1.1
1.1 Analisa Analisa Sinyal Sinyal dalam dalam Spektrum Spektrum FrekuensiFrekuensi Sebuah sinyal fungsi waktu sebagai hasil
Sebuah sinyal fungsi waktu sebagai hasil penjumlahan beberapa sinyal fungsipenjumlahan beberapa sinyal fungsi waktu kontinyu dapat
waktu kontinyu dapat dinyatakan sebagai:dinyatakan sebagai:
(())
(
(
))
dengan: dengan: NN = = bilangan bilangan integer integer positifpositif A
Ann = = amplitudo amplitudo sinyal sinyal sinusoidasinusoida
ω
ωnn = frekuensi sudut (dalam radiant/detik)= frekuensi sudut (dalam radiant/detik)
θ
θ nn = fase sinyal sinusoida= fase sinyal sinusoida
Padas rumus di atas (ruas kanan) ditunjukkan komponen amplituda, frekuensi Padas rumus di atas (ruas kanan) ditunjukkan komponen amplituda, frekuensi dan fasa pada tiap sinyal pembentuknya. Dengan rumus di atas,
dan fasa pada tiap sinyal pembentuknya. Dengan rumus di atas,
(())
dapat dapat digambarkan sebagai fungsi frekuensi tiap sinyal pembentuknya yang biasa digambarkan sebagai fungsi frekuensi tiap sinyal pembentuknya yang biasa disebut spektrum frekuensi.disebut spektrum frekuensi.
Contoh: Berikan gambaran spektrum frekuensi sebuah sinyal
Contoh: Berikan gambaran spektrum frekuensi sebuah sinyal sinusoida yangsinusoida yang tersusun dari persamaan berikut ini:
tersusun dari persamaan berikut ini: x(t) = A1 cos t + A2 cos (4t +
x(t) = A1 cos t + A2 cos (4t + ππ/3) + A3 cos (8t +/3) + A3 cos (8t + ππ/2) 0 < t < 20/2) 0 < t < 20 Penyelesaian:
Penyelesaian:
Dari persamaan tersebut di atas kita dapat
Dari persamaan tersebut di atas kita dapat melihat bahwa tiga parametermelihat bahwa tiga parameter sinyal yang utama adalah:
sinyal yang utama adalah:
- Amplitudo adalah A1, A2 dan A3. - Amplitudo adalah A1, A2 dan A3. - Frekuensi adalah 1, 4, dan 8
- Frekuensi adalah 1, 4, dan 8 radiant.radiant. - Fase adalah 0,
Dengan mencoba nilai-nilai amplitudo seperti berikut ini akan kita dapatkan bentuk sinyal yang bervariasi.
a) A1 = 0,5 A2 = 1 A3 = 0 b) A1 = 1 A2 = 0,5 A3 = 0 c) A1 = 1 A2 = 1 A3 = 0
Gambar 1. Nilai x(t) Untuk Berbagai Nilai Amplitudo Berbeda
Jika diketahui hubungan Euler adalah
Maka sinyal waktu kontinyu dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial komplek, yaitu
(
)
[
(
)
(
)
]
[
]
jika didefiniskan
Maka
(
)
Sehingga sinyal waktu kontinyu yang merupakan hasil penjumlahan beberapa sinyal, dapat dinyatakan
()
(
)
(
)
(
)
(
)
karena
(
)
(
)
sehingga
atau()
(
)
Latihan Soal:
Dengan rumus Identitas Euler tentukan bentuk eksponensial sinyal
berikut
a.
(
)
b.
(
)
c.
(
)
d.
(
)
e.
(
)
f.
(
)
g.∑ (
)
1.2 Deret Fourier pada Sinyal Periodik
x(t+T) = x(t)
Gambar 3. Sinyal Perodik dg Periode T Sinyal periodis dasar
ω0 = frekuensi fundamental
T 0 = 2Π/ω0 = periode fundamental
Suatu sinyal periodis dengan periode T 0 dapat dinyatakan sebagai
penjumlahan sinyal-sinyal lain dengan periode-periode kelipatan dariT 0
ak untuk,
k = 0 disebut komponen dc
k = ±1 disebut komponen fundamental
k = ±2, ±3,.. disebut komponen harmonik ke -k
t
jSin
t
Cos
e
t
x
t
Cos
t
x
t j 0 0 0 0)
(
)
(
k t jk ke
a
t
x
(
)
0Jika
x(t)real, maka
x *(t) = x(t)
k t jk ke
a
t
x
t
x
*(
)
(
)
* 0Ganti
kdengan –
k, didapatkan
a*-k =akatau
a*k =a-k
k t jk ke
a
t
x
(
)
* 0
1 0 0 0)
(
k t jk k t jk ke
a
e
a
a
t
x
1 * 0 0 0)
(
k t jk k t jk ke
a
e
a
a
t
x
Penjumlahan konjugate kompleks menghasilkan
1 0 0Re
2
)
(
k t jk ke
a
a
t
x
Jika
ak = Ak e jθk
1 0 02
)
(
k k kCos
k
t
A
a
t
x
Jika
ak = Bk + j C k
1 0 0 02
(
)
(
)
)
(
k k kCos
k
t
C
Sin
k
t
B
a
t
x
k t jn t jk k t jne
e
a
e
t
x
(
).
0 0.
0
0 0 0 0 0 0 0.
).
(
T k t jn t jk k T t jndt
e
e
a
dt
e
t
x
k T t n k j k T t jndt
e
a
dt
e
t
x
0 0 0 0 0 ) ( 0).
(
0 0 0 0 ) (,
0
,
T t n k jn
k
n
k
T
dt
e
k T t n k j k T t jndt
e
a
dt
e
t
x
0 0 0 0 0 ) ( 0).
(
0 0.
).
(
0 0dt
a
T
e
t
x
n T t jn
sehingga:
0 0 0 0).
(
1
T jn t nx
t
e
dt
T
a
k t jk ke
a
t
x
(
)
.
0
0 0 0 0).
(
1
T jk t kx
t
e
dt
T
a
Koefisien
akdisebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral
0)
(
1
0 0 Tdt
t
x
T
a
Contoh:
Gambar 1.4 Sinyal Perodik dengan periode T
0Dalam satu periode
2 1 1 0,
0
,
1
)
(
Tt
T
T
t
t
x
Komponen dc :
0 1 0 02
1
1
1 1T
T
dt
T
a
T T
Komponen spektral:
0 0).
(
1
0 T t jk kx
t
e
dt
T
a
1 1 0.
1
1
0 T T t jk ke
dt
T
a
1 1 0 0 0
1
T
T
e
T
jk
a
k jk t
j
e
e
T
k
a
T jk T jk k2
2
0 1 0 1 0 0 k
T
k
Sin
T
k
T
k
Sin
a
k2
(
)
(
0 1)
0 0 1 0
Buktikan bentuk akdi atas (tugas ke tiga nomor 1)
Dalam sembarang periode,
x(t)harus
absolutely integrableDalam sembarang interval, variasi
x(t)harus berhingga. Dalam satu
periode, cacah maksima dan minima harus berhingga
Dalam setiap periode, cacah fungsi yang diskontinyu harus berhingga.
Latihan: Tentukan koefisien DC dan spektral untuk sinyal pada gambar
berikut:
Gambar 4.5 Sinyal Periodik dengan Periode T=2
(Tugas ketiga nomor 2)
Deret Fourier dalam bentuk trigonometri dinyatakan sebagai:
dimana:
|c
n|
= magnitudo dari c
n
c
n= sudut dari c
nContoh kasus untuk Gambar 4.5 dapat dihitung |c
n| dan
c
nyaitu:
Sehingga representasi trigonometri dari Deret Fourier untuk kasus
Gambar 4.5 adalah:
rumus terakhir di atas disebut sebagai fenomena Gibbs, yaitu sinyal
persegi bisa didaptkan dari penjumlahan sinyal sinusoidanya. Berikut
digambarkan fenomena Gibbs.
Untuk N=9
()
[()
()
]
Gambar 4.6 Sinyal x(t) pada Gambar 4.5 dengan N=9
Tugas ketiga nomor 3
()
[()
()
]
Gambar 4.7 Sinyal x(t) pada Gambar 4.5 dengan N=21
1.3 Transformasi Fourier sinyal tak periodis
contoh:
2 1 1 0,
0
,
1
)
(
Tt
T
T
t
t
x
Komponen spektral:
0 0 1 0)
(
2
T
k
T
k
Sin
a
k
0 1 0 0)
(
2
k
T
k
Sin
a
T
k
α
(t): sinyal periodis dengan periode
T 0x(t)
adalah:
T 0
dapat dikatakan mendekati tak terhingga
Jika
T 0ak= X(ω) dan ω = k ω
0, maka
0 1 0 1 0 0
)
(
2
)
(
2
k
T
Sin
k
T
k
Sin
a
T
k
2 / 2 / 0 0 0 0 0).
(
.
)
(
T T t jk k k t jk kdt
e
t
a
T
e
a
t
dt
e
t
x
a
T
t
t
t
t
x
t jk k T T 0 0 0).
(
|
|
,
0
|
|
),
(
)
(
0 2 2 Sinyal periodis α(t) menjadi :
Jika
T 0 oo, maka ω00, sehingga α(t)=x(t)
X(ω)
: Transformasi Fourier atas
x(t) x(t): Invers transformasi Fourier
1.4 Diskret Fourier Transform
