Problems Involving Delay System Analysis (2)

Sistem Tunggu (Delay System)

Problems Involving Delay System Analysis

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 3

Problems Involving Delay System Analysis (2)

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 4

Problems Involving Delay System Analysis (3)

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 5

• Permintaan panggilan yang datang pada saat

peralatan sedang sibuk tidak akan dihilangkan

melainkan akan menunggu sampai ada peralatan

yang bebas, kemudian diduduki

• Pada umumnya, sistem merupakan kombinasi

antara sistem tunggu dan sistem rugi

– Jumlah yang menunggu terbatas sehingga bila melebihi

batas akan dihilangkan

– Waktu tunggu terbatas, sehingga bila menunggu lebih

lama dari suatu waktu tertentu, akan dihilangkan

Rumus J.D.Little

•

L=

λ

W

• L=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem –λ=laju rata-rata kedatangan pelanggan ke dalam sistem

• W=waktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam sistem

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R

Rumus J.D.Little (2)

•

Penurunan

• Misalnya diamati suatu proses kedatangan panggilan dan panggilan meninggalkan sistem A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 7

t

Jumlah kedatangan α(to) δ(to) γ(to)

Rumus J.D.Little (3)

–

α

(t): Jumlah kedatangan ke dalam sistem di dalam selang waktu

(0,t) (fungsi jumlah kedatangan terhadap waktu)

–

δ

(t): Jumlah kedatangan yang berakhir/meninggalkan sistem di

dalam selang waktu (0,t) (fungsi jumlah yang berakhir terhadap

waktu)

–

γ

(t): Luas total antara kedua kurva sampai dengan waktu t

(merupakan jumlah total waktu semua pelanggan berada di

dalam sistem sampai dengan waktu t (dalam satuan

pelanggan-detik)

–

λ

(t):harga rata-rata laju kedatangan panggilan dalam selang

waktu (0,t)

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 8

Rumus J.D.Little (4)

•

λ

_t

=

α

(t)/t

•

Bila Tt merupakan harga rata-rata waktu

lamanya setiap pelanggan berada di dalam

sistem dalam selang waktu (0,t), maka

•

T

_t

=

γ

(t)/

α

(t) [pelanggan-detik/pelanggan]

•

Harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam

sistem antrian selama waktu (0,t) adalah :

•

N

_t

=

γ

(t)/t = [

α

(t)/

α

(t)]xT

_t

/(1/

λ

_t

) =

λ

_t

T

_t A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 9

Rumus J.D.Little (5)

•

Bila sistem mencapai keadaan setimbang pada waktu t

→ ∞

,

maka

λ

_t

→ λ

, T

_t

→

T dan N

_t

→

N, sehingga

N=

λ

T

•

Hal tersebut menyatakan jumlah pelanggan di dalam sistem

antrian=harga rata-rata laju kedatangan panggilan x harga

rata-rata lamanya waktu pelanggan berada dalam sistem

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R

Rumus J.D.Little (6)

•

Catatan untuk rumus J.D Little

• Distribusi kedatangan dan waktu pelayanan adalah sembarang

• Jumlah pelayan adalah sembarang

• Dapat diterapkan hanya terhadap yang antri atau yang dalam pelayanan saja atau kedua-duanya

• Lq=λ.Wq

• Lq=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam antrian

• Wq=harga rata-rata waktu tunggu di dalam antrian

• Lp=λ.Wp

• Lp=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam pelayanan

• Wp=harga rata-rata waktu lamanya pelanggan dalam pelayanan

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 11 A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 12

Contoh

• Pada suatu wartel yang terdiri dari lebih 2 pesawat telepon,

diketahui 50 pelanggan melakukan panggilan di dalam

satu jamnya dengan rata-rata waktu pemakaian 3 menit.

Hitung :

– Jumlah telepon rata-rata yang digunakan

– Waktu tunggu rata-rata jika terdapat rata-rata 1,2 pelanggan yang menunggu

Jawab

– Arrival rate = λ=50/jam = 50/60 = 5/6 call per menit – Service rate = µ= 1/3

– Traffic load = λ/µ= (5/6)x3 = 2,5 Erlang

• Ini berarti jumlah rata-rata telepon yang digunakan adalah 2,5

– Waktu tunggu rata-rata dicari menggunakan rumus Little

Sistem M/M/S/0 (Markovian

Loss System)

•

Ini model untuk jaringan telepon

•

Menghasilkan Distribusi Erlang

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 13

s

Arrival Rate λ Jumlah server s Service rate µ

Sistem Antrian M/M/1

•

Kedatangan panggilan : Poisson arrival

•

Service time : exponentially distributed

•

Jumlah server : 1

•

Panjang antrian : tak terhingga

•

Diagram transisi kondisi

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 0 1 2 N λ λ λ λ N+1 λ λ

Sistem Antrian M/M/1 (2)

•

Dalam kondisi stabil, persamaan transisi kondisi dinyatakan

oleh hukum konservasi dari aliran peluang :

λ0P0= µ1P1 untuk k=0 (λ_k+ µ_k)P_k = λ_k-1P_k-1+ µ_k+1P_k+1 untuk k ≥1 A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 15

Aliran meninggalkan kondisi k

bila sistem dalam kondisi k dengan peluang P_k

Aliran menuju kondisi k, baik yang berasal dari kondisi k-1 maupun dari kondisi k+1

Sistem Antrian M/M/1 (3)

•

Aliran kesetimbangan antara dua kondisi yang berdekatan

dapat ditulis sbb :

λ

k-1

P

k-1

=

µ

k

P

k

λ

k

P

k

=

µ

k+1

P

k+1

•

Persamaan di atas disebut local balance equations

•

Kita akan memanfaatkan local balance equations untuk

memperoleh peluang kondisi k (P

_k

)

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 16

Sistem Antrian M/M/1 (4)

•

Dari local balance equations kita peroleh :

λ

0

P

0

=

µ

1

P

1

,

λ

1

P

1

=

µ

2

P

2

,…,

λ

k

P

k

=

µ

k+1

P

k+1

,… dan

•

Karena

, maka

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 17

∏

−

=

+

=

1

0

1

0

k

i

i

i

k

P

P

µ

λ

1

=

Σ

k

P

k

1

1 0 1 1 0 0 0

=

+

=

∑

∏

∑

− = + ∞ = ∞ = k i i i k k k

P

P

P

µ

λ

∏

∑

∏

− = + ∞ = − = +

+

=

1 0 1 1 1 0 1 0

1

1

k i i i k k i i i

P

µ

λ

µ

λ

Sistem Antrian M/M/1 (5)

•

Jika laju kedatangan dan pelayanan tidak tergantung kondisi k

(ini berarti

λ

_k

=

λ

dan

µ

_k

=

µ

), maka Pk dapat dinyatakan sbb :

•

Dimana

An h a r – T E S 3 1 1 4 U R

0,1,...

k

untuk

)

1

(

1

1

1

=

−

=

+

=

∑

∞ = k k k k k

P

ρ

ρ

ρ

ρ

1

<

=

µ

λ

ρ

Sistem Antrian M/M/1 (6)

•

Beberapa paramater hasil analisa sistem M/M/1 :

• Jumlah rata-rata panggilan di dalam sistem, E(k):

• Waktu tunggu rata-rata, E[w]:

• Delay rata-rata yang dialami oleh panggilan=waktu tunggu rata-rata ditambah waktu pelayanan rata-rata = E[d] :

• Jadi jumlah rata-rata pelanggan di dalam sistem, E[k], dapat juga dihitung sbb : E[k]=λE[d]=ρ/(1−ρ) (Ingat hukum Little)

• Utilisasi server,η,didefinisikan sebagai peluang server sibuk (k≠0), yaitu :

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 19

λ

µ

λ

ρ

ρ

−

=

−

=

1

)

(k

E

µ

µ

ρ

ρ

1

)

(

1

1

)

(

w

E

k

E

=

−

=

)

1

(

1

]

[

)

1

(

]

[

ρ

µ

λ

ρ

λ

ρ

−

=

=

−

=

E

k

d

E

µ

λ

ρ

η

=

∑

∞

=

−

=

=

=1 0

1 P

P

k k

Sistem Antrian M/M/1 (7)

•

Contoh : suatu web server yang digunakan sebagai search

engine menerima jumlah permintaan (request) per jam

sebanyak 144.000. Server memerlukan waktu 0,02 detik untuk

mengolah setiap request. Pertanyaan :

• Berapa utilisasi server ?

• Berapa jumlah request rata-rata di dalam server?

• Berapa bagian dari waktu bahwa ditemukan k search request di server? Jawab

• Average service rate = µ = 1/0,02=50 request/detik

• Average arrival rate = λ= 144.000 request/jam = 40 request/detik

• Utilisasi server = λ/µ=0,8 = 80 %

• Jumlah rata-rata request di dalam server = 0,8/(1-0,8) = 4

• Bagian dari waktu dimana terdapat k searh request di server = P_k=(1-ρ)ρk

=(1-0,8)0,8k_=0,2.0,8k_{dimana k=0,1,…} A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 20

Sistem Antrian M/M/1 (8)

•

Pertanyaan lain :

• Berapa waktu respons rata-rata dari server?

• Hitung rata-rata respons time bila server search engine diganti dengan server yang memiliki kecepatan dua kali lebih cepat?

• Hitung rata-rata respons time bila arrival rate menjadi dua kali dan server memiliki kecepatan dua kali lebih cepat?

•

Jawaban :

• Respons time rata-rata = delay rata-rata yang dialami request = 1/[µ(1-ρ)] = 1/[50(1-0,8)]=0,1 detik

• Bila server memiliki kecepatan dua kali lebih cepat, maka service time rata-rata menjadi = 0,02/2 = 0,01

• Maka service rate menjadi = µ = 1/0,01 = 100 dan utilisasi (ρ) menjadi =40/100 = 0,4

• Maka response time menjadi = 1/[100(1-0,4)] = 0,017 detik

• Jika arrival rate dan kecepatan server menjadi dua kali, maka :

• Service rate = µ = 100 dan λmenjadi 80, maka ρ=80/100 = 0,8

• Maka response time menjadi = 1/[100(1-0,8)] = 0,05 detik

A n h a r – T E S 3 1 1 4 U R 21