Teorema Titik Tetap di Ruang Norm-2 Standar
Muh. NurUniversitas Hasanuddin
Abstract
Pada tulisan ini, akan dipelajari ruang norm-2 standar, yakni ruang hasil kali dalam yang dilengkapi dengan norm-2 standar. Setelah itu, ditunjukkan ekuivalensi antara norm baru yang diperoleh dari norm-2 standar dan norm pada ruang hasil kali dalam. Lebih jauh lagi menunjukkan norm-2 standar adalah lengkap. Dengan menggunakan hasil ini, akan dibuktikan Teorema Titik Tetap di norm-2 standar. Kata kunci: Ruang norm-2 standar, Ruang hasil kali dalam, Teorema Titik Tetap
1. Pendahuluan
Konsep tentang ruang norm-2 pertama kali dikembangkan oleh G¨ahler pada pertengahan tahun 1960 dan ruang hasil kali dalam-2 pertama kali diperkenalkan oleh Diminnie, G¨ahler dan White pada tahun 1970. Semen-tara perumuman untuk n ≥ 2 dikembangkan oleh Misiak ditahun 1989. Pada tahun 2001, H. Gunawan, M. Mashadi [1] mempelajari hubungan an-tara ruang Banach-2 dengan ruang Banach dan membuktikan teorema titik tetap dengan mendefinisikan suatu norm baru dengan menggunakan dua buah vektor basis.
MisalkanX adalah ruang Vektor real berdimensiddimanad≥2. Suatu fungsi bernilai riil tak negatif yang didefenisikan sebagai suatu pemetaan k·,·k:X×X7−→R, sehingga untuk setiapx, y, z∈X memenuhi sifat-sifat
dibawah ini:
1. kx, yk= 0 jika dan hanya jikax dan y bergantung liner; 2. kx, yk=ky, xk;
3. kx, αyk=|α| kx, yk untuk setiap α∈R;
4. kx, y+zk ≤ kx, yk+kx, zk, disebut sebagai norm-2 di X, dan pasan-gan (X,k·,·k) disebut suatu ruang norm-2.
Dengan menggunakan definisi ini, diperolehkx, yk ≥0 dankx, y+αxk= kx, yk untuk setiap x, y ∈ X dan α ∈ R. Barisan (xn) di ruang norm-2
(X,k·,·k) dikatakan konvergen ke-x dalam norm-2 jika dan hanya jika un-tuk setiap z ∈ X, lim
n→∞kxn−x, zk = 0. Dengan kata lain x disebut limit
barisan dari xn, apabila untuk setiap z ∈ X dan setiapε > 0 terdapat
n0 ∈ N sehingga kxn−x, zk < ε untuk setiap n ≥ n0, dan (xn) dikatakan
Cauchy apabila untuk setiapz∈X dan untuk setiapε >0 terdapatn0∈N
sehingga kxm−xn, zk < ε untuk setiap m, n ≥ n0. Jika setiap barisan
Cauchy di (X,k·,·k) konvergen ke suatux diX makaX dikatakan lengkap. Limit dari suatu barisan yang konvergen dalam norm-2 senantiasa tung-gal. Andaikan x dan x0 adalah limit dari xn dimana x 6=x0. Untuk setiap
ε > 0 pilih n0 ∈ N sehingga kxn−x, zk < ε dan kxn−x0, zk < ε untuk
setiapn≥n0. Pilihε= 12kx−x0, zkdimanax−x0, zbebas linear sehingga
x−x0, z ≤ x−x0, z +kxn−x, zk < 1 2 x−x0, z + 1 2 x−x0, z = x−x0, z .
Ini mustahil terjadi akibatnya limitnya tunggal.
Dalam tulisan ini kita akan mempelajari norm-2 standar pada ruang Hilbert lalu membuktikan norm-2 standar adalah lengkap dengan mendefin-isikan norm baru dengan menggunakan 2 buah vektor yang bebas linear. Dengan kenyataan ini kita akan membuktikan teorema titik tetap pada norm-2 standar.
2. Hasil Utama
2.1 Norm-2 Standar
Misalkan (X,h·,·i) merupakan hasil kali dalam, definisikan
kx, yks= hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2
makakx, yks merupakan norm-2 standar padaX.
Salah satu contoh norm-2 standar pada ruangl2 dimana ruangl2adalah ruang Hilbert dengan hasil kali dalam yang didefinisikan olehhx, yi=P∞
j=1xjyj.
Sehingga kita dapat mendefinisikan fungsik·,·kdil2 sebagai berikut:
kx, yk= " det P∞ j=1x2j P∞ j=1xjyj P∞ j=1yjxj P∞ j=1yj2 !#12 = 1 2 X j X k det xj xk yj yk ! 2 1 2
untuk lebih jelasnya lihat [2]. Sebelum kita membahas kekonvergenan pada norm-2 mengakibatkan kekonvergenan dalam norm ataupun sebaliknya, maka pertama-tama kita mendefinisikan suatu norm sebagai berikut:
kxk∗1=
h
kx, a1k2+kx, a2k2
i1
2
dimana{a1, a2} adalah himpunan yang bebas linear pada ruang HilbertH
dan x ∈H. Kita dapat mengamati bahwa (i) kxk∗1 ≥ 0 dankxk∗1 = 0 jika dan hanya jikax= 0, (ii)kαxk∗1 =|α| kxk∗1 dan (iii)kx+yk∗1 ≤ kxk∗1+kyk∗1.
Akibatnya kxk∗2 = hkx, b1k2+kx, b2k2i
1 2
dimana {b1, b2} hasil
Gram-Schmidt dari {a1, a2} merupakan norm padaH.
Proposisi 1 Jikak·kadalah norm padaHdank·,·kadalah norm-2standar padaH maka untuk setiap x∈H ,
kxk2≤ kxk∗2
Bukti. Ambilx∈H sebarang, Karena {b1, b2} adalah himpunan
ortonor-mal padaH sehinggakx, b1k=kxk2− hx, b1i2 dankx, b2k=kxk2− hx, b2i2. Menurut ketaksamaan bessel
2
P
i=1
hx, bii2≤ kxk2 diperoleh
kxk2≤ kxk2− hx, b1i2+kxk2− hx, b2i2 =kx, b1k2+kx, b2k2
2.2. Kekonvergenan norm-2 standar menggunakan 2 vektor bebas linear
Pada bagian ini kita akan membuktikan dalam norm-2 standar dapat diwakili dengan menggunakan 2 buah vektor yang bebas linear, untuk itu kita punya
Lema 2 Suatu barisan (xn) konvergen kex padaH di norm-2 standar jika
dan hanya jika lim
n→∞kxn−x, b1k= 0 dan nlim→∞kxn−x, b2k= 0. Bukti. Kita cukup membuktikan jika lim
n→∞kxn−x, bik = 0 untuk i =
1,2 maka diperoleh ∀y ∈ H lim
n→∞kxn−x, yk = 0. Menurut ketaksamaan
Hadamard kx, yk ≤ kxk kyk untuk lebih jelasnya lihat [4] serta lema se-belumnya diperoleh
kxn−x, yk ≤ kxn−xk kyk
≤hkxn−x, b1k2+kxn−x, b2k2
i12
kyk Karenakxn−x, bik → ∞untukn→0 diperolehkxn−x, yk →0.
Karena{b1, b2} hasil Gram-Schmidt dari{a1, a2} sehingga kita punya
Lema 3 lim
n→∞kxn−x, a1k = 0 dan nlim→∞kxn−x, a2k = 0 jika dan hanya jika lim
n→∞kxn−x, b1k = 0 dan nlim→∞kxn−x, b2k = 0. Lebih jauh suatu barisan (xn) konvergen ke-x pada k·k∗1 jika dan hanya jika (xn) konvergen
ke-x pada k·k∗2, dan (xn) adalah barisan Cauchy pada k·k∗1 jika dan hanya jika(xn) adalah barisan Cauchy pada k·k∗2.
Bukti. Diketahuib1 =ka1danb2=l1a1+l2a2sehinggakx, b1k=|k| kx, a1k
dankx, b2k=kx, l1a1+l2a2k ≤ |l1| kx, a1k+|l2| kx, a2ksedangkankx, a2k=
kx, s1b2−s2b1k ≤ |s1| kx, b1k+|s2| kx, b2k dengan s1 = l12 dan s2 = l2l×1k
sehingga lim
n→∞kxn−x, a1k = 0 dan limn→∞kxn−x, a2k = 0 mengakibatkan
lim
n→∞kxn−x, b1k= 0 dan limn→∞kxn−x, b2k= 0,begitu juga sebaliknya. Teorema 4 Suatu barisan (xn) di H konvergen ke x pada norm-2 standar
di H jika dan hanya jika lim
n→∞kxn−x, a1k = 0 dan nlim→∞kxn−x, a2k = 0 dimana{a1, a2} bebas linear.
2.3. Kelengkapan Norm-2 Standar dengan Norm
Pada bagian ini kita membahas kelengkapan norm-2 standar dengan menggunakan norm biasa pada ruang Hilbert serta membuktikan teorema titik tetap pada norm-2 standar, tapi sebelumnya kita buktikan ekuivalensi norm baru dengan norm.
Proposisi 5 Norm k·k∗2 ekuivalen dengan norm biasa k·k di H. Artinya
kxk ≤ kxk∗2≤√2kxk
Bukti. Karena (kxk∗2)2 = kx, b1k2 +kx, b2k2 sehingga pada Proposisi-1
kita peroleh kxk ≤ kxk∗2. Sebaliknya dengan menggunakan ketaksamaan Hadamard dimanakbik= 1 untuk i= 1,2 diperoleh kxk∗2 ≤
√ 2kxk.
Teorema 6 Barisan (xn) di H pada ruang norm-2 standar (H,k·,·k) jika
dan hanya jika barisan itu konvergen di norm (H,k·k), dan barisan (xn) di
H Cauchy di ruang norm-2 standar (H,k·,·k) jika dan hanya jika barisan itu Cauchy di norm(H,k·k).
Bukti. Misalkan (xn) konvergen ke-x dalam norm-2 (H,k·,·k), sehingga
menurutLema -2 diperoleh lim
n→∞kxn−x, b1k= 0 dan limn→∞kxn−x, b2k= 0, akibatnya lim n→∞kxn−xk ∗ 2 = 0, karena k·k ∗
2 dan k·k ekuivalen diperoleh
lim
n→∞kxn−xk= 0. Sebaliknya ambil y ∈H sebarang, karena (xn)
konver-gen ke-x dalam norm (H,k·k),artinya untuk setiap ε >0 terdapat n0 ∈N
sehingga kxn−xk < kεyk untuk setiap n ≥ n0 dan menurut ketaksamaan
hadamart kita punya
kxn−x, yk ≤ kxn−xk kyk=ε untuk setiapn≥n0
Dengan cara yang sama dengan menggantix menjadi xm diperoleh (xn) di
H Cauchy pada norm-2 mengakibatkan Cauchy pada norm ataupun seba-liknya.
Konsekuensinya, kita punya hasil sebagai berikut
Akibat 7 Ruang (H,k·,·k) adalah lengkap.
Dengan menggunakan hasil-hasil diatas kita peroleh
Teorema 8 Misalkan (H,k·,·k) ruang banach-2 dan{a1, a2} himpunan be-bas linear serta T :H → H memenuhi kTx−Ty, aik ≤kkx−y, aik untuk
tiapx, y, ai∈H dimanai= 1,2dank= (0,1)konstan, makaT mempunyai
Bukti. karena kxk∗1 = hkx, a1k2+kx, a2k2i
1 2
merupakan norm pada H, karena k·k equivalen dengan k·k∗2 sehingga k·k∗2 adalah lengkap, lebih jauh lagi menurut Lema-3 diperolehk·k∗1 adalah lengkap. Selanjutnya
kTx−Tyk∗1
2
=kTx−Ty, a1k2+kTx−Ty, a2k2
≤k2kx−y, a1k2+k2kx−y, a2k2 =k2(kx−yk∗1)2
kTx−Tyk∗1 ≤kkx−yk∗1 ∀x, y∈X
ini berarti T kontraktif terhadap k·k∗1 karena (H,k·k∗1) lengkap maka T mempunyai titik tetap yang tunggal.
3. Kesimpulan
Setiap ruang hasil kali dalam-2 merupakan ruang norm-2. Namun se-cara umum, ruang norm-2 bukanlah ruang hasil kali dalam-2. Dengan Ke-samaan Jajaran Genjang dapat diketahui apakah suatu ruang norm-2 juga merupakan ruang hasil kali dalam-2. Norm-2 standar merupakan luas ja-jar genjang yang direntang oleh x1, x2 pada ruang hasil kali dalam. Telah
dibuktikan bahwa norm baru yang diperoleh dari norm-2 standar ekuivalen dengan norm pada ruang hasil kali dalam. Norm-2 standar adalah lengkap. Telah dibuktikan juga teorema titik tetap dengan menggunakan sebarang vektora1, a2 yang bebas linear pada norm-2 standar.
4. Daftar Pustaka
[1] H. Gunawan dan M. Mashadi : On n-Normed Spaces, Int. J. Math. Sci. 27 (2001), 321-329.
[2] H. Gunawan: The space of p-summable sequences and its natural n -Norm, Bull. Austral. Math. Soc. 64 (2001), 137-147.
[3] H. Gunawan and M. Mashadi: On Finite-dimensional 2-Normed Space, Soochow J. Math. 27 (2001), 321-329.
[4] E. Kreyszig: Introductory Functional Analysis with Application, John Wiley dan Sons. Inc. New York, 1978.
[5] N. Young: An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, (1998).
