BAB VIII
BAB VIII
DISTRIBUSI PELUANG
DISTRIBUSI PELUANG
1. 1. PENDAHULUANPENDAHULUANKetika melakukan undian dengan sebuah mata uang yang homogin kita Ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang yang homogin kita dapatkan P (muka G)
dapatkan P (muka G) = P (muka H) = ½. = P (muka H) = ½. Kalau dihitung banyak Kalau dihitung banyak muka G yangmuka G yang nampak, maka muka H = 0 G dan muka G = 1 G. Kalau banyak muka G kita beri nampak, maka muka H = 0 G dan muka G = 1 G. Kalau banyak muka G kita beri simbul X, maka untuk muka H berlaku X = 0 dan untuk muka G berlaku X = 1. simbul X, maka untuk muka H berlaku X = 0 dan untuk muka G berlaku X = 1. Didapat notasi baru untuk peluang, yaitu: P(X = 0) = ½ dan P(X = 1) =
Didapat notasi baru untuk peluang, yaitu: P(X = 0) = ½ dan P(X = 1) = ½.½.
Kalau undian itu dilakukan dengan menggunakan dua buah mata uang, Kalau undian itu dilakukan dengan menggunakan dua buah mata uang, maka peristiwa yang terjadi adalah: GG, GH, HG, HH. Dengan Rumus VII(6), maka peristiwa yang terjadi adalah: GG, GH, HG, HH. Dengan Rumus VII(6), didapat P(GG) = P(GH) = P(HG) = (P(HH) = ¼.
didapat P(GG) = P(GH) = P(HG) = (P(HH) = ¼.
Jika X menyatakan banyak muka G, maka X = 0,1,2. Sehingga P(X = 0) = ¼, Jika X menyatakan banyak muka G, maka X = 0,1,2. Sehingga P(X = 0) = ¼, P(X =
P(X = 1) = ½ 1) = ½ dan P(X dan P(X = 2) = = 2) = ¼. ¼. Dalam hal ini Dalam hal ini didapat tabel didapat tabel berikut:berikut:
X P(X) X P(X) 0 0 1 1 2 2 ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ Jumlah 1 Jumlah 1
Dalam hal melakukan undian dengan tiga buah mata uang, maka Dalam hal melakukan undian dengan tiga buah mata uang, maka semuanya ada 8 peristiwa, ialah: GGG, GGH, GHG, HGG, HHG, HGH, GHH, semuanya ada 8 peristiwa, ialah: GGG, GGH, GHG, HGG, HHG, HGH, GHH, HHH.
HHH.
Dengan Rumus VII(3), didapat peluang tiap peristiwa = 1/8. Dinyatakan Dengan Rumus VII(3), didapat peluang tiap peristiwa = 1/8. Dinyatakan dengan simbul X = banyak muka G yang nampak, maka X = 0, 1, 2, 3. Didapat dengan simbul X = banyak muka G yang nampak, maka X = 0, 1, 2, 3. Didapat P(X = 0) = 1/8, P(X = 1) = 3/8, P(X = 2) = 3/8 dan P(X = 3) = 1/8. Jika hasil ini P(X = 0) = 1/8, P(X = 1) = 3/8, P(X = 2) = 3/8 dan P(X = 3) = 1/8. Jika hasil ini disusun dalam sebuah tabel diperoleh:
X P(X) X P(X) 0 0 1 1 2 2 3 3 1/8 1/8 3/8 3/8 3/8 3/8 1/8 1/8 Jumlah 1 Jumlah 1
Proses ini dapat diteruskan untuk undian dengan empat mata uang, lima mata Proses ini dapat diteruskan untuk undian dengan empat mata uang, lima mata uang dan seterusnya.
uang dan seterusnya.
Simbul X di atas, yang memiliki peluang, bersifat variabel dan hanya Simbul X di atas, yang memiliki peluang, bersifat variabel dan hanya memiliki harga-harga 0, 1, 2, 3, ... Variabel berharga demikian, dimana untuk memiliki harga-harga 0, 1, 2, 3, ... Variabel berharga demikian, dimana untuk tiap harga variabel terdapat nilai peluangnya, disebut
tiap harga variabel terdapat nilai peluangnya, disebut variabel acak diskrit.variabel acak diskrit.
Dalam kedua tabel di atas jumlah peluang selalu sama dengan satu. Dalam kedua tabel di atas jumlah peluang selalu sama dengan satu. Apabila semua ini terjadi, maka dikatakan bahwa
Apabila semua ini terjadi, maka dikatakan bahwa distribusi peluang untuhdistribusi peluang untuh variabel acak X
variabel acak X telah terbentuk.telah terbentuk. Jadi
Jadi : : variabel acak variabel acak diskrit X diskrit X menentukan menentukan distribusi peluang distribusi peluang apabila untuk apabila untuk nilai- nilai-nilai X = x
nilai X = x11, x, x22, ...., x, ...., xnn terdapat peluang p(x terdapat peluang p(xii) = P(X = x) = P(X = xii) sehingga) sehingga
VIII(1) ...
VIII(1) ...
∑∑
p (x) disebutp (x) disebut fungsi peluang fungsi peluanguntuk variabel acak X pada harga X = x/untuk variabel acak X pada harga X = x/
Untuk sebuah variabel acak kita dapat menentukan, jika ada, Untuk sebuah variabel acak kita dapat menentukan, jika ada, ekspektasinya. Rumusnya adalah:
ekspektasinya. Rumusnya adalah:
VIII(2) ...
VIII(2) ...
∑∑
di manadi mana εε (X) = ekspektasi untuk variabel acak X dan penjumlahan dilakukan (X) = ekspektasi untuk variabel acak X dan penjumlahan dilakukan untuk semua harga X
untuk semua harga X yang mungkin.yang mungkin.
X P(X) X P(X) 0 0 1 1 2 2 3 3 1/8 1/8 3/8 3/8 3/8 3/8 1/8 1/8 Jumlah 1 Jumlah 1
Proses ini dapat diteruskan untuk undian dengan empat mata uang, lima mata Proses ini dapat diteruskan untuk undian dengan empat mata uang, lima mata uang dan seterusnya.
uang dan seterusnya.
Simbul X di atas, yang memiliki peluang, bersifat variabel dan hanya Simbul X di atas, yang memiliki peluang, bersifat variabel dan hanya memiliki harga-harga 0, 1, 2, 3, ... Variabel berharga demikian, dimana untuk memiliki harga-harga 0, 1, 2, 3, ... Variabel berharga demikian, dimana untuk tiap harga variabel terdapat nilai peluangnya, disebut
tiap harga variabel terdapat nilai peluangnya, disebut variabel acak diskrit.variabel acak diskrit.
Dalam kedua tabel di atas jumlah peluang selalu sama dengan satu. Dalam kedua tabel di atas jumlah peluang selalu sama dengan satu. Apabila semua ini terjadi, maka dikatakan bahwa
Apabila semua ini terjadi, maka dikatakan bahwa distribusi peluang untuhdistribusi peluang untuh variabel acak X
variabel acak X telah terbentuk.telah terbentuk. Jadi
Jadi : : variabel acak variabel acak diskrit X diskrit X menentukan menentukan distribusi peluang distribusi peluang apabila untuk apabila untuk nilai- nilai-nilai X = x
nilai X = x11, x, x22, ...., x, ...., xnn terdapat peluang p(x terdapat peluang p(xii) = P(X = x) = P(X = xii) sehingga) sehingga
VIII(1) ...
VIII(1) ...
∑∑
p (x) disebutp (x) disebut fungsi peluang fungsi peluanguntuk variabel acak X pada harga X = x/untuk variabel acak X pada harga X = x/
Untuk sebuah variabel acak kita dapat menentukan, jika ada, Untuk sebuah variabel acak kita dapat menentukan, jika ada, ekspektasinya. Rumusnya adalah:
ekspektasinya. Rumusnya adalah:
VIII(2) ...
VIII(2) ...
∑∑
di manadi mana εε (X) = ekspektasi untuk variabel acak X dan penjumlahan dilakukan (X) = ekspektasi untuk variabel acak X dan penjumlahan dilakukan untuk semua harga X
untuk semua harga X yang mungkin.yang mungkin.
Contoh:
Contoh: Pengamatan mempPengamatan memperlihatkan bahwa erlihatkan bahwa banyak kbanyak kendaraan yang endaraan yang melaluimelalui sebuah tikungan setiap menit menyikuti distribusi peluang sebagai sebuah tikungan setiap menit menyikuti distribusi peluang sebagai berikut: berikut: Banyak Banyak Kendaraan Kendaraan 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 88 Peluang Peluang 0,01 0,01 0,05 0,05 0,10 0,10 0,28 0,28 0,22 0,22 0,18 0,18 0,08 0,08 0,05 0,05 0,030,03
Mudah dilihat bahwa peluang dalam satu menit paling sedikit ada 3 Mudah dilihat bahwa peluang dalam satu menit paling sedikit ada 3 kendaraan yang melalui tikungan itu = 1- (0,01 + 0,05 + 0,10) = 0,84.
kendaraan yang melalui tikungan itu = 1- (0,01 + 0,05 + 0,10) = 0,84.
Dengan Rumus VIII(2), diperoleh bahwa rata-rata tiap menit terdapat kendaraan Dengan Rumus VIII(2), diperoleh bahwa rata-rata tiap menit terdapat kendaraan yang melalui tikungan itu sebanyak:
yang melalui tikungan itu sebanyak:
(0)(0,01) + (1)(0,05) + (2)(0,10) + (3)(0,28) + (4)(0,22) + (5)(0,18) + (6)(0,08) + (0)(0,01) + (1)(0,05) + (2)(0,10) + (3)(0,28) + (4)(0,22) + (5)(0,18) + (6)(0,08) + (7)(0,05) + (8)(0,03) = 3,94.
(7)(0,05) + (8)(0,03) = 3,94.
Atau terdapat 394 kendaraan setiap 100 menit. Atau terdapat 394 kendaraan setiap 100 menit.
Variabel acak yang tidak diskrit disebut
Variabel acak yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinu.variabel acak kontinu. BeberapaBeberapa diantaranya misalnya untuk menyatakan waktu dan hasil pengukuran. Variabel ini diantaranya misalnya untuk menyatakan waktu dan hasil pengukuran. Variabel ini dapat mempunyai setiap harga. Jadi, jika X = vari
dapat mempunyai setiap harga. Jadi, jika X = variabel acak kontinu, maka harga Xabel acak kontinu, maka harga X =
= x x dibatasi dibatasi oleh oleh - - ~ ~ < < x x ~ ~ atau atau batas-batas batas-batas lain.lain.
,Jlka X sebuah variabel acak kontinu, maka kita mempunyai
,Jlka X sebuah variabel acak kontinu, maka kita mempunyai fungsi fungsi densitas densitas f f (x)(x) yang dapat menghasilkan peluang untuk harga-harga x. Dalam hal ini berlaku*): yang dapat menghasilkan peluang untuk harga-harga x. Dalam hal ini berlaku*):
VIII(3) ...
VIII(3) ...
∫∫
Untuk menentukan peluang bahwa harga X = x antara a dan b misalnya, Untuk menentukan peluang bahwa harga X = x antara a dan b misalnya, maka digunakan rumus:
maka digunakan rumus:
VIII(4) ...
Ekspektasi untuk variabel acak kontinu X ditentukan oleh :
VIII(5) ...
∫
Contoh: Masa pakai, dinyatakan dengan X, untuk semacam alat dapat dilukiskan oleh fungsi densistas eksponensial dengan persamaan:
⁄
⁄
, x ≥ 0, dalam bulan dan e = 2,7183Tentukan peluang sebuah alat demikian yang dapat dipakai selama: a) antara 3 dan 3½ bulan,
b) lebih dari 3 bulan,
c) tentukan pula rata-rata masa pakainya
Jawab:
a) Dengan Rumus VIII(4), maka :
P (3 < X < 3½) =
∫
⁄
⁄
⁄
= -e -1,75+ e -1,5 = - 0,1738 + 0,2231 = 0,0493Harga-harga e-λ untuk beberapa harga λ (baca: lambda), dapat ditemukan dalam Lampiran, Daftar D.
Peluang masa pakai alat antara 3 dan 3½ bulan ialah 0,0493.
b) Dengan Rumus VIII(4) dengan a = 3 dan b =
maka P (3 < X <
) =∫
⁄
⁄
= -0 + e-1,5 = 0,2231
Peluang masa pakai lebih dari 3 bulan ialah 0,2231.
c) Dengan Rumus VIII(5), karena x ≥ 0, maka
=∫
⁄
∫
⁄
Pukul rata masa pakai alat itu selama 2 bulan.2. DISTRIBUSI BINOM
Perhatikan sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa A dan bukan A, atau
̅
, dengan P(A) = π = peluang terjadinya peristiwa A.Jika pada tiap percobaan dalam eksperimen itu, π = P(A) tetap harganya, maka percobaan yang berulang-ulang dari eksperimen itu dinamakan percobaan Bernoulli. Sekarang lakukan percobaan Bernoulli sebanyak N kali secara
independen, X diantaranya menghasilkan peristiwa A dan sisanya (N - X) peristiwa
̅
. Jika π = P(A) untuk tiap percobaan, jadi 1- π = P( ̅
), maka peluangterjadinya peristiwa A sebanyak X = x kali di antara N, dihitung oleh:
VIII(6) ...
dengan x = 0, 1, 2, . . . , N, 0 < π < 1, danVIII(7) ...
dengan N! = 1 X 2 X 3 X ... X (N — 1) X N dan 0! = 1! = 1 (N ! dibaca N faktorial).
Hubungan yang dinyatakan dalam Rumus VIII(6) merupakan distribusi dengan variabel acak diskrit dan dinamakan distribusi binom, dengan Rumus VIII(7) merupakan hoefisien binom. Beberapa harga koefisien binom dapat ditemukan dalarp, Lampiran, Daftar C.
Jelas bahwa menurut Rumus VIII(1), di sini tentulah berlaku ∑ p(x) = 1 dengan penjumlahan dilakukan untuk semua harga x = 0, 1, .... , N.
Distribusi binom ini mempunyai Parameter; diantaranya yang akan kita gunakan ialah rata-rata µ dan simpangan baku σ. Rumusnya adalah :
VIII(8) ...
dengan pengertian bahwa parameter ini ditinjau dari peristiwa A. Beberapa cpntoh:
1) Peluang untuk mendapatkan 6 muka G ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang homogin sebanyak 10 kali adalah:
( )
( )
= (210) (½)10 = 0,2050 dengan X = jumlah muka G yang nampak.2) Lakukan undian dengan menggunakan 10 buah dadu homogin sekaligus. Berapa peluang nampaknya mata 6 sebanyak 8 buah?
Kita tahu bahwa π = P (mata 6) = 1/6 dan dalam hal ini N = 10, X = 8, dengan X berarti muka bermata 6 nampak di sebelah atas. Maka:
P (X = 8) =
(1/6)8(5/6)2 = 0,000015.Ini berarti dalam undian dengan 10 dadu akan diperoleh mata 6 sebanyak 8 kali, terjadi kira-kira 15 dari tiap sejuta.
3) 10% dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A.
Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A:
a) semuanya, b) sebuah,
c) dua buah,
d) paling sedikit sebuah, e) paling banyak dua buah,
f) tentukan rata-rata terdapatnya kategori A.
Penyelesaian:
a) Kita artikan X = banyak benda kategori A. Maka π = peluang benda termasuk kategori A = 0,10.
P (X = 30) =
(0,10)30 (0,90)0 = 10-30sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol.
b) Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1. P(X = 1) =
(0,10)1 (0,90)29= 0,1409.Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A adalah 0,1409.
c) Di sini X = 2, sehingga:
P(X = 2) =
(0,10)2 (0,90)28 = 0,2270d) Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti X = 1, 2, 3, ... 30. Jadi perlu P(X = 1) + P(X = 2) + . . . + P(X = 30). Tetapi P(X = 0) + P(X1) + ... + P(X = 30) = 1, sehingga yang dicari adalah 1 — P(X = 0).
Sekarang P(X = 0) =
(0,10)0 (0,90)30 = 0,0423Peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A adalah 1 - 0,0423 = 0,9577.
e) Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti X =0,.1,2. Perlu dicari
P(X0) + P(X = 1) + P(X = 2). Di atas, semuanya ini telah dihitung. Hasilnya = 0,0423 + 0,1409 + 0,2270 = 0,4102.
f) Dengan Rumus VIII(8), didapat µ = 30(0,1) = 3.
Rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang terdiri atas 30 buah.
3. DISTRIBUSI MULTINOM
Perluasan dari distribusi binom ialah distribusi multinom. Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa E1, E2, ... Ek dengan peluang π1 =
P(E2), ... πk = P(Ek ) dengan π1+ π2 + .... + πk = 1.
Terhadap eksperimen ini kita lakukan percobaan sebanyak N kali. Maka peluang akan terdapat x, peristiwa E I , x2 peristiwa E2, - - - , xk peristiwa Ei, di antara N, ditentukan oleh distribusi multinom
VIII(9) ... p (x1, x2, ...., xk ) =
Dengan x1 + x2 + .... + xk = N dan π1 + π2 + ... + πk = 1, sedang 0 < π1 < 1, i = 1, 2,
..., k.
Ekspektasi terjadinya tiap peristiwa El, E2, ... , Ek dalam peristiwa multinom,
berturut-turut adalah, Nπ1, Nπ2, ...., Nπk sedangkan variansnya masing-masing
Nπ1 (1 – π1), Nπ2 (1 – π2), .... , Nπk (1 – πk ).
Contoh: 1) Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang didapat mata 1, mata 2, mata 6 masing-masing tepat dua kali adalah
(1/6)2 (1/6)2 (1/6)2 (1/6)2 (1/6)2 (1/6)2(1/6)2= 0,0034.
2) Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 oleh mesin B dan 5 oleh mesin C. Kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai barang tersebut sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas Mesinnya dilihat, lalu disimpan kembali ke dalam kotak. Tentukan peluang di antara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian didapat 1 dari mesin A,
Jawab: Jelas bahwa P (dari mesin A) =
, P (dari mesin B)
dan P (dari mesin C) =
Dengan Rumus VIII(9) didapat:
P(1 dari mesin A dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C). =
= 0,12064. DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
Misalkan ada sebuah populasi berukuran N diantaranya terdapat D buah termasuk kategori tertentu. Dari populasi ini sebuah sampel acak diambil berukuran n. Pertanyaan yang timbul ialah: berapa peluang dalam sampel itu
terdapat x buah termasuk kategori tertentu itu?
Jawabnya ditentukan oleh distribusi hipergeometrik di bawah ini:
VIII(10) ... p (x) =
() (
)
()
dengan x = 0, 1, 2, . . . , n dan faktor-faktor di rugs kanan ditentukan oleh Rumus VIII(7) dengan beberapa harga diberikan dalam Lampiran, Daftar C.
Rata-rata distribusi hipergeometrik adalah µ = nD/N.
Contoh: Sekelompok manusia terdiri atas 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang.
Berapa peluangnya di antara 5 orang tadi: a) tidak terdapat yang lahir tanggal 1 Januari
b) terdapat tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari?
Penyelesaian:
a) Ambil x = banyak orang di antara n = 5 yang lahir pada tanggal 1 Januari. Maka dengan N = 50, D = 3, Rumus VIII(10) memberikan:
= 0,724Peluangnya adalah 0,7.24 bahwa kelima orang itu tidak lahir pada tanggal 1 Januari.
b) Tidak lebih dari seorang yang lahir pada 1 Januari, berarti x = 0 dan x = 1. p(0) sudah dihitung di atas.
= 0,253Sehingga peluang paling banyak seorang diantara 5 orang itu yang lahir pada 1 Januari adalah 0,724 + 0,253 = 0,977.
5. DISTRIBUSI POISSON
Variabel acak diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson jika fungsi peluangnya berbentuk:
VIII(11) ... p (x) = P(X = x) =
dengan x = 0, 1, 2, 3, . . . , sedangkan e = sebuah bilangan konstan yang jika dihitung hingga 4 desimal e = 2,7183 dan λ (baca: lambda) = sebuah bilangan tetap.
Harga-harga e-λ dapat ditemukan dalam Lampiran, Daftar D. Ternyata bahwa distribusi Poisson ini mempunyai parameter:
VIII(12) ... µ =
λ
σ =
Distribusi Poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat jarang.
Beberapa contoh:
1) Banyak orang yang lewat melalui muka pasar setiap hari, tetapi sangat jarang terjadi seseorang yang menemukan barang hilang dan mengembalikannya kepada si pemilik atau melaporkannya kepada polisi.
2) Dalam tempo setiap 5 menit, operator telepon banyak menerima permintaan nomor untuk disambungkan, diharapkan jarang sekali terjadi salah sambung. 3) Misalkan rata-rasa ada 1,4 orang buta huruf untuk setiap 100 orang. Sebuah
sampel berukuran 200 telah diambil.
Jika x = banyak buta huruf per 200 orang, maka untuk kita sekarang λ = 2,8. Peluangnya tidak terdapat yang buta huruf adalah:
= e-2,8 = 0,0608Sedangkan peluang terdapatnya yang buta huruf sama dengan 0,9392.
Distribusi Poisson dapat pula dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binom. Jika dalam hal distribusi binom, N cukup besar sedangkan π = peluang terjadinya peristiwa A, sangat dekat kepada nol sedemikian sehingga λ = Np tetap, maka distribusi binom seperti tertera dalam Rumus VIII(6) sangat baik diiekati oleh distribusi Poisson yang tertera dalam Rumus VIII(11). Untuk penggunaannya, sering dilakukan pendekatan ini jika N ≥ 50 sedangkan Np < 5.
Contoh: Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik besarnya 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan peluang yang
mendapat reaksi buruk: a) tidak ada
b) ada 2 orang
c) lebih dari 2 orang, dan
d) tentukan ada berapa orang diharapkan yang akan mendapat reaksi buruk.
Penyelesaian:
a) Dengan menggunaka,n pendekatan distribusi Poisson kepada distribusi binom, maka
λ = Np = 4000 X 0,0005 = 2.
Jika X = banyak orang yang mendapat reaksi buruk akibat suntikan itu, maka:
= 0,1353b) Dalam hal ini X = 2, sehingga:
= 0,2706Peluang ada dua orang mendapat reaksi buruk ialah 0,2706.
c) Yang menderita reaksi buruk lebih dari 2 orang, ini berarti X = 3, 4, 5, Tetapi p(0) + p(1) + p(3) + ... = 1, maka p(3) + p(4) + .... = 1 - p(0) - p(1) - p(2).
Harga-harga p(0) dan p(2) sudah dihitung di atas.
= 0,2706Peluang yang dicari adalah 1 - (0,1353 + 0,2706 + 0,2706) = 0,3235.
d) Ini tiada lain diminta menentukan rata-rata λ . Di atas sudah dihitung λ = 2.
6. DISTRIBUSI NORMAL
Macam-macam distribusi yang dibicarakan di atas, semua variabel acaknya bersifat diskrit. Sekarang kita alihkan perhatian kita kepada distribusi dengan variabel acak kontinu. Distribusi dengan variabel acak kontinu yang pertama kali kita bicarakan di sini ialahdistribusi normal atau pula sering disebut
distribusi Gauss. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling penting dan banyak digunakan.
Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan:
VIII(13) ...
dengan: π = nilai konstan yang bila d;tulls hingga 4 desimal π = 3,1416. e = bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183 µ = parameter, ternyata merupakan rata-rata untuk distribusi
σ = parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi
dan nilai x mempunyai batas -
< x <
, maka dikatakan bahwa variabel acak X berdistribusi normal.Sifat-sifat penfihg distribusi normal:
1) grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x. 2) bentuknya simetrik terhadap x = µ
3) mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada x = µ sebesar
4) grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai 0 dari x = µ+ 3σ
ke kanan dan x = µ - 3σ ke kiri.
5) luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.
Untuk tiap pasang µ dan σ, sifat-sifat di atas selalu dipenuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar, kurvanya makin rendah (platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).
Gambar VIII(1) memperiihatkan dua kurva normal. (A) kurva normal dengan µ =
10 dan σ = 5, sedangkan (B) kurva normal dengan µ = 20 dan σ = 7.
Hubungan dalam Rumus VIII(3), halaman 128 berlaku di sini dan ini tiada lain daripada sifat 5) di muka. Jadi:
VIII(14) ...
∫ ( )
Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni P (a < X < b), digunakan Rumus VIII(4), sehingga:
VIII(15) ... P (a < X < b) =
∫ ( )
Untuk penggunaan praktis, untunglah rumus-rumus di atas tak perlu dirisaukan, karena sebuah daftar telah disusun untuk keperluan dimaksud. Daftar itu ialah daftar distribusi normal standar atau normal baku yang diberikan dalam Lampiran, Daftar F. Distribusi normal standar ialah distribusi normal dengan rata-rata µ= 0 dan simpangan baku σ = 1. Fungsi densitasnya berbentuk:
VIII(16) ...
untuk z dalam daerah —
< z <
.Mengubah distribusi normal umum dalam Rumus VIII(13) menjadi distribusi normal baku dalam Rumus VIII(16) dapat ditempuh dengan menggunakan transformasi:
VIII(17) ...
Perubahan grafiknya dapat dilihat dalam Gambar VIII(2) berikut ini.
rata-rata = µ ≠ 0
simpangan baku = σ ≠ 1
Setelah kita memiliki distribusi normal baku yang didapat dari distribusi normal umum dengan transformasi Rumus, VIII(17), maka daftar distribusi normal baku dapat digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari. Caranya adalah:
1) hitung z sehingga dua desimal.
2) gambarkan kurvanya seperti gambar sebelah kanan pada Gambar VIII(2). 3) letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong
kurva.
4) luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak'di titik nol.
5) dalam daftar, Daftar F, Lampiran, cari tempat harga z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan desimal keduanyd dicari pada baris paling atas. 6) dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang didapat harus ditulis dalam bentuk 0, x x x x (bentuk 4 desimal).
Karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik terhadap µ = 0, maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5.
Beberapa contoh, penggunaan daftar normal baku. Akan dicari luas daerah:
1) antara z = 0 dan z = 2,15.
Gunakan Daftar F, dalam Lampiran. Di bawah z pada, kolom kiri cari 2,1 dan di atas sekali angka 5. Dari 2,1 maju ke kanan dan dari 5 menurun, didapat 4842.
Luas daerah yang dicari, lihat daerah yang diarsir, = 0,4842.
2) antara z = 0 dan z = -1,86
Karena z bertanda negatif, maka pada grafiknya diletakkan di sebelah kiri 0. Untuk daftar digunakan z = 1,86. Di bawah z kolom kiri dapatkan 1,8 dan di
atas angka 6.
Dari 1,8 ke kanan dan dari 6 ke bawah didapat 4686. Luas daerah = daerah diarsir = 0,4686
3) antara z = — 1,50 dan z = 1,82.
Dari grafik terlihat bahwa kita perlu mencari luas dua kali, lalu dijumlahkan. Mengikuti cara di 1) untuk z = 1,82 dan cara di 2) untuk z = - 1,50, masing-masing didapat 0,4656 dan 0,4332
Jumlahnya = luas yang dicari 0,4332 + 0,4656 = 0,8988,
4) antara z = 1,40 dan z = 2,65
Yang dicari adalah luas dari z = 0 sampai ke z = 2,65 dikurangi luas dari z = 0 sampai ke z = 1,40. Dengan cara yang dijelaskan di atas masing-masing didapat 0,4960 dan 0,4192. Luas yang dicari = 0,4960 - 0,4192 = 0,0768.
5) dari z = 1,96 ke kiri
Luasnya sama dengan dari z = 0 ke kiri (= 0,5) ditambah luas dari z = 0 sampai ke z = 1,96.
Untuk z = 1,96 dari daftar didapat 0,4750. Luas = 0,5 + 0,4750 = 0,9750.
6) dari z = 1,96 ke kanan.
Dari Gambar VIII(7) dapat dilihat bahwa yang dicari merupakan daerah yang
tidak diarsir. Ini sama dengan luas dari z = 0 ke kanan (=0,5) dikurangi luas dari z = 0 sampai ke z = 1,96 yang besarnya 0,4750.
Untuk mencari kembali z apabila luasnya diketahui, maka dilakukan langkah sebaliknya. Misalnya, jika luas = 0,4931, maka dalam badan daftar dicari 4931 lalu menuju ke pinggir sampai pada kolom z, didapat 2,4 dan menuju ke atas sampai batas z didapat 6. Harga z = 2,46.
Beberapa bagian luas untuk distribusi normal umum dengan rata-rata µ dan simpangan buku σ tertentu dengan mudah dapat ditentukan. Tepatnya, jika sebuah fenomena berdistribusi normal, maka dari fenomena itu.,
1) kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara µ - σ dan µ + σ.
2) ada 95,45% dari kasus terletual: dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara µ - 2σ dan µ + 2
.3) hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara µ - 3σ dan µ + 3σ.
Sebuah contoh soal:
Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan ada:
a) berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gram ?
b) berapa bayi yang beratnya antara 3.500 gram dan 4.500 gram, jika semuanya ada 10.000 bayi?
c) berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram jika semuanya ada 10.000 bayi?
d) berapa bayi yang beratnya 4.250 gram jika semuanya ada 5.000 bayi?
Penyelesaian:
Dengan X = berat bayi dalam gram, µ= 3.750 gram, σ = 325 gram, maka: a) dengan transformasi Rumus V111(17) untuk X = 4.500:
z =
= 2,31Berat yang lebih dari 4.500 gram, pada grafiknya ada di sebelah kanan z = 2,31.
Luas daerah ini = 0,5 - 0,4896 = 0,0104. Jadi ada 1,04% dari bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gram
b) dengan X = 3.500 dan X = 4.500 didapat : z =
= -0,77 dan z = 2,31Luas daerah yang perlu = daerah yang diarsir = 0,2794 + 0,4896 = 0,7690. Banyak bayi yang beratnya antara 3.500 gram dan 4.500 gram diperkirakan ada (0,7690)(10.000) = 7.690.
c) beratnya lehih kecil atau sama dengan 4.000 gram, maka beratnya harus lebih kecil dari 4.000,5 gram
z =
= 0,77Peluang berat bayi lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram = 0,5 + 0,2794 = 0,7794.
Banyak bayi = (0,7794)(10.000) = 7794
d) berat 4,250 gram berarti berat antara 4.249,5 gram dan 4.250,5 gram. Jadi untuk X = 4.249,5 dan X = 4.250,5 didapat:
z =
= 1,53 z =
= 1,54Luas daerah yang perlu = 0,4382 - 0,4370 = 0,0012. Banyak bayi = (0,0012)(5.000) = 6.
Antara distribusi binom dan distribusi normal terdapat hubungan tertentu. Jika untuk fenomena yang berdistribusi binom berlaku:
a) N cukup besar,
b) π = P(A) = peluang peristiwa A terjadi, tidak terlalu dekat kepada nol, maka distribusi binom dapat didekati oleh distribusi normal dengan rata-rata µ = Nπ
dan simpangan baku σ =
√
Untuk pembakuan, agar daftar distribusi normal bake dapat dipakai, maka digunakan transformasi:
VIII(18) ...
√
dengan X = variabel acak diskrit yang menyatakan terjadinya peristiwa A. Karena di sini telah mengubah variabel acak diskrit dari distribusi binom menjadi variabel acak kontinu dalam distribusi normal, maka nilai-nilai X perlu mendapat penyesuaian. Yang dipakai ialah dengan jalan menambah atau mengurangi
dengan 0,5.
Pendekatan distribusi binom oleh distribusi normal sangat berfaedah, antara lain untuk mempermudah perhitungan.
Contoh: 10% dari penduduk tergolong kategori A.
Sebuah sampel acak terdiri atas 400 penduduk telah diambil. Tentukan peluangnya akan terdapat:
a) paling banyak 30 orang tergolong kategori A, b) antara 30 dan 50 orang tergolong kategori A.
c) 55 orang atau lebih termasuk kategori A.
Penyelesaian:
Soal ini merupakan soal distribusi binom. Tetapi lebih cepat dan mudah bila diselesaikan dengan distribusi normal. Kita ambil X = banyak penduduk
termasuk kategori A.
Maka dari segi X ini, didapat: µ = 0,1 X 400 orang = 40 orang.
a) Paling banyak 30 orang dari kategori A, berarti X = 0, 1, 2, .... , 30. Melakukan penyesuaian terhadap X, maka sekarang X menjadi - 0,5 < X < 30,5, sehingga:
dan
Luas daerah yang diarsir adalah 0,5 - 0,4429 = 0,0571. Peluangnya terdapat paling hanyak 30 orang termasuk kategori A adalah 0,0571
b) Untuk distribusi normal, di sini berlakti 30,5 < X < 49,5. Bilanyan standar z-nya
z1 =
= -1,58 dan z2 =
= + 1,58Dari daftar distribusi normal baku terdapat peluang yang ditanyakan = 2(0,4429) = 0,8858.
c) 55 orang atau lebih untuk distribusi broom memberikan X > 54,5 untuk distribusi normal.
Maka : z =
= 2,42sehingga kita perlu luas daerah dari z = 2,42 ke kanan.
Dari daftar distribusi normal baku didapat peluang yang dicari 0,5 — 0,4922 = 0,0078.
7. DISTRIBUSI STUDENT
Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya, selain dari distribusi normal, ialah distribusi Student ataudistribusi t. Fungsi densitasnya adalah:
Berlaku untuk harga-harga t yang memenuhi - ∞ < t < ∞ dan K merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian sehingga luas daerah
di bawah kurva sama dengan satu unit.
Pada distribusi t ini terdapat bilangan ( n – 1 ) yang dinamakan derajat kebebasan, akan disingkat dengan dk.
Jika sebuah populasi mempunyai model dengan persamaan seperti dalam Rumus VIII(19), maka dikatakan populasi itu berdistribusi t dengan dk = ( n – 1 ).
Bentuk grafiknya seperti grafik distribusi normal baku, simetrik terhadap t = 0, sehingga sepintas lalu hampir tak ada bedanya. Untuk harga-harga n yang besar, biasanya n ≥ 30, distribusi t mendekati distribusi normal baku seperti dalam
Rumus VIII(16).
Untuk perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah disusun seperti dapat ditemukan dalam Lampiran, Daftar G. Daftar tersebut berisikan nilai-nilai t untuk dk dan peluang tertentu. Kolom paling kiri, kolom dk, berisikan derajat kebebasan, baris teratas berisikan nilai peluang,
Untuk penggunaan Daftar G, perhatikan Gambar VIII(12). Gambar ini merupakan grafik distribusi t dengan dk = v (baca : nu) dimana v = ( n – 1 ). Luas bagian yang diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh t p. Harga t p inilah yang
dicari dari daftar untuk pasangan v dan p yang diberikan.
Beberapa contoh penggunaan daftar distribusi t.
1) Untuk n = 13, jadi dk = 12, dan p = 0,95 maka t = 1,78.
Ini didapat (lihat Daftar G dalam Lampiran) dengan jalan maju ke kanan dari 12 dan menurun dari 0,95.
2) Untuk n = 16, tentukan t supaya luas yang diarsir = 0,95. Dari grafik dapat dilihat bahwa luas ujung kanan dan luas ujung kiri = 1 – 0,95 = 0,05. Kedua ujung ini sama luas, jadi luas ujung kanan, mulai dari t ke kanan = 0,25. Mulai dari t ke kiri luasnya = 1 – 0,025 = 0,975. Harga p inilah yang dipakai untuk daftar.
0,975 kita menurut, didapat t = 2,13. Jadi antara t = - 2,13 dan t = 2,13 luas yang diarsir = 0,95.
3) Tentukan t sehingga luas dari t ke kiri = 0,05 dengan dk = 9. Untuk ini p yang digunakan = 0,95. Dengan dk = 9 didapat t = 1,83. Karena yang diminta kurang dari 0,5 maka t harus
4) bertanda negatif. Jadi t = - 1,83.
8. DISTRIBUSI CHI KUADRAT
Distribusi chi kuadrat merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu. Simbol yang dipakai untuk chi kuadrat ialah X2 (baca : ci kuadrat).
Persamaan distribusi chi kuadrat adalah :
⁄
dengan u = X2 untuk memudahkan menulis, dan harga u > 0, v = derajat kebebasan, K = bilangan tetap yang bergantung pada v, sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu satuan luas dan e = 2,7183.
Grafik distribusi chi kuadrat umumnya merupakan kurva positif, yaitu miring ke kanan. Kemiringan ini makin berkurang jika derajat kebebasan v makin besar.
Untuk perhitungan, daftar distribusi chi kuadrat telah disiapkan dan dapat dilihat dalam Lampiran, Daftar H.
Gambar VIII(14) memperlihatkan grafik distribusi chi kuadrat secara umum dengan dk = v. Daftar H berisikan harga-harga X2 untuk pasangan dk dan peluang p yang besarnya tertentu. Peluang p terdapat pada baris paling atas dan dk v ada pada kolom paling kiri.
Luas daerah yang diarsir sama dengan peluang p, yaitu luas dari X2 p ke sebelah
Beberapa contoh penggunaan daftar distribusi Chi-kuadrat
1) Untuk mencari X2 dengan p = 0,95 dan derajat kebebasan v = 14, maka (lihat Daftar H, Lampiran) di kolom kiri cari bilangan 14 dan di baris atas 0,95. Dari 14 maju ke kanan dan dari 0,95 menurun, didapat X2 = 23,7.
2) Gambar VIII(15) adalah grafik distribusi X2 dengan dk = 9.
a) Jika luas daerah yang diarsis sebelah kanan = 0,05, maka X2 = 16,9. Ini didapat dari dk = 9 dan p = 0,95.
b) Jika luas daerah yang diarsis sebelah kiri = 0,025, maka X2 = 2,70. Didapat dari dk = 9 dan p = 0,025.
c) Untuk jumlah luas yang diarsis = 0,05, bisa terjadi banyak hal. Karena distribusi X2 tidak simetrik, maka luas ujung daerah kanan bisa 0,04 dan luas ujung daerah kiri 0,01; atau ujung kanan 0,03 dan ujung kiri 0,02 dan seterusnya. Dalam beberapa hal, kecuali dinyatakan lain, biasa diambil luas daerah ujung kanan sama dengan luas daerah ujung kiri. Dalam hal ini masing-masing 0,025. Untuk luas ujung kiri 0,025 dengan
v = 9, maka X21 = 2,70. Untuk luas ujung kanan 0,025 kita pakai p =
0,975 dengan v = 9. Didapat X22= 19,0.
9. DISTRIBUSI F
Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu. Fungsi densitasnya mempunyai persamaan :
Dengan variabel acak F memenuhi batas F > 0, K = bilangan tetap yang harganya bergantung pada v1 dan v2 sedemikian sehingga luas dibawah kurva sama dengan
satu, v1 = dk pembilang dan v2 = dk penyebut.
Jadi distribusi F ini mempunyai dua buah derajat kebebasan. Grafik distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif. Seperti juga distribusi lainnya, untuk keperluan perhitungan dengan distribusi F, daftar distribusi F telah disediakan
seperti dapat ditemukan dalam Lampiran, Daftar I. Daftar tersebut berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan derajat kebebasan v1 dan v2. Peluang
ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang diarsir, sedangkan dk = v1ada pada
baris paling atas dan dk =v2 pada kolom paling kiri.
Untuk tiap pasang dk, v1dan v2, daftar berisikan harga-harga F dengan kedua luas
daerah ini (0,01 atau 0,05).
Untuk tiap dk = v2, daftar terdiri atas dua baris, yang atas untuk peluang p = 0,05
dan yang bawah untuk p = 0,01.
Contoh : Untuk pasangan derajat kebebasan v1 = 24 dan v2 = 8 ditulis juga (v1,v2)
= (24,8), maka untuk p = 0,05 didapat F = 3,12 sedangkan untuk p = 0,01 didapat F = 5,28 (lihat Daftar I, Lampiran). Ini didapat dengan jalan mencari 24 pada baris atas dan 8 pada kolom kiri. Jika dari 24
turun dan dari 8 ke kanan, maka didapat bilangan-bilangan tersebut. Yang atas untuk p = 0,05 dan yang bawahnya untuk p = 0,01.
Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan dk = (v1, v2) adalah F p(v1,v2).
Demikianlah untuk contoh kita didapat F0,05 (24,8) = 3,12 dan F0,01(24,8) = 5,28.
Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p – 0,01 dan p = 0,05, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95.
Untuk ini digunakan hubungan :
Dalam rumus di atas perhatikan antara p dan ( 1 – p ) dan pertukaran antara derajat kebebasan (v1,v2) menjadi (v2, v1).
Contoh : Telah didapat F0,05(24,8) = 3,12 Maka F0,95(8,24) =
= 0,32110. PENGECEKAN DISTRIBUSI NORMAL
Untuk keperluan analisis data selanjutnya, dalam statistika induktif, akan ternyata bahwa model distribusi sering harus diketahui bentuknya. Teori-teori menaksir dan menguji hipotesis (lihat Bab XI dan Bab XII) misalnya, dianut berdasarkan kepada asumsi bahwa populasi yang sedang diselidikit berdistribusi
normal. Jika asumsi ini tidak dipenuhi, artinya ternyata populasinya tidak berdistribusi normal, maka kesimpulan berdasarkan teori itu tidak berlaku.
Karenanya, sebelum teori lebih lanjut digunakan dan kesimpulan diambil berdasarkan teori dimana asumsi normalitas dipakai, terlebih dahulu perlu diselidiki apakah asumsi itu dipenuhi atau tidak. Khusus untuk penyelidikan apakah populasi berdistribusi normal atau tidak, berdasarkan data sampel akan diberikan sekarang.
Data sampel yang telah diambil dari sebuah populasi, dengan menggunakan cara seperti dijelaskan dalam Bab III, perlu disusun dalam sebuah daftar distribusi frekuensi. Dari sini kemudian dibentuk daftar distribusi frekuensi kumulatif relatifnya kurang dari. Berbeda dengan yang sudah dijelaskan terdahulu, pembentukan daftar untuk ini diambil batas-batas kelas interval . Selanjutnya, frekuensi kumulatif relatif ini digambarkan pada kertas grafik khusus, disebut kertas peluang nromal atau singkatnya kertas peluang . Bentuknya dapat dilihat Gambar VIII(17) dan juga dalam Lampiran, yang sengaja disediakan untuk keperluan pembaca.
Pada sumbu daftar digambarkan skala untuk batas-batas atas sedangkan sumbu tegak melukiskan persen kumulatifnya. Nampak bahwa pada sumbu tegak paling kecil tertulis 0,01% dan paling besar 99,99%. Dengan demikian kelas interval dengan kumulatif 0% dan 100% tidak perlu digambarkan. Selanjutnya, titik-titik yang ditentukan oleh batas atas dan frekuensi kumulatif relatif digambarkan pada kertas itu. Perhatikan baik-baik letak titi k-titik yang didapat.
Jika letak titik-titik pada garis lurus atau hampir pada garis lurus, maka disimpulkan :
a. Mengenai data itu sendiri
Dikatakan bahwa data itu berdistribusi normal atau hampir berdistribusi normal (atau dapat didekati oleh distribusi normal).
b. Mengenai populasi dari mana data sampel diambil
Dikatakan bahwa populasi dari mana sampel diambil ternyata berdistribusi normal atau hampir berdistribusi normal (atau dapat didekati oleh distribusi normal).
Jika letak titik-titik itu sangat menyimpang dari sekitarnya garis lurus, maka disimpulkan bahwa data itu atau populasi dari mana sampel diambil tidak berdistribusi normal.
Penyelidikan normalitas (penyelidikan untuk mengetahui apakah data atau populasi berdistribusi normal) yang lebih baik akan diberikan dalam Bab XIII.
Contoh : Dibawah ini diberikan data dalam daftar distribusi frekuensi dan daftar distribusi frekuensi kumulatif relatif kurang dari.
DAFTAR VIII(1) DISTRIBUSI FREKUENSI
DAFTAR VIII(2) DISTRIBUSI FREKUENSI
KUMULATIF RELATIF KURANG DARI
Data f Data f(%) 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 8 19 25 37 58 42 23 12 6 Kurang dari 9,5 Kurang dari 19,5 Kurang dari 29,5 Kurang dari 39,5 Kurang dari 49,5 Kurang dari 59,5 Kurang dari 69,5 Kurang dari 79,5 Kurang dari 89,5 Kurang dari 99,5 0 3,48 11,74 22,61 38,70 63,91 82,17 92,17 97,39 100 Jumlah 230
Daftar VIII(2) merupakan distribusi frekuensi kumulatif relatif kurang dari
dengan mengambil batas-batas atas tiap kelas interval. Dengan skala sumbu datar sama dengan batas-batas atas dan sumbu tegak sama dengan frekuensi yang sesuai, maka grafiknya pada kertas peluang dapat dilihat dalam Gambar VIII (17). Dari grafik nampak bahwa titik-titik terletak praktis pada garis lurus. Jadi, jika data di atas berupa sampel, maka populasi dari mana sampel itu diambil berdistribusi normal. Akan tetapi, jika data itu semuanya membentuk populasi maka jelas populasi tersebut berdistribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku yang dapat dihitung dari daftar di atas.
11. SOAL-SOAL
1. Bedakanlah antara variabel dan variabel acak. Juga antara variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.
2. Berikan contoh di mana distribusi peluang empirik sering dapat digunakan. 3. Bedakan antara fungsi peluang dan fungsi densitas.
Berikan contohnya!
4. Misalkan variabel acak diskrit X berharga X = x dengan = 0, 1, 2 ..., 20, dan p(x) = P(X=x). Apakah yang dimaksud dengan simbol :
a.
∑
b. ∑
c. P(X≥10)?5. X = variabel acak kontinu dengan fungsi densitas f(x), di mana - ∞ < x < ∞. Apakah yang dimaksud dengan :
a.
∫
b.∫
?6. X menyatakan dengan banyak anak laki-laki dalam keluarga dengan 4 anak. a. Buatlah daftar distribusi peluangnya.
b. Gambarkan grafiknya.
7. X menyatakan banyak pengunjung ke suatu tempat dengan pola : p(x) =
x = 0, 1, 2, 3, ...a. Berapa peluangnya akan terdapat 3 pengunjung
b. Hitung peluangnya akan ada pengunjung antara 2 dan 5 inklusif c. Bagaimana peluangnya paling sedikit akan ada 5 pengunjung d. Perlihatkan kebenaran Rumus VIII (1)
8. *) Semacam alat elektronik mempunyai daya pakai X (dalam ribuan jam) yang mengikuti pola atau distribusi.
f(x) =
untuk x > 0 Perlihatkan kebenaran Rumus VIII (3)Berapa % diperkirakan alat yang memiliki daya pakai ; a. Paling lama 10 ribu jam
b. Antara 2 ribu dan 4 ¼ ribu jam c. Lebih dari 2 ½ ribu jam
9. *) Pendapatan perorangan di suatu negara mengikuti distribusi Pareto dengan model :
f(x) =
untuk x ≥ ADengan r = ½ A = 10.000, tentukan ada berapa % kira-kira yang berpenghasilan lebih dari 20.000.
10. Diberikan distribusi peluang untuk variabel acak X pada titik x :
x p(x) 0 1 2 3 0,4 2a 0,3 a a. Tentukan harga a !
b. Cari peluang variabel acak X paling sedikit berharga satu.
*) Soal-soal dengan tanda ini dapat dilewat bagi mereka yang tidak belajar kalkulus
11. Berapakah rata-rata dan varians untuk distribusi binom? Jelaskan masing-masing simbol yang dipakai.
12. Berikanlah beberapa contoh dimana distribusi binom akan mungkin dapat digunakan.
13. Kapan distribusi binom akan dapat didekati oleh : a. Distribusi Poisson ?
b. Distribusi normal ?
Untuk kedua hal diatas, berikanlah rata-rata dan variansnya.
14. Sebutkan sifat-sifat penting untuk distribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 5.
15. Apa yang dimaksud dengan distribusi normal baku? Bagaimana menjadikan distribusi normal baku dari distribusi normal yang umum?
16. Mengapa dalam perhitungan-perhitungan dengan distribusi normal, perlu distribusi itu dijadikan normal baku?
17. Kurva untuk fenomena berdistribusi normal ternyata dimetrik dan unimodal; rata-rata, median dan modusnya berimpit.
Dapatkah disimpulkan bahwa fenomena yang kurvanya simetrik berdistribusi normal? Fenomena yang rata-rata, median dan modusnya sama besar berdistribusi normal?
18. Dapatkan dua distribusi normal mempunyai rata-rata yang sama tetapi simpangan baku berlainan? Mempunyai simpangan baku yang sama tetapi rata-rata berlainan? Buatlah grafiknya!
19. Berikan contoh dimana diperkirakan dapat digunakan : a. Distribusi Poisson
b. Distribusi multinom
c. Distribusi hipergeometrik
20. Bagaimana umumnya bentuk kurva untuk : a. Distribusi Student?
b. Distribusi chi kuadrat? c. Distribusi F?
21. Peluang seseorang mahasiswa yang baru masuk universitas akan lulus tepat pada waktunya 0,23. Tentukan berapa peluang dari 20 mahasiswa akan lulus
tepat pada waktunya : a. Tidak seorang pun b. Seorang mahasiswa
c. Paling sedikit seorang d. Tidak lebih dari seorang
22. Sepuluh persen produksi baut ternyata rusak. Baut-baut itu dijual dalam kotak; setiap kotak berisi 25 buah. Tentukan peluang sebuah kotak akan berisi :
a. Semua baut bagus
b. Tidak lebih dari dua rusak c. Paling sedikit 3 bagus
23. Untuk distribusi binom dalam Rumus VIII(6) berlaku :
Dengan menggunakan hipotesis dalam Soal 22 di muka, tentukanlah bagaimana bentuk kurva untuk distribusi baut rusak.
24. Bagaimana bentuk kurva distribusi binom juka : a. Π = ½ c. Π < ½
b. Π > ½ d. Π → ½ ?
25. Tiap soal ujian pilihan ganda terdiri dari pilihan betul-salah, semuanya ada 20 soal. Tentukan peluang menerka secara benar paling sedikit 17 soal.
Bagaimana halnya jika tiap soal terdiri dari 3 pilihan? 4 pilihan?
26. Menurut kriteria tertentu, misalkan di masyarakat terdapat 30% keluarga golongan rendah, 50% golongan menengah dan 20% golongan tinggi. Sebuah sampel acak terdiri dari 20 keluarga telah diambil. Tentukan peluangnya akan terdapat 6 golongan rendah, 10 golongan menengah dan 4
golongan tinggi.
27. Dalam ujian statistika telah diperoleh keterangan berikut : P (mendapat nilai 0 – 4) = 0,23
P (mendapat nilai 5 – 6) = 0,42 P (mendapat nilai 7 – 8) = 0,27 P (mendapat nilai 9 – 10) = 0,08
Ada 10 mahasiswa yang mengambil ujian.
Bagaimana peluangnya ke 10 mahasiswa mendapatkan nilai 9 – 10 ? Jika ada 200 mahasiswa yang ujian, berapa mahasiswa diharapkan akan mendapat nilai dengan setiap kategori di atas ?
28. Eksperimen E menghasilkan peristiwa A dengan peluang π dan bukan A
dengan peluang (1 – π).
Misalkan X jumlah eksperimen (independen) yang harus dilakukan untuk mendapatkan peristiwa A pertama kali.
Maka berlaku hubungan :
p(x) = P(X=x) = π (1-π)x-1, x = 1, 2, 3, . . . Buktikanlah!
Model diatas disebut distribusi geometrik.
29. Disuatu daerah, peluang akan terjadi banjir pada seberang hari selama 1
Oktober – 31 Desember sama dengan 0,15. Misalkan terjadinya banjir dari
hari ke hari independen. Cukup besarkah peluang akan terjadi banjir pertama kali pada tanggal 29 November ? (Gunakan distirbusi geometrik
diatas)
30. Terdapat 200 pasien di antaranya 10 menderita tekanan darah tinggi. Secara
acak diambil 10 pasien. Hitung berapa peluangnya akan terdapat paling banyak dua pasien dari yang 10 ini menderita tekanan darah tinggi. Berapa pasien rata-rata yang menderita tekanan darah tinggi untuk setiap 10 pasien?
31. Setiap partai barang kiriman terdiri dari 100 unit. Pembeli setuju untuk
membeli kiriman partai barang tersebut jika dalam sebuah sampel acak terdiri dari 10 unit paling banyak berisi satu unit rusak. Partai barang berisi 10% unit rusak. Besarkah peluangnya bahwa pembelian akan terjadi ?
32. Partikel yang dipancarkan dari sebuah sumber radio aktif mengikuti pola
distribusi Poisson. Rata-rata emisi mencapai satu partikel tiap detik. Berapa peluangnya dalam 3 deitik akan dipancarkan paling banyak satu partikel.
33. Jumlah permintaan nomor telepon melalui operator dari jam 10.00 s/d 10,05
berdistribusi Poisson dengan rata-rata 3. Cukup besarkah peluangnya pada suatu hari, dalam periode tersebut, operator :
a. Tidak akan menerima permintaan b. Kurang dari 3 permintaan
c. Lebih dari 3 permintaan?
34. Sebuah buku yang terdiri dari 600 halaman berisikan 45 salah cetak yang
tersebar secara acak dalam buku tersebut. Untuk menentukan peluang terdapatnya salah cetak tiap halaman, distribusi apakah yang digunakan? Tentukan peluangnya tidak terdapat salah cetak untuk 10 halaman yang telah diambil secara acak.
35. Peluang bagi seorang akan mendapatkan kecelakaan disebuah perempatan jalan sangat kecil ialah 0,0005. Misalkan dari jam 13.00 s/d 15.00 tiap hari lewat 875 buah kendaraan. Jika peluang mendapat kecelakaan untuk tiap kendaraan sama besar dan terjadinya kecelakaan atau tidak terhadap kendaraan yang satu independen dari apapun yang terjadi terhadap kendaraan lainnya, tentukan peluangnya selama jangka waktu tersebut akan terjadi dua kecelakaan atau lebih.
36. Misalkan 10.000 bakteri bergerak secara independen dan acak di dalam zat perantara sebanyak 20.000 cm kubik. Diambil satu cm kubik zat.
Bagaimana peluangnya zat itu tidak berisikan bakteri ?
37. Berapakah ordinat maksimum untuk distribusi normal baku? Bila itu terjadi? Mulai nilai-nilai berapa asimtutnya akan terjadi?
38. Carilah luas daerah di bawah kurva normal baku untuk : a. Z antara 1,03 dan 2,79 b. Z antara – 0,82 dan – 2,57 c. Z antara – 0,65 dan 1,28 d. Dari z = 0,97 ke kanan e. Dari z = 0,97 ke kiri f. Dari z = - 1,12 ke kanan g. Dari z = - 2,02 ke kri;.
39. Carilah harga z dari kurva normal baku sehingga luasnya : a. Dari z ke kanan 0,1075
b. Dari z ke kiri 0,9732 c. Dari z ke kanan 0,8265 d. Dari z ke kiri 0,0793
e. Antara – 0,23 dan z sama dengan 0,5722 f. Antara 1,25 dan z sama dengan 0,1040 g. Antara – z dan z sebesar 0,95
40. Misalkan tinggi mahasiswa berdistribusi normal dengan rata-rata 167,5 cm dan simpangan baku 4,6 cm. Semuanya ada 200.000 mahasiswa.
a. Lebih dari 175 cm d. Kurang dari 166 cm
b. Lebih dari 160 cm e. Antara 158 cm dan 170 cm c. Kurang dari 170 cm f. 172 cm
41. Kekeliruan yang terjadi sebagai hasil pengukuran panjang semacam alat ternyata berdistribusi normal dengan nilai ekspektasi nol dan simpangan baku 1,5 cm. Berapa peluang kekeliruan hasil pengukuran akan lebih dari 3
cm?
42. X berdistribusi normal dengan rata-rata 25 dan simpangan baku 3,6, tiap pengamatan dikalikan 4 dan kemudian ditambah 15. Tentukan rata-rata dan
simpangan baku pengamatan yang baru. (Lihat sifat rata-rata dalam Bab IV, Bagian 2 dan sifat simpangan baku dalam Bab V. Bagian 5).
43. Lihat Daftar III (12), Soal 23 dalam Bab III. Misalkan bahwa umur tenaga kerja perempuan distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku yang didapat dalam Soal 28, Bab IV dan Soal 20, Bab V. Ada berapa tenaga kerja perempuan yang umurnya :
a. 45 tahun ke atas b. 24 tahun ke bawah
Cocokkanlah dengan keadaan sebenarnya!
44. Daya tahan setiap gulung tali (masing-masing 10 m) dinyatakan dalam kilogram, ternyata berdistribusi normal dengan rata-rata 50 kg dan simpangan baku 4 kg. Untuk gulungan tali dengan daya tahan kurang dari 48 kg diperkirakan mendapat keuntungan Rp. 5 / gulung. Untuk yang lebih dari 52 kg keuntungannya Rp. 35 / gulung. Sisanya mendapat keuntungan Rp. 15 / gulung. Tentukan keuntungan yang diharapkan untuk tiap gulung. 45. Daya pakai dua merek semacam alat masing-masing berdistribusi normal.
Yang pertama dengan rata-rata 80 jam dan simpangan baku 12 jam, sedangkan yang kedua dengan rata-ratanya 90 jam dan simpangan baku 6 jam.
Jika ingin menggunakan alat untuk periode 100 jam, yang mana akan dipilih?
