STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran

matematika

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat menentukan rata-rata data tunggal dan data berkelompok.

2. Dapat menentukan median data tunggal dan data berkelompok. 3. Dapat menentukan modus data tunggal dan data berkelompok.

Mind Map

XI

K

e

l

a

s

_T b M_{o d} u_s Tu ngga l Inter val Rata-rata Tu n g ga l berfrekuensi G ab un gan I nte rv al M edian

C = kode setiap kelas

In terval Tun gg al 0,5 data bulat 0,05 desimal Bb – k Tepi bawah data ke-n+1₂ STATISTIK A UKUR AN PEMUSA TAN d f kelas median Fm + f sebelum kelas median f terbanyak selisih f modus Me T d d d I b+ 1+ 2 x n ∑ fx f ∑ ∑ x n x n x n n gab= + + 1 1 2 2 1 2 fx f ∑ ∑ x + fd f s ∑_∑ d= x x− i x = xs sementara d=x x − i x + fc fI s ∑ ∑ T n F F I b kum m + 1 2 − Fkum Kurikulum 2013/2006

2

Dalam ilmu statistika, salah satu cara untuk menyimpulkan sebuah data adalah melalui teknik perhitungan. Sebagai contoh, data rata-rata dan persentil dapat digunakan untuk memberikan deskripsi terhadap sekumpulan data. Bilangan-bilangan yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan sebuah data disebut ukuran deskriptif. Beberapa ukuran deskriptif yang sering digunakan oleh para ahli statistika adalah ukuran pemusatan, ukuran penyebaran, dan ukuran lokasi data. Pada sesi ini, kita akan membahas tentang ukuran pemusatan data.

Ukuran pemusatan data adalah ukuran deskriptif yang menunjukkan pusat data atau

datum yang mewakili sekumpulan data. Ada tiga jenis ukuran pemusatan data yang penting dan sering digunakan, yaitu rata-rata, median, dan modus. Rata-rata dan median hanya dapat diterapkan pada data kuantitatif, sedangkan modus dapat diterapkan pada data kuantitatif dan data kualitatif.

A. Rata-Rata

1. Rata-Rata Data Tunggal

Ukuran pemusatan data yang paling sering digunakan adalah rata-rata. Rata-rata dari sekumpulan data adalah jumlah seluruh nilai datum dibagi dengan banyaknya datum.

Diketahui sekumpulan n data x₁, x₂, x₃, x₄, ..., x_n. Jumlah nilai data tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

x_i x x x x i n n =1 1 2 3 = + + + ... +

∑

Dengan demikian, rata-ratanya yang dinotasikan dengan x (dibaca: x bar) dapat dirumuskan sebagai berikut.

x = x n i i=1 n

∑

Keterangan: x = rata-rata data; x_i = datum ke-i; dan

3

Contoh Soal 1

Data berikut ini menunjukkan tekanan darah dari 16 anak yang ibunya menderita diabetes.

81,6 84,1 87,6 82,8

82,0 88,9 86,7 96,4

84,6 104,9 90,8 94,0

69,4 78,9 75,2 91,0

Tentukan rata-rata sampel dari data tersebut.

Pembahasan:

Tentukan dahulu jumlah nilai datum dari data tersebut.

xi i=1 16

= 1378,9

∑

Kemudian, tentukan rata-rata dari tekanan darahnya. Oleh karena banyak datum n = 16, maka:

x x n x i i n i i = = 16 =1378,9 16 = 86,2 =1 =1 16

∑

∑

Jadi, rata-rata sampel dari data tersebut adalah 86,2.

2. Rata-Rata Data Berfrekuensi

Data sampel yang berukuran besar dan memuat banyak data berulang biasanya akan dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi berikut.

Datum x₁ x₂ x₃ … x_{n – 1} x_n

4

Jumlah data tersebut dan ukuran sampel datanya dapat ditentukan sebagai berikut. Jumlah data: f xi f x f x f x f x f x i n i n n n n =1 1 1 2 2 3 3 1 1 = + + + ... + +

∑

− − Ukuran sampel: n f_i f f f f i n n = = + + + ... + 1 1 2 3 −

∑

Dengan demikian, rata-ratanya dapat dirumuskan sebagai berikut.

x f x f i i i n i i n = =1 =1

∑

∑

Keterangan: x = rata-rata data; f_i = frekuensi ke-i; dan

x_i = data ke-i.

Contoh Soal 2

Perhatikan data perolehan nilai ulangan mata pelajaran matematika dari 50 siswa berikut.

Nilai 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 4 8 15 10 7 6

Rata-rata dari data tersebut adalah ....

Pembahasan:

Rata-rata dari data tersebut dapat ditentukan dengan rumus berikut.

x f x f i i i n i i n = = 4.5 + 8.6 +15.7 +10.8 + 7.9 + 6.10 4 + 8 +15 +10 + 7 + 6 =1 =1

∑

∑

==376 50 = 7,52

5

x f x f i i i n i i n = =4.5 + 8.6 +15.7 +10.8 + 7.9 + 6.10 4 + 8 +15 +10 + 7 + 6 =1 =1

∑

∑

==376 50 = 7,52

Jadi, rata-rata dari data tersebut adalah 7,52.

Contoh Soal 3 (Soal SPMB)

Nilai ujian dari peserta seleksi pegawai di suatu instansi diperlihatkan dalam tabel berikut.

Nilai Ujian Frekuensi

3 2 4 4 5 6 6 20 7 10 8 5 9 2 10 1

Seorang calon dinyatakan lulus jika nilainya sama dengan atau di atas rata-rata. Banyaknya calon yang lulus ada ... orang.

A. 8 D. 44

B. 18 E. 48

C. 38

Pembahasan:

Tentukan dahulu rata-ratanya.

x f x f i i n i n = =2.3 + 4.4 + 6.5 + 20.6 +10.7 + 5.8 + 2.9 +1.10 2 + 4 + 6 i=1 i=1

∑

∑

++ 20 +10 + 5 + 2 +1 =310 50 = 6,2

6

Oleh karena nilai rata-ratanya 6,2, maka calon yang lulus nilainya harus di antara 7 sampai 10. Dengan demikian, diperoleh:

Banyak calon yang lulus = 10 + 5 + 2 + 1 = 18 Jadi, banyaknya calon yang lulus ada 18 orang.

Contoh Soal 4 (Soal SPMB)

Tabel berikut menunjukkan usia 20 anak di kota A saat 2 tahun lalu. Jika pada tahun itu tiga anak yang berusia 7 tahun dan seorang anak yang berusia 8 tahun pindah ke luar kota A, usia rata-rata 16 anak yang masih tinggal pada saat ini adalah ....

Usia Frekuensi 5 3 6 5 7 8 8 4 A. 7 tahun D. 6 tahun B. 8 _{2 tahun} 1 E. 6 _{2 tahun}1 C. 8 3 4 tahun Pembahasan:

Oleh karena data tersebut adalah data 2 tahun yang lalu, maka usia setiap anak saat ini telah bertambah dua tahun. Perhatikan tabel berikut.

Tabel 2 tahun lalu:

Usia Frekuensi Sebelum Frekuensi Sesudah

5 3 3

6 5 5

7 8 5

7

Tabel saat ini:

Usia Frekuensi

7 3

8 5

9 5

10 3

Dengan demikian, rata-rata usia 16 orang anak yang masih tinggal pada saat ini adalah sebagai berikut. x f x f i i i n i i n = =3.7 + 5.8 + 5.9 + 3.10 3 + 5 + 5 + 3 =136 16 = 81 2 tahun =1 =1

∑

∑

Jadi, usia rata-rata 16 anak yang masih tinggal pada saat ini adalah 8 _{2 tahun.}1

3. Rata-Rata Berinterval

Data sampel yang berukuran besar dan memuat sedikit data berulang biasanya akan dinyatakan dalam bentuk interval. Langkah-langkah membentuk tabel frekuensi berbentuk interval adalah sebagai berikut.

Langkah 1. Tentukan nilai data terkecil dan terbesarnya. Langkah 2. Tentukan jangkauan data (J).

J = data terbesar – data terkecil

Langkah 3. Tentukan banyak kelas (k) dengan aturan Sturges berikut. k = 1 + 3,322 log n

8

Langkah 4. Tentukan interval kelas (panjang kelas).

I = J k

Langkah 5. Buat tabel distribusi frekuensi dengan sistem turus.

Adapun langkah-langkah menentukan rata-rata dari data berinterval adalah sebagai berikut.

Langkah 1. Tentukan nilai tengah masing-masing kelas.

Nilai tengah (x_i) kelas dapat ditentukan dengan rumus berikut.

xi =Bb + Bai₂ i Keterangan:

Bb_i = batas bawah kelas ke-i; dan Ba_i = batas atas kelas ke-i. Langkah 2. Gunakan rumus rata-rata.

x f x f i i i n i i n = =1 =1

∑

∑

dengan x_i adalah nilai tengah kelas.

Contoh Soal 5

Berikut ini adalah banyaknya pengunjung wahana bermain selama 60 hari.

75 60 81 82 96 81 103 91 100 102 86 92 85 102 95 92 104 99 90 96 87 64 84 98 90 87 110 93 84 89 84 82 74 96 110 65 87 88 91 98 94 91 89 83 112 88 66 107 97 103 96 112 92 94 84 96 83 101 86 115

9

Buatlah tabel distribusi frekuensi berbentuk interval, kemudian carilah rata-ratanya.

Pembahasan:

Langkah-langkah membuat tabel frekuensi berbentuk interval adalah sebagai berikut. Langkah 1. Menentukan nilai data terkecil dan terbesar.

Data terkecil = 60 Data terbesar = 115 Langkah 2. Menentukan jangkauan.

J = data terbesar – data terkecil

= 115 – 60 = 55

Langkah 3. Menentukan banyak kelas.

k = 1 + 3,322 log n

= 1 + 3, 322 log 60 ≈ 6,9

Banyak kelas dibulatkan ke atas menjadi k = 7 kelas. Langkah 4. Menentukan panjang kelas (interval).

I J K = =55 7 7,9 ≈

Panjang kelas dibulatkan ke atas menjadi I = 8. Langkah 5. Membentuk tabel distribusi frekuensi.

Jumlah Kunjungan Turus Frekuensi

60 – 67 |||| 4 68 – 75 || 2 76 – 83 6 84 – 91 19 92 – 99 16 100 – 107 8 108 – 115 5

10

Setelah didapatkan tabel distribusi frekuensinya, tentukan nilai tengah setiap kelas.

Jumlah Kunjungan Nilai Tengah Frekuensi

60 – 67 60 + 67 2 = 63,5 4 68 – 75 68 + 75 2 = 71,5 2 76 – 83 76 + 83 2 = 79,5 6 84 – 91 84 + 91 2 = 87,5 19 92 – 99 92 + 99 2 = 95,5 16 100 – 107 100 +107 2 = 103,5 8 108 – 115 108 +115 2 = 111,5 5

Dengan demikian, rata-ratanya dapat ditentukan sebagai berikut.

x_i f_i f_i . x_i 63,5 4 254 71,5 2 143 79,5 6 477 87,5 19 1662,5 95,5 16 1528 103,5 8 828 111,5 5 557,5 Σf_i = 60 Σf_i . x_i = 5450

11

x f x f i i i n i i n = =5450 60 = 90,83 =1 =1

∑

∑

Jadi, rata-rata banyaknya pengunjung tersebut adalah 90,83.

Rumus lain yang dapat digunakan untuk menentukan nilai rata-rata dari tabel frekuensi adalah sebagai berikut.

a. x x f d f s i i i n i i n = + =1 =1

∑

∑

Keterangan: x x f d f s i i i n i i n = + =1 =1

∑

∑

= rata-rata sementara; dan

d_i = selisih (diff erent) kelas ke-i = x_i – x b. x = x + f c f I s i i i n i i n =1 =1

∑

∑

Keterangan:

c_i = kode yang diberikan untuk kelas ke-i. c = 0 diberikan untuk kelas x x

f d f s i i i n i i n = + =1 =1

∑

∑

, kelas di atasnya diberikan kode menurun mulai dari –1, –2, dan seterusnya. Sementara kelas di bawahnya diberikan kode naik mulai dari 1, 2, dan seterusnya.

Contoh Soal 6

12

Pembahasan:

Rumus pertama

Tentukan dahulu nilai tengah masing-masing kelas.

Data x_i 60 – 67 63,5 68 – 75 71,5 76 – 83 79,5 84 – 91 87,5 92 – 99 95,5 100 – 107 103,5 108 – 115 111,5

Rata-rata sementara diambil dari salah satu nilai tengah, misal x x

f d f s i i i n i i n = + =1 =1

∑

∑

= 87,5. Kemudian, perhatikan tabel berikut untuk menghitung rata-rata menggunakan rumus pertama.

Data x_{i x x} f d f s i i i n i i n = + =1 =1

∑

∑

di = xx xi – f d f s i i i n i i n = + =1 =1

∑

∑

fi fi . di 60 – 67 63,5 87,5 –24 4 –96 68 – 75 71,5 87,5 –16 2 –32 76 – 83 79,5 87,5 –8 6 –48 84 – 91 87,5 87,5 0 19 0 92 – 99 95,5 87,5 8 16 128 100 – 107 103,5 87,5 16 8 128 108 – 115 111,5 87,5 24 5 120 Σf_i . d_i = 200 Dengan demikian, diperoleh:

x = x + f d f s i i i n i i n =1 =1 = 87,5 +200 60 = 87,5 + 3,33 = 90,83

∑

∑

13

Rumus kedua Misal x x f d f s i i i n i i n = + =1 =1

∑

∑

= 87,5. Kode untuk kelas x x

f d f s i i i n i i n = + =1 =1

∑

∑

adalah 0. Kode kelas di atas menurun mulai dari –1, –2, dan seterusnya. Sementara kode kelas di bawah x x

f d f s i i i n i i n = + =1 =1

∑

∑

naik mulai dari 1, 2, dan seterusnya. Data Data x_i c_i f_i f_i . c_i 60 – 67 63,5 –3 4 –12 68 – 75 71,5 –2 2 –4 76 – 83 79,5 –1 6 –6 84 – 91 87,5 0 19 0 92 – 99 95,5 1 16 16 100 – 107 103,5 2 8 16 108 – 115 111,5 3 5 15 Σf_i . c_i = 25

Oleh karena panjang kelas (I) dari data tersebut adalah 8, maka rata-ratanya dapat ditentukan sebagai berikut.

x = x + f c f I s i i i n i i n =1 =1 = 87,5 +25 60.8 = 87,5 + 3,33 = 90,83

∑

∑

Jadi, rata-rata dari data tersebut adalah 90,83.

4. Rata-Rata Data Gabungan

Sekelompok n₁ data memiliki rata-rata x1 dan sekelompok n₂ data memiliki rata-rata x2.

Rata-rata dari data kelompok pertama dan kedua dapat dinyatakan sebagai berikut.

x x n x n x x x n x n x 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 = = = =

∑

_∑

∑

_∑

→ →

14

Rata-rata gabungan dari dua kelompok data tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut.

x x x x n x n x n x n n gab gab gab = jumlah data banyak data = + = + + 1 2 1 1 2 2 1

∑

∑

22

Contoh Soal 7

Banyak siswa kelas A adalah 30 dan kelas B adalah 20 siswa. Nilai rata-rata ujian matematika kelas A lebih 10 dari kelas B. Jika rata-rata nilai ujian matematika gabungan dari kelas A dan kelas B adalah 66, rata-rata nilai ujian matematika kelas B adalah ....

A. 58 D. 64 B. 60 E. 66 C. 62 Pembahasan: Diketahui: n n x x x A B A B gab = 30 = 20 = 10 + = 66 Ditanya: n n x x x A B A B gab = 30 = 20 = 10 + = 66 = ... ? Dijawab:

Rata-rata gabungan dirumuskan sebagai berikut. x n x n x n n x x x x gab A A B B A B A B A B = + + 66 =30. + 20. 30 + 20 3300 = 30. + 20. 3 ⇔ ⇔ ⇔ 330 = 3 + 2xxA B

15

Oleh karena xA= 10 + , maka: xB

330 = 3 + 2 330 = 3 10 + + 2 330 = 30 + 3 + 2 330 = 5 + 30 5 x x x x x x x x A B B B B B B B ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

(

)

== 300 = 60 ⇔ xB

Jadi, rata-rata nilai ujian matematika kelas B adalah 60.

Contoh Soal 8

Nilai rata-rata matematika siswa pria adalah 68, dan nilai rata-rata matematika siswa wanita adalah 75. Jika rata-rata gabungannya adalah 70, perbandingan banyak siswa pria dan wanita adalah ....

Pembahasan: Diketahui: x x p w

= rata - rata siswa pria = 68 = rata - rata siswa wanita = 775

= rata - rata gabungan seluruh siswa = 70

xgab

Ditanya: n_p : n_w = ... ? Dijawab:

Rata-rata gabungan dirumuskan sebagai berikut. x n x n x n n n n n n n n n n gab p p _w w p w p w p w p w p w = + + 70 = .68 + 75 + 70 + 70 = 68 + 75 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 = 5 =5 2 n n n n p w p w

16

SUPER "Solusi Quipper"

Urutkan dahulu rata-ratanya. xp xgab xw

68 70 75

Ambil selisih 2 bilangan berdekatan.

xp xgab xw

68 70 75

2 5

Perbandingan n_p : n_w dapat diperoleh dengan cara menyilang.

xp xgab xw

68 702 575

n_w n_p

Jadi, n_p : n_w = 5 : 2.

B. Median

Bentuk ukuran pemusatan lain yang sering digunakan adalah median. Pada dasarnya, median dari sekumpulan data adalah bilangan yang membagi data menjadi 50% data terkecil dan 50% data terbesar. Oleh karena itu, untuk menentukan median, data harus diurutkan terlebih dahulu.

1. Median Data Tunggal

Langkah-langkah menentukan median data tunggal adalah sebagai berikut. Langkah 1. Urutkan datanya.

Langkah 2. Tentukan banyaknya data (n).

Langkah 3. Tentukan median dengan rumus berikut.

Me= data ke -n+1 2

17

Contoh Soal 9

Tentukan median dari data 1, 2, 8, 11, 6, 10, dan 16.

Pembahasan:

Langkah 1. Urutkan datanya. 1, 2, 6, 8, 10, 11, 16

Langkah 2. Tentukan banyaknya data. n = 7

Langkah 3. Tentukan median dengan rumus berikut.

Me= data ke -n+1 2 = data ke -7 +1

2 = data ke - 4 Jadi, median dari data tersebut adalah 8.

Contoh Soal 10

Perhatikan tabel frekuensi yang menunjukkan perolehan nilai matematika suatu kelas berikut ini.

Nilai 3 4 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 6 5 7 8 6 5 4 2

Median dari data tersebut adalah ....

Pembahasan:

Tabel frekuensi tersebut sudah dalam keadaan terurut. Banyak data (n) dapat diperoleh dari jumlah frekuensi, yaitu sebagai berikut.

n = ∑f

= 6 + 5 + 7 + 8 + 6 + 5 + 4 + 2 = 43

Median adalah data ke-Me= data ke -n+1

2 , yaitu data ke-44

2 = 22 . Untuk mendapatkan nilai data ke-22, gunakan frekuensi kumulatif seperti berikut.

18

Nilai 3 4 5 6 7 8 9 10 Frekuensi 6 5 7 8 6 5 4 2 Kumulatif 6 11 18 26 Data Data 1-6 Data 1-26 1-11 Data 1-18 Jadi, median data tersebut adalah 6.

2. Median Data Berinterval

Median data berinterval dapat ditentukan dengan mencari nilai pada interval yang terletak paling tengah. Median terletak pada kelas yang mengandung nilai n

2. Kita bisa menganggapn

2adalah banyak data sebelum kelas median, sedangkan

n

2 – fkum dengan fkum

merupakan frekuensi kumulatif sebelum kelas median adalah banyak data yang diamati di kelas median. Sementara

n _f

f kum m

2− _{dengan f}

m merupakan frekuensi kelas median adalah

proporsi nilai data pada kelas median. Dengan panjang kelas yang sama I,

n _f f I kum m 2−           menunjukkan pecahan yang bersesuaian dengan posisi median. Jika ditambahkan dengan T_b (tepi bawah kelas median), akan diperoleh nilai median. Untuk lebih jelasnya, perhatikan rumus berikut.

Me T n f f I b kum m = + 1 2 −           Keterangan:

T_b = batas bawah kelas median –p; dan

p = 0,5 jika nilai dinyatakan dalam bilangan bulat dan 0,05 jika nilai dinyatakan dalam

19

Contoh Soal 11

Tentukan median dari data tinggi badan siswa berikut.

Tinggi Badan f 140 – 144 6 145 – 149 8 150 – 154 10 155 – 159 5 160 – 164 4 164 – 169 3 Pembahasan:

Tentukan dahulu banyak datanya.

n = ∑f = 6 + 8 + 10 + 5 + 4 + 3 = 36

Kemudian, tentukan kelas median.

Kelas median adalah kelas yang mengandung data ke-n

2 atau data ke-18. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel berikut.

Tinggi Badan f f_kum

140 – 144 6 6

145 – 149 8 14 = F_kum

150 – 154 10 24 ← letak data ke-18

155 – 159 5 F_m = 10

160 – 164 4

164 – 169 3

↓

I = 5 n = 36

Oleh karena datanya dinyatakan dalam bilangan bulat, maka tepi bawah kelas median adalah sebagai berikut.

20

Dengan demikian, mediannya dapat ditentukan sebagai berikut.

Me T n f f I b kum m = + 1 2 = 149,5 + 1 2.36 14 10 5 = 14 − −                     99,5 + 2 = 151,5

Jadi, median dari data tersebut adalah 151,5.

SUPER "Solusi Quipper"

Banyak data = n = 36 Median adalah data ke-n

2 atau data ke-18. Dengan demikian, median terletak pada kelas ke-3.

Tinggi Badan f

140 – 144 6

14 data

145 – 149 8

150 – 154 10 ← urutan ke-4 dari 10 data Berlaku: x I x x = 4 10 5= 4 10 = 2 ⇔ ⇔

Dengan demikian, diperoleh:

Me = T_b + x = 149,5 + 2 = 151,5

21

Contoh Soal 12

Perhatikan histogram berikut ini.

berat badan 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5

8 11 15f

Median dari data berat badan tersebut adalah ....

Pembahasan:

Tentukan dahulu banyaknya data (n).

n = ∑f = 8 + 11 + 15 + 8 = 42

Kemudian, tentukan kelas median.

Kelas median adalah kelas yang mengandung data ke-n

2 atau data ke-21. Untuk lebih jelasnya, perhatikan histogram berikut.

berat badan 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 8 8 11 kelas median 34 F_m F_kum T_b I = 10 15 19

22

Dengan demikian, mediannya dapat ditentukan sebagai berikut.

Me T n f f I b kum m = + 1 2 = 50,5 + 21 19 15 10 = 50,5 +1,33 − −               == 51,83

Jadi, median dari data tersebut adalah 51,83.

C. Modus

Modus adalah ukuran pemusatan data yang nilainya dapat diperoleh dengan melihat data yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi terbesar.

1. Modus Data Tunggal

Data tunggal atau data tunggal yang dinyatakan dalam bentuk tabel frekuensi sangat mudah ditentukan modusnya. Jika dalam sekumpulan data tunggal terdapat dua data yang frekuensinya sama-sama paling besar, kedua data tersebut dapat menjadi modus. Sekumpulan data yang memiliki dua modus seperti ini dinamakan bimodus. Namun, jika dalam sekumpulan data terdapat lebih dari dua modus, dinamakan multimodus.

Contoh Soal 13

Daftar gaji dari 10 orang karyawan adalah sebagai berikut.

500.000, 600.000, 750.000, 750.000, 800.000, 600.000, 900.000, 1.000.000, 600.000, 800.000

Modus dari data tersebut adalah ....

Pembahasan:

Oleh karena yang bergaji 600.000 paling banyak di antara yang lain, yaitu 3 orang, maka modus dari data tersebut adalah 600.000.

23

Contoh Soal 14

Berikut ini adalah data banyaknya cabang dari perusahaan A, B, C, D, dan E. 200 cabang, 300 cabang, 401 cabang, 500 cabang, 150 cabang

Modus dari data tersebut adalah ....

Pembahasan:

Oleh karena tidak ada data yang sama, maka modus dari data tersebut tidak ada.

Contoh Soal 15

Data nilai ulangan matematika Joni selama 1 semester adalah sebagai berikut. 8, 8, 6, 7, 7, 9, 9, 10, 8, 7, 10

Modus dari data tersebut adalah ....

Pembahasan:

Oleh karena terdapat dua nilai yang sama-sama memiliki frekuensi paling besar, yaitu 7 dan 8, maka modus dari data tersebut adalah 7 dan 8. Sekumpulan data ini dinamakan bimodus.

2. Modus Data Berinterval

Modus data berinterval tidak dapat ditentukan hanya dengan melihat frekuensi terbesarnya saja. Hal ini disebabkan karena datanya dinyatakan dalam bentuk interval. Sementara modus harus berupa data dalam interval yang memiliki frekuensi terbesar. Perhatikan gambar berikut.

a f₂ f₁ f₃ b x c d Mo

24

Untuk menentukan nilai x, gunakan prinsip kesebangunan pada segitiga.

I – x x d₁ = f₂ – f₁ f₂ – f₃ =d₂ Berlaku: d d x l x d I d x d x d x d x d I d d x d I x d d d 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 = = + = + = = + − ⇔ − ⇔ ⇔ ⇔

(

)

     I

Dengan demikian, diperoleh:

Mo b x b d d d I = + = + +       1 1 2

Dengan menggunakan notasi lebih umum, rumus untuk menentukan modus data berinterval adalah sebagai berikut.

Mo T d d d I b = + + 1 1 2       Keterangan:

T_b = tepi bawah kelas modus;

25

d₂ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas setelahnya; dan

I = panjang kelas.

Contoh Soal 16

Perhatikan histogram berikut ini.

120,5 6 9 10 12 f 130,5 140,5 150,5 160,5tinggi badan Modus dari data tersebut adalah ....

Pembahasan:

Modus terletak pada kelas ke-3, sehingga:

T_b = 140,5

d₁ = 12 – 10 = 2

d₂ = 12 – 9 = 3

I = 150,5 – 140,5 = 10

Dengan demikian, diperoleh:

Mo T d d d I b = + + = 140,5 + 2 2 + 3 10 = 144,5 1 1 2          

Jadi, modus dari data tersebut adalah 144,5.

Contoh Soal 17

26

Usia f 0 – 5 10 6 – 11 15 12 – 17 16 18 – 23 8 24 – 29 14 30 – 35 16 36 - 41 24 42 – 47 20 48 – 53 16 54 – 59 12

Modus dari data tersebut adalah ....

Pembahasan:

Modus terletak pada kelas ke-7, sehingga:

T_b = 36 – 0,5 = 35,5

d₁ = 24 – 16 = 8

d₂ = 24 – 20 = 4

I = 6 – 0 = 6

Dengan demikian, diperoleh:

Mo T d d d I b = + + = 35,5 + 8 8 + 4 6 = 39,5 1 1 2          

Jadi, modus dari data tersebut adalah 39,5.

D. Rata-Rata, Modus, dan Median

Pemilihan ukuran pemusatan dalam menentukan deskripsi data akan berbeda-beda tergantung dengan kondisi data tersebut. Rata-rata tidak selalu menjadi ukuran yang

27

tepat untuk mendeskripsikan data apabila ada nilai data yang tidak biasa atau tidak wajar. Perhatikan data upah pekerja berikut.

Pekerja 1 2 3 4 5 6 7

Upah 1.500.000 1.800.000 1.600.000 1.400.000 1.500.000 9.000.000 12.000.000 Rata-rata dari data tersebut adalah Rp4.114.286,00. Jika kita menyatakan bahwa upah pekerja sudah sejahtera karena sudah di atas UMR (misal UMR Rp3.000,00), kita salah. Hal ini karena beberapa pekerja memiliki upah di bawah UMR. Dengan demikian, penggunaan rata-rata untuk mendeskripsikan data tersebut tidak tepat. Ukuran pemusatan yang tepat digunakan adalah median, yaitu Rp1.600.000,00 atau modus, yaitu Rp1.500.000,00.

Sama halnya dengan rata-rata, modus tidak tepat dijadikan ukuran untuk mendeskripsikan data apabila data tersebut bimodus atau multimodus. Berikut ini adalah sifat-sifat rata-rata, median, dan modus.

1. Rata-rata yang terpengaruh oleh nilai data yang sangat besar atau sangat kecil tidak tepat untuk mendeskripsikan data.

2. Median digunakan untuk menentukan apakah suatu data masuk dalam 50% data terbesar atau 50% data terkecil.

3. Median sedikit terpengaruh oleh nilai-nilai data yang ekstrim. 4. Modus digunakan untuk data kuantitatif maupun kualitatif.

5. Nilai modus tidak selalu unik. Sekumpulan data bisa memiliki modus lebih dari satu. Untuk jenis data yang memiliki modus lebih dari satu, modus tidak tepat dijadikan ukuran untuk mendeskripsikan data.