1
PROYEKSI PENDUDUK PROVINSI MALUKU DENGAN
MENGGUNAKAN MODEL PERTUMBUHAN LOGISTIK PADA
BEBERAPA TAHUN MENDATANG
[untuk memenuhi tugas mata kuliah Pemodelan]
Disusun oleh: 1. CAROLINA LAISINA 2. ELSA M. TAHALEA 3. FRISKA NAHUWAY 4. JANEYSIA SILOOY 5. LIANA SOLISA 6. SATRINA
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PATTIMURA
AMBON 2014
2
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pertumbuhan penduduk suatu daerah merupakan hal penting karena dapat mempengaruhi kemajuan dan kemakmuran daerah tersebut. Tingkat pertumbuhan penduduk yang terlalu tinggi akan sangat beresiko menimbulkan berbagai masalah pada daerah tersebut, seperti tingkat pengangguran yang tinggi, kemiskinan, dan kelaparan. Namun disisi lain, dampak-dampak negatif di atas dapat dikurangi jika kita mampu mempersiapkan sarana yang cukup untuk mengantisipasi hal tersebut. Menurut Khakim (2010), faktor-faktor yang mempengaruhi pertumbuhan penduduk antara lain: kelahiran (natalitas), kematian (mortalitas), dan migrasi (mobilitas).
Provinsi Maluku merupakan salah satu provinsi kepulauan di Indonesia dengan luas wilayah sekitar 581.376 km2. Dari luas tersebut 90% luas wilayahnya merupakan perairan (lautan) yaitu sekitar 527.191 km2 sedangkan luas daratan maluku hanya mencakup 10% luasnya atau hanya sekitar 54.185 km2. Dengan luas maluku yang hanya sebesar itu, maka tingkat kepadatan penduduk di Maluku akan semakin meningkat sejalan dengan laju pertumbuhan penduduknya yang terus meningkat. Dari hasil sensus penduduk Provinsi Maluku tahun 2010, jumlah penduduk Provinsi Maluku mencapai 1.531.402 jiwa. Jika jumlah penduduk tersebut dibandingkan dengan daratan Maluku yang hanya seluas 54.185 km2, maka
tingkat kepadatan penduduk Maluku adalah 28,26 jiwa/km2 yang berarti pada setiap luas
daratan 1 km2 ditempati oleh 28 jiwa. Hal ini tentunya akan berdampak negatif bagi penduduk
di maluku karena dengan tingkat pertumbuhan penduduk yang terus bertambah akan terjadi persaingan di antara penduduk.
Menurut Khakim (2011), untuk mengurangi dampak negatif dari pertumbuhan penduduk, maka salah satu solusi yang dapat ditempuh adalah proyeksi kependudukan. Menurutnya proyeksi kependudukan perlu dilakukan karena dapat menjadi acuan untuk meningkatkan fasilitas kesehatan, pendidikan, perumahan dan lapangan kerja di masyarakat. Proyeksi kependudukan merupakan proses perhitungan jumlah penduduk di masa yang akan datang berdasarkan asumsi arah perkembangan natalitas (kelahiran), mortalitas (kematian) dan migrasi (mobilitas). Untuk dapat melakukan proyeksi kependudukan, dibutuhkan suatu model matematika yang dapat mewakili kondisi riil, khususnya pertumbuhan penduduk suatu daerah dari waktu ke waktu.
3 Pertumbuhan penduduk merupakan suatu proses yang bersifat kontinu. Kontinu dalam hal ini berarti populasi bergantung waktu tanpa putus. Karenanya model matematika yang akan digunakan untuk memproyeksi penduduk provinsi maluku dalam makalah ini adalah model pertumbuhan populasi kontinu. Menurut Iswanto (2012) terdapat beberapa macam model pertumbuhan populasi yang kontinu diantaranya model populasi eksponensial dan model populasi logistik.
Afnirina (2010) dalam hasil penelitiannya tentang Aplikasi persamaan diferensial model populasi kontinu pada pertumbuhan penduduk di Jombang, menyimpulkan bahwa model populasi logistik lebih akurat dan lebih realistik daripada model populasi eksponensial untuk memprediksi jumlah penduduk Jombang pada sensus 2020. Hal yang sama juga dikemukakan oleh Iswanto (2012) bahwa keakuratan model logistik lebih mendekati realita lapangan jika dibandingkan dengan model eksponensial, karena pada model eksponensial faktor penghambat pertumbuhan penduduk diabaikan, sedangkan pada model logistik di perhatikan faktor-faktor penghambat pertumbuhan penduduk seperti peperangan, kelaparan, wabah penyakit dan sebagainya. Dengan demikian model pertumbuhan populasi kontinu yang akan digunakan untuk memproyeksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Maluku adalah model populasi logistik. Sedangkan data jumlah penduduk Provinsi Maluku yang digunakan dalam makalah ini adalah data hasil sensus penduduk Provinsi Maluku tahun 1961 hingga tahun 2010 yang bersumber dari BPS provinsi maluku.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang masalah di atas maka masalah-masalah dalam penulisan makalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
a. Bagaimanakah hasil proyeksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Maluku dengan menggunakan model populasi logistik?
b. Berapakah jumlah penduduk Provinsi Maluku pada tahun 2020 dari hasil estimasi menggunakan model pertumbuhan logistik?
C. Tujuan Penulisan
Dari masalah yang telah dirumuskan pada rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan makalah ini antara lain:
a. Untuk mengetahui hasil proyeksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Maluku dengan menggunakan model populasi logistik.
4 b. Untuk mengetahui jumlah penduduk Provinsi Maluku pada tahun 2020 dari hasil
estimasi menggunakan model pertumbuhan logistik.
D. Penjelasan Istilah
Untuk menghindari multitafsir pembaca pada isi makalah ini, makalah berikut ini penulis menjelaskan serta membatasi penggunaan istilah-istilah yang berkaitan dengan isi makalah ini, antara lain:
a. Proyeksi Penduduk merupakan perhitungan jumlah penduduk secara ilmiah di masa yang akan datang berdasarkan asumsi arah perkembangan natalitas (kelahiran), mortalitas (kematian) dan migrasi (mobilitas).
b. Model Populasi Kontinu merupakan suatu model matematika yang memodelkan kondisi populasi suatu daerah dimana variabel keadaan bergantung pada variabel ruang. Dalam penulisan makalah ini model populasi yang digunakan untuk melakukan proyeksi penduduk provinsi maluku adalah model populasi logistik.
c. Model Pertumbuhan Logistik adalah model pertumbuhan yang memperhitungkan faktor logistik berupa ketersediaan makanan dan ruang hidup. Model ini mengasumsikan bahwa pada waktu tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium).
d. Carrying capacity merupakan daya dukung suatu daerah terhadap jumlah populasi pada waktu tertentu.
5 BAB II
PEMBAHASAN
A. Model Pertumbuhan Eksponensial
Pada tahun 1798, Thomas Malthus membuat sebuah model pertumbuhan penduduk dasar yang terkenal dengan nama model pertumbuhan eksponensial. Pada model ini diasumsikan bahwa populasi bertambah dengan laju pertumbuhan populasi yang sebanding dengan besarnya populasi. Misalkan P(t) menyatakan jumlah populasi pada saat t (waktu), dan k menyatakan laju pertumbuhan populasi maka model populasi eksponensial dinyatakan dalam bentuk:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃 (𝑡)
……….(P.01)model persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial separabel, sehingga kita dapat mencari solusi umumnya sebagai berikut:
………..(P.02) jika diberikan kondisi awal t = 0 dan P(0) = P0 maka diperoleh nilai c = ln P0 sehingga
bila nilai c disubstitusikan ke dalam (P. 02) akan menghasilkan,
…..………….(P.03) persamaan (P.03) merupakan bentuk solusi khusus dari model pertumbuhan eksponensial.
Dari persamaan tersebut dapat dilihat jika nilai k positif maka populasi akan meningkat secara eksponensial, sebaliknya jika nilai k negatif maka populasi akan semakin punah.
e
e
e
c kt c kt t P t P c k t t P dt k P dP
) ( ln . ) ( ln kt P kt P kt e P t P e e t P e t P 0 ln ln ) ( ) ( ) ( 0 0 6 B. Model Pertumbuhan Logistik
Model ini pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan dan juga seorang ahli biologi berkebangsaan Belanda, yaitu Pierre Verhulst pada tahun 1838, hal ini diakibatkan karena model pertumbuhan alami tidak cukup tepat untuk populasi yang cukup besar dan tempatnya terbatas sehinggga timbul hambatan karenanya padatnya populasi yang akan mengurangi populasi itu sendiri (Ngilawajan, 2010). Model pertumbuhan populasi logistik ini merupakan penyempurnaan dari model pertumbuhan eksponensial di atas. Pada model ini jumlah populasi dipengaruhi oleh besar kecilnya daya dukung lingkungan seperti suplai makanan, tempat tersebut diharapkan model ini mempunyai penyimpangan data populasi yang sangat kecil atau mempunyai kemiripan dengan data yang sebenarnya.
Model logistik mengasumsikan bahwa pada waktu tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama sehingga grafiknya mendekati konstan. Bentuk yang paling sederhana untuk laju pertumbuhan relatif yang mengakomodasi asumsi ini adalah:
……… (P.04) Kalikan dengan P, maka diperoleh model untuk pertumbuhan populasi yang dikenal
persamaan diferensial logistik :
………(P.05) Perhatikan dari persamaan (1.2) bahwa jika P kecil dibandingkan dengan K, maka P/K mendekati 0 dan dP/dt ≈ kP. Namun, jika P→K (populasi mendekati kapasitas tampungnya), maka P/K→ 1, sehingga 𝑑𝑃
𝑑𝑡 → 1. Jika populasi P berada diantara 0 dan K, maka ruas kanan
persamaan di atas bernilai positif, sehingga 𝑑𝑃
𝑑𝑡 → 1 dan populasi naik. Tetapi jika populasi
melampaui kapasitas tampungnya (P > K), maka 1 −𝑃
𝐾 negatif, sehingga 𝑑𝑃
𝑑𝑡 < 0 dan populasi
turun. Solusi persamaan logistik dapat diperoleh melalui langkah-langkah berikut ini: ) 1 ( 1 K P k dt dP P ) 1 ( K P kP dt dP kdt K P P dP ) 1 (
kdt K P P dP ) 1 (
kdt K P dPP
27 ………(P.06) Dari persamaan (P.06) jika kita memberikan nilai awal t = 0 dan P(0) = Po kemudian disubstitusikan ke dalam (P.06) maka akan diperoleh nilai c = ln (P0 / K - P0) selanjutnya nilai
c tersebut disubstitusikan kembali ke dalam persamaan (P.06), sehingga diperoleh solusi khusus dari model logistik seperti berikut,
kdt KP KdPP
2 c kt P K Pln( ) ln c kt P K P ) ln( c kte
P
K
P
)
(
K
P
e
P
ktc
c kt c ktPe
Ke
P
c kt c ktKe
Pe
P
c kt c ktKe
e
P
(
1
)
c kt c kte
Ke
P
1
) ln( ) ln( 0 0 0 01
K P P kt P K P kte
Ke
P
) ( 1 ) ( 0 0 0 0 P K P e P K P Ke P kt kt 0 0 0 0 0 P K P e P K P K P Ke P kt kt 0 0 0P
e
P
K
P
Ke
P
kt kt
kt kte
P
e
P
K
KP
P
)
(
0 0 08 …..………….(P.07) Keterangan;
P adalah jumlah populasi pada saat t
P0 merupakan jumlah populasi awal saat t = 0.
K adalah daya tampung (carrying capacity) dari suatu daerah untuk populasi. k merupakan laju pertumbuhan per kapita populasi.
t menyatakan waktu.
persamaan (P.07) merupakan bentuk sederhana dari solusi khusus model logistik yang akan digunakan dalam melakukan proyeksi penduduk provinsi maluku. Menurut Iswanto (2012) penentuan nilai K dapat dilakukan dengan cara trial error, yaitu dengan cara mensubstitusikan perkiraan nilai K ke dalam model yang diperoleh hingga hasil yang diperoleh model mendekati jumlah populasi yang sebenarnya.
C. Data Jumlah Penduduk Provinsi Maluku
Untuk melakukan proyeksi penduduk provinsi maluku perlu dilakukan analisis perhitungan terlebih dahulu terhadap data jumlah penduduk provinsi maluku pada tahun-tahun sebelumnya. Hal ini dimaksudkan agar kita dapat mengetahui kecenderungan dan arah dari data yang kita gunakan (Khakim, 2010). Jumlah data yang digunakan turut mempengaruhi keakuratan model dalam memprediksi keadaan populasi secara menyeluruh.
Dalam makalah ini, data jumlah penduduk yang penulis gunakan adalah data jumlah penduduk hasil sensus penduduk provinsi maluku dari tahun 1961 sampai tahun 2010 yang bersumber dari Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Maluku. Berikut ini adalah tabel 1 yang menyatakan jumlah penduduk provinsi maluku dari tahun 1961-2010:
)
(
0 0 0P
e
P
Ke
KP
P
kt kt
)
1
(
0
kt kte
e
P
K
K
P
1
)
1
(
0
P
K
e
K
P
kt9
Tabel 1. Daftar Jumlah Penduduk Provinsi Maluku
Tahun Jumlah Penduduk
1961 551018 1971 613388 1980 897951 1990 1157878 2000 1149899 2010 1531402
Dari tabel 1 di atas terlihat bahwa sejak tahun 1961 - 2010 jumlah penduduk provinsi maluku mengalami kenaikan. Secara umum jika kita bandingkan jumlah penduduk pada awal tahun dan akhir tahun maka telah terjadi kenaikan jumlah penduduk provinsi maluku.
D. Penyelesaian Model Logistik Pertumbuhan Penduduk Provinsi Maluku
Untuk menentukan model logistik dari data jumlah penduduk provinsi maluku pada tabel 1 di atas, sebelumnya diasumsikan terlebih dahulu bahwa waktu (t) yang diukur dalam tahun dan dimisalkan t = 0 pada tahun 1961 maka syarat awal adalah P(0) = 551.018. Karena jumlah penduduk provinsi maluku sejak tahun 1961-2010 masih berada dibawah 2.000.000 maka diasumsikan untuk kapasitas tampungnya yaitu K = 2.000.000, sehingga jika nilai P(0) dan nilai K disubstitusikan ke dalam persamaan solusi model logistik (P.07) akan diperoleh :
………..(P.08)
Selanjutnya dari persamaan (P.08) akan dicari model logistik yang dapat mewakili laju pertumbuhan penduduk di maluku. Untuk t = 10 pada tahun 1971 maka P(10) = 613388, jika disubstitusikan ke persamaan (P.08) diperoleh:
1 ) 1 ( 0 P K e K P kt 1 ) 1 551018 2000000 ( 2000000 kt e P 1 ) 62965 , 2 ( 2000000 kt e P
1
)
62965
,
2
(
2000000
613388
10
ke
613388
613388
2000000
)
62965
,
2
(
e
k10
10 nilai k yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (P.08) maka menghasilkan:
(MODEL I)
Untuk t = 19 pada tahun 1980 maka P(19) = 897951 jika disubstitusikan ke persamaan (P.08) diperoleh:
nilai k yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (P.08) maka menghasilkan:
(MODEL II) Untuk t = 29 pada tahun 1990 maka P(29) = 1157878 jika disubstitusikan ke persamaan (P.08) diperoleh:
62965
,
2
260579
,
2
10
ke
)
85965
,
0
ln(
10
k
015123 , 0 k1
)
62965
,
2
(
2000000
) 015123 , 0 (
te
P
1
)
62965
,
2
(
2000000
897951
19
ke
897951
897951
2000000
)
62965
,
2
(
e
k19
62965
,
2
22729
,
1
19
ke
)
46671
,
0
ln(
19
k
040108
,
0
k
1
)
62965
,
2
(
2000000
) 040108 , 0 (
te
P
1
)
62965
,
2
(
2000000
1157878
29
ke
1157878 1157878 2000000 ) 62965 , 2 ( e29k 62965 , 2 727298 , 0 29 k e)
276576
,
0
ln(
29
k
04432
,
0
k
11 nilai k yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (P.08) maka menghasilkan:
(MODEL III) Untuk t = 39 pada tahun 2000 maka P(39) = 1249899 jika disubstitusikan ke persamaan (P.08) diperoleh:
nilai k yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (P.08) maka menghasilkan:
(MODEL IV) Untuk t = 49 pada tahun 2010 maka P(49) = 1531402 jika disubstitusikan ke persamaan (P.08) diperoleh:
nilai k yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (P.08) maka menghasilkan:
(MODEL V)
1
)
62965
,
2
(
2000000
) 04432 , 0 (
te
P
1 ) 62965 , 2 ( 2000000 1249899 39 k e 1249899 1249899 2000000 ) 62965 , 2 ( e k39 62965 , 2 60013 , 0 39 k e)
2282
,
0
ln(
39
k
03789
,
0
k
1
)
62965
,
2
(
2000000
) 03789 , 0 (
te
P
1 ) 62965 , 2 ( 2000000 1531402 49 k e 1531402 1531402 2000000 ) 62965 , 2 ( k49 e 62965 , 2 305993 , 0 49 k e ) 11636 , 0 ln( 49 k 043899 , 0 k 1 ) 62965 , 2 ( 2000000 ) 043899 , 0 ( t e P12 Dari hasil perhitungan diatas diperoleh hasil model logistik sebagai berikut:
1. Model Logistik I, bentuk persamaannya
dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 1,5% 2. Model Logistik II, bentuk persamaannya
dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 4,01% 3. Model Logistik III, bentuk persamaannya
dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 4,4% 4. Model Logistik IV, bentuk persamaannya
dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 3,78% 5. Model Logistik V, bentuk persamaannya
dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 4,38%
Selanjutnya akan dihitung jumlah penduduk provinsi maluku dari tahun 1961-2010 yang dihasilkan dari kelima model di atas, kemudian akan dianalisis model yang memberikan hasil yang cukup signifikan bila dibandingkan dengan hasil sensus penduduk. Berikut ini dalam tabel 2 memuat hasil jumlah penduduk berdasarkan lima model logistik di atas..
1
)
62965
,
2
(
2000000
) 015123 , 0 (
te
P
1
)
62965
,
2
(
2000000
) 040108 , 0 (
te
P
1
)
62965
,
2
(
2000000
) 04432 , 0 (
te
P
1
)
62965
,
2
(
2000000
) 03789 , 0 (
te
P
1
)
62965
,
2
(
2000000
) 043899 , 0 (
te
P
13 Tabel 2. Perbandingan Jumlah Penduduk Provinsi Maluku antara Hasil Sensus dan Hasil
Model
Tahun Hasil Sensus Hasil Model
Model I Model II Model III Model IV Model V 1961 551.018 551.017 551.017 551.017 551.017 551.017 1971 613.388 613.388 724.426 743.997 714.210 741.9889 1980 897.951 672.739 897.975 937.695 877.153 933.627 1990 1.157.878 741.834 1.097.876 1.157.882 1.065.884 1.157.797 2000 1.249.899 813.675 1.290.104 1.363.414 1.250.045 1.250.115 2010 1.531.402 887.565 1.461.503 1.538.765 1.417.680 1.531.246
Jika perbandingan jumlah penduduk Provinsi Maluku antara hasil sensus dan hasil model pada tabel 2 ditampilakan dalam bentuk grafik, maka akan terlihat seperti di bawah ini.
Grafik 1. Jumlah Penduduk Provinsi Maluku Berdasarkan Hasil Sensus dan Hasil Model
Berdasarkan jumlah penduduk yang dihasilkan oleh kelima model di atas, model logistik V memberikan hasil yang cukup mendekati hasil sensus. Selain itu keakuratan model logistik V cukup baik, hal ini dapat dilihat dari hasil jumlah penduduk provinsi maluku pada tahun 2010 yang dihasilkan model logistik V hampir sama dengan hasil sensus penduduk 2010. Dengan demikian dipilih model logistik V sebagai model final yang akan digunakan untuk memprediksi jumlah penduduk provinsi maluku pada sensus penduduk 2020.
0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 1400000 1600000 1800000 1961 1971 1980 1990 2000 2010 hasil sensus model I model III model III model IV model V
14 E. Prediksi Jumlah Penduduk Provinsi Maluku Tahun 2020
Karena model logistik V digunakan untuk memprediksi jumlah penduduk provinsi maluku pada tahun 2020, maka persamaan modelnya adalah :
dari model di atas laju pertumbuhan penduduk di provinsi maluku adalah 4,38% per tahun. Selanjutnya untuk memprediksi jumlah penduduk pada tahun 2020 diambil t = 59 disubstitusikan ke dalam model logistik V diatas peroleh:
Dari hasil perhitungan di atas diperoleh jumlah penduduk provinsi maluku pada tahun 2020 yang dihasilkan model logistik adalah 1.670.468 jiwa.
1
)
62965
,
2
(
2000000
) 043899 , 0 (
te
P
1
)
62965
,
2
(
2000000
) 59 )( 043899 , 0 (
e
P
1
)
62965
,
2
(
2000000
) 590041 , 2 (
e
P
1
)
075017
,
0
)(
62965
,
2
(
2000000
P
1
197269
,
0
2000000
P
197269
,
1
2000000
P
1670468
P
15 BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya maka dapat disimpulkan beberapa hal:
1. Untuk melakukan proyeksi penduduk dengan menggunakan model logistik maka terlebih dahulu ditentukan nilai jumlah penduduk maksimum yang merupakan daya tampung (carrying capacity) yakni nilai variabel K. Setelah menentukan nilai K, kita harus menghitung semua bentuk model logistik yang dihasilkan dari data yang kita gunakan. Dari model-model yang dihasilkan selanjutnya kita melakukan perbandingan antara hasil yang di peroleh lewat model dan hasil sensus penduduk. Model yang dianggap dapat mewakili hasil sensus artinya hasil antara model dan hasil sensus tidak berbeda jauh, maka model tersebut dapat dijadikan sebagai model akhir untuk melakukan prediksi jumlah penduduk di masa mendatang.
Dalam makalah ini diperoleh model logistik V lebih tepat untuk memprediksi jumlah penduduk provinsi maluku dengan daya tampung 2000000 jiwa. Bentuk persamaan dari model logistik V adalah:
2. Dengan menggunakan model logistik V dapat diprediksi jumlah penduduk provinsi maluku pada tahun 2020 yakni sebanyak 1.670.468 jiwa.
1 ) 62965 , 2 ( 2000000 ) 043899 , 0 ( t e P
16 DAFTAR PUSTAKA
Afnirina. 2010. Aplikasi Persamaan Diferensial Model Populasi Kontinu Pada Pertumbuhan Penduduk Jombang. Jurnal. STKIP PGRI Jombang. Iswanto, R., J., 2012. Pemodelan Matematika (Aplikasi dan Terapannya).
Yogyakarta. Graha Ilmu.
Khakim, L., 2011. Proyeksi Penduduk Provinsi DKI Jakarta dan Kota Surabaya Dengan Model Pertumbuhan Logistik. Jurnal. Universitas Brawijaya, Malang. Ngilawajan, D., A., 2010. Model Matematika Untuk Penangkapan Ikan Pada
