PERBANDINGAN ANTARA MODEL LINIER DENGAN FAKTOR TETAP (GLM) DENGAN MODEL LINIER DENGAN FAKTOR TETAP DAN ACAK (GLMM) WULAN METAFURRY

(1)

PERBANDINGAN ANTARA MODEL LINIER DENGAN FAKTOR TETAP (GLM) DENGAN MODEL LINIER DENGAN FAKTOR TETAP DAN ACAK (GLMM)

WULAN METAFURRY

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGTAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

Dr. Ir. ASEP SAEFUDDIN, M Sc.

Sejak tahun 2004, presiden dipilih langsung oleh masyarakat. Pada umumnya ada faktor-faktor yang menyebabkan masyarakat tidak menggunakan hak pilihnya. Faktor-faktor-faktor tersebut dikaji dengan menggunakan model linier umum dengan faktor tetap (GLM) dan model linier dengan faktor tetap dan acak (GLMM) dimana faktor spasial menjadi faktor acak dan demografi menjadi faktor tetap. Pada GLMM, faktor spasial dianggap sebagai faktor acak, karena dalam pengambilan contoh dilakukan pengacakan untuk menentukan lokasi pengambilan contoh. Demografi menjadi faktor tetap karena penentuan faktor demografi yang digunakan ditentukan oleh peneliti. Sedangkan pada GLM faktor spasial diasumsikan ditentukan oleh peneliti, sehingga faktor spasial menjadi faktor tetap. Faktor-faktor yang akan dianalisis dalam tulisan ini adalah faktor lokasi (berdasarkan bujur timur dan lintang selatan), usia, partisipasi pada pilpres 2004, pendidikan, akses media cetak, akses radio dan akses TV.

Hasil uji kelayakan model menggunakan uji Hosmer-Lemeshow menunjukkan bawa kedua model yang diperoleh layak, dalam artian model regresi yang didapat efektif dalam menggambarkan pengaruh peubah bebas terhadap peluang masyarakat untuk memilih pada pilpres 2009. Akan tetapi dengan membandingkan nilai MSE dan R2 Nagelkerke dari GLM dan GLMM

diperoleh bahwa GLMM merupakan model terbaik dengan nilai MSE 0.0001 dan R2 Nagelkerke 73.9421%. Pada model tersebut diperoleh bahwa intersep berpengaruh nyata terhadap model serta peubah yang mempengaruhi masyarakat untuk memilih pada pilpres 2009 adalah partisipasinya pada pilpres 2004, sedangkan adanya akses TV menjadi pertimbangan masyarakat untuk tidak memilih pada pilpres 2009.

(3)

PERBANDINGAN ANTARA MODEL LINIER DENGAN FAKTOR TETAP (GLM) DENGAN MODEL LINIER DENGAN FAKTOR TETAP DAN ACAK (GLMM)

WULAN METAFURRY

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh Gelar Sarjana Statistika

Pada Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGTAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(4)

NRP : G14062752

Menyetujui:

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MS

Dr. Ir. Asep Saefuddin, M.Sc

NIP. 196008181989031004

NIP. 195703161981031004

Mengetahui :

Ketua Depertemen Statistika

Institut Pertanian Bogor

Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si

NIP. 196504211990021001

(5)

RIWAYAT HIDUP

Wulan Metafurry dilahirkan di Semarang pada tanggal 14 Oktober 1988, sebagai anak pertama dari tiga bersaudara, pasangan Bapak Wagiman dan Ibu Anik Eko Susilowati. Sejak SD hingga SMA penulis mengenyam pendidikan di Kabupaten Semarang, yaitu di SD Pringapus 04 hingga tahun 2000, SMP 1 Bergas dengan tahun kelulusan 2003, dan pada tahun 2006 telah menyelesaikan pendidikannya di SMA 1 Ungaran. Selanjutnya diterima di IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB) dan menjadi mahasiswa Statistika IPB sejak tahun 2007.

Selama perkuliahan, penulis pernah menjadi panitia COSMIC 2008, Lomba Jajak Pendapat Statistika 2008, Statistika Ria 2009, Statistics Gathering 2009 dan Welcome Ceremony of Statistic

(6)

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini, yang berjudul “ Perbandingan Antara

Generalized Linear Model dengan Generalized Linear Mixed Model Pada Analisis Faktor – Faktor yang Mempengaruhi Partisipasi Masyarakat Dalam Pilpres 2009 (Studi Kasus: Wilayah Indonesia Bagian Timur)”.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Ir. M. Nur Aidi dan Dr. Ir. Asep Saefuddin, M.Sc selaku pembimbing atas bimbingan dan saran yang telah diberikan. Selain itu penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Anak-anak „TK Matahari‟ (Dian, Edo, Mufti, Dedy dan Kiki) yang setia menemani perjalanan panjang di Statistika. Terima kasih untuk waktu-waktu yang telah kalian luangkan untuk membantu penulis dalam menyelesaikan tulisan ini.

2. Mumun, Ari dan Ony yang telah menjadi editor yang baik serta memberikan dukungan dan saran. Terima kasih untuk kebersamaan kita selama tiga tahun ini.

3. Dianty untuk waktu-waktu yang kamu luangkan untuk mendengarkan mengedit tulisan ini serta terima kasih untuk saran-saran yang diberikan.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat, terlepas dari kekurangan yang ada. Kritik dan saran membangun sangat penulis harapkan demi kebaikan tulisan ini.

Bogor, Juli 2010

Wulan Metafurry

(7)

vii

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

TINJAUAN PUSTAKA Regresi Logistik ... 1

Generalized Linear Model (GLM) ... 1

Generalized Linear Mixed Model (GLMM) ... 2

Metode Bayesian ... 2

Algoritma Metropolis Hasting ... 2

Uji G ... 2

Uji Wald ... 3

Uji Kelayakan Model ... 3

Interpretasi Koefisien ... 3 R² Nagelkerke ... 3 METODOLOGI Data ... 3 Metode ... 4 PEMBAHASAN Pendugaan Parameter ... 5 Interpretasi Koefisien ... 6

Model Regresi Terbaik ... 7

KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan ... 7

Saran ... 7

DAFTAR PUSTAKA ... 7

(8)

DAFTAR TABEL

Halaman

1. Peubah yang digunakan ... 4

2. Rasio odds dan SK 95% bagi rasio odds pada GLM ... 7

3. Rasio odds dan SK 95% bagi rasio odds pada GLMM ... 7

4. Parameter pembanding GLM dan GLMM ... 7

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Iterasi algoritma MetropolisHasting dan sebaran posterior parameter GLM ... 10

2. Iterasi algoritma MetropolisHasting dan sebaran posterior parameter GLMM ... 12

3. Hasil analisis pada GLM dan GLMM ... 14

(9)

1

PENDAHULUAN Latar Belakang

Pemilihan presiden merupakan peristiwa penting dalam setiap negara, karena setiap presiden yang terpilih akan menentukan nasib suatu bangsa dalam lima tahun ke depan. Oleh karena itu, untuk dapat memilih presiden yang layak, terlebih dahulu rakyat harus mengenal dan mengetahui calon-calon pemimpin mereka. Kadang kala, dengan alasan tidak mengetahui dan mengenal para calon presiden masyarakat tidak berpartisipasi dalam pemilihan umum. Selain alasan tersebut, masih banyak faktor lain yang digunakan masyarakat untuk tidak menyalurkan hak pilihnya. Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui faktor-faktor lain tersebut. Faktor-faktor yang dianalisis meliputi faktor spasial dan nonspasial (demografi).

Dalam analisis pengaruh faktor yang mempengaruhi peluang seseorang memilih mungkin saja penggolongan spasial dan nonspasial tidak berpengaruh. Oleh karena itu, dalam analisis akan digunakan dua metode, yaitu analisis regresi logistik dengan

Generalized Linear Model (GLM) dan

Generalized Linear Mixed Model (GLMM). GLMM menjelaskan hubungan alasan masyarakat dengan menggolongkannya menjadi faktor spasial dan nonspasial (demografi) dimana faktor spasial diasumsikan acak karena peneliti melakukan pengacakan pada saat menentukan lokasi pengambilan contoh, sedangkan nonspasial (demografi) diasumsikan tetap yaitu faktor-faktor yang akan digunakan ditentukan secara subjektif oleh peneliti. Dalam analisis ini akan ditemukan sebaran peluangcampuran. Sebaran peluang campuran terdiri dari beberapa subpopulasi dengan setiap subpopulasi memiliki sebaran masing-masing dan merupakan sebaran berhirarki sehingga sulit untuk dilakukan pemisahan. Akibatnya akan didapatkan model densitas pangkat tinggi yang secara matematis sulit mendapatkan pendugaan parameternya. Salah satu alternatif yang dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan model campuran dengan pendekatan Bayesian menggunakan metode

Markov Chain Monte Carlo (MCMC) yang melakukan pendugaan parameter model populasi menggunakan pendugaan sampel hasil iterasi Metropolis-Hasting.

Tujuan

Penelitian ini bertujuan untuk:

1. Mengetahui faktor-faktor yang

mempengaruhi partisipasi masyarakat dalam pilpres 2009

2. Mencari model regresi logistik terbaik untuk memodelkan peluang partisipasi masyarakat dalam pilpres 2009.

TINJAUAN PUSTAKA Regresi Logistik

Regresi logistik adalah suatu metode statistik yang mendeskripsikan hubungan antara peubah respon yang memiliki dua kategori atau lebih dengan satu atau lebih peubah penjelas berskala kategorik atau numerik. Regresi logistik biner digunakan pada peubah respon yang bersifat biner. Secara umum, model regresi logistik biner dengan E(Y=1|x) dapat dituliskan dengan:

𝜋(𝑋) = 𝑒

𝛽0+𝛽1𝑥1+⋯+ 𝑚𝑘=1𝛽𝑖𝑘𝐷𝑖+𝛽𝑝𝑥𝑝 1 + 𝑒𝛽0+𝛽1𝑥1+⋯+ 𝑚𝑘=1𝛽𝑖𝑘𝐷𝑖+𝛽𝑝𝑥𝑝 dimana 𝜋(𝑋) adalah peluang sukses suatu kejadian (dalam tulisan ini adalah peluang seseorang memilih pada pemilu 2009), xi

(untuk i=1,2,...,p) adalah faktor-faktor yang mempengaruhi seseorang untuk memilih, p adalah banyaknya peubah penjelas yang digunakan, D adalah peubah dummy dan k adalah banyaknya peubah dummy yang digunakan. Banyaknya peubah dummy yang digunakan adalah banyaknya kategori dari peubah yang digunakan dikurangi satu. Dengan demikian, fungsi logistik akan bernilai antara satu dan nol. Dengan menggunakkan transformasi logit, model tersebut dapat dituliskan dengan: 𝑙𝑜𝑔 𝜋 𝑋 1 − 𝜋 𝑋 = 𝛽0+ 𝛽1𝑥1+ ⋯ + 𝛽𝑖𝑘𝐷𝑖 𝑚 𝑘=1 + 𝛽𝑝𝑥𝑝 + 𝜀

Generalized Linear Model (GLM) GLM merupakan generalisasi model linier yang memuat peubah tak bebas dengan yang tidak menyebar normal (Gill 2001). Peubah respon diasumsikan berasal dari suatu sebaran peluang keluarga eksponensial. Pada GLM, peubah respon dihubungkan dengan peubah penjelas melalui fungsi penghubung, sehingga dapat dilakukan pendugaan parameter.

GLM mempunyai tiga komponen, yaitu: 1. Komponen acak, merupakan komponen

yang menentukan sebaran bersyarat dari peubah respon

(10)

2. Fungsi linier dari regresor, yang disebut prediktor linier. Prediktor linier secara umum dapat dituliskan dengan

ηi = β0 + β1x1i + ... + βpxpi

3. sebuah fungsi penghubung (g) sehingga E(Y) =µ = g-1(η).

Untuk kasus dengan peubah respon bersifat biner, digunakan fungsi penghubung logit, sehingga GLM untuk kasus regresi logistik biner dapat dituliskan dengan

𝑙𝑜𝑔 𝜋 𝑋 1 − 𝜋 𝑋 = 𝛽0+ 𝛽1𝑥1+ ⋯ + 𝛽𝑖𝑘𝐷𝑖 𝑚 𝑘=1 + 𝛽𝑝𝑥𝑝 + 𝜀 dengan 𝑙𝑜𝑔 𝜋(𝑋) 1−𝜋(𝑋) adalah fungsi penghubung logit.

Generalized Linear Mixed Model (GLMM) GLMM merupakan generalisasi model linier yang peubah bebasnya memuat faktor acak dan faktor tetap. Efek acak ini biasanya diasumsikan memiliki sebaran normal (Hedeker 1994). Secara umum GLMM dapat dituliskan sebagai berikut

𝐸 𝑦 = 𝛽₀+ 𝛽_𝑖𝑥_𝑖+ 𝑍𝑢 𝑝

𝑖=1

dengan Y merupakan peubah tak bebas yang berukuran nx1, βi merupakan parameter

dugaan, x merupakan peubah bebas, z adalah faktor acak yang telah dibakukan, dan u merupakan komponen acak.

Dalam tulisan ini digunakan GLMM untuk kasus regresi logistik biner, dimana faktor spasial menjadi faktor acak dan demografi merupakan faktor tetap. Faktor acak yang digunakan terdiri dari dua peubah, yaitu posisi lintang selatan dan bujur timur, sehingga model regresi logistik untuk kasus ini dapat dituliskan dengan: 𝑙𝑜𝑔 𝜋(𝑋) 1 − 𝜋(𝑋) = 𝛽0+ 𝛽1𝑥1+ ⋯ + 𝛽𝑖𝑘𝐷𝑖 𝑚 𝑘=1 + 𝛽𝑝𝑥𝑝+ 𝑈1 + 𝑈₂+ 𝑆(𝑥_1𝑖) + 𝑆(𝑥_2𝑖) dimana xi (i=1,2,...,p) adalah faktor-faktor

yang mempengaruhi seseorang untuk memilih dengan x1 dan x2 merupakan faktor acak. U1

dan U2 merupakan komponen acak Gaussian

yang saling bebas dengan nilai tengah nol dan ragam τ2. Komponen ini disebut juga komponen acak nonspasial. S(x1i) dan S(x2i)

merupakan Proses Gaussian yang stasioner dengan nilai tengah nol, ragam σ2

.

Metode Bayesian

Pada metode Bayesian, parameter merupakan suatu nilai yang tidak diketahui. Perbedaan metode ini dengan metode klasik adalah pada Bayesian parameter (θ) bersifat acak. Pada Bayesian kita akan menduga sebaran dari parameter terlebih dahulu, kemudian berdasarkan data yang ada kita akan menghitung peluang yang sebenarnya. Oleh karena itu pada Bayesian kita mengenal istilah sebaran prior dan posterior. Sebaran prior

adalah sebaran marginal dari parameter [θ], sehingga sebaran bersama dari [Y,θ] = [Y|θ][θ]. Kemudian dengan data yang ada

prior akan diperbaiki sehingga akan diperoleh suatu sebaran posterior.

Algoritma Metropolis-Hasting

Algoritma Metropolis Hasting merupakan salah satu simulasi MCMC dimana sebaran stasioner rantainya sama dengan sebaran target. Ide pokok dari Algoritma Metropolis-Hasting adalah seperti akan menerima atau menolak suatu metode menggunakan strategi

trial and error (Rubinstein & Kroese 2008). Contoh iterasi algoritma tersebut sebagai berikut:

Diberikan suatu nilai Xt

1. Bangkitkan Y~q(Xt,y)

2. Bangkitkan U~U(0,1) dan

Xt

𝑌 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑈 ≤ 𝛼 𝑋𝑡, 𝑌 𝑋_𝑡, 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

dimana 𝛼 𝑥, 𝑦 = min 𝜚 𝑥, 𝑦 , 1 atau disebut peluang penerimaan dengan 𝜚 𝑥, 𝑦 =𝑓 𝑦 𝑞(𝑦,𝑥)

𝑓 𝑥 𝑞(𝑥,𝑦 )

Dengan mengulangi langkah 1 dan 2, akan diperoleh X1, X2, … yang merupakan

peubah acak yang saling bebas, dengan Xt

aproximasi sebaran yang sesuai dengan f(x) berukuran t.

q(x,y) disebut dengan fungsi proposal atau fungsi instrumental. Fungsi proposal merupakan fungsi transisi peluang yang tak negatif. Pada Algoritma Metropolis Original, fungsi proposal diasumsikan simetri, yaitu

q(x,y)=q(y,x). Kemudian Hasting

memodifikasi algoritma ini untuk fungsi proposal yang tidak simetri.

Uji G

Pengujian parameter pada regresi logistik dapat dilakukan baik secara parsial maupun simultan. Pengujian secara simultan yang digunakan dalam tulisan ini adalah uji G. Hipotesis untuk uji tersebut adalah:

(11)

3

H0: β1=β2=…= βp= 0

H1: minimal ada satu βi≠0

Secara umum, statistik uji G dapat dituliskan dengan: 𝐺 = −2𝑙𝑛 𝑛₁ 𝑛 𝑛1 _𝑛 0 𝑛 𝑛0 𝜋_𝑖𝑦𝑖_{1 − 𝜋} 𝑖 1−𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1

dengan yi adalah peubah respon, n1 adalah Σyi,

n0 adalah Σ(1-yi) dan n adalah n0 + n1. Statistik

uji G mengikuti sebaran χ2

dengan derajat bebas p-1, dimana p adalah jumlah parameter yang digunakan.

Uji Wald

Selain diuji secara simultan, parameter dari model yang diperoleh juga diuji secara parsial. Pengujian dilakukan dengan menggunakan uji Wald. Hipotesis untuk uji Wald adalah:

H0: βi= 0 (peubah penjelas tidak

berpengaruh terhadap respon)

H1: βi≠0 (peubah penjelas berpengaruh

terhadap respon)

dimana H0 akan ditolak pada saat |W|>Zα/2.

Statistik uji Wald dapat dituliskan dengan:

𝑊 = 𝛽𝑖

𝑆𝐸 (𝛽 )𝑖

Statistik uji Wald mengikuti sebaran normal baku.

Uji Kelayakan Model

Pengujian kelayakan (goodness of fit) model regresi logistik menggunakan uji Hosmer-Lemeshow. Uji Hosmer-Lemeshow didasarkan pada pengelompokan pada nilai dugaan peluangnya yang menyebar Khi-Kuadrat (Hosmer & Lemeshow 1989). Hipotesis nol yang diuji menyatakan bahwa model yang dibangun layak. Statistik uji Hosmer-Lemeshow didefinisikan oleh

C = (Ok− nk ′ _π k)2 n_k′ _π k(1 − πk) g k=1

dengan C adalah statistik Hosmer-Lemeshow, g adalah banyaknya amatan dalam kelompok ke-k, n_k′ adalah jumlah nilai Y pada kelompok ke-k dan πk adalah rata-rata dari π untuk kelompok ke-k. Statistik C menyebar mengikuti sebaran Khi-Kuadrat dengan derajat bebas g-2. Kesimpulan menolak hipotesis nol jika nilai C _hitung > χ_α2_(g−2)_.

Interpretasi Koefisien

Dalam regresi logistik interpretasi koefisien menggunakan rasio odds. Rasio odds

adalah salah satu alat ukur untuk mengukur asosiasi, yang memperkirakan berapa besar

kecenderungan peubah-peubah penjelas terhadap peubah respon (Hosmer dan Lemeshow 1989). Koefisien model logit βi

mencerminkan perubahan satu unit peubah penjelas X. Dalam analisis model logit, rasio

odds didefinisikan sebagai berikut:

𝛹 = exp 𝛽𝑖 = exp 𝑔 1 − 𝑔 0

dimana g adalah 𝑙𝑜𝑔 𝜋(𝑋) 1−𝜋(𝑋) .

Interpretasi dari rasio odds untuk peubah penjelas yang berskala kategorik yaitu proporsi untuk Y=1 pada X=1 sebesar Ψ kali dibandingkan pada X=0. Rasio odds

mengidentifikasikan seberapa besar proporsi kejadian sukses pada suatu kelompok dibandingkan dengan kelompok lainnya. Apabila suatu peubah memiliki dugaan parameter yang bernilai positif maka rasio

odds-nya sebesar lebih dari satu. Sedangkan apabila dugaan parameternya bernilai negatif maka besarnya rasio odds kurang dari satu. Rasio odds mempunyai selang kepercayaan sebagai berikut:

𝑒𝑥𝑝 𝛽 ± 𝑍𝑖 _{1−𝛼 2}× 𝑆𝐸 𝛽 𝑖

R² Nagelkerke

R² Nagelkerke merupakan salah satu prosedur yang digunakan untuk mengukur kelayakan model regresi logistik. R²

Nagelkerke sering disebut dengan pseudo R².

Secara matematik R square ini dapat dituliskan dengan:

𝑅_𝑁2 ₌ 𝑅𝐶𝑆 2 𝑅_{𝐶𝑆 𝑚𝑎𝑥}2

R2CS merupakan koefisien determinasi (R2)

Cox Snell. R2CS dapat dihitung menggunakan

persamaan 𝑅𝐶𝑆2 = 1 − 𝐿 0 𝐿 𝜃 2 𝑛

dimana L(0) merupakan fungsi Likelihood

tanpa peubah penjelas, L(θ) merupakan fungsi penuh dan n adalah banyaknya data yang digunakan. 𝑅𝐶𝑆 𝑚𝑎𝑥2 dapat diperoleh dengan persamaan

𝑅_{𝐶𝑆 𝑚𝑎𝑥}2 _{= 1 − (𝐿 0 )}_𝑛2

METODOLOGI Data

Data yang digunakan berasal dari hasil survei yang dilakukan oleh Departemen Statistika mengenai pandangan masyarakat terhadap partai dan tokoh nasional dalam pemilu 2009. Jumlah contoh yang digunakan adalah 565 orang dan berasal dari Provinsi

(12)

Maluku Utara, Maluku, Papua Barat dan Papua.

Tabel 1 Peubah yang digunakan

Peubah Keterangan Kategori X1 Posisi lintang

selatan

X2 Posisi bujur timur X3 Usia X4 Partisipasi pada pilpres 2004 1=ikut 0=tidak ikut X5 Pendidikan 1=SD 2=SMP 3=SMA 4=perguruan tinggi X6 Akses media cetak 0=tidak ada 1=ada X7 Akses radio 0=tidak ada

1=ada X8 Akses TV 0=tidak ada

1=ada

Peubah X5 dibagi menjadi 3 peubah dummy, yaitu:

 D51 dengan 0 adalah SD dan 1 adalah SMP

 D52 dengan 0 adalah SD dan 1 adalah SMA

 D53 dengan 0 adalah SD dan 1 adalah perguruan tinggi.

Metode

1. Mendeskripsikan peubah yang digunakan yang meliputi :

a. peubah penjelas

Dalam GLM semua faktor tersebut dianggap tetap, sedangkan dalam

GLMM faktor tersebut digolongkan menjadi:

 acak (spasial) : lokasi tempat tinggal responden (posisi lintang selatan dan bujur timur)

 tetap : usia, partisipasi pada pilpres 2004, latar belakang pendidikan, kemudahan media cetak, TV serta radio.

Pada peubah x4 dan x5, skala yang

digunakan bukan merupakan skala biner, oleh karena itu digunakan peubah dummy. Peubah respon yang digunakan adalah peluang masyarakat untuk mengikuti pilpres 2009.

2. Melakukan analisis regresi logistik untuk

GLM. Pendugaan parameter menggunakan pendekatan Bayesian dengan algoritma

Metropolis Hasting. Algoritmanya dapat dituliskan sebagai berikut:

a. Tentukan nilai θ dan β (prior dari θ dan β)

b. Perbarui semua parameter pada vektor β

i. Pilih nilai baru bagi β, β’dari pengambilan acak dari prior

ii. Peluang penerimaan bagi β’ (Δ(β, β’) = min 𝜋𝑖=1𝑛 𝑝(𝑦𝑖|𝛽′)𝑝(𝛽 |𝛽′)

𝜋_𝑖=1𝑛 𝑝(𝑦𝑖|𝛽)𝑝(𝛽′|𝛽 ), 1 , selainnya maka β tidak diganti 3. Melakukan pengujian secara simultan dan

parsial terhadap peubah penjelas yang digunakan pada GLM.

4. Interpretasi koefisien model regresi logistik (GLM) melalui rasio odds.

5. Melakukan analisis regresi untuk kasus

GLMM. Dalam pendugaan parameter digunakan Metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) dengan pendekatan

Bayesian dengan Algoritma Metropolis-Hasting. Algoritmanya dapat dituliskan sebagai berikut:

a. Tentukan nilai dari θ dan β (prior dari θ dan β), serta inisiasikan nilai S yang

sesuai dengan Yi dengan

E(S)=(μi|β,S(xi)), dimana Si =

merupakan vektor dari proses Gaussian. b. Perbarui semua parameter pada vektor

θ

i. Pilih nilai baru bagi θ,θ’, dengan pengambilan contoh acak dari prior

ii. Peluang penerimaan bagi θ’ (Δ(θ,θ’)) = min 𝑝(𝑆|𝜃

′₎ 𝑝(𝑆|𝜃), 1 , selainnya maka θ tidak diganti c. Perbarui semua nilai S (S merupakan

konstanta untuk Proses Gaussian) i. Pilih nilai baru bagi S, S’, untuk

tiap nilai Si dari univariate Gaussian

dengan kepekatan peluang bersyarat p(Si’|S-i,θ) dimana S-i adalah nilai S

tanpa pengamatan ke-i

ii. Peluang penerimaan bagi Si’ (Δ(Si,

Si’) = min

𝑝(𝑦𝑖|𝑆𝑖′,𝛽 )

𝑝(𝑦𝑖|𝑆𝑖,𝛽), 1 , selainnya maka S tidak diganti

iii. Ulangi langkah i dan ii untuk semua i=1,2,…,n

d. Perbarui semua parameter pada vektor β

i. Pilih nilai baru bagi β yaitu β’, dengan kepekatan peluang bersyarat p(β ,β’)

ii. Peluang penerimaan bagi β’ Δ(β,β’)=min

𝜋_𝑖=1𝑛 𝑝(𝑦𝑖|𝑆𝑖,𝛽′)𝑝(𝛽 |𝛽′)

𝜋_𝑖=1𝑛 𝑝(𝑦𝑗|𝑆𝑖,𝛽 )𝑝(𝛽′|𝛽 ), 1 , selainnya maka β tidak diganti

e. Ambil contoh acak dari sebaran

multivariate Gaussian [S*|Y,θ,β,S]

dimana nilai (θ,β,S) diperoleh dari langkah b,c dan d. Dari

(13)

langkah-5

langkah di atas akan diperoleh bahwa [(S*|S)|Y]=[S|Y][S*|S,Y]

6. Melakukan pengujian secara simultan dan parsial terhadap peubah penjelas yang digunakan pada GLMM.

7. Interpretasi koefisien model regresi logistik (GLMM) melalui rasio odds.

8. Membandingkan model regresi untuk

kasus GLM dan GLMM dengan

menggunakan R2 Nagelkerke dan MSE. Untuk membantu perhitungan, digunakan

software R 2.11.1.

PEMBAHASAN Pendugaan Parameter

Pendugaan model penuh pada GLM

menghasilkan nilai statistik G sebesar 8.9878. Model penuh dapat diterima secara statistik karena nilai statistik G tersebut lebih dari nilai χ² tabel pada derajat bebas 10 yaitu 3.940. Pada model penuh ini terdapat beberapa peubah yang tidak berpengaruh nyata, yaitu usia, pendidikan, akses media cetak dan akses radio. Sedangkan peubah yang berpengaruh nyata adalah lokasi (baik posisi Lintang Selatan maupun Bujur Timur), partisipasi pada pilpres 2004 dan akses TV. Hasil tersebut diperoleh berdasarkan hasil uji Wald pada taraf nyata 5%. Hasil uji Wald dapat dilihat pada lampiran.

Uji kelayakan model menggunakan uji Lemeshow. Statistik uji Hosmer-Lemeshow yang didapat sebesar 3.058 dengan derajat bebas 8, nilai tersebut kurang dari nilai χ² tabel, yaitu 15.507 sehingga hipotesis nol yang diuji tidak ditolak. Hal ini berarti bahwa model regresi logistik yang didapat layak (fit) dengan data atau dengan kata lain, model regresi yang didapat efektif dalam menggambarkan pengaruh peubah bebas terhadap peluang masyarakat untuk memilih pada pilpres 2009.

Model pendugaan yang digunakan adalah model regresi logistik biner dengan fungsi penghubung kumulatif logit. Pendugaan parameter model ini menggunakan pandekatan

Bayesian yaitu dengan algoritma Metropolis Hasting. Ide dari algoritma ini adalah menerima atau menolak suatu hipotesis, dimana hipotesis yang digunakan adalah parameter dari model. Pada pendugaan ini, sebaran dari tiap-tiap parameter yang akan diduga adalah Binomial dengan parameter (sebaran prior). Sebaran prior tersebut akan digunakan untuk membangkitkan bilangan acak yang merupakan calon dari parameter yang akan diduga. Selanjutnya,

masing-masing parameter tersebut akan diuji menggunakan peluang bersyarat dari parameter tersebut. Jika nilai paluang dari parameter duga tersebut berada diantara 𝑝(𝑦𝑖|𝑆𝑖′,𝛽 )

𝑝(𝑦𝑖|𝑆𝑖,𝛽) dan satu, maka parameter duga tersebut akan digunakan, jika tidak, maka digunakan parameter duga yang ditetapkan di awal. Tahapan tersebut diulang sebanyak 10000 kali atau sebanyak iterasi Metropolis Hasting yang dikehendaki. Dengan demikian, akan diperoleh suatu sebaran baru dari parameter dugaan, sebaran tersebut disebut sebaran posterior. Sebaran posterior dari masing-masing peubah dapat dilihat pada Lampiran 1.

Nilai dugaan parameter diperoleh pada saat rantai Markov mencapai kekonvergenannya. Kekonvergenan rantai Markov dapat dilihat berdasarkan plot iterasi dan uji Gelman-Rubin. Pada uji Gelman-Rubin, rantai Markov dikatakan konvergen jika nilai statistik ujinya mendekati nilai satu. Plot iterasi Metropolis Hasting serta hasil uji Gelman-Rubin dapat dilihat pada lampiran 1 dan 4. Berdasarkan perhitungan yang dilakukan diperoleh model regresi logistik 𝑙𝑜𝑔 𝜋(𝑋) 1 − 𝜋(𝑋) = 𝛽0+ 𝛽1𝑥1+ ⋯ + 𝛽𝑖𝑘𝐷𝑖 𝑚 𝑘=1 + 𝛽8𝑥8+ 𝜀 = 0.7372 + 0.1207x1 + 0.2915x2 + 0.0041x3 + 0.5197x4 - 0.3135D51 - 0.6390D52 - 0.3793D53 + 0.0545x6 – 0.1870x7 – 0.4771x8 + 

Dari model di atas, terlihat bahwa peubah lokasi (baik secara garis lintang maupun garis bujur), usia, partisipasi pada pilpres 2004, pendidikan dan akses media cetak memperbesar peluang masyarakat untuk memilih pada pilpres 2009. Sedangkan peubah pendidikan, akses radio dan akses TV memberikan kecenderungan bagi masyarakat untuk tidak memilih.

Pendugaan model penuh pada GLMM

menghasilkan nilai statistik G sebesar 6.5149 yang berarti model penuh tersebut dapat diterima secara statistik karena nilai statistik G tersebut lebih dari nilai χ² tabel pada derajat bebas 8 yaitu 2.7330. Pada model penuh ini terdapat beberapa peubah yang tidak berpengaruh nyata, yaitu usia, pendidikan, akses media cetak dan akses radio. Sedangkan peubah yang berpengaruh nyata adalah

(14)

partisipasi pada pilpres 2004 dan akses TV. Hasil tersebut diperoleh berdasarkan hasil uji Wald pada taraf nyata 5%. Hasil uji Wald dapat dilihat pada lampiran 3.

Uji kelayakan model menggunakan uji Lemeshow. Statistik uji Hosmer-Lemeshow yang didapat sebesar 9.798 dengan derajat bebas 8, nilai tersebut kurang dari nilai χ² tabel, yaitu 15.507 sehingga hipotesis nol yang diuji tidak ditolak. Hal ini berarti bahwa model regresi logistik yang didapat layak (fit) dengan data atau dengan kata lain, model regresi yang didapat efektif dalam menggambarkan pengaruh peubah bebas terhadap peluang masyarakat untuk memilih pada pilpres 2009.

Pendugaan parameter pada GLMM juga menggunakan pendekatan Bayesian dengan algoritma Metropolis Hasting. Pada pendugaan ini, diasumsikan prior menyebar binomial. Selain sebaran prior bagi masing-masing peubah, pada GLMM juga harus menentukan sebaran prior bagi proses Gausiannya (S) dan bagi θ.

Langkah pertama pada pendugaan parameter GLMM adalah menginisiasikan nilai dugaan bagi θ, S dan β. Selanjutnya nilai θ akan diganti jika peluang dugaan bagi θ berada diantara 𝑝(𝑆|𝜃′)

𝑝(𝑆|𝜃) dan satu, jika tidak, maka θ yang digunakan adalah θ yang diinisiasikan di awal. Setelah diperoleh nilai θ, dilakukan perbaruan bagi nilai S. S akan diganti jika nilai dugaan S baru berada diantara 𝑝(𝑦𝑖|𝑆𝑖′,𝛽 )

𝑝(𝑦𝑖|𝑆𝑖,𝛽) dan satu. Langkah berikutnya adalah memperbarui nilai parameter duga. Masing-masing parameter tersebut akan diuji menggunakan peluang bersyarat dari parameter tersebut. Jika nilai peluang dari parameter duga tersebut berada diantara 𝜋𝑖=1

𝑛 _𝑝(𝑦

𝑖|𝑆𝑖,𝛽′)𝑝(𝛽 |𝛽′)

𝜋_𝑖=1𝑛 𝑝(𝑦𝑖|𝑆𝑖,𝛽)𝑝(𝛽′|𝛽 ) dan satu, maka parameter duga tersebut akan digunakan, jika tidak, maka digunakan parameter duga yang ditetapkan di awal. Tahapan pendugaan tersebut akan diulang sebanyak 5000 kali atau sebanyak iterasi Metropolis Hasting yang dikehendaki. Dengan demikian, akan diperoleh suatu sebaran baru dari parameter dugaan, yang merupakan merupakan sebaran

posterior. Sebaran posterior dari masing-masing peubah dapat dilihat pada lampiran 3. Kekonvergenan rantai Markov pada GLMM

dapat dilihat berdasarkan plot iterasi dan uji Gelman-Rubin pada Lampiran 2 dan Lampiran 4.

Berdasarkan perhitungan diperoleh model regresi GLMM yaitu: 𝑙𝑜𝑔 𝜋(𝑋) 1−𝜋(𝑋) = 𝛽0+ 𝛽1𝑥1+ ⋯ + 𝛽𝑖𝑘𝐷𝑖 𝑚 𝑘=1 + 𝛽8𝑥8+ 𝑈1 + 𝑈2+ 𝑆 𝑥1𝑖 + 𝑆 𝑥_2𝑖 = 0.5900 + 0.0015x3 + 0.3094x4 - 0.3022D51 - 0.3786D52 + 0.2582D53 + 0.2489x6 – 0.1517x7 – 1.4200x8 + U1 + U2 + S(x1) + S(x2) Dimana U1~N(2.5961,0.6561) dan U2 ~ (2.5134,0.5495). Sedangkan S(x1i) ~ N (0,

4.4491) dan S(x1i) ~ N (0, 4.2755). Dari model

di atas, terlihat bahwa peubah usia, partisipasi pada pilpres 2004 dan akses media cetak memperbesar peluang masyarakat untuk memilih pada pilpres 2009. Sedangkan peubah akses radio dan akses TV memberikan kecenderungan bagi masyarakat untuk tidak memilih.

Interpretasi Koefisien

Setelah diperoleh model regresi maka perlu dilakukan interpretasi terhadap peubah-peubah yang menyusun model regresi tersebut dengan menggunakan nilai rasio odds-nya. Nilai dugaan rasio odds dan selang kepercayaan 95% dapat dilihat pada Tabel 2 dan Tabel 3. Berdasarkan hasil yang diperoleh, pada GLM

dapat disimpulkan bahwa peluang orang yang berpartisipasi pada pilpres 2004 untuk berpartisipasi lagi pada pilpres 2009 adalah 1.6814 kali lebih besar dibandingkan dengan peluang orang yang tidak memilih ataupun tidak menjawab pertanyaan tersebut dengan selang kepercayaan 95% bagi rasio odds-nya antara 1.2999 sampai 2.1749. Peubah lain yang berpengaruh adalah kemudahan akses TV, dengan nilai rasio odds 0.2872, yang berarti peluang masyarakat yang mempunyai TV untuk memilih pada pilpres 2009 adalah sebesar 0.6206 kali lebih besar daripada peluang masyarakat yang tidak mempunyai TV dengan selang kepercayaan 95% antara 0.0057 sampai 67.1401.

Interpretasi parameter pada GLMM

menggunakan rasio odds diperoleh bahwa peluang orang yang berpartisipasi pada pilpres 2004 untuk berpartisipasi lagi pada pilpres 2009 adalah 1.3626 kali lebih besar dibandingkan dengan peluang orang yang tidak memilih dengan selang kepercayaan 95% antara 1.2686 sampai 1.4636. Peubah lain yang berpengaruh adalah kemudahan akses TV, dengan nilai rasio odds 0.2417, yang berarti peluang masyarakat yang mempunyai TV untuk memilih pada pilpres 2009 adalah sebesar 0.2417 kali lebih besar daripada peluang masyarakat yang tidak mempunyai

(15)

7

TV dengan selang kepercayaan 95% antara 0.1299 sampai 0.4499.

Tabel 2 Rasio odds dan SK 95% bagi rasio

odds pada GLM peubah odds ratio SK 95% lower upper x1 1.1283 1.0503 1.2120 x2 1.3384 1.2339 1.4517 x3 1.0041 0.9828 1.0259 x4 0.5947 0.4598 0.7693 D51 0.7309 0.3466 1.5412 D52 0.5278 0.2540 1.0966 D53 0.6843 0.2782 1.6831 x6 1.0560 0.6492 1.7177 x7 0.8295 0.5181 1.3281 x8 0.6206 0.0057 67.1401

Tabel 3 Rasio odds dan SK 95% bagi rasio

odds pada GLMM

peubah odds ratio _lowerSK 95% _upper

x3 1.0015 0.9789 1.0246 x4 1.3626 1.2686 1.4636 D51 0.7392 0.3439 1.5888 D52 0.6848 0.3288 1.4265 D53 0.7724 0.3021 1.9748 x6 1.2826 0.7214 2.2804 x7 0.8592 0.4959 1.4887 x8 0.2417 0.1299 0.4499

Model Regresi Terbaik

Setelah diperoleh dugaan bagi parameter. akan dicari model regresi terbaik. Model regresi terbaik diperoleh dengan

membandingkan nilai MSE dan R2

Nagelkerke. Nilai MSE dan R2 Nagelkerke pada model GLM dan GLMM dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 4 Parameter pembanding GLM dan

GLMM

R2_Nagelkerke _MSE GLM 61.6266% 0.0290

GLMM 73.9421% 0.0001

GLMM memiliki nilai R2 Nagelkerke yang lebih tinggi dan MSE lebih rendah. Selain itu, nilai intersep pada GLMM berpemgaruh nyata terhadap model (berdasarkan hasil uji Wald). Dengan demikian pada kasus ini GLMM lebih baik daripada GLM dengan kata lain, pada kasus ini faktor lokasi (spasial) merupakan peubah acak.

KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan

Pendugaan parameter pada GLM dan

GLMM dengan menggunakan metode

Bayesian. Hasil analisis regresi logistik pada

GLM, diperoleh bahwa lokasi tempat tinggal responden (posisi lintang selatan dan bujur timur), partisipasi pada pilpres 2004 dan

kemudahan akses TV berpengaruh terhadap partisipasi masyarakat pada pilpres 2009. Sedangkan pada GLMM faktor-faktor yang berpengaruh adalah partisipasi pada pilpres 2004 dan kemudahan akses TV di lokasi tempat tinggal responden. Pada kedua model diperoleh bahwa partisipasinya pada pilpres 2004 berpengaruh positif terhadap respon,

sedangkan akses TV memberikan

kecenderungan bagi masyarakat untuk tidak memilih.

Hasil uji kelayakan model menggunakan uji Hosmer-Lemeshow menunjukkan bawa kedua model yang diperoleh layak, dalam artian model regresi yang didapat efektif dalam menggambarkan pengaruh peubah bebas terhadap peluang masyarakat untuk memilih pada pilpres 2009. Akan tetapi dengan membandingkan nilai MSE dan R2 Nagelkerke dari GLM dan GLMM diperoleh bahwa GLMM merupakan model terbaik dengan nilai MSE 0.0001 dan R2 Nagelkerke 73.9421%. Selain itu, pada GLMM intersep berpengaruh nyata terhadap model, dengan demikian dapat dikatakan bahwa faktor spasial berrpengaruh terhadap model.

Saran

Sebagai masukan untuk penelitian selanjutnya analisis ini dapat diaplikasikan untuk daerah-daerah lain di Indonesia.

DAFTAR PUSTAKA

Bivand RS, Pebesma EJ, Rubio VG. 2008.

Applied Spatial Data Analysis with R.

New York: Springer Science + Bussines Media. LLC.

Chatterjee S, Hadi AS. 2006. Regression Analysis by Example. Ed ke-4. New Jersey: John Wiley & Sons. Inc. Christensen F, Riberio Jr PJ. 2009. GeoRglm:

a Package for Generalized Linear Spatial Models. www.geodacenter. asu.edu/system/file/mews2.2.26-28_0.pdf [19 Januari 2010]

Collet David. 2002. Modelling Binary Data.

Ed ke-2.New York: A CRC Press Company.

Diggle P J dan Riberio Jr PJ. 2007. Model-based Geostatistics. New York: Springer Science + Bussines Media. LLC.

Gill J. 2001. Generalized Linear Models: A Unified Approach. London. Sage Pubilcations. Inc.

(16)

. 2002. Bayesian Methods a Social and Behavioral Science Approach. New York: A CRC Press Company.

Hedeker D. 1994. Encyclopedia of Statistics in Behavioral Science. New York: Jhon Wiley & Son. Inc.

Hosmer DW dan Lemeshow S.1989. Applied Logistic Regression.New York: John Wiley & Son. Inc.

Jara A. 2010. DPpackage. www.cranr-project.org/web/package/DPpackage.in dex.pdf [20 Juni 2010]

Myers H. 1986. Classical and Modern Regression with Applications. Boston: PWS-KENT Publishing Company. Robinson DJ. 2009. Nagelkerke and Coxsnell

Pseudo R2 for Mixed Logit Models.

www.Hiplab.wordpress.com/.../nagelke rke-and-coxsnell-pseudo-r2-for-mixed-logit-models.pdf [20 Juni 2010] Rubinstein RY dan Kroese DP. 2008.

Simulation and The Monte Carlo Method. Ed ke-2. New Jersey: John Wiley & Sons. Inc.

(17)

9

(18)

Lampiran 1 Iterasi algoritma Metropolis Hasting dan sebaran posterior dugaan parameter GLM Trace of estimate intercept Density of estimate β0

Trace of estimate β1 Density of estimate β1

(19)

11

(20)

Lampiran 2 Iterasi algoritma Metropolis Hasting dan sebaran posterior dugaan parameter GLMM Trace of estimate intercept Density if estimate β0

(21)

13

(22)

Lampiran 3 Hasil analisis pada GLM dan GLMM

1. Hasil analisis pada GLM

estimate std error W |Z| tabel Intercept 0.7372 0.2901 -1.1447 1.96 x1 0.1207 0.0365 3.5229 1.96 x2 0.2915 0.0415 61.9923 1.96 x3 0.0041 0.0110 -0.7346 1.96 x4 0.5197 0.1313 3.2186 1.96 D51 -0.3135 0.3806 1.6481 1.96 D52 -0.6390 0.3731 -1.7740 1.96 D53 -0.3793 0.4592 1.1501 1.96 x6 0.0545 0.2482 1.3201 1.96 x7 -0.1869 0.2402 -1.4824 1.96 x8 -0.4771 2.3897 -2.0201 1.96 2. Hasil analisis pada GLMM

estimate std error W |Z| tabel (Intercept) 0.5900 0.1690 3.4911 1.96 x3 0.0015 0.0116 0.1247 1.96 x4 0.3094 0.0365 8.4790 1.96 D51 -0.3022 0.3904 -0.7741 1.96 D52 -0.3786 0.3744 -1.0112 1.96 D53 -0.2582 0.4789 -0.5392 1.96 x6 0.2489 0.2936 0.8478 1.96 x7 -0.1517 0.2804 -0.5410 1.96 x8 -1.4384 0.5892 -2.4415 1.96

Nilai pendugaan parameter pada peubah spasial

parameter estimate

mu1 2.5961 mu2 2.5134 tau1 0.8100 tau2 0.7413

(23)

15

Lampiran 4 Standart Error iterasi dan nilai statistik uji Gelman-Rubin

Peubah GLM GLMM

Std error Gelman-Rubin Std error Gelman-Rubin

(Intercept) 0.007482 0.89500 0.0112583 0.99664 x1 0.000339 1.50327 x2 0.000034 1.00601 x3 0.000103 0.98386 0.0001689 1.01244 x4 0.002796 0.99985 0.0041006 1.02513 D51 0.002509 0.99891 0.0043245 1.00585 D52 0.002270 1.00058 0.0035625 1.01122 D53 0.044590 0.39341 0.0406687 1.00136 x6 0.002374 0.99364 0.0058544 1.00207 x7 0.002203 0.99664 0.0038653 0.99011 X8 0.006176 1.01244 0.0083319 1.01546