Ellipsoid sebagai Referensi Geometri Bumi

BAB II

TEORI DASAR GEOMETRI BUMI

2.1 Definisi Geometri Bumi

Geometri (Greek; geo= bumi, metria= ukuran) adalah sebagian dari ilmu matematika yang mengambil persoalan mengenai ukuran, bentuk, dan kedudukan serta sifat ruang. Geometri adalah salah satu dari ilmu yang tertua. Awal mulanya sebuah badan pengetahuan praktikal yang mengambil berat dengan jarak, luas dan volume, tetapi pada abad ke-3 geometri mengalami kemajuan yaitu tentang bentuk aksiometik oleh Euclid, yang hasilnya berpengaruh untuk beberapa abad berikutnya.

Geometri merupakan salah satu cabang dalam ilmu matematika. Ilmu Geometri secara harfiah berarti pengukuran tentang bumi, yakni ilmu yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Sejatinya, ilmu geometri sudah dipelajari peradaban Mesir Kuno, masyarakat Lembah Sungai Indus dan Babilonia. Peradaban-peradaban kuno ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume.

2.2 Sejarah Teori Penggambaran Bentuk Bumi

Manusia memiliki persepsi yang terus berkembang terus menerus tentang penggambaran bentuk Bumi. Penggambarannya antara lain :

 Batok Kura – Kura (Geoterapinisme) (mitos sebelum 1000 SM)

Mitos The Great Turtle pertama kali dibawa ke perhatian public pada abad ke 17,setelah seorang pria yang bernama Jasper Danckaerts mengetahui hal itu dari beberapa suku penduduk asli Amerika yang menemuinya. Penduduk asli Amerika, bagaimanapun, bukanlah satu-satunya orang yang percaya bahwa dunia beristirahat di cangkang kura-kura raksasa, sebagai mitos ini juga lazim dalam budaya Cina dan India. Jasper mengatakan bahwa gempa yang terjadi diakibatkan mood kura – kura yang sedang tidak baik.

 Cakram datar (setelah 1000 SM)

Teori ini pernah dipercaya sampai abad 17, teori ini mengatakan bahwa bumi itu bentuknya rata seperti sebuah piringan (disk). Teori ini dipercaya hingga para matematis Yunani dan orang – orang Eropa mempercayai bumi itu bulat. Miskonsepsi ini juga pernah dipercaya oleh Christopher Columbus (Penemu Benua Amerika), hingga pelayarannya memecahkan kepercayaanya sendiri. Oleh karena itu pelayarannya juga disebut sebagai “Myth of the Flat Earth”.

Pada tahun 1956, sebuah perkumpulan Flat Earth Society yang mendukung teori ini dibuat.Bahkan pada tahun 1980, walaupun sudah ada bukti yang mengatakan bahwa bumi itu berbentuk menyerupai bola, salah satu orang dari perkumpulan ini yang bernama Charles Johnson mempublikasikan bahwa ia percaya bumi itu rata. Hal ini ia dapatkan dari melihat permukaan air danau yang rata, ia mengatakan jika bumi itu bulat maka setidaknya akan ada lengkungan (curvature) pada badan air.

 Hollow Earth Theory

Teori ini dicetuskan oleh John Symmes, seorang mantan kapten Tentara Amerika pada perang tahun 1812. Ia mempercaya bahwa dunia ini mempunyai sebuah cangkang yang setebal 800 mil, dengan pembukaan pada kedua kutub dan beberapa lapisan dalam yang terdiri dari cengkungan-cengkungan. Cengkungan inilah tempat kita dan para hewan tinggal. Jika membayangkan melihat bintang di malam hari, kita tentu juga akan melihat kegelapan pekat malam hari bukan? Dengan hal itu, John Symmes mengatakan bahwa apa yang kita lihat sebenarnya adalah pusat dari Bumi atau Dunia kita ini.

 Bola Bumi (580 SM)

Bentuk bumi bundar baru berkembang di Barat pada abad ke-16 M. Adalah Nicoulas Copernicus yang mencetuskannya. Di tengah kekuasaan Gereja yang dominan, Copernicus yang lahir di Polandia melawan arus dengan menyatakan bahwa seluruh alam semesta merupakan bola. Sejarah Barat kemudian mengklaim bahwa Copernicus-lah ilmuwan pertama yang menggulirkan teori bumi bulat. Klaim Barat selama berabad-abad itu akhirnya telah terpatahkan. Sejarah kemudian mencatat bahwa para sarjana Islam-lah yang mencetuskan teori bentuk bumi itu. Para sejarawan bahkan memiliki bukti bahwa Copernicus banyak terpengaruh oleh hasil pemikiran ilmuwan Islam. Para sejarawan sains sejak tahun 1950-an mengkaji hubungan Copernicus dengan pemikiran ilmuwan Muslim dari abad ke-11 M hingga 15 M. Hasil penelitian yang dilakukan Edward S Kennedy dari American University of Beirut menemukan adanya kesamaan antara matematika yang digunakan Copernicus untuk mengembangkan teorinya dengan matematika yang digunakan para astronom Islam dua atau tiga abad sebelumnya. Copernicus ternyata banyak terpengaruh oleh astronom Muslim, seperti Ibn Al Shatir (wafat 1375 M), Mu’ayyad Al Din Al ‘Urdi (wafat 1266 M), dan Nasir Al Din Al Tusi (wafat 1274 M). Seperti halnya peradaban Barat, masyarakat Cina yang lebih dulu mencapai kejayaan dibandingkan dunia Islam pada awalnya meyakini bahwa bumi itu datar dan kotak. Orang Cina baru mengubah keyakinannya tentang bentuk bumi pada abad ke-17 M setelah berakhirnya era kekuasaan Dinasti Ming. Sejak abad itulah, melalui risalah yang ditulis Xiong Ming-yu dengan judul Ge Chi Cao, wacana bentuk bumi bundar seperti bola mulai berkembang di Negeri Tirai Bambu itu. Beberapa abad sebelum dua peradaban besar itu mulai mengakui bahwa bentuk bumi bundar, dunia Islam telah membuktikannya. Di bawah kepemimpinan Khalifah Al Ma’mun, pada tahun 830 M, Muhammad bin Musa Al Khawarizmi beserta para astronom lainnya telah membuat peta globe pertama. Tak hanya itu, para sarjana Muslim di era itu juga mampu mengukur volume dan keliling bumi. Saat itu, para astronom Muslim menyatakan bahwa keliling bumi mencapai 24 ribu mil atau 38,6 ribu kilometer. Perhitungan yang dilakukan pada abad ke-9 M itu hampir akurat. Sebab, hanya berbeda 3,6 persen dari perkiraan yang dilakukan para ilmuwan di era modern. Sebuah pencapaian yang terbilang luar biasa dan mungkin belum terpikirkan oleh peradaban Barat pada masa itu. Atas permintaan Khalifah Abbasiyah ketujuh, para astronom Muslim sukses meng - ukur jarak antara Tadmur (Palmyra) hingga Al Raqqah di Suriah. Para sarjana Muslim menemukan fakta bahwa kedua kota itu ternyata hanya terpisahkan oleh satu derajat garis lintang dan jarak kedua kota itu mencapai 66 2/3 mil. Pada abad ke-10 M, ilmuwan Muslim bernama Abu Raihan Al Biruni (973 M-1048 M) juga mengukur jari-jari bumi. Menurutnya, jari-jari bumi itu mencapai 6339,6 kilometer. Pengukurannya itu hanya kurang 16,8 kilometer dari nilai perkiraan ilmuwan modern. Saat itu, Al Biruni mengembangkan metode baru dengan menggunakan perhitungan trigonometri yang didasarkan pada sudut antara sebuah daratan dengan puncak gunung.

Teori bentuk bumi bundar seperti bola juga dinyatakan geografer dan kartografer (pembuat peta) Muslim dari abad ke-12 M: Abu Abdullah Muhammad Ibnu Al Idrisi Ashsharif. Pada tahun 1154 M, Al Idrisi ilmuwan dari Cordobasecara gemilang sukses membuat peta bola bumi alias globe dari perak. Bola bumi yang diciptakannya itu memiliki berat sekitar 400 kilogram. Pada globe itu, Al Idrisi menggambarkan enam benua yang dilengkapi jalur perdagang an, danau, sungai, kota-kota utama, daratan, serta gunung-gunung. Tak cuma itu, globe yang dibuatnya itu juga sudah memuat informasi mengenai jarak, panjang, dan tinggi secara tepat. Guna melengkapi bola bumi yang dirancangnya, Al Idrisi pun menulis buku berjudul Al Kitab Al Rujari atau Buku Roger yang didedikasikan untuk sang raja. Penjelajah asal Spanyol, Cristhoper Columbus, kemudian membuktikan kebenaran teori yang diungkapkan Al Idrisi. Berbekal peta yang dibuat Al Idrisi, Columbus mengelilingi bumi dan menemukan Benua Amerika yang disebutnya sebagai ‘dunia baru’. Pada hal, bagi para penjelajah Muslim, benua itu bukanlah dunia baru karena telah disinggahinya beberapa abad sebelum Columbus. Dalam ekspedisi yang dilakukannya itu, Columbus meyakini bahwa bentuk bumi adalah bulat. Secara resmi, para sarjana Muslim telah mengeluarkan kesepakatan bersama dalam bentuk ijmak tentang bentuk bumi bundar. Teori bentuk bumi bulat diyakini oleh Ibnu Hazm (wafat 1069 M), Ibnu Al Jawi (wafat 1200 M), dan Ibnu Taimiyah.

 Bidang Nivo ( Geoid )

Konsep geoid pertama kali digagas oleh C.F. Gauss. Geoid adalah bidang ekipotensial gaya berat Bumi yang menyinggung muka laut. Namun permukaan laut tidaklah stabil dan banyak dipengaruhi oleh angin, cuaca, dan lain-lain. Karena itu digunakanlah muka laut rata-rata (Mean Sea Level, MSL) sebagai pendekatan dari geoid.

 Ellipsoid Bumi

Bentuk geoid yang tidak beraturan tidak memungkinkan kita untuk melakukan perhitungan matematis. Karena itu, sebagai representasi matematis dari bentuk fisik Bumi, digunakanlah ellipsoid. Ellipsoid adalah ellips yang diputar pada sumbu pendeknya.

Penggambaran Bumi menurut penggunaannya :

 Datar (flat earth) : Digunakan pada ilmu ukur tanah (plane surveying). Untuk cakupan wilayah yang relatif kecil, bentuk Bumi masih dapat dimodelkan sebagai bidang datar.

 Bola (spherical earth) : Sering dipakai pada pembuatan peta Bumi skala kecil (atlas). Dapat pula digunakan pada hitungan penentuan posisi untuk cakupan wilayah yang relatif kecil tetapi efek kelengkungan Bumi sudah tidak dapat diabaikan lagi (bumi sebagai bola).

 Elips (spheroid earth) : Dipakai untuk pemetaan skala besar yang bersifat nasional.

BAB III

ELLIPSOID SEBAGAI PENDEKATAN BENTUK BUMI

3.1 Pengertian Ellipsoid

Bentuk geoid yang tidak beraturan sangat tidak memungkinkan kita untuk melakukan perhitungan matematis. Karena itu, sebagai representasi matematis dari bentuk fisik Bumi, maka digunakanlah ellipsoid. Ellipsoid adalah ellips yang diputar pada sumbu pendeknya. Perbedaan antara geoid dan ellipsoid tidak lebih dari 200 m.

Sesuai dengan teori Newton, bahwa gaya sentrifugal menyebabkan Bumi mengalamai pemampatan, jari-jari kutub pada ellipsoid lebih pendek daripada jari-jari ekuatornya. Pemampatan ini dinyatakan dengan:

f = (a-b)/a

dengan a adalah sumbu panjang ellipsoid, b adalah sumbu pendek ellipsoid, dan f adalah pegepengannya. Ellipsoid referensi adalah Ellipsoid yang mempunyai ukuran dan bentuk tertentu untuk hitungan geodesi dan sebagai permukaan rujukan. Ada banyak sekali ellipsoid referensi, mulai dari Airy, Bessel, hingga WGS 84. Yang paling umum digunakan adalah WGS 84 (World Geodetic System 1984). Meski pada pengukuran terestris digunakan geoid sebagai referensi tinggi, tapi satelit posisi (seperti GNSS, VLBI, SLR) menggunakan ellipsoid sebagai referensinya. Tinggi dari permukaan ellipsoid disebut tinggi geodetik.

Perbedaan tinggi dari geoid dengan tinggi dari ellipsoid disebut undulasi geoid. Jika H adalah tinggi ortometrik, h adalah tinggi geodetik, dan N adalah undulasi geoid, maka:

Selain itu, ada juga yang dinamakan defleksi vertikal, yaitu defleksi antara garis unting-unting (yang merupakan referensi pengukuran) dengan garis normal ellipsoid.

3.2 Ellipsoid Referensi

Sistem Referensi dalam bidang geodesi ataupun pengukuran dan pemetaan permukaan bumi dikenal bidang geoid dan ellipsoida yang merupakan bentuk bumi dalam pengertian fisik dan pengertian geometrik. Geoid adalah bidang nivo (level surface) atau bidang ekuipotensial gaya berat yang terletak pada ketinggian muka air rata-rata. Arah gaya berat di setiap titik pada geoid adalah tegak lurus. Karena arah-arah gaya berat menuju pusat bumi, bidang geoid merupakan permukaan tertutup yang melingkupi bumi dan bentuknya tidak teratur. Secara teoritis, permukaan geoid pada umumnya tidak berhimpit dengan muka air laut rata-rata, karena penyimpangannya relatif kecil, maka secara praktis, geoid berhimpit dengan miuka air laut rata-rata. Dalam praktik geodesi, geoid digunakan sebagai referens ketinggian.

Namun karena bidang geoid bentuknya tidak teratur maka bidang geoid tidak dapat digunakan untuk keperluan hitungan-hitungan geodesi terkait dengan bentuk bumi. Diperlukan suatu model bidang lain yang dapat digunakan untuk memecahkan persoalan pokok geodesi dengan mudah. Untuk itu digunakan model ellipsoid sebagai pengganti geoid secara geometrik. Ellipsoida yang mempunyai bentuk dan ukuran mendekati geoid menyatakan bentuk bumi dalam arti geometrik/matematik, dimana pusat ellipsoida didefinisikan berhimpit dengan sumbu rotasi bumi. Dalam praktik geodesi, bidang ellpsoida merupakan bidang referensi hitungan di dalam rangka penentuan koordinat titik dipermukaan bumi, serta bidang perantara di dalam proses pemetaan. Beberapa jenis model ellipsoid yang ada , seperti ditunjukan pada table berikut :

Salah satu tugas geodesi geometris adalah menentukan koordinat titik-titik, jarak dan arah di permukaan bumi untuk berbagai keperluan praktis maupun ilmiah. Untuk itu, diperlukan adanya suatu perhitungan matematis. Permukaan bumi fisik merupakan permukaan yang sangat tidak teratur. Oleh karena itu, permukaan ini tidak dapat digunakan sebagai bidang hitungan geodesi. Untuk kebutuhan hitungan-hitungan geodesi, maka permukaan fisik bumi diganti dengan permukaan yang teratur dengan bentuk dan ukuran yang mendekati bumi. Permukaan yang dipilih adalah bidang permukaan yang mendekati bentuk dan ukuran geoid. Seperti telah disinggung di muka, geoid memiliki bentuk yang

sangat mendekati ellips putar dengan sumbu pendek sebagai sumbu putar yang berimpit dengan sumbu putar bumi. Ellipsoid ini kemudian disebut sebagai ellipsoid referensi (permukaan referensi geometrik).

Ellipsoid referensi biasanya didefinisikan oleh nilai-nilai jari-jari ekuator (a) dan pegepengan (f) ellips putarnya. Sedangkan parameter-parameter seperti setengah sumbu pendek (b), eksentrisitas (e), dan lainnya dapat dihitung (atau diturunkan) dengan menggunakan ke dua nilai parameter pertama di atas. Dengan memperhatikan kondisi-kondisi fisik permukaan (bentuk geoid) beserta faktor lainnya, tidak semua negara di dunia menggunakan ellipsoid yang sama. Karena itu, banyak dijumpai ellipsoid referensi. Jika ellipsoid referensi yang digunakan dipilih berdasarkan kesesuaiannya (sedekat mungkin) dengan bentuk geoid lokalnya (relatif tidak luas), maka ellipsoid referensi tersebut dapat disebut juga sebagai ellipsoid lokal. Jika ellipsoid referensi yang digunakan sesuai dengan bentuk geoid untuk daerah yang relatif luas (tingkat regional), maka ellipsoid referensi tersebut juga dikenal sebagai ellipsoid regional. Sedangkan jika ellipsoid referensi yang dipilih sesuai (mendekati) dengan bentuk geoid untuk keseluruhan permukaan bumi, maka ellipsoidnya juga disebut sebagai ellipsoid global. Sebagai contoh, Indonesia pada 1860 menggunakan ellipsoid Bessel 1841 (a = 6 377 397; 1/f = 299.15). tetapi sejak 1971 Indonesia juga menggunakan ellipsoid GRS-67 (a = 6 378 160; 1/f = 298.247) yang kemudian disebut sebagai Speroid Nasional Indonesia (SNI). Sebagaimana telah disinggung sebelumnya, untuk pekerjaan praktis geodesi, baik bidang datar maupun permukaan bola masih dapat digunakan. Sebagai contoh, untuk pekerjaan geodesi yang dilakukan di dalam wilayah seluas maksumal 100 km2 permukaan ellipsoid dapat dianggap sebagai permukaan bola. Sedangkan bila pekerjaan tersebut dilakukan di dalam wilayah seluas maksimal 55 km2, permukaan ellipsoid bersangkutan dapat dianggap sebagai bidang datar. Dengan demikian, baik permukaan bola maupun bidang datar ini dapat pula disebut sebagai bidang referensi.

3.3 Sistem Koordinat Ellipsoid

Untuk pendefinisian bentuk bumi sangatlah susah. Bentuk bumi dikenal sebagai geoid. Geoid didekati oleh permukaan muka laut rata-rata. Untuk mempermudah hitungan bentuk bumi, digunakan suatu model matematik yang disebut ellipsoida yaitu ellips yang putar.

Ellipsoid secara matematis di tuliskan menjadi : dengan :

a = sumbu semi-mayor (setengah sumbu panjang)

b = sumbu semi-minor ( setengah sumbu pendek)

f = flattening (penggepengan) e = eksentrisitas

Dalam pengukuran geodesi secara umum, dikembangkan hubungan antara sistem koordinat kartesian 3 Dimensi dengan sistem koordinat Ellipsoids.

Persamaan hubungan matematis dari sistem koordinat kartesian 3 dimensi dan koordinat ellipsoid adalah

Besaran a dan b tergantung dari model ellipsoid yang digunakan, misalnya. WGS84, Bessel 1881, dan lain-lain.