o namum derajat deret urutan data bisa menjadi kurang dari

(

k−1

)

jika d1 =0

hal ini tergantung pada nilai-nilai bit data

o operasi xn−kd

( )

x akan menghasilkan deret berderajat

(

n−k

) (

+ k−1

) (

= n−1

)

, atau lebih kecil bila koefisien dari suku deret yang berpangkat

(

n−1

)

adalah 0

o

( )

q

( ) ( )

x

r

x

g

x

d

x

n−k

₌

₊

₌

₊

pembagian

hasil

sisa

pembagian

hasil

o Derajat deret

( )

x g x d xn−k adalah :

(

) (

)

{

( )

}

[

n−k + k−1 − pangkat tertinggig x =q

]

=

(

n−1

)

−q=k−1 o Deret kata kode =c

( ) ( ) ( )

x =a x g x =xn−kd

( ) ( )

x +r x

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

x g x d x x g x d x x r k n k n− − =

=rem sisahasilpembagian

(21)

Buktikan bahwa kode

( )

7,3 jika kode datanya = d =111 , maka kata kodenya adalah : c=

(

1110100

)

Bukti :

( )

_{( )}

( )

(

)

1 1 1 rem rem ₄ ₃ ₂ 4 5 6 2 3 4 2 3 7 + + + + + = + + + + + = = − − x x x x x x x x x x x x x g x d x x r k n x2 1 2 3 4+ + + x x x x6+x5+x4

( )

=rem

_{( )}

( )

= 2 =1 2 +0 +0

( )

1 − x x x x g x d x x r k n

Jadi c=

(

d,koefisien-koefisien rem

) (

=

[

1110

) ( )

, 100

]

=

(

1110100

)

Arithmatika polynomial

Sebelum menentukan deret generator g

( )

x , akan dibahas lebih dahulu tentang arithmatika (perhitungan aljabar) perkalian dan pembagian polynomial sebagai berikut :

• Misalkan w

( )

D =w₀ +w₁D+w₂D2 +_L_L+w_k₋₁Dk−1 adalah deret ukur , dimana nilai

setiap 0 1 1 2 , 1 , 0 atau w k j j = − = LL

• Jika semua nilai

( )

2 1

1 2 , 1 , 0 1 1 − − = = → = + + + + k k j j w D D D D w _L_L L L o Jika k =4→w

( )

D =1+D+D2 +D3

• Jika untuk k =6 tidak semua

1 2 , 1 , 0 − = k j j w L L bernilai 1 , misalnya : o w₀ =1;w₁ =1;w₂ =0;w₃ =0;w₄ =1;w₅ =1 , maka :

( )

5 5 4 4 1 D w D w D D w = + + +

• Polynomial tersebut memberi gambaran yang sesuai dengan vektor informasi – k bit :

1 2 1 0 − =w w w w_k w _L_L

• Perhatikanlah beberapa polynomial berikut :

( )

1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 − − − − − − − − + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = n n n n n n n n D e D e D e e D e D x D x D x x D x D y D y D y y D y D g D g D g g D g L L L L L L L L

• Penjumlahan modulo-2 daripada 2 buah polynomial , misalnya :

( ) ( ) ( )

D x D e D y = +

( )

1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 − − − − + + + + + + + + + = n n n n D e eD e D e D x D x D x x D y _L_L _L_L 2 4 5 6 x x x x + + +

( )

1 111→ = 2+ + = d x x x d 2 rem=x

(22)

( )

(

) (

)

(

)

(

)

1 1 1 2 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 1 0 − − − − − = + + + + + + + + + + + + = n n n n n D x e x e D x e D x e D y D y D y y D y _L_L _L Jadi : 1 1 1 1 1 1 0 0 0 − − − = + + = + = n n n x e y e x y e x y M Secara umum : y_j =x_j +e_j

• Perkalian daripada 2 polynomial , misalnya :

( ) ( )

{

}{

1

}

1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 − − − − + + + + + + + + = n n n n D w w D w D w D g D g D g g D w D g _L_L _L_L

( ) ( )

2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 3 2 1 2 1 1 0 1 1 1 0 2 2 0 1 0 0 0 − − − + − − − − − − − + + + + + + + + + + + + + + + = n n n n n n n n n n n n n D w g D w g D w g D w g D w g D w g D w g D w g D w g D w g D w g w g D w D g L L L L

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

(

+ + +L+

)

+

(

+ + +L

)

+L + + + + + + + + + + = − − − − − − − − − − 2 4 2 3 1 2 0 1 0 1 2 2 2 1 1 0 1 1 3 0 3 2 1 3 0 2 0 2 1 1 2 0 0 1 1 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n D w g w g w g D w g w g w g w g D w D w g w g w g D w g w g w g D w g w g D w g D w D g Dapat ditulis :

( ) ( ) (

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0 3 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 1 g D w D w g w g w g D w g w g D w g D w D g n k k n k k n k k n n k k n k k n n k k n + + + + + + = − − − − − − − − − − − − − − − + − − M

Kata kode keluaran adalah :

i q q i i q

w

g

x

₋ =

∑

=

0

dimana perhitungan dan rangkaian berikut ini secara konsep dapat digunakan untuk me-nggambarkan perkalian x

( )

D =w

( ) ( )

D g D

Untuk menghitung persamaan diatas dapat dilakukan dengan menggunakan rangkaian logika berikut : 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 4 0 3 1 2 2 1 3 0 3 0 2 1 1 2 0 2 0 1 1 0 1 0 0 0 4 3 2 1 0 g w g w g w g w g w x q g w g w g w g w x q g w g w g w x q g w g w x q g w x q + + + + = → = + + + = → = + + = → = + = → = = → = Σ Σ Σ Σ X X X X X 3 n-k 2 1 k n g− gn−k−1 gn−k−2 gn−k−3 g0 1 2 1 0,x, ,xn− ,xn− x _L Masukan 1 2 1 0,w, ,wk− ,wk− w _L Keluaran