LEMMA HENSTOCK PADA INTEGRAL. Muslich Jurusan Matematika FMIPA UNS fine dan integral M

LEMMA HENSTOCK PADA INTEGRAL M_ Muslich

Jurusan Matematika FMIPA UNS muslich_mus@yahoo.com

ABSTRACT.Based on the McShane   finepartition and McShane integral, it can be arranged the M_   fine partition and M_ integral concepts. Furthermore, it is discussed some simple properties of M_ integral and Lemma Henstock.

Keywords: Lemma Henstock, McShane partition and McShane integral.

ABSTRAK. Berdasarkan konsep partisi McShane   fine _{dan integral McShane dapat} dibangun konsep partisi M_   fine dan integral M_. Kemudian dibahas beberapa sifat sederhana integral M_dan Lemma Henstock.

Kata Kunci: Lemma Henstock, partisi McShane dan integral McShane.

1. PENDAHULUAN

Jenis integral dapat diklasifikasikan menjadi dua macam yaitu jenis integral deskriptif dan jenis integral konstruktif. Akhir-akhir ini ke dua jenis integral tersebut mengalami perkembangan yang cukup pesat. Hubungannya dengan perkembangan jenis integral konstruktif ini Jae Myung Park et al [3] berhasil menyusun integral yang dinamakan dengan integral M_. Integral M_ini disusun berdasarkan konsep integral McShane. Menurut Jae Myung et al [2] maupun Jarolav Kurzweil et al [6] dikatakan bahwa integral McShane ekivalen dengan integral Lebesgue dan selanjutnya oleh Tuo-Yeong Lee [7] dikatakan bahwa integral McShane merupakan bentuk integral konstruktif dari integral Lebsgue. Di dalam tulisan ini P dimaksud koleksi pasangan selang titik n

i i i I , )} ₁ {(   dengan    _j i I I ,i j.

Berdasarkan pasangan selang titik P{(I_i,_i)}_in₁, baik Gordon [6] maupun

D.H. Fremlin [1] mendefinisikan konsep partisi McShane   finedan integral McShanesebagai berikut.

Definisi 1.1 P{(I_i,_i)}_in₁ dikatakan partisi McShane   finepada [a,b] jika ) ( ), ( ( _{i i i i} i I        , _i[a,b]

Definisi 1.2 Fungsi f :[a,b]R dikatakan terintegral McShane pada [a,b] ditulis f M[a,b] jika terdapat bilangan real A sehingga untuk setiap  0 terdapat fungsi positif ():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi McShane

fine   n i i i I P{( , )}1 pada [a,b] berlaku    



 A I f n i i i 1 ) (

Selanjutnya Jae Myung Park et al [3] dan Jae Myung Park et al [4] mendefinisikan konsep partisi M_   finepada [a,b] dan integral M_pada

] ,

[a b sebagai berikut.

Definisi 1.3 P{(Ii,i)}dikatakan partisi M  fine pada [a,b] untuk suatu konstan  0jika P{(I_i,_i)}_in₁ partisi McShane   fine pada [a,b] dan

memenuhi



  n i i i I d 1 ) , (  dengan d(i,Ii)inf{ xi :xIi} Diberikan partisi M_   fine n

i i i

I

P{( , )}1 pada [a,b]dan fungsi

R b a

f :[ , ] , kemudian dibentuk jumlahan



  n i i i I f P f S 1 ) ( ) , (  . Dari konsep ) , (f P

S tersebut didefinisikan integral M_fungsi f pada [a,b]

sebagai berikut.

Definisi 1.4 Diberikan bilangan real  0. Fungsi f :[a,b]R dikatakan terintegral M pada_ [a,b] ditulis f M_[a,b] jika terdapat bilangan real A sehingga untuk setiap  0 terdapat fungsi positif ():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M_   fine n

i i i I P{( , )}1 pada [a,b] berlaku    



 A I f n i i i 1 ) ( 242 Muslich

Bilangan A disebut nilai integral M_pada [a,b] dan dinotasikan dengan



 ] , [ ) ( b a fdx M

A _ . Fungsi f terintegral M_pada E[a,b] jika fungsi f_E terintegral M_pada [a,b] dan berlaku







] , [ ) ( ) ( b a E E f M f M_{ }  .

Berdasarkan konsep integral M_ini penulis bertujuan untuk membahas kembali tulisan Jae Myung Park et al [2] tentang sifat-sifat integral M_dan Lemma Henstock yang bermanfaat melengkapi pernyataan-pernyataan yang dipandang perlu.

2. HASIL DAN PEMBAHASAN

Berdasarkan pada konsep partisi M_  fine n i i i

I

P{( , )}1pada [a,b]

dan konsep integral M_pada [a,b] maka akan dibahas beberapa sifat sederhana integral M_ dan Lemma Henstock. Untuk kemudahan dalam pembahasan

n i i i I P{( , )}₁ dan



 n i i i I f P 1 ) ( )

(  berturut-turut cukup ditulis dengan )}

, {(I 

P dan (P)



f()I.

Teorema 2.1 Diberikan f :[a,b]R. Jika fungsi f terintegral M pada _ [a,b] maka nilai integralnya tunggal.

Bukti. Diberikan sebarang  0. Andaikan nilai integral fungsi f pada [a,b] tidak tunggal, sebut 



] , [ ) ( b a fdx M A _ dan 



] , [ ) ( b a fdx M B _ dengan AB, maka terdapat fungsi positif ₁():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M_

fine  1  P{(I,)}pada [a,b] berlaku 2 ) ( ) (P



f  I A 

dan terdapat fungsi positif ₂():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M_ fine  2  P{(I,)}pada [a,b] berlaku . 2 ) ( ) (P



f  I B 

Didefinisikan fungsi positif



(



):[a,b]R dengan () min{₁(),₂()}, maka untuk setiap partisi M_   fine P{(I,)}pada [a,b] berlaku

B A = A(P)



f()I (P)



f()I B ≤ A(P)



f()I + (P)



f()I B < 2  + 2  = 

Karena berlaku untuk setiap  0maka A=B, jadi pengandaian salah yang benar nilai integralM_ fungsi f pada [a,b] _{adalah tunggal.}

Teorema 2.2 M_[a,b]merupakan ruang linear yaitu jika f,g:[a,b]R terintegral M pada _ [a,b] dan k bilangan real makaf g dan kf terintegral



M pada [a,b]dan berlaku

a.

 



 ] , [ ) ( b a dx g f M =

 



] , [ab fdx M +

 



] , [ab gdx M b.

 



] , [ab kfdx M =







] , [ab fdx M k 

Bukti. a.Diberikan sebarang  0. Diketahui f,g:[a,b]R terintegral M_ pada [a,b] maka terdapat fungsi positif ₁():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M_ ₁ fine P'{(I,)}pada [a,b] berlaku



1



2 ) ( ) ' (   



f I A _k P  

dan terdapat fungsi positif 2():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M

fine  2  P"{(I,)}pada [a,b] berlaku 2 ) ( ) " (P



g  I B  244 Muslich

Didefinisikan fungsi positif



(



):[a,b]R dengan () min{₁(),₂()}, maka untuk setiap partisi M_   fine P{(I,)}pada [a,b] berlaku



(  )( )(  ) ) (P f g  A B ≤(P)



(f()I A + (P)



(g()I B < 2(k 1)  + 2  =  Jadi f g terintegral M_pada [a,b]dan berlaku

 

_

 ] , [ ) ( b a dx g f M = A+ B =

 



] , [ab fdx M +

 



] , [ab gdx M .

b. Selanjutnya juga berlaku  



kf I kA P') ( ) (  k (P')



f()I A < ) 1 ( 2 k   < Jadi kf terintegral M_pada[a,b]dan berlaku

 

_

] , [ab kfdx M = kA=







] , [ab fdx M k 

Berikut diberikan Teorema Cauchy yang dapat dipergunakan untuk menentukan kriteria apakah suatu fungsi terintegral M _ pada [a,b].

Teorema 2.3 (Teorema Cauchy) Diberikan f :[a,b]R. Fungsi f terintegral 

M pada [a,b] _{jika hanya jika untuk setiap}  0terdapat fungsi postif  R b a, ] [ : ) (





sehingga untuk setiap dua partisi M_   fine P'{(I,)}dan )} , {( " I  P  pada [a,b] berlaku     



f I P



f I P') ( ) ( ") ( ) (

Bukti. a. Syarat perlu.

Diberikan sebarang  0.Diketahui f :[a,b]R terintegral M_pada [a,b] maka terdapat fungsi positif ():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M_

fine



2 ) ( ) ' ( ] , [   

_





b a fdx I f P

Dengan demikian untuk setiap partisi M_   fine P'{(I,)} dan P"{(I,)} pada [a,b] berlaku



f I  P



f I P') ( ) ( ") ( ) (  





  ] , [ ) ( ) ' ( b a fdx I f P  +



fdx P



f I b a ) ( ) " ( ] , [  < 2  + 2  = 

b. Syarat cukup. Menurut asumsi untuk setiap  0terdapat fungsi positif

 R b a, ] [ : ) (

 sehingga untuk setiap dua partisi M_   fine P_m {(I,)}dan )} , {(I  P_n  pada [a,b] berlaku     



f I P



f I P_m) ( ) ( _n) ( ) (

Untuk setiap bilangan asli n dipilih fungsi _n():[a,b]Rsehingga untuk setiap dua partisi M_ _n  fine P₁ {(I,)}dan P₂ {(I,)} pada [a,b] berlaku

n I f P I f P) ( ) ( ) ( ) 1 ( ₁



  ₂



 

Diasumsikan {_n} merupakan baris turun monoton. Untuk setiap bilangan asli n misalkan Pn {(I,)}merupakan partisi M n  finepada [a,b] maka

} ) ( )

{(P_n



f  I merupakan baris Cauchy, berakibat {(P_n)



f()I konvergen sebut

 

n

lim (P_n)



f()I = A, jadi dapat dipilih bilangan asli terkecil N>



2

sehingga untuk nN berakibat

2 1 1 _{ }  N n dan berlaku 246 Muslich

2 ) ( ) ( khususnya 2 ) ( ) (P_n



f  I A  P_N



f  I A  Jika P{(I,)} merupakan partisi M_ _N  fine pada [a,b] maka berlaku

 



f I A P) ( ) (  (P)



f()I (P_N)



f()I + (P_N)



f()I A < N 1 + 2  < 2  + 2  =  Jadi f terintegral M_pada [a,b], dengan demikian teorema terbukti.

Teorema 2.4 Diberikan f :[a,b]R. Jika f terintegral M pada _ [a,b] maka f terintegral M_ pada setiap selang bagian [c,d] [a,b].

Bukti. Diketahui f terintegral M_pada [a,b], maka menurut Teorema 2.3 untuk setiap >0 terapat fungsi postif



(



):[a,b]Rsehingga untuk setiap dua partisi M_   fine P'{(I,)}dan P"{(I,)}pada [a,b] berlaku

    



f I P



f I P') ( ) ( ") ( ) (

Ambil sebarang partisi M_   fine P₂ {(I,)}dan P₃ {(I,)} pada [c,d]_, partisi M_   fine P₁{(I,)} pada [a,c] dan partisi M_   fine

)} , {(

4 I 

P  pada [d,b] maka mudah dipahami bahwa

4 2 1 ' P P P P   4 3 1 " P P P P   

merupakan partisi M_   finepada [a,b]sehingga diperoleh



f I  D



f I

D ) ( ) ( ) ( )

Karena P₂dan P3 sebarang partisi M   fine pada [c,d]_,menurut Teorema 2.3

maka fungsi f terintegral M_pada [c,d] untuk setiap [c,d][a,b].

Teorema 2.5 Diberikan f :[a,b]R. Jika f terintegral M pada _ [a,c]dan[c,b] maka f terintegral M_ pada [a,b] dan berlaku

 

_

] , [ab fdx M =

 



] , [ac fdx M +

 



] , [cb fdx M .

Bukti. Diberikan sebarang >0 dan misalkan 



] , [ ) ( c a fdx M A _ dan



 ] , [ ) ( b c fdx M

B _ maka terdapat fungsi positif ₁():[a,c]Rsedemikian hingga untuk setiap partisi M_ ₁ fine P'{(I,)}pada [a,c]berlaku:

2 ) ( ) ' (P



f  I A  

dan terdapat fungsi positif ₂():[c,b]Rsedemikian hingga untuk setiap partisi M_ ₂ fineP"{(I,)}pada [c,b] berlaku

. 2 ) ( ) " (P



f  I B  Didefinisikan fungsi positif ():[a,b]Rdengan () =           ] , ( }, ), ( min{ )}, ( ), ( min{ ) , [ }, ), ( min{ 2 2 1 1 b c jika c c jika c c c a jika c           

Apabila P{(I,)}merupakan partisi M_   fine _pada [a,b] maka c merupakan salah satu titik partisinya, dan mudah dipahami jika PP₁P₂ dengan P₁{(I,)}danP₂ {(I,)}berturut-turut merupakan partisi M_

fine



 _pada [a,c]dan [c,b] maka berlaku



( ) (  ) ) (P f  I A B ≤(P₁)



(f()I A + (P₂)



(g()I B < 2  + 2  =  248 Muslich

Karena berlaku untuk sebarang >0 maka f terintegral M_pada [a,b] dan berlaku

 

_

] , [ab fdx M = A+ B =

 



] , [ac fdx M +

 



] , [cb gdx M .

Teorema 2.6 (Lemma Henstock) Diberikan f :[a,b]R. Jika f terintegral 

M pada [a,b] _{yaitu untuk setiap}  0terdapat fungsi positif



(



):[a,b]R

sehingga untuk setiap partisi M_  fine P {(I,)}pada [a,b] berlaku

   





] , [ ) ( ) ( b a f I f P

maka untuk setiap partisi M_   fine _bagian m i i i I P'{( , )}1 dari P{(I,)} berlaku    ) ( ) 2 ( ) ' ( 1 1  



m_



_ i m i I i i i i f I f P Bukti. Diberikan  0 Misalkan m i i i I

P'{( , )}1adalah partisi M   finebagian dari P{(I,)}

dengan I₁,I₂,...,I_m adalah selang-selang pada partisi P ,' sedangkan I₁',I₂',...,I_k'

adalah selang-selang sisanya sehingga [a,b]=





m i k j j i I I 1 1 ' ) ( ) (    . Karena f terintegral M_pada [a,b]maka f terintegral M_pada '

j

I untuk setiap

k

j1,2,3,..., , dengan demikian terdapat fungsi positif



_j(



):I'_j Rsehingga untuk setiap partisiM_ _j fine P_jpada I'_j berlaku

k f I f P j I j   







' ) ( ) ( Dibentuk



k j j P P P 1 ) ( '  

 maka P merupakan partisi M_   fine pada [a,b] dan berlaku





_

] , [ ) ( ) ( b a f I f P  =



 



 



   m i k j _ab j j i i I f I f f P 1 1 _{[ ,]} ' ) ( ) ( ) ' ( sehingga berakibat



m_ 



_ i m i I i i i f I f P 1 1 ) ( ) ' (  =







_ 







_ k j _ab k j _I j j j f f I f I f P 1 _{[ , ]} 1 ' ) ( ) ) ( ) ( ) ((   ≤







] , [ ) ( ) ( b a f I f P  +

  

   k j _I k j j j j I f f 1 1 ' ' ) ( ≤







] , [ ) ( ) ( b a f I f P  +





  k j _I j j j f I f 1 ' ' ) ( <  ₊



 k j 1k  = 2. Dengan demikian Teorema terbukti.

3. KESIMPULAN

Dari hasil pembahasan di atas diperoleh beberapa kesimpulan antara lain (i) ]

, [a b

M_ merupakan ruang linear dan (ii) bahwa Lemma Henstock berlaku pada integral M_yaitu jika diberikan fungsi f :[a,b]R dan f terintegral M_pada

] ,

[a b _{maka untuk setiap}  0terdapat fungsi positif



(



):[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M_   fine P{(I,)}pada [a,b] berlaku

   





] , [ ) ( ) ( b a f I f P

maka untuk setiap partisi M_   fine bagian m i i i I P'{( , )}_1 dariP{(I,)} berlaku 250 Muslich

   ) ( ) 2 ( ) ' ( 1 1  





  m i m i _I i i i i f I f P . DAFTAR PUSTAKA

D. H. Fremlin, (1994) The Henstock and McShane Integral of Vector Valued Function, Illionis of Journal Mathematics, 38(3), 471-479.

Jae Myung Park and Deok Ho Lee, (1996) The Denjoy Extension of The McShane Integral,Bull. Korean Math. Soc. 33(3), 41-416.

Jae Myung Park, Hyung Won Ryu, and Hoe Kyung Lee, (2010) The -M_ integral, Journal of The Chungcheong Mathematical Sosiety, 23(1), 99-108.

Jae Myung Park, Deok Ho Lee, Yu Han Yoon, and Hoe Kyung Lee, (2010) The Integration By Parts For The-M_integral,Journal of The Chungcheong Mathematical Sosiety, 23(4), 861-870.

Jaroslav Kurzweil & S. Schwabik, (1991) McShane Equiintegrability and Vitali’s Convergence Theorem, e-mail address: kurzweil@math.cas.cz, schwabik@math.cas.cz.

R.A. Gordon, (1994) The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Graduate Studies in Mathematics, Volume 4, American Mathematical Society.

Tuo-Yeong Lee, (2004) Some full Characterizations of the Strong McShane Integral, Mathematica Bohemica, 129(3), 305-312.