PRAKTIKUM 13
PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR
Dalam bab ini kita akan menggunakan Matlab untuk menyelesaikan persamaan aljabar. Kita akan mulai dengan menyelesaikan persamaan sederhana (persamaan dengan satu variabel) dan sistem persamaan.
Penyelesaian Persamaan Aljabar
Kita akan mulai dengan persamaan sederhana yang mana kita sudah tahu jawabannya dengan mudah.
x−2=0
Dengan mudah kita tahu bahwa jawaban yang memenuhi persamaan tersebut adalah x=2 . Apabila persamaan tersebut diselesaikan dengan Matlab
>> x=solve('x-2=0') x =
2
Matlab juga dapat menyelesaikan persamaan yang melipatkan beberapa simbol. Sebagai contoh, kita dapat memperoleh harga variabel untuk persamaan yang melibatkan konstanta a
ax3=0 yaitu
>> x=solve('a*x+3') x =
-3/a
Tetapi ada cara lain untuk menyatakan simbol mana yang akan dipecahkan. Cara ini dapat dilakukan dengan sintaks
solve(persamaan,variabel).
Sebagai contoh, apabila kita ingin menyelesaikan persamaan ax3=0 dimana variabel yang akan diketahui adalah a maka dapat dituliskan
>> x=solve('a*x+3','a') x =
-3/x
Penyelesaian Persamaan Kuadratik
Matlab dapat pula menyelesaikan persamaan kudratik maupun persamaan dengan orde lebih tinggi. Cara persis sama dengan cara sebelumnya. Contoh jika kita ingin menyelesaikan persmaan
x2−4 x−8=0 ,
maka dapat dilakukan dengan >> s= solve('x^2-4*x-8') ans =
[ 2+2*3^(1/2)] [ 2-2*3^(1/2)]
Setiap akar dari persamaan yang telah dipecahkan disimpan oleh Matlab sebagai s(1), s(2), s(3) ... s(n) sesuai dengan jumlah akar persamaannya.
Dimungkinkan pula untuk menyimpan sebuah persamaan ke dalam sebuah variabel, kemudian kita gunakan variabel tersebut untuk dipecahkan.
>> d='x^4-4*x^2-8=0'; >> solve(d) ans = [ (2+2*3^(1/2))^(1/2)] [ -(2+2*3^(1/2))^(1/2)] [ (2-2*3^(1/2))^(1/2)] [ -(2-2*3^(1/2))^(1/2)]
Mengeplot Persamaan Simbolik
Matlab dapat membangkitkan grafik persamaan simbolik yang kita masukkan dengan perintah ezplot. Sebagai contoh jika kita ingin mengeplot grafik dari fungsi
x2
−4 x−8
maka dengan mudah, yaitu >> d=('x^2-4*x-8');
>> ezplot(d)
Untuk mengeset domain pada sumbu x, kita dapat melakukan dengan perintah
ezplot(f,[x1 x2])
Disamping kita dapat menentukan range ploting grafik pada sumbu x, ita Gambar 7.1 Grafik simbolik fungsi dengan perintah ezplot.
Gambar 7.2 Grafik simbolik fungsi dengan domain pada sumbu x yang diset manual.
juga dapat menentukan range ploting pada kedua sumbu y. Jika kedua sumbu kita tentukan rangenya misalnya −4x8 dan −13 y15 maka
>> d=('x^2-4*x-8');
>> ezplot(d,[-4,8,-13,15])
Tetapi, ingat bahwa kita tidak dapat mengeplot grafik simbolik fungsi dengan cara menuliskan persamaannya misalnya 'x^2-4*x-8=0'. Jika ini yang kita lakukan maka tentu saja akan muncul pesan kesalahan.
>> d=('x^2-4*x-8=0'); >> ezplot(d)
??? Error using ==> inlineeval
Error in inline expression ==> x.^2-4.*x-8=0 ??? Error: "End of Input" expected, "=" found.
Contoh 7.1
Dapatkan akar persamaan nonlinier x42 x2−
10=0 dan plotgrafiknya. Selanjutnya tentukan nilai numerik dari akar-akar tersebut. Penyelesaian
Gambar 7.3 Grafik simbolik fungsi dengan domain pada sumbu x dsn y yang diset manual.
Pertama, kita buat terlebih dahulu bentuk fungsi yang akan diplot dan disimpan dalam variabel d. Setelah itu kita panggil ezplot untuk mengeplot fungsi. Untuk menuliskan
10 dalam perintah Matlab, kita bisa menggunakan sqrt(10) atau 10^(1/2) (Ingat... jangan dituliskan dengan 10^1/2).>> d='x^4+2*x^2-sqrt(10)'; >> s=solve(d) s = [ (-1+(1+10^(1/2))^(1/2))^(1/2)] [ -(-1+(1+10^(1/2))^(1/2))^(1/2)] [ i*(1+(1+10^(1/2))^(1/2))^(1/2)] [ -i*(1+(1+10^(1/2))^(1/2))^(1/2)] >> ezplot(d) >> double(s(1)) ans = 1.0199 >> double(s(2)) ans = -1.0199 >> double(s(3)) ans = 0 + 1.7436i >> double(s(4)) ans = 0 - 1.7436i
Sistem Persamaan
Apabila kita memiliki beberapa persamaan simultan linier, misalnya
2 x−5 y=10 5 x2 y=5
Untuk menyelesaikan dua persamaan linier tersebut kita gunakan perintah solve dengan cara
>> q=solve('2*x-5*y=10','5*x+2*y=5');
Sedangkan untuk memperoleh jawaban yaitu variabel x dan y yang memenuhi kedua persamaan itu, maka caranya
>> x=q.x x = 45/29 >> y=q.y y = -40/29
Penyelesaian Fungsi Eksponensial dan Logaritma
Apa yang sudah kita bicarakan di atas adalah bagaimana menyelesaikan fungsi yang berbentuk polinomial. Matlab juga dapat menangani fungsi yang melibatkan eksponensial maupun logaritma. Contoh
Dapatkan x yang memenuhi persamaan ln x−ln x−5=4
Penyelesaian
Pernyataan logaritma yang kita gunakan dalam persamaan diatas berarti logaritma basis 2, sehingga dapat diselesaikan dengan Matlab
>> d='log(x)-log(x-5)=4'; >> s=solve(d);
>> s(1) ans =
5*exp(4)/(-1+exp(4))
Matlab juga dapat menyelesaikan persamaan yang melibatkan bentuk eksponensial, misalnya
y=e2xx
Jika diselesaikan dengan Matlab, maka dengan mudah hasilnya akan diperoleh >> d='exp(2*x)+x=0'; >> s=solve(d) s = -1/2*lambertw(2) >> double(s) ans = -0.4263
Deret Fungsi
Salah satu kemampuan yang dimilki oleh Matlab adalah mampu menderetkan fungsi. Untuk menderetkan fungsi dengan deret Taylor, perintahnya cukup dengan taylor().
>> syms x
>> taylor(cos(x)) ans =
1-1/2*x^2+1/24*x^4
Dengan perintah ini, kita dapat memesan sampai berapa suku deret yang diinginkan. Sebagai contoh, jika kita menginkan 15 suku deret fungsi exp(x):
>> syms x >> s=taylor(exp(x),15) s = 1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^5+1/720*x^6+1/5040*x^7+1/4 0320*x^8+1/362880*x^9+1/3628800*x^10+1/39916800*x^11+1/4790016 00*x^12+1/6227020800*x^13+1/87178291200*x^14
Menghitung Limit Fungsi
Matlab memiliki kemampuan untuk menghitung limit dari sebuah fungsi dengan perintah limit. Sebagai contoh,
lim x ∞ x33 x2−4 x 10 2 x310 x2−4 x10 >> syms x; >> f=x^3+3*x^2-4*x+10; >> g=2*x^3+10*x^2-4*x+10; >> limit(f/g,inf) ans = ½ Contoh 7-1.
Dapatkan hasil limit dari ungkapan lim
x ∞
x33 x2−4 x10 2 x310 x2−4 x10
INTEGRASI NUMERIK DAN PERSAMAAN
DIFERENSIAL
Integrasi Numerik
Integral fungsi f x dalam ranah a xb dapat diintepretasikan sebagai luas daerah dibawah kurva f x yang membentang dari x=a hingga x=b .
Dalam hal ini f x disebut integrand, x=a disebut batas bawah integral dan x=b disebut batas atas integral sedangkan x adalah variabel integral.
Percepatan dan kecepatan benda.
Kecepatan suatu benda pada saat t detik dengan kecepatan awal v0 dapat dinyatakan sebagai
v t =
∫
0
t
a t tv 0
Kecepatan dan jarak benda
Jarak yang ditempuh oleh benda setelah bergerak dari t=a hingga Drawing 1:
t=b dan posisi awal ada di s(a) ketikan t=a dinyatakan sebagai s t=
∫
a b
v tts a
Kapasitor, tegangan dan arus
Muatan Q yang melewati dalam sebuah kapasitor merupakan integral dari arus yang dikenakan melalui kapasitor tersebut. Jika mula-mula kapasitor membawa muatan Q(a), kemudian arus dilewatkan melalui kapasitor dari
t=a hingga t=b , maka tegangan kapasitor v adalah v b =1
C
[
∫
a bit dtQ a
]
dimana C menyatakan kapasitansi dari kapasitor.
Usaha
Usaha yang dilakukan oleh sebuah benda yang dikenai gaya F x dan bergeser sejauh d dapat dinyatakan oleh
W =
∫
0
d
F x dx
Untuk pegas linier gaya F x dinyatakan oleh F x=k x , dengan k adalah konstanta pegas. Kerja yang dilakukan terhadap pegas selanjutnya
W =
∫
0
d k x dx
Integral memiliki sifat linier. Apabila c dan d bukan merupakan fungsi x, maka
∫
a b[
c f x d f x ]
dx=c∫
a b f x dxd∫
a b f x dxIntegrasi Numerik
Metode Trapesium
Sebagaimana namanya, metode trapezium merupakan metode integrasi numerik yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk trapesium. Apabila sebuah integral didekati dengan metode trapesium dengan satu segmen saja, maka dapat dituliskan sebagai
∫
a b
f
x
dx=b−a2
[
f
a
+f
b
]
+ESuku pertama pada ruas kanan adalah aturan trapezium yang kita maksudkan, sedangkan suku kedua yang dinyatakan dengan E adalah kesalahan yang dimiliki oleh metode ini.
Dengan demikian kita memperoleh pendekatan integral dengan teknik integrasi trapesium adalah
∫
x0
x0h
f t dt≈h
2
[
f x0f x0h]
Secara grafis integrasi trapesium dapat digambarkan seperti pada gambar (3-3)
h
Matlab menyediakan beberapa fungsi integrasi yang dapat digunakan untuk memperoleh hasil pendekatan numerik dari ungkapan integral. Beberapa fungsi integrasi yang disediakan Matlab ditampilkan pada Tabel 9.1
Perintah Deskripsi trapz(x,y) quad('myfunction',a,b,tol) quadl('myfunction',a,b,tol) dblquad('fun',xmin,xmax, ymin,ymax,tol) triplequad('fun',xmin,xma
Perintah ini digunakan untuk menghitung integral fungsi y terhadap x dengan pendekatan integrasi numerik aturantrapesium, dimana larik y berisi nilai fungsi yang besesuaian dengan titik x Perintah ini digunakan untuk menghitung integral fungsi bernama 'myfunction' berdasarkan aturan Simpson dengan batas bawah integrasi a dan batas atas b serta tol adalah harga toleransi yang diberikan.
Perintah ini digunakan untuk menghitung integral fungsi berdasarkan pada integrasi kuadratur Labato. Sedangkan a,b dan tol sama dengan quad.
Digunakan untuk menghitung integral ganda dari fungsi 'fun' dengan xmin dan xmax masing-masing adalah batas bawah dan atas pada sumbu x, sedangkan ymin dan ymax masing-masing adalah batas bawah dan batas atas pada sumbu y. sedangkan tol adalah toleransi yang bisa diset. Fungsi ini digunakan untuk menghitung integrasi
x,ymin,ymax,zmin,zmax,to l)
numerik ganda tiga dari fungsi 'fun' dengan xmin, ymin dan zmin masing-masing adalah batas bawah untuk sumbu x,y dan z serta xmax, ymax dan zmax masing-masing adalah batas atas integrasi untuk sumbu x,y dan z.
Contoh
Dapatkan hasil pendekatan integral dari
∫
0 1
x−cos x
dx . Penyelesaian >> x=linspace(0,1,100); >> y=x-cos(x); >> plot(x,y) >> trapz(x,y) ans = -0.3415 ContohSebuah akselerometer digunakan untuk mengukur percepatan pesawat terbang. Dimisalkan pesawat dari keadaan diam pada t=0 dan dicatat percepatannya setiap waktu seperti terlihat pada Tabel 9.2
Tabel 9.2 Percepatan pada setiap waktu yang diukur dengan akselerometer.
Waktu 0 1 2 3 4 5 6 7
Percepatan (m/s2) 0 2 4 7 20 23 40 55
(a) Perkirakan kecepatan pesawat setelah detik ke t=7. (b) Perkirakan kecepatan pesawat pada saat t=1,2,3,...,7
Penyelesaian
(a) Untuk menyelesaikan masalah ini, kita tidak dapat menggunakan fungsi quad atau quadl, karena integrand berupa data diskret. Oleh sebab itu,
kita hanya dapat menggunakan fungsi trapz. Hubungan antara kecepatan dan percepatan adalah
v 10=
∫
0 7 a t dtv 0=∫
0 7 a t dt >> t=[0:7]; >> a=[0,2,4,7,20,23,40,55]; >> v=trapz(t,a) ans = 123.5000(b) Untuk memperoleh kecepatan pada saat t=1,2,3,...,7, maka ungkapan integral yang cocok adalah
v tk=
∫
t1 tk a t dtv 1=∫
t1 tk a t dtIngat bahwa Matlab tidak mengenal indeks 0, sehingga k bergerak mulaidari 1 hingga 11 dimana t1=0 dan t8=7 . Jika dinyatakan
dalam pemrograman Matlab, t=[0:7]; a=[0,2,4,7,20,23,40,55]; v(1)=0; for i=2:8 v(i)=trapz(t(1:i),a(1:i)) end disp([t' v']);
Bisa pula programnya dibuat lebih sederhana menjadi t=[0:7];
a=[0,2,4,7,20,23,40,55]; v(1)=0;
v(i+1)=trapz(t(i:i+1),a(i:i+1))+v(i); end
disp([t' v']);
Hasil running programnya seperti diperlihatkan pada tabel di bawah ini 0 0 1.0000 1.0000 2.0000 4.0000 3.0000 9.5000 4.0000 23.0000 5.0000 44.5000 6.0000 76.0000 7.0000 123.5000 Metode Simpson 1/3
Dalam pembahasan tentang metode numerik, metode integrasi trapesium dapat mendapatkan secara eksak jika integrand berupa fungsi yang linier. Tetapi bagaimana jika fungsi integrand berwujud fungsi kuadratik. Jika fungsi integrand berupa polinomial orde dua (kuadratik), maka metode Simpson 1/3 dapatdi terapkan untuk memperoleh harga yang eksak. Metode Simpson dapat digambarkan dengan ungkapan
∫
a b f x dx≈h 3[
f a 4∑
i=0 N /2−1 f x2i 12∑
i=1 N /2−1 f x2 if b]
ContohBuatlah pogram Matlab untuk mendapatkan hasil pendekatan integral dari
∫
a b
Penyelesaian
Matlab menyediakan fungsi quad yang didasarkan pada penggunaan metode Simpson 1/3 untuk menyelesaikan masalah integral. Kalau fungsi trapz dapat menyelesaikan dengan nilai eksak untuk fungsi integrand linier, maka quad dapat memperoleh harga eksak untuk integrand yang berbentuk kuadratik. Contoh
Dapatkan nilai integral
∫
4 6x2−3 x−4 dx dengan trapz dan quad.
Penyelesaian
Dengan menggunakan Matlab, maka dengan mudah akan diperoleh hasilnya
(a) Dengan fungsi trapz
>> x=linspace(4,6,20); >> y=x.^2-3*x-4; >> trapz(x,y) ans =
12.6704 (b) Dengan fungsi quad
>> y=inline('x.^2-3*x-4'); >> quad(y,4,6)
ans = 12.6667
(c) Dengan perhitungan manual
∫
4 6 x2−3 x−4 dx=1 3x 3 −3 2 x 2 −4 x]
4 6 =−618.6667=12.6667Jadi jelas bahwa dengan menggunakan metode Simpson yang diwakili dengan fungsi quad dapat menemukan harga eksaknya jika integrand merupakan fungsi kuadratik.
