TRANSFORMASI LAPLACE

BAB 2

TRANSFORMASI LAPLACE

Pokok Pembahasan :

Prinsip Dasar Linieritas Singularitas

Perkalian dan Pembagian Dengan Waktu Pergeseran

1. PRINSIP DASAR

⊕ Transformasi Laplace adalah transformasi dari suatu fungsi waktu t ; f(t), dengan frekuensi kompleks, menjadi fungsi frekuensi F(s).

⊕ Transformasi Laplace digunakan untuk memecahkan fungsi-fungsi : • Periodik dan aperiodik

• Kontinyu dan diskontinyu • Eksponensial

• Membentuk Persamaan Diferensial

• Fungsi yang tak dapat ditulis dengan pernyataan matematik

⊕ Bila f(t) komtimyu, maka F(s) juga kontinyu. ⊕ Membuat fungsi menjadi konvergen.

⊕ Bila f(t) ; t > 0 , maka transformasi Laplace f(t) adalah F(s)

F(s) = L f(t) = ( 2-1 )

dengan e = 2.71828

s = Frekuensi kompleks s =

σ

+ j

ω

Faktor perkalian e-st _{membuat fungsi F(s) konvergen.}

-st

0

f(t).e dt

∞

2. LINIERITAS

2.1. Penjumlahan

Transformasi Laplace penjumlahan/pengurangan dua atau lebih fungsi t f(t), sama dengan jumlah/kurang transformasi Laplace dari

masing-masing fungsi t itu sendiri. L [ f₁(t) + f₂(t) ] =

L

[ f₁(t) + f₂(t) ] = + L [ f₁(t) + f₂(t) ] = L f ₁( t ) + L f₂ ( t ) L [ f₁(t) + f₂(t) ] = F₁(s) + F₂(s) ( 2-2 )

{

}

-st 1 2 0

f (t)

f (t) e dt

∞

±

∫

st 1 0 f (t).e dt ∞ −

∫

st 2 0 f (t).e dt ∞ −

∫

2.2. Perkalian Dengan Konstanta

Transformasi Laplace dari perkalian suatu f(t) dengan sembarang konstanta sama dengan perkalian sembarang konstanta dengan transformasi Laplace (f(t) itu sendiri.

L [ k f(t) ] = = L[k f(t)] = k F(s) ( 2-3.A ) L[a.f₁(t)+ b.f₂(t)] = L[a.f₁(t) + b.f₂(t)] = a F₁(s) + b F₂(s) ( 2-3.B ) st 0 k.f (t).e dt ∞ −

∫

st 0 k f (t).e dt ∞ −

∫

s t s t 1 2 0 0

a f ( t ) e

d t

b f ( t ) e

d t

∞ ∞ −

_±

−

∫

∫

3. SINGULARITAS 3.1. Diferensiasi

Transformasi Laplace diferensiasi f(t) dan turunannya f’(t) adalah sbb : L f(t) = F(s) = Misal : u = f(t) ; dv = e-st _{dt ;} = - = + L L = s F(s) – f(0) ( 2-4.A ) -st 0

f(t).e dt

∞

∫

df (t) du dt dt ⎡ ⎤ = ⎢_⎣ ⎥_⎦ -st 0

f(t).e dt

∞

∫

-st 0

e

df(t)

-

dt

s

dt

∞

_⎛

_⎞⎛

⎞

⎟

⎜

_⎟

⎜

⎟

_⎟

⎜

_⎟

_⎜

_⎟

⎜

_⎟

⎜

⎜

⎝

⎠

⎝

⎠

∫

st 0 e f (t) s ∞ − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ st

e

v

s

−

= −

f(0) s

1

s

df ( t ) dt ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ df (t) dt ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

L = L = s . L - f’(0) = s F(s) – f(0) – f’(0) = s [ s f(s) – f(0) ] – f’(0)

L = s2 _{f(s) – s.f(0) – f’(0) ( 2-4.B )}

L = sn _{f(s) – s}n-1_{.f(0) – s}n-2 _{f’(0) - .... – s.f}n-2_{(0) + f}n-1₍₀₎

L [ Dn _{f(t) ] = s}n_{.F(s) - ( 2-4.C )}

⊕ f(0) = fungsi nilai awal (initial value function)

df (t )

dt

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

2 2 d f ( t ) d t ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

d

d f ( t )

d t

d t

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

2 2

d f ( t )

dt

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

n n d f ( t ) d t ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ n n j j 1 j 1

s

−

. f

−

(0)

=

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

∑

⎦

3.2. Integrasi A. Integrasi Terbatas L f(t) = F(s) = L = Misal : u = , du = f(t) dt ; dv = e-st _{dt , v =} L = + L = ( 2-5.A ) t 0

f(t) dt

∫

t -st 0 0 f(t) d t .e d t ∞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟⎟ ⎜⎝ ⎠

∫ ∫

-s t 0

f ( t ) .e d t

∞

∫

-st

1

e

s

−

1

F (s )

s

t 0

f(t) dt

∫

t -st 0

1

f(t).e dt

s

∫

t 0

f(t) dt

∫

t -st 0 ₀

-e

f(t) dt

s

∞

⎛

_⎞⎟

⎜

_⎟

⎜

_⎟

⎜

_⎟⎟

⎜⎝

∫

⎠

B. Integrasi Tanpa Batas Waktu.

Untuk kasus seperti ini diperlukan nilai awal yaitu nilai pada t = 0.

L = ( 2-5.B )

4. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN DNG WAKTU t (TIME-FREQ. SCALING) 4.1. Perkalian dengan waktu t

L [ t f(t) ] = =

[

]

1

F(s) + f(0)

s

0

f ( t) d t

∞

∫

-st 0

t.f(t) e d t

∞

∫

-st 0

d(e )

t f(t) dt

ds

∞

−

∫

-st

dF(s)

d

=

f(t) e dt

ds

ds

∞

−

∫

L [ t f(t) ] = ( 2-6.A ) L [ t2 _{f(t) ] = ( 2-6.B )} L [ tn _{f(t) ] = ( 2-6.C )}

dF(s)

ds

−

2 2 2

d F(s)

( 1)

ds

−

n n n

d F(s)

( 1)

ds

−

4.2. Pembagian Dengan Waktu t

L

=

=

=

=

=

L

=

( 2-7 ) -st 0 s

f(t)

dt

e d(-st)

t

∞ ∞

−

∫

∫

-st 0

f(t)

e dt

t

∞

∫

f(t) t ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜⎝ ⎠ -st 0

f(t)

dt. e

t

s ∞ ∞

∫

s

F(s) ds

∞

∫

-st 0 0

d(-st)

f(t) dt . e

-t

∞ ∞

∫

∫

-st s 0

f(t) e dt ds .

∞ ∞

∫ ∫

f(t) t ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜⎝ ⎠

5. PERGESERAN

5.1. Pergeseran Waktu (Time Shifting)

Bila

L

f(t) = F(s) , digeser sebesar t₀ , maka

L

f(t-t₀).U(t-t_o) = =

⊕ F(t-t₀).U(t-t₀) = 0 , berlaku untuk t < t₀ ⊕ f(t-t₀) , berlaku untuk t > t₀ Jika dimisalkan τ = t - t₀ ; t = τ + t₀ ; dτ = dt maka

L

f(t-t₀).U(t-t₀) = =

L

f(t-t ).U(t-t ) = e-sto _{F(s) ( 2-8 )} -st 0 0 s

f(t-t ).U(t-t ) e dt

∞

∫

0 -st 0 t

f(t-t ) e dt

∞

∫

0 -s (τ + t ) 0

f(τ) e

dτ

∞

∫

-sτ 0

f(τ) e

d τ

∞

∫

5.2. Fungsi Gerbang (Gate Function)

⊕ Fungsi gerbang adalah super posisi dua buah Fungsi Satuan Langkah (Unit Step Function).

⊕ Notasi fungsi gerbang G_to(T) ; t₀ < T G_t0(T) = U(t-t₀) – U( t- t₀ – T) f(t) 0 f(t) T t t₀ T t t₀ 0

Contoh : 1.

f(t) = t.G₀(T) = t [ U(t) – U(t-T) ] F(s) = L { t [ U(t) – U(t-T) ] }

= L { t. U(t) - (t-T) . U(t-T) – E.U(t - T)} = - e-sT _{- e}-sT T T 0 t 0 t f(t) f(t) E E 1 E Ts E T E T E T E T E T E E s E Ts

2. f(t) = E sin ωt. G₀( ) ; ω = 2 π f ; f = f(t) = E sin . G₀( ) f(t) = E sin ( ).[ U(t – T/2)] F(s) = T 2 1 T 2 t T π T 2 0 T/2 1 f(t) t 2 t T π 2 E T π T -s 2 2 2

1

e

2 π

s

T

⎧

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

₊

⎪

⎪

⎪

⎨

⎬

⎪

_⎛

_⎞

⎪

⎪

_⎜

_⎟

⎪

⎪

+

_⎜

_⎟

⎪

⎪

_⎜⎝

⎟

_⎠

⎪

⎪

⎪

⎩

⎭

5.3. Pergeseran Frekuensi

Pergeseran frekuensi dalam domain s merupakan transformasi Laplace perkalian f(t), dengan fungsi eksponensial e-bt_{, yaitu sama dengan}

transformasi Laplace fungsi tersebut yang mengalami pergeseran s sebesar b sehinga menjadi (s+b).

Bila L f(t) = F(s) L [ e-bt_{.f(t)] =} = L [ e-bt_{.f(t)] = F(s+b) ( 2-9 )} -b t -s t 0

e

.f(t).e d t

∞

∫

-(s+b)t 0

e

f(t) dt

∞

∫

5.4. Fungsi Periodik

Transformasi Laplace fungsi periodik dengan periode T sama dengan transformasi Laplace periode pertama fungsi tersebut dibagi (1- e-sT_).

f(t) = f₁ (t) + f₂ (t) + f₃ (t) + ... fn(t) f₁ = f(0) U(t) ; f₂ = f(U-T) U(t-T) f₃ = f(U-2T) U(t-2T) ; fn = f(U-nT) U(t-nT)

L f₁(t) = F₁(s)

f₁(t) f₂(t) f₃(t) f_n(t)

T 2T 3T nT t

0 f(t)

F(s) = F₁(s)+ F₁(s)e-sT _{+ F} 1(s) e-2sT + ...+ F1(s) e-(n-1)sT F(s) = F₁(s) [ 1 + e-sT _{+ e}-2sT _{+ ...+ e}-(n-1)sT _] F(s) = ( 2-10 )

(

1 -sT

)

F (s)

1 - e

6. TRANSFORMASI FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER 6.1. Fungsi Eksponensial Waktu.

f(t) = eat

dengan a adalah konstanta yang dapat merupakan bilangan : Nyata, Imajiner atau Kompleks

Bila L f(t) = F(s) = L f(t) = = = L eat _{= ( 2-11 )} -st 0

f(t).e dt

∞

∫

at -st 0

e .e dt

∞

∫

-(s-a)t 0

e

dt

∞

∫

1

( s - a )

-(s-a)t 0

1

.e

( s - a )

∞

−

6.2. Fungsi Satuan Langkah (Unit Step Function)

f(t) = U(t)

U(t) = 1 ; t > 0 U(t) = 0 ; t < 0 Bila U(t) = eat _{untuk a = 0, U(t) = 1}

L U(t) = untuk a = 0 L U(t) = L U(t) = = L U(t) = ( 2-12 t 0 U(t) f(t) 1 1 ( s - a )

1

s

-st 0

e dt

∞

∫

-s t 0

1

. e

s

∞

−

1

6.3. Fungsi Sinus

ejat _{– e}-jat _{= 2j sin at}

sin at = [ejat _{– e}-jat_]

L sin at = L = L sin at = ( 2-13 ) jat

e

=

cos at + j sin at

-jat

e

=

cos at - j sin at

-1 2j 2 2

a

s

+

a

jat -jat 1 [e e ] 2j ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ₋ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

(

) (

)

1 1 1 2j s-ja s+ja ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ₋ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

6.4. Fungsi Cosinus

ejat _{+ e}-jat _{= 2 cos at ; cos at = ½ (e}jat _{+ e}-jat ₎

L cos at = L [ ½ (ejat _{+ e}-jat _{) ]}

L cos at = ( 2-14 )

6.5. Fungsi Hiperbolik

sinh at = [eat _{– e}-at_{] ; cosh at = [e} at _{+ e}-at _]

L sinh at = ( 2-15 ) L cosh at = ( 2-16 ) 2 2

s

s + a

2 2

s

s - a

2 2

a

s - a

7. IKHTISAR TRANSFORMASI LAPLACE

7.1. Sifat-Sifat Utama Transformasi Laplace

Fungsi t Fungsi s Linieritas [ f₁(t) + f₂(t) ] F₁(s) + F₂(s) Perkalian dng konstanta k f(t) ; k > 0 k F(s) [a.f₁(t) + b.f₂(t)] ; a,b >0 a F₁(s) + b F₂(s) Diferensiasi s F(s) – f(0) Diferensiasi ke n

df (t)

dt

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

n n

d f ( t )

d t

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

n n j j 1 j 1

s

−

. f

−

(0)

=

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

∑

⎦

Fungsi t Fungsi s

Integrasi (terbatas)

Integrasi (tak terbatas)

Pergeseran Waktu f(t-t₀).U(t-t₀) ; t₀ > 0 e-sto _F(s)

Pergeseran Frekuensi [ e-bt_{.f(t)] F(s+b)}

Skala Frekuensi-Waktu f(at) ; a > 0

⎡

⎢

1

_a

F

⎛

⎜

_⎝

_a

s

⎞

⎟

_⎠

⎤

⎥

⎣

⎦

1

F (s )

s

t 0

f(t) dt

∫

0

f(t) dt

∞

∫

1

[

F(s) + f(0)

]

s

Fungsi t Fungsi s Perkalian dng Waktu t . f(t) tn _f(t) Pembagian dng Waktu

dF(s)

ds

−

n n n

d F(s)

( 1)

ds

−

s

F(s) ds

∞

∫

f(t) t ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜⎝ ⎠

7.2. Transformasi Laplace Fungsi-fungsi Elementer 7.2.1. Fungsi Singularitas

Fungsi t Fungsi s

Unit Impuls δ(t) 1

Unit Step u(t)

Unit Ramp r(t) = t u(t)

1

s

2

1

t t t

Fungsi t Fungsi s

Unit Parabola p(t)= ½ t2 _u(t)

Integral ke n impuls δ(-n)_(t) Unit Doublet δ’(t) s Turunan ke n impuls δ(n)_{(t) s}n n

1

s

3

1

s

t

7.2.2. Fungsi Elementer Biasa Fungsi t Fungsi s Konstanta k t t Pangkat dari t Eksponensial eat

Perkalian t dng Eksponensial t.e-at

k s 2

1

s

1

(s

−

a )

(n 1)

t

(n 1)!

−

−

1

_n

s

2

1

(s

+

a )

Fungsi t Fungsi s Perkalian t dng Eksp.-Berulang Sinus sin ωt Cosinus cos ωt Sinushyperbolicus sinh ωt Cosinushyperbolicus cosh ωt Sinusoid n 1 at

1

t

e

(n 1) !

− −

+

2 2

s

ω

− ω

2 2

s

ω

+ ω

2 2

s

s

+ ω

2 2

as

+ ω

b

+ ω

2 2

s

(s

− ω

n

1

(s

+

a )

2 2 1 b a b cos t tan a − ⎛ ⎞ + _⎜ω − _⎟ ⎝ ⎠

Fungsi t Fungsi s Sinus Teredam e-at _{sin ωt}

Cosinus Teredam e-at _{cos ωt}

Sinusoid Teredam

Perkalian t dng sinus t sin ωt Perkalian t dng cosinus t cos ωt

2 2

(s

a )

ω

+

+ ω

2 2 2

2 s

(s

)

ω

+ ω

2 2

s

a

(s

a )

+

+

+ ω

2 2

s

− ω

2 2

a (s

p)

b

(s

p)

+

+ ω

+

+ ω

2 2 pt 1 a a p .e cos t tan b − ⎛ − ⎞ + _⎜ω − _⎟ ⎝ ⎠