Matematika Kls 8 Bab 2

(1)

Relasi dan Fungsi

Standar Kompetensi

Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan

persamaan garis lurus.

Kompetensi Dasar

1.3

1.3 Memhami Memhami relasi relasi dan dan fu fu ngsingsi

1.4

1.4 Menentukan Menentukan nilai nilai fungsi.fungsi.

1.5

1.5 Membuat Membuat sketsa sketsa grak grak fungsi fungsi aljabar aljabar sederhanasederhana

pada sistem koordinat Cartesius

Bab 2

(2)

Masih ingatkah kamu tentang materi Masih ingatkah kamu tentang materi himpunan? Coba beri contoh dua buah himpunan? Coba beri contoh dua buah himpunan Jika kamu lupa, sebaiknya kamu himpunan Jika kamu lupa, sebaiknya kamu pelajari kembali. Pemahaman tentang pelajari kembali. Pemahaman tentang himpunan diperlukan untuk dapat memahami himpunan diperlukan untuk dapat memahami materi pada Bab 2 ini dengan baik.

materi pada Bab 2 ini dengan baik.

Pengertian Relasi

Pak Budi mempunyai lima orang anak, yaitu Pak Budi mempunyai lima orang anak, yaitu Riska, Dimas, Candra, Dira, dan Reni. Riska, Dimas, Candra, Dira, dan Reni. Masing-masing anak mempunyai kegemaran berolah masing anak mempunyai kegemaran berolah raga yang berbeda-beda. Riska gemar berolah raga yang berbeda-beda. Riska gemar berolah raga badminton dan renang. Dimas gemar raga badminton dan renang. Dimas gemar berolah raga sepak bola. Candra gemar b

berolah raga sepak bola. Candra gemar berolaherolah raga sepak bola. Sedangkan Dira dan Reni raga sepak bola. Sedangkan Dira dan Reni mempunyai kegemaran berolah raga yang mempunyai kegemaran berolah raga yang sama yaitu basket dan badminton.

sama yaitu basket dan badminton.

Jika anak-anak Pak Budi dikelompokkan menjadi satu dalam Jika anak-anak Pak Budi dikelompokkan menjadi satu dalam himpunan A, maka anggota dari himpunan A adalah Riska, himpunan A, maka anggota dari himpunan A adalah Riska, Dimas, Candra, Dira, dan Reni. Himpunan A tersebut kita Dimas, Candra, Dira, dan Reni. Himpunan A tersebut kita tuliskan sebagai

tuliskan sebagai

A = {Riska, Dimas, Candra, Dira, Reni}. A = {Riska, Dimas, Candra, Dira, Reni}. Menjelaskan dan Menjelaskan dan menyatakan masalah menyatakan masalah sehari-hari yang sehari-hari yang

berkaitan dengan fungsi berkaitan dengan fungsi Menyatakan suatu fungsi Menyatakan suatu fungsi yang terkait dengan yang terkait dengan kejadian sehari-hari. kejadian sehari-hari. Menggambar grafik Menggambar grafik fungsi dalam koordinat fungsi dalam koordinat Cartesius Cartesius Relasi Relasi Himpunan Himpunan Anggota himpunan Anggota himpunan Diagram Panah Diagram Panah Koordinat Cartesius Koordinat Cartesius Pasangan Berurutan Pasangan Berurutan Sumber

Sumber :www.flickr.co:www.flickr.comm

2

2 .1

.1

Relasi

A

Apa yang akan kamu Apa yang akan kamu pelajari?

pelajari?

Kata Kunci: Kata Kunci:

(3)

Sedangkan jenis olah raga yang digemari anak-anak Pak Budi Sedangkan jenis olah raga yang digemari anak-anak Pak Budi dapat

dapat dikelompokkan dikelompokkan dalam dalam himpunan himpunan B. B. Himpunan Himpunan BB dituliskan

dituliskan

B = {Badminton, Renang, Basket, Sepak bola} B = {Badminton, Renang, Basket, Sepak bola} Terhadap kegemaran anak-anak pak Budi,

Terhadap kegemaran anak-anak pak Budi, terdapat hubunganterdapat hubungan antara himpunan A dan himpunan B. Hubungan tersebut antara himpunan A dan himpunan B. Hubungan tersebut berkait dengan

berkait dengan gemar berolah raga gemar berolah raga dari anak-anak pak Budi.dari anak-anak pak Budi. Riska

Riska gemar berolah raga gemar berolah raga badminton dan renangbadminton dan renang Dimas

Dimas gemar berolah raga gemar berolah raga sepakbolasepakbola Candra

Candra gemar berolah raga gemar berolah raga sepakbolasepakbola Dira

Dira gemar berolah raga gemar berolah raga badminton dan basketbadminton dan basket Reni

Reni gemar berolah raga gemar berolah raga badminton dan basketbadminton dan basket Apabila

Apabila gemar berolah raga gemar berolah raga kita notasikan dengan tandakita notasikan dengan tanda panah, pernyataan-pernyataan di atas dapat digambarkan panah, pernyataan-pernyataan di atas dapat digambarkan sebagai

sebagai gemar berolah raga gemar berolah raga Riska Riska Dimas Dimas Candra Candra Dira Dira Reni Reni Badminton Badminton Renang Renang Basket Basket Sepakbola Sepakbola Gambar 2.1 Gambar 2.1

Kita melihat antara anggota himpunan A dan anggota himpuna Kita melihat antara anggota himpunan A dan anggota himpuna B memiliki hubungan

B memiliki hubungan ((relasirelasi)) gemar berolahraga gemar berolahraga. Selanjutnya. Selanjutnya kita katakan terdapat relasi antara anggota himpunan A dan kita katakan terdapat relasi antara anggota himpunan A dan anggota himpunan B, atau sering juga disebut relasi dari anggota himpunan B, atau sering juga disebut relasi dari himpunan A ke himpun B.

himpunan A ke himpun B.

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa : Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa :

Tugas.

Tugas. Buat kelompok dengan anggota masing-masing 5Buat kelompok dengan anggota masing-masing 5 orang. Buatlah relasi

orang. Buatlah relasi hobihobi dari masing-masing anggotadari masing-masing anggota kelompokmu. kelompokmu. A A B B Definisi Definisi Relasi Relasi

Relasi dari himpunan A ke himpunan B

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalahadalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B

(4)

Menyatakan

Menyatakan Relasi Relasi Dua HiDua Himpunan mpunan dengan Ddengan Diagram iagram PanahPanah

Diagram panah adalah diagram yang menggambarkan Diagram panah adalah diagram yang menggambarkan hubungan antara dua himpunan dengan disertai tanda panah. hubungan antara dua himpunan dengan disertai tanda panah. Seperti relasi pada Gambar 2.1.

Seperti relasi pada Gambar 2.1.

Marilah kita lihat contoh lain penggambaran relasi dengan Marilah kita lihat contoh lain penggambaran relasi dengan diagram panah. Perhatikan soal cerita di bawah ini.

diagram panah. Perhatikan soal cerita di bawah ini.

Di kelas VIII SMPN I Banjarmasin, terdapat sebuah kelompok Di kelas VIII SMPN I Banjarmasin, terdapat sebuah kelompok belajar yang beranggotakan 4 orang, yaitu Ani, Adi, Ina, dan belajar yang beranggotakan 4 orang, yaitu Ani, Adi, Ina, dan Iman. Ani mempunyai seorang adik yang bernama Budi. Adi Iman. Ani mempunyai seorang adik yang bernama Budi. Adi mempunyai dua orang adik bernama Surya dan Hani. Ina tidak mempunyai dua orang adik bernama Surya dan Hani. Ina tidak mempunyai adik. Sedangkan Santi adik dari Iman.

mempunyai adik. Sedangkan Santi adik dari Iman.

Coba tebak, relasi apa yang dinyatakan oleh cerita di atas? Coba tebak, relasi apa yang dinyatakan oleh cerita di atas? Benar!

Benar! Relasi tentang Relasi tentang adik dan kakak. adik dan kakak. Sekarang, mari Sekarang, mari kita buatkita buat himpunan yang berisi kakak dan himpunan yang berisi adik. himpunan yang berisi kakak dan himpunan yang berisi adik. Misal himpunan P menyatakan himpunan kakak, dan Q Misal himpunan P menyatakan himpunan kakak, dan Q menyatakan himpunan adik.

menyatakan himpunan adik. Himpunan P mempuHimpunan P mempunyai anggotanyai anggota Ani, Adi, Ina, dan Iman dan dituliskan dengan P = {Ani, Adi, Ani, Adi, Ina, dan Iman dan dituliskan dengan P = {Ani, Adi, Ina, Iman}, sedangkan himpunan Q adalah {Budi, Hani, Surya, Ina, Iman}, sedangkan himpunan Q adalah {Budi, Hani, Surya, Santi}. Jika kita tentukan relasi atau hubungan antara himpunan Santi}. Jika kita tentukan relasi atau hubungan antara himpunan P dengan himpunan Q sebagai

P dengan himpunan Q sebagai kakak darikakak dari, maka Ani, maka Ani dihubungkan dengan Budi, artinya Ani kakak dari Budi, Adi dihubungkan dengan Budi, artinya Ani kakak dari Budi, Adi dihubungkan dengan Surya dan Hani, artinya Adi kakak dari dihubungkan dengan Surya dan Hani, artinya Adi kakak dari Surya dan Hani. Sedangkan Ina tidak mempunyai adik. Iman Surya dan Hani. Sedangkan Ina tidak mempunyai adik. Iman dihubungkan dengan Santi. Hubungan antara anggota-anggota dihubungkan dengan Santi. Hubungan antara anggota-anggota himpunan P dan Q dapat digambarkan sebagai berikut :

himpunan P dan Q dapat digambarkan sebagai berikut :

Ani Ani Adi Adi Ina Ina Iman Iman Budi Budi Surya Surya Hani Hani Santi Santi Kakak dari Kakak dari Gambar 2.2 Gambar 2.2 P P QQ

Berdasar contoh di atas tampak bahwa ada

Berdasar contoh di atas tampak bahwa ada satu anggota P yaitusatu anggota P yaitu Ina yang tidak mempunyai hubungan dengan anggota Q. Ina yang tidak mempunyai hubungan dengan anggota Q. Relasi antara himpunan P dan himpunan Q adalah relasi

Relasi antara himpunan P dan himpunan Q adalah relasi kakakkakak dari

dari..

B

(5)

Oleh

Oleh karena karena itu itu lambang lambang pada pada Gambar Gambar 2.2 2.2 menyatakanmenyatakan relasi

relasi kakak darikakak dari. . Bila Bila dituliskan Ani dituliskan Ani Budi, Budi, artinya artinya AniAni kakak dari

kakak dari Budi, Budi, Adi Adi Surya, Surya, artinya artinya AdiAdi kakak darikakak dari SuryaSurya dan

dan Adi Adi Hani, Hani, artinya artinya AdiAdi kakak darikakak dari Hani dan seterusnya.Hani dan seterusnya. 1.

1. Dapatkan Dapatkan kamu kamu menemenemukamukan reln relasi lain anasi lain antara anggotara anggota- ta-anggota himpunan P dan ta-anggota-ta-anggota himpunan Q anggota himpunan P dan anggota-anggota himpunan Q pada cont

pada contoh di oh di atas? Jika atas? Jika ada, ada, sebutkan sebutkan dan gambarkandan gambarkan relasi tersebut!

relasi tersebut! 2.

2. Buatlah cBuatlah contoh ontoh lain tenlain tentang relastang relasi antara ani antara anggota-ggota-anggoanggotata dua himpunan yang kamu ketahui!

dua himpunan yang kamu ketahui!

Menyatakan

Relasi

Dua

Himpunan

dalam

Koordinat

Cartesius

Dalam menyatakan relasi antara anggota-anggota dua Dalam menyatakan relasi antara anggota-anggota dua himpunan, selain dengan menggunakan diagram panah himpunan, selain dengan menggunakan diagram panah dapat juga dinyatakan dalam koordinat Cartesius.

dapat juga dinyatakan dalam koordinat Cartesius.

Jika kita menyebut kata “Cartesius”, yang kita ingat adalah Jika kita menyebut kata “Cartesius”, yang kita ingat adalah bidang Cartesius yang mempunyai dua sumbu, yaitu sumbu bidang Cartesius yang mempunyai dua sumbu, yaitu sumbu mendatar dan sumbu tegak.

mendatar dan sumbu tegak. Demikian juga pada koordinat

Demikian juga pada koordinat Cartesius, terdapat dua sumbuCartesius, terdapat dua sumbu yang saling tegak lurus yaitu sumbu mendatar atau horisontal yang saling tegak lurus yaitu sumbu mendatar atau horisontal dan sumbu tegak atau vertikal.

dan sumbu tegak atau vertikal.

Pada Gambar 2.1 di atas, kita dapat menyatakan relasi antara Pada Gambar 2.1 di atas, kita dapat menyatakan relasi antara anggota himpunan A dan anggota

anggota himpunan A dan anggota himpunan B tersebut dalamhimpunan B tersebut dalam koordinat Cartesius.

koordinat Cartesius.

Nama anggota-anggota himpunan A diletakkan pada sumbu Nama anggota-anggota himpunan A diletakkan pada sumbu mendatar dan nama anggota-anggota B diletakkan pada mendatar dan nama anggota-anggota B diletakkan pada sumbu tegak. Setiap anggota himpunan A yang berelasi sumbu tegak. Setiap anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota himpunan B dapat dinyatakan dengan dengan anggota himpunan B dapat dinyatakan dengan noktah (

noktah (_•_•) atau dengan bintang () atau dengan bintang (_**). Jadi koordinat Cartesius). Jadi koordinat Cartesius dari relasi tersebut adalah :

dari relasi tersebut adalah :

C

(6)

Sepak bola Sepak bola Basket Basket Renang Renang Badminton Badminton Riska

Riska Dimas Dimas Candra Candra Dira Dira ReniReni

• • • •22 • •33 ••44 • •55 ••77 • •66 •• 88 B B A A 1 1 Gambar 2. 3 Gambar 2. 3

Relasi antara anggota himpunan A dan B adalah

Relasi antara anggota himpunan A dan B adalah gemar berolah gemar berolah raga.

raga. Noktah 1 menghubungkan Riska dan badminton,Noktah 1 menghubungkan Riska dan badminton, artinya Riska gemar berolah raga badminton. Noktah 4 artinya Riska gemar berolah raga badminton. Noktah 4 menghubungkan Candra dan sepak bola, artinya Candra menghubungkan Candra dan sepak bola, artinya Candra gemar berolah raga sepak bola dan seterusnya.

gemar berolah raga sepak bola dan seterusnya. Diskusikan

Diskusikan

1.

1. Coba Coba gambarkan gambarkan dalam kdalam koordinat oordinat CartesiuCartesius us untuk ntuk relasirelasi dari himpunan P ke himpunan Q (pada Gambar 2.2) dari himpunan P ke himpunan Q (pada Gambar 2.2) dengan anggota himpunan P diletakkan pada sumbu dengan anggota himpunan P diletakkan pada sumbu mendatar dan anggota himpunan Q diletakkan pada mendatar dan anggota himpunan Q diletakkan pada sumbu tegak.

sumbu tegak. 2.

2. GambarkGambarkan an pula pula dalam dalam koordkoordinat inat CarteCartesius sius untuntuk uk relasrelasii dari himpunan P ke himpunan Q dengan nama anggota dari himpunan P ke himpunan Q dengan nama anggota himpunan P diletakkan pada sumbu tegak dan nama himpunan P diletakkan pada sumbu tegak dan nama anggota himpunan Q diletakkan pada sumbu mendatar. anggota himpunan Q diletakkan pada sumbu mendatar. 3.

3. Apa Apa yang dapyang dapat kamat kamu su simpulkimpulkan dari (an dari (1) dan (1) dan (2) ?2) ?

Menyatakan

Relasi

Dua

Himpunan

dengan

Pasangan

Berurutan

Pasangan berurutan dilambangkan dengan (x,y) dengan x Pasangan berurutan dilambangkan dengan (x,y) dengan x menyatakan anggota suatu himpunan tertentu, sebut A, dan menyatakan anggota suatu himpunan tertentu, sebut A, dan y menyatakan anggota dari himpunan lain, sebut B. Pada y menyatakan anggota dari himpunan lain, sebut B. Pada bagian ini kita akan menyatakan relasi sebagai himpunan bagian ini kita akan menyatakan relasi sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y). Pada bagian sebelumnya, relasi pasangan berurutan (x,y). Pada bagian sebelumnya, relasi antara anggota dua himpunan dapat dinyatakan dengan antara anggota dua himpunan dapat dinyatakan dengan dia-gram panah dan dalam koordinat Cartesius. Kita akan gram panah dan dalam koordinat Cartesius. Kita akan mengambil contoh pada Gambar 2.1, dan menyatakannya mengambil contoh pada Gambar 2.1, dan menyatakannya sebagai pasangan berurutan. Pada relasi

sebagai pasangan berurutan. Pada relasi gemar berolahraga gemar berolahraga didi atas, kita memiliki himpunan penggemar olah raga A = atas, kita memiliki himpunan penggemar olah raga A = {Riska, Dimas, Candra, Dira, Reni}, dan himpunan cabang {Riska, Dimas, Candra, Dira, Reni}, dan himpunan cabang olah raga B = {Badminton, Renang, Basket, Sepakbola}.

olah raga B = {Badminton, Renang, Basket, Sepakbola}.

D

(7)

Berdasarkan Gambar 2.1, relasi

Berdasarkan Gambar 2.1, relasi gemar berolahraga gemar berolahraga dituliskandituliskan sebagai R = {(Riska, Renang), (Riska, Badminton), (Dimas, sebagai R = {(Riska, Renang), (Riska, Badminton), (Dimas, Sepakbola), (Candra, Sepakbola), (Dira, Badminton) , (Dira, Sepakbola), (Candra, Sepakbola), (Dira, Badminton) , (Dira, Basket), (Reni, Badminton), (Reni, Basket)}.

Basket), (Reni, Badminton), (Reni, Basket)}.

Diketahui P = {2, 3, 4, 5} dan Q = {4, 9, 25}. Diketahui P = {2, 3, 4, 5} dan Q = {4, 9, 25}. Tentukan contoh relasi dari P ke Q.

Tentukan contoh relasi dari P ke Q.

Jawab: Jawab:

Relasi (R) antara anggota-anggota himpunan P dan Q adalah Relasi (R) antara anggota-anggota himpunan P dan Q adalah faktor dari

faktor dari..

Relasi di atas dapat dinyatakan dengan pasangan berurutan Relasi di atas dapat dinyatakan dengan pasangan berurutan seperti berikut :

seperti berikut :

(2, 4), artinya 2 faktor dari 4. (2, 4), artinya 2 faktor dari 4.

(4, 4), artinya 4 faktor dari 4 dan seterusnya. (4, 4), artinya 4 faktor dari 4 dan seterusnya.

Jadi himpunan pasangan berurutan dari relasi tersebut adalah Jadi himpunan pasangan berurutan dari relasi tersebut adalah

:: R = {(2, 4) , (3, 9) , (4, 4) , (5, 25)}. R = {(2, 4) , (3, 9) , (4, 4) , (5, 25)}. Pikirkan! Pikirkan! 1.

1. ApaApakah ada kah ada relrelasasi i yang lain antara anggyang lain antara anggotaota-an-anggggotaota himpunan P dan Q di atas? Jika ada, nyatakan relasi tersebut himpunan P dan Q di atas? Jika ada, nyatakan relasi tersebut dengan

dengan diagram panahdiagram panah, koordinat , koordinat Cartesius Cartesius dan pasadan pasanganngan berurutan.

berurutan.

Tugas Kelompok

Bentuk sebuah kelompok yang beranggotakan 5 orang. Ukur Bentuk sebuah kelompok yang beranggotakan 5 orang. Ukur tinggi badan masing-masing anggota kelompokmu, catat tinggi tinggi badan masing-masing anggota kelompokmu, catat tinggi badan tersebut (nyatakan dalam satuan cm).

badan tersebut (nyatakan dalam satuan cm). 1.

1. DapDapatkatkah ah dibudibuat at rerelasi lasi antantara ara anganggota gota daladalamm kelompokmu dengan ukuran tinggi badan ? kelompokmu dengan ukuran tinggi badan ? 2.

2. JiJika dka dapaapat, apt, apakakah reah relaslasinyinya ?a ? 3.

3. NyaNyatakatakan relan relasi tesi tersersebut dabut dalam tiglam tiga cara cara, yaita, yaitu :u : a.

a. DDiaiagrgram am PPananahah.. b.

b. KoKoorordidinanat Ct Carartetesisiusus.. c.

c. PPasasanangagan n BeBerurururutatan.n.

Contoh 1 Contoh 1

Relasi

Relasi antara himpunan X dan Y dapat dinyatakan sebagaiantara himpunan X dan Y dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan (x, y) dengan x anggota himpunan pasangan berurutan (x, y) dengan x anggota himpunan pertama (X) dan y anggota himpunan kedua (Y). himpunan pertama (X) dan y anggota himpunan kedua (Y).

(8)

11.. Perhatikan relasi antara anggota-anggota dua himpunanPerhatikan relasi antara anggota-anggota dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram panah di bawah ini. yang dinyatakan dengan diagram panah di bawah ini. Sebutkan relasi-relasi tersebut.

Sebutkan relasi-relasi tersebut. aa.. A A B B 22 33 44 44 55 66 77 88 b. b. D D E E 2.

2. BuBuatatlah dlah diagiagram ram panpanah dah dari rari relelasasii tiga kalinya daritiga kalinya dari antaraantara K

K = = {9, {9, 12, 12, 15, 15, 21} 21} dan dan L L = = {3, {3, 4, 54, 5, , 7}7} 3.

3. DiketDiketahui ahui enam enam orang orang anak anak di kedi kelas VIlas VIII SMII SMP PP Palangkaraalangkaraya,ya, yaitu Dina, Alfa, Sita, Bima, Doni, dan Rudi. Mereka yaitu Dina, Alfa, Sita, Bima, Doni, dan Rudi. Mereka mempunyai ukuran sepatu yang berbeda-beda. Dina dan mempunyai ukuran sepatu yang berbeda-beda. Dina dan Sita mempunyai ukuran sepatu yang sama yaitu nomor 38. Sita mempunyai ukuran sepatu yang sama yaitu nomor 38. Alfa mempunyai ukuran sepatu 37. Bima mempunyai Alfa mempunyai ukuran sepatu 37. Bima mempunyai ukuran sepatu nomor 40. Sedangkan Doni dan Rudi ukuran sepatu nomor 40. Sedangkan Doni dan Rudi mempunyai ukuran sepatu yang sama yaitu 39.

mempunyai ukuran sepatu yang sama yaitu 39.

aa.. Gambarlah Gambarlah diagram pdiagram panah yanah yang meang menghunghubungbungkan sekan semuamua nama anak di

nama anak di kelas VIII SMP Palangkaraya dengan semuakelas VIII SMP Palangkaraya dengan semua ukuran sepatunya. ukuran sepatunya. Denpasar Denpasar Kendari Kendari Padang Padang Surabaya Surabaya Bali Bali Jawa timur Jawa timur Jawa Barat Jawa Barat Sulawesi tenggara Sulawesi tenggara Sumatera Barat Sumatera Barat Latihan 2.1 Latihan 2.1

(9)

b.

b. Gambarlah rGambarlah relasi teelasi tersebursebut dengat dengan menggn menggunakanunakan koordinat Cartesius.

koordinat Cartesius. c.

c. TulTulislah sislah semuemua pasaa pasangan bengan berurururutan yantan yang mg menyatenyatakanakan relasi tersebut.

(10)

Menyatakan Bentuk Fungsi

Pernahkah kamu merasakan rasa gula, garam, Pernahkah kamu merasakan rasa gula, garam, lada dan berbagai bahan dapur yang lainnya? lada dan berbagai bahan dapur yang lainnya? Coba rasakan bagaimanakah rasa gula? Pasti Coba rasakan bagaimanakah rasa gula? Pasti manis. Bagaimanakah rasanya garam? Pasti asin, manis. Bagaimanakah rasanya garam? Pasti asin, tidak ada garam yang rasanya manis.

tidak ada garam yang rasanya manis.

Bagaimanakah rasanya lada? Adakah lada yang Bagaimanakah rasanya lada? Adakah lada yang rasanya tidak pedas? Adakah rasa cuka yang rasanya tidak pedas? Adakah rasa cuka yang tidak asam ?

tidak asam ?

Jika bahan-bahan dapur dikumpulkan dalam satu Jika bahan-bahan dapur dikumpulkan dalam satu himpunan yaitu A dan rasa dari bahan-bahan himpunan yaitu A dan rasa dari bahan-bahan dapur dikumpulkan dalam himpunan B, maka dapur dikumpulkan dalam himpunan B, maka relasi apa yang dapat digunakan untuk relasi apa yang dapat digunakan untuk menghubungkan himpunan A dan B ?

menghubungkan himpunan A dan B ?

Jika relasi yang digunakan untuk

menghubungkan anggota-anggota himpunan A menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B adalah dengan anggota-anggota himpunan B adalah rasanya

rasanya, maka relasi tersebut dapat dinyatakan, maka relasi tersebut dapat dinyatakan dengan diagram panah seperti berikut :

dengan diagram panah seperti berikut :

Garam Garam Gula Gula Cuka Cuka Lada Lada Asam Asam Asin Asin Pahit Pahit Manis Manis Pedas Pedas rasanya rasanya Gambar 2.4 Gambar 2.4 A A B B

pelajari?

•

• _{Menyatakan suatu fungsi}_{Menyatakan suatu fungsi} yang terkait dengan yang terkait dengan kejadian sehari-hari kejadian sehari-hari •

• _{Menggambar grafik fungsi}_{Menggambar grafik fungsi} dalam koordinat Cartesius. dalam koordinat Cartesius.

•

• _{Daerah asal}_{Daerah asal} •

• _{Daerah kawan}_{Daerah kawan} •

• _{Daerah hasil}_{Daerah hasil} •

• _Peta_Peta •

• _Prapeta_Prapeta

2

2 .2

.2

Fungsi (Pemetaan)

A

Perhatikan

Perhatikan Gambar Gambar 2.4.2.4.

Apakah setiap anggota himpunan A mempunyai hubungan Apakah setiap anggota himpunan A mempunyai hubungan dengan anggota himpunan B ?

(11)

Apakah setiap anggota himpunan A mempunyai hubungan Apakah setiap anggota himpunan A mempunyai hubungan dengan hanya satu anggota himpunan B ?

dengan hanya satu anggota himpunan B ?

Karena setiap anggota himpunan A mempunyai hubungan Karena setiap anggota himpunan A mempunyai hubungan dengan anggota himpunan B dan setiap anggota himpunan A dengan anggota himpunan B dan setiap anggota himpunan A hanya mempunyai satu kawan anggota himpunan B, maka hanya mempunyai satu kawan anggota himpunan B, maka relasi dari himpunan A dan B disebut

relasi dari himpunan A dan B disebut fungsi fungsi atauatau pemetaanpemetaan ..

Relasi pa

Relasi pada Gambar 2.4 da Gambar 2.4 merupakan merupakan fungsi (pfungsi (pemetaan). emetaan). DalamDalam diagram

diagram panah, panah, garam dihubungkan garam dihubungkan oleh oleh anak panah anak panah dengandengan asin

asin dan dan dituliskan dituliskan sebagaisebagai

garam asin.

Garam berada

Garam berada pada pada pangkal pangkal anak anak panah, spanah, sedangkan edangkan AsinAsin berada

berada pada upada ujung jung anak panak panah. anah. Garam diGaram dipetapetakan pada asin,kan pada asin, sehingga asin disebut sebagai

sehingga asin disebut sebagai petapeta dari garam. Asin dihasilkandari garam. Asin dihasilkan oleh siapa, garam! Selanjutnya, dalam matematika garam sering oleh siapa, garam! Selanjutnya, dalam matematika garam sering disebut sebagai

disebut sebagai prapetaprapeta dari asin.dari asin. Pada

Pada notasi notasi gula gula manis. manis. Manis Manis disebutdisebut petapeta dari guladari gula dan gula disebut

dan gula disebut prapetaprapeta dari manis.dari manis.

Coba jelaskan dengan bahasamu sendiri, notasi-notasi berikut: Coba jelaskan dengan bahasamu sendiri, notasi-notasi berikut:

cuka asam

lada pedas

Himpunan-himpunan prapeta dan himpunan peta memiliki Himpunan-himpunan prapeta dan himpunan peta memiliki istilah sebagai berikut:

istilah sebagai berikut:

A = {garam, gula, cuka, lada} disebut

A = {garam, gula, cuka, lada} disebut daerah asaldaerah asal atauatau domaindomain

dari fungsi. dari fungsi.

B = {asam, asin, pahit, manis, pedas} disebut

B = {asam, asin, pahit, manis, pedas} disebut daerah kawandaerah kawan

atau

atau kodomainkodomain dari fungsi.dari fungsi.

Himpunan {asam, asin, manis, pedas} disebut

Himpunan {asam, asin, manis, pedas} disebut daerah hasildaerah hasil atauatau

range

range dari fungsi.dari fungsi.

Diskusikan dengan temanmu pertanyaan-pertanyaan berikut: Diskusikan dengan temanmu pertanyaan-pertanyaan berikut: Apakah setiap anggota

Apakah setiap anggota daerah hasildaerah hasil merupakanmerupakan petapeta daridari anggota himpunan A?

anggota himpunan A? Apakah semua

Apakah semua petapeta dari anggota himpunan A menjadi anggotadari anggota himpunan A menjadi anggota

daerah hasil daerah hasil?? Definisi Definisi Fungsi Fungsi Fungsi

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalahdari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang menghubungkan

relasi yang menghubungkan setiapsetiap anggotaanggota himpunan A dengan

himpunan A dengan tepattepat satu anggotasatu anggota himpunan B.

(12)

Apakah

Apakah daerah kawandaerah kawan pada fungsi di atas sama denganpada fungsi di atas sama dengan daerahdaerah hasil

hasilnya?nya?

Perhatikan kesimpulan berikut: Perhatikan kesimpulan berikut:

Sekarang kamu perhatikan diagram panah untuk relasi

Sekarang kamu perhatikan diagram panah untuk relasi faktor faktor dari

dari pada pada himpunan himpunan K = K = {2, {2, 3, 3, 4, 5} 4, 5} terhadap himpterhadap himpunan unan L L = = {4,{4, 9, 25} berikut ini.

9, 25} berikut ini.

Notasi

Notasi 2 2 4, 4, dibacadibaca 2 faktor dari 4

2 faktor dari 4 Notasi

Notasi 3 3 9, 9, dibacadibaca 3 faktor dari 9

3 faktor dari 9

Tolong sebutkan yang Tolong sebutkan yang lain! lain! 22 33 44 55 44 99 25 25 K K L L factor dari factor dari Gambar 2.5 Gambar 2.5

Perhatikan Gambar 2.5 di atas. Perhatikan Gambar 2.5 di atas. a.

a. ApApakaakah sh setetiap iap anganggotgota K a K memempmpununyai yai huhubunbungagan dn dengenganan satu anggota himpunan L?

satu anggota himpunan L? b.

b. ApApakakah rah relelasasi ti terersesebubut mt mererupupakaakan fn funungsgsi?i? c.

c. JikJika rela relasasi di atai di atas ms mererupupakakan fan fuungngsi, si, mamaka seka sebubutktkan daan daeerahrah asal, daerah kawan, dan daerah hasilnya. Bagaimana asal, daerah kawan, dan daerah hasilnya. Bagaimana hubungan antara daerah kawan dengan daerah hasil? hubungan antara daerah kawan dengan daerah hasil?

Perhatikan diagram panah berikut : Perhatikan diagram panah berikut :

Ani Ani Adi Adi Ina Ina Iman Iman Budi Budi Surya Surya Hani Hani Santi Santi P P QQ Kakak dari Kakak dari Gambar 2.6 Gambar 2.6 Faktor dari Faktor dari Daerah Daerah Hasil

Hasil _{Daerah hasil}_{Daerah hasil} _{adalah himpunan dari anggota daerah}_{adalah himpunan dari anggota daerah}

kawan yang mempunyai

kawan yang mempunyai prapetaprapeta.. Daerah hasil

Daerah hasil merupakan himpunan darimerupakan himpunan dari petapeta setiapsetiap anggota daerah asal.

anggota daerah asal.

atau

(13)

Notasi Ani

Notasi Ani ⎯→ ⎯→ _{Budi, dibaca Ani kakak dari Budi.}_{Budi, dibaca Ani kakak dari Budi.} Notasi Adi

Notasi Adi ⎯→ ⎯→ _{Surya, dibaca Adi kakak dari Surya.}_{Surya, dibaca Adi kakak dari Surya.} Sebutkan anggota relasi yang lain!

Sebutkan anggota relasi yang lain!

Perhatikan diagram panah pada Gambar 2.6 di atas. Perhatikan diagram panah pada Gambar 2.6 di atas. a.

a. ApApakakah seah setiatiap angp anggogota hta himimpupunanan P men P mempmpununyai hyai hububunungagann dengan anggota himpunan Q ?

dengan anggota himpunan Q ? b.

b. ApaApakah kah sesetiap tiap angganggota ota himhimpunpunan an P P memempmpunyunyai hai hubuubungangann dengan tepat satu anggota himpunan Q?

dengan tepat satu anggota himpunan Q? c.

c. ApApakakah ah rerelaslasi i tetersrsebebut ut memerurupakpakan an fufungngsi?si?

Untuk menjawab pertanyaan ( c ), kamu harus memperhatikan Untuk menjawab pertanyaan ( c ), kamu harus memperhatikan (a) dan (b).

(a) dan (b).

Karena ada satu anggota himpunan P yaitu Ina tidak Karena ada satu anggota himpunan P yaitu Ina tidak mempunyai hubungan dengan satupun anggota himpunan Q, mempunyai hubungan dengan satupun anggota himpunan Q, maka relasi

maka relasi kakak darikakak dari dari himpunan P ke himpunan Q bukandari himpunan P ke himpunan Q bukan fungsi.

fungsi.

Adakah alasan lain yang dapat kamu temukan untuk Adakah alasan lain yang dapat kamu temukan untuk memperkuat simpulan di atas ?

memperkuat simpulan di atas ?

Untuk melihat apakah suatu relasi antara dua himpunan Untuk melihat apakah suatu relasi antara dua himpunan adalah fungsi, yang perlu diperhatikan adalah

adalah fungsi, yang perlu diperhatikan adalah setiapsetiap anggotaanggota daerah asal harus mempunyai hubungan dengan

daerah asal harus mempunyai hubungan dengan satu sajasatu saja

anggota daerah kawan. anggota daerah kawan.

Karena fungsi merupakan relasi yang mempunyai ciri khusus, Karena fungsi merupakan relasi yang mempunyai ciri khusus, maka fungsi dapat dinyatakan juga dalam bentuk:

maka fungsi dapat dinyatakan juga dalam bentuk: a.

a. ddiiaaggrraam m ppaannaahh,, b.

b. kkoooordrdininat at CCarartteessiuiuss,, c.

c. hihimmpupunanan n papasasanngagan n beberurururutatan.n.

Koordinat Cartesius untuk fungsi dari himpunan A ke Koordinat Cartesius untuk fungsi dari himpunan A ke himpunan B, pada Gambar 2.4 di atas adalah

(14)

Gula

Gula CukaCuka LadaLada Asam Asam Asin Asin Pahit Pahit Manis Manis Pedas Pedas B B A A Gambar 2.7 Gambar 2.7 Garam Garam

Pada gambar di atas tampak bahwa setiap nama pada sumbu Pada gambar di atas tampak bahwa setiap nama pada sumbu mendatar hanya mempunyai satu pasangan dengan nama pada mendatar hanya mempunyai satu pasangan dengan nama pada sumbu tegak.

sumbu tegak.

Dari koordinat Cartesius pada gambar di atas, fungsi dari Dari koordinat Cartesius pada gambar di atas, fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat pula dinyatakan dengan himpunan A ke himpunan B dapat pula dinyatakan dengan pasangan berurutan sebagai berikut :

pasangan berurutan sebagai berikut :

{(garam, asin) , (gula, manis) , (cuka, asam) , (lada, pedas)} {(garam, asin) , (gula, manis) , (cuka, asam) , (lada, pedas)}

Susunlah beberapa relasi dalam kehidupan sehari-hari yang Susunlah beberapa relasi dalam kehidupan sehari-hari yang merupakan fungsi.

merupakan fungsi.

Nyatakan fungsi (pemetaan) tersebut dengan diagram panah, Nyatakan fungsi (pemetaan) tersebut dengan diagram panah, koordinat Cartesius dan himpunan pasangan berurutan.

koordinat Cartesius dan himpunan pasangan berurutan.

Tugas Kelompok

Buat kelompok yang beranggotakan 5 orang teman sekelasmu. Buat kelompok yang beranggotakan 5 orang teman sekelasmu. Catat ukuran sepatu dari masing-masing anggota kelompok. Catat ukuran sepatu dari masing-masing anggota kelompok.

Hati-hati

Hati-hati dalam memilih himpunan yang menempati sumbudalam memilih himpunan yang menempati sumbu horizontal(datar) dan sumbu vertikal (tegak) koordinat horizontal(datar) dan sumbu vertikal (tegak) koordinat Cartesisus . Penyajian koordinat Cartesius untuk fungsi, sumbu Cartesisus . Penyajian koordinat Cartesius untuk fungsi, sumbu datar untuk daerah asal (domain) dan sumbu vertikal untuk datar untuk daerah asal (domain) dan sumbu vertikal untuk daerah kawan (kodomain).

(15)

a.

a. MisMisalal A A = = hihimmpupunanan n dadari ri nnamama a ananggggoota ta kekelolommppook.k. B = himpunan dari

B = himpunan dari nomor sepatu anggota kelompnomor sepatu anggota kelompok.ok. Tuliskan Himpunan A dan Himpunan B!

Tuliskan Himpunan A dan Himpunan B! b.

b. BuBuatatlah lah rerelaslasi i dardari i himhimpupunan nan A A ke ke hihimpmpununan an B!B! c.

c. ApApakakah reah relaslasi teri tersesebubut met merurupakpakan fuan fungngsi (psi (pememetetaaaan)n)?? d.

d. JiJika meka meruprupakaakan pemn pemetaetaan, nan, nyayataktakan fuan fungsngsi (pei (pememetaataan)n) tersebut

tersebut

ee.. DeDengngan dan diagiagram ram panpanah, ah, kookoordirdinat Cnat Cartartesesiuius, s, dandan himpunan pasangan berurutan

himpunan pasangan berurutan

Diketahui

Diketahui A A = {A= {Anto}, nto}, B = B = {Dira, {Dira, Reni}, Reni}, C C = { = { Anto, Anto, Dira, ReDira, Reni}ni} dan D

dan D = = { SMP { SMP Harapan, SMP Harapan, SMP Unggul}Unggul} a.

a. GamGambarbarkan kan diadiagrgram am papananah h dardari i hihimpmpununan an A A ke ke D D yayangng merupakan fungsi.

merupakan fungsi. b.

b. GamGambarbarkan kan diadiagrgram am papanah nah dardari i hihimpmpununan an B B ke ke D D yayangng merupakan fungsi.

merupakan fungsi. c.

c. GamGambarbarkan kan diadiagrgram am papanah nah dardari i hihimpmpununan an C C ke ke D D yayangng merupakan fungsi.

merupakan fungsi. d.

d. KeKesisimpmpululan an apapa ya yanang dag dapapat kat kammu pu pererololeheh??

Jika ibukota propinsi yang terdapat di pulau Kalimantan Jika ibukota propinsi yang terdapat di pulau Kalimantan

dikelompokkan dalam

dikelompokkan dalam himpunan A dan himpunan A dan propinsi yang terdapatpropinsi yang terdapat di pulau Kalimantan dikelompokkan dalam himpunan B, maka di pulau Kalimantan dikelompokkan dalam himpunan B, maka relasi

relasi ibukota propinsiibukota propinsi dari himpunan A ke himpunan Bdari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dalam diagram panah sebagai berikut.

dinyatakan dalam diagram panah sebagai berikut.

Banjarmasin Banjarmasin Samarinda Samarinda Palangkaraya Palangkaraya Pontianak Pontianak

•• Kalimantan SelatanKalimantan Selatan •• Kalimantan TimurKalimantan Timur •• Kalimantan TengahKalimantan Tengah •• Kalimantan BaratKalimantan Barat A

A BB

Ibukota propinsi Ibukota propinsi

Apakah relasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan Apakah relasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan pemetaan ?

pemetaan ? Sebaliknya,

Sebaliknya, apabila kapabila kita mita membuat embuat relasirelasi ibukotanya adalahibukotanya adalah daridari himpunan B ke himpunan A, maka diagram panahnya adalah himpunan B ke himpunan A, maka diagram panahnya adalah sebagai berikut.

(16)

• • BanjarmasinBanjarmasin • • SamarindaSamarinda • • PalangkarayaPalangkaraya • • PontianakPontianak Kalimantan Selatan Kalimantan Selatan Kalimantan Timur Kalimantan Timur Kalimantan Tengah Kalimantan Tengah Kalimantan Barat Kalimantan Barat B B AA Ibukotanya adalah Ibukotanya adalah

Apakah relasi dari himpunan B ke himpunan A merupakan Apakah relasi dari himpunan B ke himpunan A merupakan pemetaan?

pemetaan?

Selanjutnya, kita akan menggambarkan kedua relasi tersebut Selanjutnya, kita akan menggambarkan kedua relasi tersebut dalam

dalam satu satu diagram diagram panah. panah. Jika Jika relasirelasi ibukota propinsiibukota propinsi dinotasikan dengan

dinotasikan dengan f f dan relasidan relasi ibukotanya adalahibukotanya adalah dinotasikandinotasikan g

g, maka kedua diagram panah di atas dapat digambar sebagai, maka kedua diagram panah di atas dapat digambar sebagai berikut. berikut. gg Banjarmasin Banjarmasin ●● Samarinda Samarinda ●● Palangkaraya Palangkaraya ●● Pontianak Pontianak ●●

•• Kalimantan SelatanKalimantan Selatan •• Kalimantan TimurKalimantan Timur •• Kalimantan TengahKalimantan Tengah •• Kalimantan BaratKalimantan Barat A

A BB

f f

Kedua relasi

Kedua relasi f f dadann g g adalah fungsi (kenapa?). Fungsiadalah fungsi (kenapa?). Fungsi f f memetakan

memetakan himpunan himpunan A A kepada kepada himpunan himpunan B, B, sebaliknyasebaliknya fungsi

fungsi g g memetakan himpunan B kepada himpunan A.memetakan himpunan B kepada himpunan A. Pemetaan yang bersifat bolak-balik, baik untuk

Pemetaan yang bersifat bolak-balik, baik untuk f f dandan g g disebutdisebut

korespondensi satu satu. korespondensi satu satu.

Berpikir Kritis

Selidiki sifat-sifat korespondensi satu-satu! Selidiki sifat-sifat korespondensi satu-satu! 1.

1. SSififat at apapa ya yanang dg dimimililikiki fi fuungngsisi f? f? Bagaimana domain,Bagaimana domain, kodomain, dan daerah hasil dari

kodomain, dan daerah hasil dari f f ?? 2.

2. SSififat aat apa pa yayang ng didimmililikiki fi funungsgsii g? g? Bagaimana domain,Bagaimana domain, kodomain, dan daerah hasil dari

(17)

1.

1. DiaDiagragram pam pananah beh berikrikut iut ini mni menenununjujukkkkan rean relaslasi ani antartara dua duaa himpunan. Relasi manakah yang merupakan fungsi ?

himpunan. Relasi manakah yang merupakan fungsi ?

aa ●● b b ●● cc ●● • • dd • • ee • • ff • • gg A A B B a. a. 11 ●● 22 ●● 33 ●● 44 ●● •• aa •• bb •• cc •• dd C C D D b. b. p p ●● q q ●● rr ●● •• aa •• bb •• cc •• dd E E F F c. c. aa ●● b b ●● cc ●● d d ●● •• 22 •• 55 G G H H d. d. Perhatian! Perhatian! 1.

1. Bila Bila kodokodomain main (f)= (f)= daerah daerah hasil hasil (f), (f), maka maka fungsfungsii f f dinamakan fungsi pada.

dinamakan fungsi pada. 2.

2. BBiilla pa peettaa f f pada xpada x₁₁dan xdan x₂₂(yaitu f (yaitu f (x(x₁₁),), f f (x(x₂₂) berbeda untuk) berbeda untuk setiap x

setiap x₁₁ dan xdan x₂₂ berbeda, maka fungsi dinamakan fungsiberbeda, maka fungsi dinamakan fungsi satu-satu

satu-satu 3.

3. Bila Bila petpeta f a f hanya hanya memmemuat uat satu satu angganggota ota (han(hanya ya memmemilikiiliki anggota tunggal), maka fungsi

anggota tunggal), maka fungsi f f dinamakan fungsidinamakan fungsi konstan.konstan.

Latihan 2.2

(18)

2.

2. DiketDiketahuahui A i A = {= {2, 52, 5, 7, 7, 9} , 9} dan dan B = {B = {7, 17, 10, 10, 12, 2, 14, 14, 16}16}.. Jika

Jika hubungan hubungan anggota anggota A A dengan dengan anggota anggota B B ditunjukkanditunjukkan dengan 2

dengan 2 →→ 7, 57, 5 →→ 10, 710, 7 →→ 12, dan 912, dan 9 →→ 14, maka :14, maka : a.

a. GambGambarlah arlah diagradiagram m panapanah rh relaelasi si dari dari himphimpunaunan A n A keke B

B.. b.

b. SebuSebutkan rtkan relaselasi yang mi yang mungungkin kin dari hdari himpimpununan A kan A ke B.e B. c.

c. ApaApakah rekah relaslasi teri tersebsebut mut meruerupakpakan fan fungungsi? Jsi? Jelaselaskan!kan! 3.

3. DiketaDiketahuhui sui suatu atu rerelaslasi dai dari hri himpimpununan P an P ke ke himhimpunpunan an QQ yang dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan yang dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan {(-1, 2), (1, 4), (3, 6), (5, 8), (7, 10)}.

{(-1, 2), (1, 4), (3, 6), (5, 8), (7, 10)}. a.

a. SebSebutkutkan aan anggonggota-ta-angganggota ota himhimpupunan nan P dP dan Qan Q.. b.

b. SebSebutkutkan duan dua relaa relasi laisi lain yann yang mug mungkingkin dari n dari himhimpupunannan P ke himpunan Q.

P ke himpunan Q. c.

c. GambGambarlah arlah kookoordinardinat Ct Carteartesiusius ds dari rari relelasi asi tertersebsebut.ut. d.

d. JikJika himpa himpunaunan P men P meruprupakan akan daerdaerah asal ah asal dari redari relasi (lasi (b)b) dan dengan melihat koordinat Cartesius pada (c), apakah dan dengan melihat koordinat Cartesius pada (c), apakah relasi dari himpunan P ke himpunan Q merupakan relasi dari himpunan P ke himpunan Q merupakan fungsi?

fungsi? 4.

4. AndaAndaikaikan x ann x anggggotota hima himpupunanan C yan C yaitu itu hihimpmpununan bian bilanlangangan asli ganjil yang kurang dari 10 dan himpunan D yaitu asli ganjil yang kurang dari 10 dan himpunan D yaitu himpunan bilangan asli genap yang kurang dari 19. Relasi himpunan bilangan asli genap yang kurang dari 19. Relasi yang menghubungkan himpunan C dan D adalah

yang menghubungkan himpunan C dan D adalah setengahsetengah dari

dari.. a.

a. SebSebutkutkan anan anggoggota-ata-anggnggota hota himpimpunaunan C dan C dan angn anggota gota--anggota himpunan D.

anggota himpunan D. b.

b. SebSebutkan semutkan semua pasanua pasangan berurugan berurutan dari tan dari relasrelasii tersebut.

tersebut. c.

c. ApApakakah reah relaslasi di ati di atas mas mereruupapakan kan fufungngsi ?si ? d.

d. JiJika yka ya, a, tetentntukukan daan daeerah rah hahasilsil.. e.

e. TenTentutukan rekan relaslasi lain yai lain yang meng menghnghububungungkan hkan himpimpunaunann C dan D!

C dan D! f.

f. ApApakakah reah relaslasi di di atai atas mes merurupapakan kan fufungsngsi ?i ? g.

g. JikJika yaa ya, te, tentuntukakan dan daeerah hrah hasasil.il. 5.

5. DikDiketetahahui ui A A = = { { p, p, q, q, r r } } dadan n B = B = { { 2, 2, 3, 3, 4 }4 } a.

a. BuaBuatlah stlah sememua pua pemeemetaataan yang mn yang munungkigkin darn dari himpi himpununanan A ke himpunan B dengan diagram panah.

A ke himpunan B dengan diagram panah. b.

b. TenTentuktukan baan banyaknyaknya nya pempemetaetaan yan yang ang mumungkingkin dan dariri himpunan A ke himpunan B.

(19)

5.

5. DikDiketetahuahui i A A = = { 2{ 2, 3, 3, , 5 } 5 } dan dan B B = { = { 2121, , 25, 25, 26 26 }} a.

a. MiMisasal l pepememetataan an yayang ng digdigununakakan an uuntntuukk menghubungkan himpunan A ke himpunan B adalah menghubungkan himpunan A ke himpunan B adalah faktor dari

faktor dari. Gambarkan diagram panahnya.. Gambarkan diagram panahnya. b.

b. MiMisasal l pepememetataan an yyanang g didigugunanakakan n uuntntukuk menghubun

menghubungkan gkan himpunan B himpunan B ke himpke himpunan unan A adalahA adalah kelipatan dari

kelipatan dari. Gambarkan diagram panahnya.. Gambarkan diagram panahnya.

cc.. ApApakaakah h terterdapdapat at korkoresespopondendensi nsi satsatu-u-satsatu u antantaraara himpunan A dan himpunan B? Gambarkan diagram himpunan A dan himpunan B? Gambarkan diagram panahnya.

(20)

Perhatikan diagram panah berikut ini : Perhatikan diagram panah berikut ini :

22 ●● 33 ●● 44 ●● 55 ●● • • 11 • • 22 • • 33 • • 44 • • 55 • • 66 K K L L dikurangi satu menjadi dikurangi satu menjadi

Pada diagram panah di atas, tampak bahwa : Pada diagram panah di atas, tampak bahwa :

22 →→ 1, dibaca 2 dikurangi satu menjadi1, dibaca 2 dikurangi satu menjadi 11 atauatau 2 satu lebihnya dari 1.2 satu lebihnya dari 1.

Secara umum Secara umum

Bila kita mengambil sebarang anggota K, sebut Bila kita mengambil sebarang anggota K, sebut xx, maka , maka kawannya di L kawannya di L adalah adalah ((xx – 1). (Kenapa?)– 1). (Kenapa?) Dengan demikian, bila dinotasikan dengan Dengan demikian, bila dinotasikan dengan diagram panah menjadi

diagram panah menjadi

xx →→ _{((xx – 1)}_{– 1)} dibaca x dikurangi 1 menjadi (

dibaca x dikurangi 1 menjadi (xx – 1).– 1).

Apakah relasi di atas merupakan fungsi ? Apakah relasi di atas merupakan fungsi ? •

• _{Menghitung nilai fungsi}_{Menghitung nilai fungsi} Menyusun tabel fungsi Menyusun tabel fungsi •

• _{Menghitung nilai}_{Menghitung nilai} perubahan fungsi jika perubahan fungsi jika variabel berubah variabel berubah •

• _{Menentukan bentuk fungsi}_{Menentukan bentuk fungsi} jika nilai dan data fungsi jika nilai dan data fungsi

diketahui diketahui

•

• _{Fungsi (Pemetaan)}_{Fungsi (Pemetaan)} •

• _{Rumus fungsi}_{Rumus fungsi} •

• _{Tabel Fungsi}_{Tabel Fungsi} •

• _{Nilai fungsi}_{Nilai fungsi} •

• _Variabel_Variabel •

• _{Diagram Panah}_{Diagram Panah}

2

2 .3

.3

Menghitung Nilai Fungsi

pelajari?

(21)

Jika relasi

Jika relasisatu satu lebihnya lebihnya daridari dinotasikan dinotasikan sebagai sebagai relasi relasi f,f, maka f memetakan

maka f memetakan xx ke ke ((xx – 1). Selanjutnya relasi f dituliskan– 1). Selanjutnya relasi f dituliskan sebagai

sebagai

f :

f : xx (( x x – – 1)1).. Apabila relasi f ini

Apabila relasi f ini merupakan fungsi , maka (merupakan fungsi , maka (xx – – 1) 1) menyatakanmenyatakan

peta

peta daridari xx dan petadan peta xx oleh oleh f f dinotasikan sedinotasikan sebagai bagai f(f(xx).).

Notasi f(

Notasi f(xx) = () = (xx – 1) dikenal juga sebagai– 1) dikenal juga sebagai aturan fungsiaturan fungsi ,, rumusrumus fungsi

fungsi, atau, atau persamaan fungsi.persamaan fungsi. Akan tetapi, notasi tersebutAkan tetapi, notasi tersebut sering hanya dibaca

sering hanya dibaca fungsifungsi f.f.

Bila kita notasikan f(

Bila kita notasikan f(xx) ) == yy maka rumus fungsi f(maka rumus fungsi f(xx) ) = = ((xx – – 1)1) menjadi

menjadi

yy == xx –1. Persamaan–1. Persamaan yy == xx –1 –1 lebih lebih dikenal dikenal sebagaisebagai persamaanpersamaan fungsi

fungsi..

Pada persamaan tersebut

Pada persamaan tersebut x x disebutdisebutvariabel bebasvariabel bebas, sedangkan, sedangkan y

y adalahadalah variabel tak bebasvariabel tak bebas dari fungsi.dari fungsi.

Perhatikan

Perhatikan kembali fukembali fungsi ngsi f f dengan dengan aturanaturan xx →→ ((xx – 1).– 1). Untuk

Untuk xx = 2= 2, , maka maka f(2) f(2) = 2 = 2 –1 –1 = 1. = 1. Nilai f(2Nilai f(2) ) = 1 = 1 disebutdisebut nilainilai fungsi

fungsi untukuntuk xx = 2. = 2. Nilai fuNilai fungsi dari sengsi dari setiap anggota tiap anggota himpunanhimpunan K dapat dinyatakan dalam

K dapat dinyatakan dalam tabel fungsitabel fungsi berikut.berikut.

x x 2 2 3 3 4 4 55 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1-1 f( f( x x ) =) = x x - 1- 1 1 1 2 2 3 3 44

Grafik berikut merupakan koordinat Cartesius untuk fungsi f. Grafik berikut merupakan koordinat Cartesius untuk fungsi f.

5 5 4 4 3 3 5 5 2 2 4 4 1 1 3 3 2 2 1 1 Y Y X X 0 0

Jelaskan bagaimana cara kamu memperoleh grafik tersebut? Jelaskan bagaimana cara kamu memperoleh grafik tersebut?

(22)

Diketahui suatu

Diketahui suatu fungsi f fungsi f dengan daerah dengan daerah asal asal A = A = {7, 9, 11, {7, 9, 11, 13}13} dengan rumus fungsi f(x) = 2x

dengan rumus fungsi f(x) = 2x −− 33 a.

a. TeTentntukukan f(an f(7) , f7) , f(9(9), f), f(1(11) d1) dan f(an f(13)13). Ke. Kesimsimpupulan alan apa ypa yangang dapat kamu peroleh?

dapat kamu peroleh? b.

b. BuBuaatltlah ah ttababeel fl fuungngsi si di di atatasas.. c.

c. TTeentntuukkan an dadaeerrah ah hhasasililnnyaya.. d.

d. GamGambabarlarlah h gragrafifik k fufungngsi si daldalam am kokoorordindinat at CaCartertesisiusus..

Diketahui

Diketahui suatu suatu fungsi fungsi g g dengan dengan daerah asal daerah asal P = P = { { xx ⎢⎢ xx ≥≥ 3, 3, xx bil. real} dengan ru

bil. real} dengan rumus fumus fungsi g(x) = ngsi g(x) = 3x + 3x + 4.4. a.

a. BuatBuatlah tlah tabeabel ful fungngsi dsi di atai atas des dengngan man menengamgambil bebil bebeberaprapaa nilai x.

nilai x. b.

b. TTeentntuukkan an dadaeerrah ah hhasasililnnyaya.. c.

c. GamGambarbarlah lah gragrafifik fk funungsgsi di dalaalam m kokoordordinainat Ct Cartartesesiuius.s.

Berpikir Kritis

Bandingkan

Bandingkan grafik grafik fungsi fungsi f f pada pada soal soal 1 1 dan dan grafik grafik fungsi fungsi gg pada soal 2!

pada soal 2!

Apa yang dapat kamu simpulkan? Apa yang dapat kamu simpulkan?

Di depan telah dijelaskan cara menggambar diagram panah Di depan telah dijelaskan cara menggambar diagram panah atau koordinat C

atau koordinat Cartesius dari suatu artesius dari suatu fungsi, fungsi, jika diketahui daerahjika diketahui daerah asal dan rumus fungsinya. Sekarang kerjakan masing-masing asal dan rumus fungsinya. Sekarang kerjakan masing-masing pertanyaan berikut, gunakan koordinat Cartesius untuk pertanyaan berikut, gunakan koordinat Cartesius untuk menjawab pertanyaan tersebut. Terakhir, kesimpulan apa yang menjawab pertanyaan tersebut. Terakhir, kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh!

dapat kamu peroleh! Perhatikan

Perhatikan grafik suatgrafik suatu fuu fungsi f ngsi f berbentuk gaberbentuk garis lurus ris lurus padapada koordinat Cartesius di bawah.

koordinat Cartesius di bawah. a.

a. TenTentutukakan dn daeaerarah ah asasal fl fuungngsi si f.f. b.

b. TeTenntutukakan n dadaererah ah hahasisil l fufungngssi fi f.. c.

c. TeTentntukukan an nilnilai-ai-nilnilai ai fufungngsi si f uf untuntuk x k x = -1= -1, x , x = 0, = 0, x = x = 1, x 1, x = 2.= 2. Dapatkah kamu menemuk

Dapatkah kamu menemukan pola daan pola dari fungsi dan nilainya?ri fungsi dan nilainya? d.

d. TeTentntukukan an rurumumus fs funungsgsi f bi f beerdardasasarkarkan (n (c)c)??

Soal 1

Soal 2

(23)

5 5 4 4 3 3 5 5 2 2 4 4 1 1 3 3 2 2 1 1 Y Y X X 6 6 7 7 8 8 9 9 -7 -7 -4 -4 -1 -1 -2 -1 -2 -1 00 • • • • • • • • • • • • 1.

1. DikDiketahetahui ui suasuatu tu funfungsgsi f di f dengengan an rumrumus us f(xf(x) = ) = -x -x + 3 + 3 dendengangan daerah asal K = {-3, -1, 1, 3, 5, 7}.

daerah asal K = {-3, -1, 1, 3, 5, 7}. a.

a. BuBuaatltlah ah ttababeel l ninilalai i fufungngssi fi f b.

b. TeTentntukukan an nilnilai fai funungsgsi f i f ununtutuk x k x = -= -3, 3, x x = 5= 5 c.

c. TTeenntutukakan dn daeaerarah hh hasasil il fufungngssi fi f.. d.

d. GamGambabarlarlah grh grafiafik fuk fungngsi f psi f padada koa kooordirdinat Cnat Cartartesesiuiuss e.

e. BeBerruupa pa apapakakah ah ggrarafifik fk fuungngssi fi f?? 2.

2. DikDiketaetahui hui susuatu atu funfungsgsi g di g dengengan an rumrumus us g(xg(x) ) = 3x = 3x - - 1 de1 dengangann daerah asal A = {x

daerah asal A = {x ⎢⎢ 11 ≤≤ xx ≤≤ 5, x bilangan real}.5, x bilangan real}. a.

a. TeTenntutukakan nn nililai ai fufungngsi si f uf untntuk uk x = x = 3, 3, x =x = 22 99 b.

b. TeTenntutukakan n dadaererah ah hahasisil l fufungngssi gi g.. c.

c. GamGambabarlarlah gh grafrafik fik funungsgsi g pi g padada koa koorordindinat Cat Cartarteesiusiuss d.

d. BeBerurupa pa apapakakah ah grgrafafik ik fufungngsi si g?g?

Latihan 2.3

(24)

3.

3. PePerhrhatiatikakan n gragrafifik k fufungsngsi i f f padpada a kokoordordinainat t CaCartertesiusiuss berikut.

berikut.

a.

a. TeTenntutukakan n dadaererah ah hahasisil l fufungngssi fi f.. b.

b. TeTentntukukan nan nilailai fi funungsgsi f ui f untuntuk x = 0k x = 0, x = 1, x = 1, x = , x = 2, x 2, x = 3 da= 3 dan xn x =

= 4.4.

Pola apakah yang kamu peroleh? Pola apakah yang kamu peroleh? c.

c. TeTentntukukan an rurumumus s fufungngsi si f bf beerdardasasarkrkan an (b(b)?)?

Diskusikan Diskusikan

a.

a. DikDiketahetahui ui susuatu atu fufungsngsi g di g dengengan ran rumumus us g(xg(x) = ) = ax + ax + 7. N7. Nilaiilai fungsi g untuk x = -2 adalah 1.

fungsi g untuk x = -2 adalah 1.

Coba tentukan nilai fungsi g untuk x = 5. Coba tentukan nilai fungsi g untuk x = 5. Tentukan rumus fungsi g. Jelaskan caramu! Tentukan rumus fungsi g. Jelaskan caramu! b.

b. DikDiketahetahui ui suasuatu tu funfungsgsi f dei f dengan ngan rumrumus us f(xf(x) = ) = -2x -2x + b. + b. NilNilaiai fungsi f untuk x = -1 adalah 11. Coba tentukan nilai fungsi fungsi f untuk x = -1 adalah 11. Coba tentukan nilai fungsi f untuk x = 3. Tentukan rumus fungsi f. Jelaskan caramu! f untuk x = 3. Tentukan rumus fungsi f. Jelaskan caramu!

5 5 4 4 3 3 5 5 2 2 4 4 1 1 3 3 2 2 1 1 Y Y X X 6 6 7 7 8 8 9 9 -3 -3 -2 -2 -1 -1 -2 -1 -2 -1 00 • • • • • • • • • •

(25)

Setelah mempelajari Bab 2 coba kamu ingat, adakah bagian Setelah mempelajari Bab 2 coba kamu ingat, adakah bagian yang belum kamu fahami? Jika ada, coba pelajari kembali yang belum kamu fahami? Jika ada, coba pelajari kembali atau diskusikan dengan temanmu!

atau diskusikan dengan temanmu!

Buatlah rangkuman tentang apa yang telah kamu fahami dan Buatlah rangkuman tentang apa yang telah kamu fahami dan catatlah hal-hal yang sulit kamu fahami.

catatlah hal-hal yang sulit kamu fahami. Coba kamu jelaskan,

Coba kamu jelaskan, a.

a. ArArti rti relelasasi dai dari hri himimpupunan nan A kA ke he himimpupunanan B dan B dan ben beririlahlah contoh!

contoh! b.

b. ArtArti fi fungungsi si dardari himi himpupunan nan P P ke ke himhimpunpunan an Q, Q, berberi ci conontohtoh serta sebutkan domain, kodomain dan rangenya!

serta sebutkan domain, kodomain dan rangenya! Pada saat pembelajaran apakah kamu merasakan tidak Pada saat pembelajaran apakah kamu merasakan tidak senang karena takut, jemu, sulit memahami ataukah senang karena takut, jemu, sulit memahami ataukah

merasakan senang? Sampaikan hal itu kepada Bapak/Ibu merasakan senang? Sampaikan hal itu kepada Bapak/Ibu guru.

guru.

Rangkuman

1.

1. ReRelalasi dsi darari himi himpupunanan A kn A ke he himimpupunanan B adn B adalaalah ath atururan an yanyangg menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B

anggota-anggota himpunan B

22.. RelasiRelasi antara dua antara dua himpunan himpunan X X dan Y, dan Y, dapat dinyatakandapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan (x, y) dengan x sebagai himpunan pasangan berurutan (x, y) dengan x anggota himpunan pertama (X) dan y anggota himpunan anggota himpunan pertama (X) dan y anggota himpunan kedua (Y).

kedua (Y).

33.. FungsiFungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah rdari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yangelasi yang menghubungkan

menghubungkansetiapsetiapanggota himpunan A dengananggota himpunan A dengan tepattepat

satu anggota himpunan B. satu anggota himpunan B. 4.

4. JiJika ka f adf adalalah fah funungsgsi A ki A ke Be B, m, makaka A da A disisebebuutt daerah asaldaerah asal (domain)

(domain), B disebut, B disebut daerah kawan (kodomain.)daerah kawan (kodomain.)

Himpunan anggota B yang mempunyai prapeta disebut Himpunan anggota B yang mempunyai prapeta disebut daerah hasil (range).

daerah hasil (range).

Evaluasi

Evaluasi Bab Bab 22

1.

1. RR_{elasi yang dapat dibuat dari himpunan}_{elasi yang dapat dibuat dari himpunan} A A==_{{₂₂_,,₃₃_,,₅₅_,,₆₆_}}keke

}} 15 15 ,, 12 12 ,, 10 10 ,, 44 {{ = = B B adalah ....adalah ....

aa. . ““sseetteennggaah h ddaarrii”” b. b. ““lleebbiih h ddaarrii”” cc. . ““ffaakkttoor r ddaarrii”” dd. . ““dduua a kkaalli i ddaarrii””

Refleksi

(26)

2.

2. DDikikeetatahhuui i ssuuaattu u ffuunnggssii f f dengan rumusdengan rumus f(x) = x f(x) = x22 _{– 5x,}_{– 5x, nilai-}

nilai-nilai fungsi berikut yang benar adalah .... nilai fungsi berikut yang benar adalah .... a.

a. f(-1) = f(-1) = 66 b.b. f(3) f(3) = = 66 c.

c. f(-2) f(-2) == --66 dd.. f(2) f(2) = = -6-6 3.

3. DikDiketetahuahui Pi P= {1= {1, 2} , 2} dan Q dan Q = {a, = {a, b, cb, c}, b}, bananyakyaknynya pea pememetataanan yang dapat dibuat

yang dapat dibuat dari himpunan P ke himpunan Q adalahdari himpunan P ke himpunan Q adalah ....

....

aa.. 55 bb.. 66

cc.. 88 dd.. 99

4.

4. DDikikeettaahhuui si suuaatu tu ffuunnggssii g g dengan rumusdengan rumus g(x) g(x) == axax −− 5.5. Nilai fungsi

Nilai fungsi g g untukuntuk x = -x = -1 adalah 3. Nilai1 adalah 3. Nilai aa yang memenuhiyang memenuhi adalah ....

adalah ....

aa.. 88 bb.. 33

cc.. –– 33 dd.. –– 88

5.

5. SSuuaattu u ffuunnggssii f f dengan rumusdengan rumus f(x) f(x) == xx22 _–_{– 1.}_{1. Jika domain}_{Jika domain}

fungsi

fungsi f f adalah {adalah {xx | | -2-2 ≤≤ xx ≤≤ 3,3, xx ∈∈ R}, maka kodomainR}, maka kodomain f f adalah .... adalah .... a. {y | -5 a. {y | -5 ≤≤ yy ≤≤ 8,8, yy ∈∈ RR}} bb. . {{y y | | --44 ≤≤ yy ≤≤ 8,8, yy ∈∈ R}R} c. {y | 4 c. {y | 4 ≤≤ yy ≤≤ 8,8, yy ∈∈ RR}} dd. . {{y y | | 33 ≤≤ yy ≤≤ 8,8, yy ∈∈ R}R} 6.

6. DikDiketetahahui sui suatuatu ru relelasasi dari dari hii himpmpununan A an A ke hke himimpupunan nan BB yang

yang dinyatakdinyatak an an dengan dengan himpunan pasanganhimpunan pasangan berurutan {(-2, 4), (-1,-3), (2, 6), (7,10), (8, -5)}.

berurutan {(-2, 4), (-1,-3), (2, 6), (7,10), (8, -5)}. a.

a. TuTulilisslalah h hhimimppuunanan n A A dadan n B.B. b.

b. GamGambarbarlah klah koooordirdinanat Cat Cartertesiusius das dari reri relalasi tsi terersesebubut.t. c.

c. ApApakakah ah rerelaslasi ii itu mtu meerurupapakakan fn funungsgsi? i? JeJelaslaskakan!n! 7.

7. DiDikketetahahuui i A A = = { { a, a, b, b, c } c } B = B = { { --1, 1, 0 }0 } a.

a. BuBuatatlalah sh seemumua pa pememetetaaaan yn yanang mg muungngkikin dn dararii himpunan

himpunan A ke A ke himpunan himpunan BB b.

b. TeTentntukukan ban bananyakyaknynya pa pememetetaan aan yanyang dag dapat pat dibdibuauat?t? 8.

8. DiDikeketatahuhui i susuatatu u ffunungsgsi i f f dedengngan an rurumumuss

55 22 ))

(( x x == xx−− f

f dengan daerah asal M = {-5, -1, 2, 6, 8 }.dengan daerah asal M = {-5, -1, 2, 6, 8 }. a.

a. TeTenntutukakan nn nililai fai fuungngsi si f uf untntuk uk x = -x = -5, x 5, x = 8= 8 b.

b. TeTenntutukakan n dadaererah ah hahasisil l fufungngssi fi f.. c.