Matematika Diskrit
1. LOGIKA (LOGIC)
Bila p: Barang itu bagus
q: Barang itu murah
Maka semboyan pedagang pertama adalah p ~q Semboyan pedagang kedua adalah q ~p
Solusi Pekerjaan Rumah (PR 1)
Solusi:
p
~q q ~p
?
Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan semboyan dagang untuk menarik pembeli.
Pedagang pertama mengumbar semboyan “Barang bagus tidak murah”, sedangkan pedagang kedua mempunyai
semboyan “Barang murah tidak bagus”.
Selidiki apakah kedua semboyan pedagang tersebut menyatakan hal yang sama atau tidak?
Solusi Pekerjaan Rumah (PR 1)
p ~q q ~p
Kedua semboyan pedagang menyatakan hal yang sama.
Varian Proposisi Bersyarat
Konversi:
q
p
Inversi:
~p
~q
Kontraposisi: ~q
~p
Varian Proposisi Bersyarat
Contoh:
Tentukan konversi, inversi, dan kontraposisi dari: “Jika Amir memiliki mobil, maka ia orang kaya.”
Solusi:
p Konversi:
“Jika Amir orang kaya, maka ia memiliki mobil.” Inversi:
“Jika Amir tidak memiliki mobil, maka ia bukan orang kaya.” Kontraposisi:
Kontraposisi
Contoh:
Tentukan kontraposisi dari proposisi-proposisi berikut:
a) “Jika ia bersalah, maka ia dimasukkan ke dalam penjara.” b) “Jika 6 lebih besar dari 0, maka 6 bukan bilangan negatif.” c) “Iwan lulus ujian hanya jika ia belajar.”
Solusi:
a) “Jika ia tidak dimasukkan ke dalam penjara, maka ia tidak bersalah.”
b) “Jika 6 bilangan negatif, maka 6 tidak lebih besar dari 0.” c) “Jika Iwan tidak belajar, maka ia tidak lulus ujian.”
p hanya jika q
Kontraposisi
d) “Hanya jika ia tidak terlambat maka ia akan mendapat pekerjaan itu.”
e) “Perlu ada angin agar layang-layang bisa terbang.”
f) “Cukup hari hujan agar hari ini dingin.”
Contoh:
d) “Jika ia terlambat, maka ia tidak akan mendapat pekerjaan itu.”
e) “Jika tidak ada angin, maka layang-layang tidak bisa terbang.”
“Jika hari ini tidak dingin, maka hari ini tidak hujan.”
Solusi:
p hanya jika q
p syarat cukup untuk q q syarat perlu untuk p
Proposisi Bersyarat Ganda (Bi-Implikasi)
• Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”
• Notasi: p
q
Proposisi Bersyarat Ganda (Bi-Implikasi)
Dengan kata lain,
“p jika dan hanya jika q”
dapat pula dibaca
Berbagai cara membaca bi-implikasi p
q:
p jika dan hanya jika q.
p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. Jika p maka q, dan sebaliknya.
p iff q.
Contoh: Proposisi-proposisi majemuk berikut adalah
bi-implikasi dalam berbagai bentuk
1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4.
Syarat perlu dan syarat cukup agar turun hujan adalah kelembaban udara yang tinggi.
Jika Anda orang kaya, maka Anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya.
Cikarang terletak di Jawa Barat iff Jawa Barat adalah sebuah provinsi di Indonesia.
Jika udara di luar panas maka Anda membeli es krim, dan jika Anda membeli es krim maka udara di luar panas.
Contoh: Proposisi-proposisi majemuk berikut adalah
bi-implikasi dalam berbagai bentuk
Syarat cukup dan perlu agar Anda memenangkan
pertandingan adalah Anda melakukan banyak latihan. Anda naik jabatan jika Anda punya koneksi, dan Anda
punya koneksi jika Anda naik jabatan.
Jika saya lama menonton televisi maka mata saya lelah, begitu juga sebaliknya.
Kereta api datang terlambat tepat pada hari-hari ketika saya membutuhkannya.
Contoh Latihan
Contoh:
Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa dia belajar Algoritma tetapi tidak belajar Matematika.”
a) Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik (ekspresi logika).
b) Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut (Petunjuk: Gunakan Hukum De
Morgan).
Solusi:
Bila p: Dia belajar Algoritma q: Dia belajar Matematika
Maka:
a) ~ (p ~q)
b) ~ (p ~q) ~ p q
Contoh:
Untuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan:
p : Pelayanannya baik. q : Tarif kamarnya murah. r : Hotelnya berbintang tiga.
Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam notasi simbolik dengan menggunakan p, q, dan r:
a) “Tarif kamarnya murah tetapi pelayanannya buruk.”
b) “Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik, namun tidak keduanya.”
c) “Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif kamarnya murah dan pelayannya buruk.”
Contoh:
Nyatakanlah pernyataan berikut dalam notasi simbolik:
“Jika Anda berusia di bawah 17 tahun, maka Anda tidak dapat mengikuti Pemilu, kecuali kalau Anda sudah menikah.”
Contoh Latihan
Solusi:
Anggap:
p : Anda berusia di bawah 17 tahun. q : Anda sudah menikah.
r : Anda dapat mengikuti Pemilu.
Maka pernyataan di atas dapat dinyatakan dengan: (p ~q) ~r
“Jika Anda berusia dibawah 17 tahun dan belum menikah, maka Anda tidak dapat mengikuti Pemilu.”
Contoh Latihan
Contoh:
Tunjukkan bahwa [~p (p q)] q adalah sebuah tautologi.
Solusi:
Untuk menunjukkan tautologi, disusun tabel kebenaran:
Argumen
Argumen adalah suatu deret proposisi yang
dituliskan sebagai:
Dalam hal ini p
1, p
2, …, p
ndisebut hipotesis (premis)
dan q disebut konklusi.
Argumen dapat bernilai sahih (valid) atau palsu
(invalid). Perlu ditekankan, bahwa valid tidak sama
maknanya dengan true (benar).
Definisi:
Sebuah argumen dikatakan sahih (valid) jika konklusi benar, yaitu bilamana semua hipotesisnya benar; sebaliknya
argumen dikatakan palsu (invalid).
Argumen
Jika argumen sahih, maka kita mengatakan bahwa secara logika konklusi mengikuti hipotesis; atau sama dengan
memperlihatkan bahwa implikasi: adalah benar.
Argumen yang palsu menunjukkan proses penalaran yang tidak benar.
Argumen
Contoh:
Perlihatkan bahwa argumen berikut adalah sahih:
“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.” “Air laut surut setelah gempa di laut.”
“Karena itu, tsunami datang.”
Solusi:
Misalkan:
p : Air laut surut setelah gempa di laut. q : Tsunami datang.
Maka argumen di atas dapat dituliskan dengan:
p q p
q
Terdapat 2 cara untuk membuktikan kesahihan argumen ini. Keduanya mempergunakan tabel kebenaran.
Argumen
Cara 1:
Menyusun tabel kebenaran p, q, dan p q :
Argumen sahih adalah: jika semua hipotesisnya benar, maka konklusinya benar.
Kita periksa: apakah bila hipotesis p q dan p benar, maka konklusi q juga benar.
p q p
Cara 2:
Menunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa [(p q) p] q adalah sebuah tautologi
Apabila tautologi, maka argumen adalah sahih
p q p
q
Argumen adalah s a h i h.
Perlihatkan bahwa penalaran pada argumen berikut adalah tidak benar, dengan kata lain argumennya palsu:
“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.” “Tsunami datang.”
“Jadi, air laut surut setelah gempa di laut.”
Solusi:
Misalkan:
p : Air laut surut setelah gempa di laut. q : Tsunami datang.
Maka argumen di atas dapat dituliskan dengan:
Argumen
p q q
p
Pekerjaan Rumah (PR 2)
Diberikan pernyataan “Perlu memiliki password yang sah agar Anda bisa log on ke server.”
a) Nyatakanlah pernyataan di atas dalam bentuk proposisi “jika p maka q.”
b) Tentukanlah ingkaran, konversi, inversi, dan kontraposisi dari pernyataan tersebut.
Periksa kesahihan argumen berikut ini:
“Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima.” “5 tidak lebih kecil dari 4.”
“5 adalah bilangan prima.”
No.1:
Pekerjaan Rumah (PR 2)
New
Diberikan pernyataan “Bila ingin mendaftarkan diri untuk berkonsultasi dengan dokter di rumah sakit ini, Anda cukup mengirimkan pesan singkat SMS ke nomor kami.”
a) Nyatakanlah pernyataan di atas dalam bentuk implikasi “jika p maka q.”
b) Tentukanlah ingkaran, konversi, inversi, dan kontraposisi dari implikasi diatas.
Periksa kesahihan argumen berikut ini:
“Saya akan menyusun rancangan anggaran hanya jika Anda
