Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier. Syawaluddin H. 1)

(1)

1. Anggota KK Teknik Kelautan, FTSL-ITB, Jl. Ganesha No.10 Bandung 40132. Abstrak

Paper ini menyajikan hasil perumusan persamaan gelombang nonlinier dengan prosedur yang lain. Dimana amplitudo gelombang, persamaan momentum dari Euler dan tekanan hidrodinamis dari Bernoulli sepenuhnya digunakan, tanpa pemotongan atau linierisasi. Potensial kecepatan dan persamaan dispersi yang dihasilkan menjadi persamaan gelombang linier bila digunakan amplitudo sangat kecil.

Pada persamaan potensial kecepatan terdapat fenomena breaking, dengan bentuk yang sama dengan kriteria breaking dari Miche. Panjang gelombang yang dihasilkan dari persamaan dispersi adalah lebih kecil dari panjang gelombang dari teori gelombang linier. Peranan amplitudo gelombang pada persamaan dispersi adalah memperpendek panjang gelombang. Semakin besar amplitudo gelombang, semakin panjang gelombang. Kata-kata Kunci :

Persamaan gelombang linier : Teori gelombang yang diturunkan untuk amplitudo gelombang sangat kecil. Teori gelombang nonlinier : Teori gelombang yang diturunkan untuk amplitudo gelombang yang cukup besar. Abstract

This paper presents derivation of a nonlinear wave equation with different procedure. In which, wave amplitude, momentum Euler’s equation and hydrodynamic pressure of Bernoulli are fully used and no linearization. The resulted potential and dispersion equation become equations of linier wave theory when small amplitude in-serted to the equations.

Velocity potential equation gives breaking phenomena that the same as Miche’s breaking criteria. Wave length resulted from the dispersion equation shorter than wave length resulted by linear wave theory. Existences of wave amplitude in dispersion equation make wave length shorter. Larger wave amplitude shorter wave length. Keywords :

Linear wave theory : Wave theory derived for very small wave amplitude. Nonlinear wave theory : Wave theory derived for large wave amplitude.

Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier

Syawaluddin H.1)

TEKNIK

SIPIL

1. Pendahuluan

Nonlinieritas suatu teori gelombang adalah ditinjau dari perumusannya. Bila pada perumusannya diperhitungkan peranan amplitudo gelombang maka persamaan yang dihasilkan disebut dengan persamaan gelombang atau teori gelombang nonlinier. Sedangkan bila pada perumusannya digunakan amplitudo gelombang yang sangat kecil sehingga dapat diabaikan peranannya, maka persamaan yang dihasilkan adalah persamaan gelombang linier.

Pada penelitian ini dikembangkan suatu persamaan gelombang nonlinier. Dengan tujuan mendapatkan suatu persamaan gelombang nonlinier yang lebih

sederhana dari persamaan gelombang nonlinier yang ada tanpa mengurangi ketelitiannya.

2. Persamaan Potensial Kecepatan

Perumusan persamaan potensial kecepatan diawali dengan penyelesaian persamaan Laplace

dengan metoda pemisahan variabel. Berdasarkan Dean [3], hasil penyelesaian persamaan tersebut setelah dimasukkan syarat batas lateral dan syarat batas kinematik dasar perairan dengan dasar datar adalah

= 0, 2 2 2 2 z x ∂ ∂ + ∂ ∂

φ

(2)

φ = G cosh (k (h + z)) cos kx sin σt (2.1) dimana :

φ = potensial kecepatan k = bilangan gelombang

h = kedalaman perairan pada muka air diam σ = frekuensi sudut = 2π / T

T = perioda gelombang

G = adalah suatu konstanta yang perlu ditentukan harganya

Untuk mendapatkan G, digunakan persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman, yaitu

Perumusan Persamaan (2.2) tersebut dapat dilihat pada Lampiran I.A. Substitusi u = - ∂φ /∂x dan η = A cos kx sin σt (Lampiran I.B), dimana A = amplitudo gelombang, ke Persamaan (2.2) diperoleh

3. Persamaan Dispersi

Untuk mendapatkan persamaan dispersi digunakan persamaan momentum dari Euler dengan tekanan hidrodinamis dari Bernoulli. Perumusan persamaan dapat dilihat pada Lampiran I.C. Bentuk persamaan momentum tersebut adalah

Substitusi η = A cos kx sin σt, u = - ∂φ /∂x, dengan φ dari Persamaan (2.4) diperoleh persamaan dispersi yaitu (Lampiran I.D)

=

∂

t

η

∫

∂

η h

-dz

u

x

− (2.2) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 A k -2 A h k tanh 2 A h k cosh k A σ G = (2.3) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 A k -2 A h k tanh 2 A h k cosh k t sin kx cos z) (h k cosh A σ σ φ = (2.4)

(

2 2

)

w u x 2 1 η η + ∂ ∂ −

x

g

-t

x

∂

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

φ

_η

η

(3.1)

kH

cosh

kH

anh

t

⎜⎜

⎝

⎛

F

2 k

A

2

σ

+

F

4 k

A

2 2

σ

tanh kH +

F

4 k

A

2 2

σ

⎜⎜

⎝

⎛

F

2 k

A

-2

σ

F

4 A

2 2

σ

−

_⎟

⎠

⎞

kH

cosh

kH

anh

t

+ tanh2 kH + +

⎟⎟

⎠

⎞

kH

tanh

F

4 k

A

3 ₃ 2

σ

⎜⎜

⎝

⎛

2 k

A

-2 2 2

σ

tanh2 kH

⎟⎟

⎠

⎞

kH

tanh

2 k

A

2

σ

+ = g k F (3.2)

4. Analisis Persamaan

a. Persamaan dispersi

Pada amplitudo gelombang yang sangat kecil, maka Persamaan (3.2) menjadi

σ2

= g k F

Dimana F = tanh k ( k ( k + A/2 ) ) - A/2. Untuk amplitudo gelombang yang sangat kecil, maka F = tanh kh. Persamaan dispersi menjadi σ2 = gk tanh kh yang merupakan persamaan dispersi dari teori gelom-bang linier.

Jadi persamaan dispersi yang dihasilkan sama dengan persamaan dispersi dari teori gelombang linier pada amplitudo gelombang yang sangat kecil.

b. Panjang gelombang

Hasil perhitungan panjang gelombang dengan menggunakan persamaan dispersi (Persamaan 3.2) untuk perioda gelombang 6 detik, disajikan pada Tabel 1. Pada amplitudo gelombang 0.0 m, dihasilkan panjang gelombang yang sama dengan panjang gelombang dari teori gelombang linier. Sedangkan pada amplitudo yang besar, panjang gelombang yang dihasilkan oleh Persamaan (3.2) lebih pendek dari panjang gelombang dari teori gelombang linier.

Pada amplitudo 0.5 m dan 0.80 m, pada kedalaman 22 m sampai dengan 40 m, terlihat terjadi pengurangan panjang gelombang dengan bertambahnya kedalaman. Fenomena ini mencerminkan peristiwa wave setdown, yaitu berkurangnya kedalaman rata-rata akibat adanya gelombang. Pada hasil perhitungan tersebut juga terlihat perbedaan panjang gelombang dengan panjang gelombang dari teori gelombang linier mengecil, seiring dengan semakin dangkalnya perairan. Peristiwa ini mencerminkan fenomena wave setup. Kemampuan persamaan memodelkan fenomena wave setup dan wave setdown tersebut memang masih memerlukan penelitian lebih lanjut, tetapi fenomenanya sudah terlihat.

Pada hasil perhitungan tersebut juga terlihat pengaruh amplitudo gelombang yaitu bahwa semakin besar amplitudo semakin pendek panjang gelombang.

dimana

2 A

-2

A

h

k

tanh

F

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

dan H =h +

2 A

(3)

h (m) L-linier (m) L-0.0 (m) L-0.5 (m) L-0.8 (m) 40.00 38.00 36.00 34.00 32.00 30.00 28.00 26.00 24.00 22.00 20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 56.19 56.18 56.17 56.15 56.12 56.07 56.00 55.88 55.71 55.44 55.05 54.47 53.62 52.42 50.73 48.41 45.22 40.87 34.77 25.58 56.19 56.18 56.17 56.15 56.12 56.07 56.00 55.88 55.71 55.44 55.05 54.47 53.62 52.42 50.73 48.41 45.22 40.87 34.77 25.58 52.78 52.78 52.79 52.80 52.81 52.81 52.80 52.77 52.71 52.58 52.35 51.96 51.33 50.36 48.90 46.78 43.75 39.47 33.31 23.75 50.21 50.23 50.26 50.30 50.35 50.40 50.46 50.52 50.58 50.60 50.56 50.41 50.05 49.36 48.18 46.30 43.43 39.20 32.91 22.89 Tabel 1. Perbandingan panjang gelombang, antara teori gelombang linier dengan teori gelombang nonlinier, perioda gelombang 6 detik

Catatan:

L-linier : panjang gelombang dari teori gelombang linier

L-0.0 : panjang gelombang dari teori gelombang nonlier dengan amplitudo 0.0

L-0.5 : panjang gelombang dari teori gelombang nonlier dengan amplitudo 0.5 m

L-0.8 : panjang gelombang dari teori gelombang nonlier dengan amplitudo 0.8 m

c. Persamaan potensial aliran

Persamaan potensial aliran (Persamaan (2.2)),

Pada amplitudo gelombang yang sangat kecil persa-maan potensial aliran menjadi

Pada amplitudo yang kecil, persamaan dispersi menja-di σ2

= g k tanh (kh) atau k = σ2 / g tanh (kh). Substi-tusi k pada persamaan potensial aliran, diperoleh

yang merupakan persamaan potensial aliran dari teori ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 A k -2 A h k tanh 2 A h k cosh k t sin kx cos z)) (h (k cosh A σ σ φ =

(kh)

tanh

kh

cosh

z))

(h

(k

cosh

+

k

A

σ

φ = cos kx sin σt

σ

A

g

(kh)

cosh

z))

(h

(k

cosh

+

φ = cos kx sin σt

yang merupakan persamaan potensial aliran dari teori gelombang linier.

d. Breaking

Pada persamaan potensial aliran terdapat factor pem-bagi tanh ( k (h + A/2) ) - kA/2. Bila tanh

Terlihat bahwa Persamaan (4.1) mempunyai bentuk yang sama dengan Persamaan (4.2).

Pada tanh ( k (h + A/2)) = 0, maka φ menjadi ~, dapat dikatakan bahwa kondisi ini adalah kondisi breaking. Jadi persamaan potensial aliran yang dihasilkan mempunyai karakteristik breaking dengan bentuk yang sama dengan kriteria breaking dari Miche.

5. Kesimpulan

Potensial kecepatan dan persamaan dispersi yang dihasilkan pada penelitian ini mempunyai karakteristik linier pada amplitudo kecil. Bagi sejumlah peneliti [1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15] kandungan karakteristik linier pada suatu persamaan gelombang nonlinier merupakan petunjuk untuk validitas suatu teori gelombang nonlinier.

Persamaan potensial aliran yang dihasilkan mempunyai kondisi breaking yang sama dengan kriteria breaking dari Miche.

Dari hal-hal tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa persamaan gelombang yang dihasilkan pada penelitian ini cukup valid.

Pada proses perumusan terdapat hal-hal yang diabaikan, karena itu persamaan masih perlu disempurnakan untuk mendapatkan persamaan yang lebih baik.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

2 A

h

k

2 A

k

− = 0 , maka

2 A

k

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

2 A

h

k

= tanh

L

2 A

2 π

= tanh

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

2 A

h

k

π

2 L

A

2

=

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

2 A

h

k

tanh (4.1)

L

A

2

= 0.142 tanh kh (4.2) Kriteria breaking dari Miche,

(4)

Daftar Pustaka

Bredmese, H., Schaffer, H.A., and Madsen, P.A., 2004, Boussinesq Evolution Equations : “Numerical Efficiency, Breaking and Amplitude Dispersion”, Coastal Engineering. [1]

Chen, Y., and Liu, P.L.-F., 1995, “Modified Boussi-nesq Equations and Associated Parabolic Models for Water Wave Propagation”, J. Fluid Mech., 288. [2]

Dean, Robert G., and Dalrymple, “Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. [3]

Gobbi, M.F., and Kirby, J.T., 1998, “A New Boussi-nesq Type Model for Surface Water Wave”, Ph.D. Dissertation of the First Author. Univer-sity of Delaware. [4]

Kirby, J.T., and Wei, G., 1994, “Derivation and Prop-erties of A Fully Nonlinear, Extended Boussi-nesq Model”. In Proc. IAHR Symposium: Waves – Phys. and Num. Model, Vancouver. [5]

Li, Y.S., Liu, S.-X., Yu, Y.-X., and Lai, G.-Z. 1999, “Numerical Modeling of Boussinesq Equations By Finite Element Method”, J. Coastal Engi-neering, Elsevier. [6]

Madsen, P. A., Murray, R., and Sørensen, O.R., 1991, “A New Form of Boussinesq Equation with Improved Linear Dispersion Characteristics”, Coastal Engineering 15. [7]

Madsen, P. A., and Sørensen, O.R., 1992, “A New Form Of Boussinesq Equation With Improved Linear Dispersion Characteristics”, Part 2. A Slowly-Varying Bathymetry, Coastal Engineer-ing 18. [8]

McCowan, A.D., 1987, “The Range of Application of Boussinesq Type Numerical Short Wave Mod-els”, In Proc. 22nd IAHR Congr. [9]

Meftah, Sorgent, P., and Gami P., 2004, “Linear Analysis of A New Type of Extended Boussi-nesq Model”. Coastal Engineering. [10] Nwogu, O., 1993, “An Alternative Form of The

Bous-sinesq Equations for Nearshore Wave Propa-gation”. J. Waterway, Port, Coast.. Ocean Engng. 119. [11]

Sarpkaya T. and Iseacson, Micheal, 1981, “Mechanics of Wave Forces on Offshore Structures”, Van Nostrand Reinhold Company. [12]

Schäffer, H. A., Madsen, P.A., 1995, ”Further En-hancements of Boussinesq Type Equations”. Coastal Engineering (26). [13]

Sørensen, O.R., Schäffer, H.A., and Sørensen, L.A., 2004, “Boussinesq Modelling Using Unstruc-tural Finite Element Technique”. Coastal Engi-neering. [14]

Wei, G., Kirby, J.T., Grilli, S.T., and Subramanya, R., 1995, “A Fully Nonlinear Boussinesq Model For Surface Waves”, Part 1, Highly Nonlinear Unsteady Waves. J. Fluid Mech. 294. [15]

(5)

Lampiran I

Perumusan Persamaan

I.A Persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman

Persamaan kontinuitas pada aliran fluida dalam bentuk 2 dimensi yaitu arah x – z adalah

dimana u adalah kecepatan arus pada arah horizontal x sedangkan w adalah kecepatan arus pada arah vertikal z, persamaan dikalikan dz dan diintegrasikan terhadap kedalaman,

Dengan mengerjakan aturan Leibniz pada integral ruas kanan persamaan, diperoleh

Syarat batas kinematik permukaan adalah [3]

dan syarat batas kinematik dasar perairan adalah [3]

Dengan menggunakan kedua syarat batas tersebut, persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap keda-laman menjadi

dimana η adalah fluktuasi muka air terhadap muka air diam (Gambar A.1).

z

w

x

u

∂

+

∂

= 0

0 dw

dz

x

u

h -h

-=

+

∂

∫

η η ; wη – w-h = -

∫

∂

η h

-dz

x

u

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∫

η η

η

h -h

-x

h

u

-x

u

-dz

u

x

wη – w-h = - wη =

t

∂

η

+ u

x

∂

η

w-h = - u-h

x

∂

η

t

∂

η

= -

∫

∂

η h

-dz

u

x

h

η Muka air diam

x z

I.B Potensial kecepatan

Dengan φ = G cosh (k (h + z)) cos kx sin σt, maka

Substitusi persamaan terakhir ke Persamaan (1), diperoleh

u = -

x

∂

φ

= G k cosh( k (h + z)) sin kx sin σt

∫

η

h

-dz

u

= G sinh (k (h + η)) sin kx sin σt

∫

∂

η h

-dz

u

x

= G k sinh (k (h + η)) cos kx sin σt + G k cosh (k (h + η)) sin kx sin σt

x

∂

η

η = A cos kx cos σt ;

x

∂

η

= - k A sin kx cos σt

∫

∂

η h

-dz

u

x

= G k sinh (k (h + η)) cos kx sin σt - G k2 cosh (k (h + η)) sin kx sin kx sin σt cos σt Dengan mengambil cos kx = sin kx= cos σt = sin σt =

2

1

maka

∫

∂

η h

-dz

u

x

=

2 k

G

sinh (k (h + η)) -

4 A

k

G

2 cos k (h + η)

∫

∂ ∂ η h -dz u x 2 k G = cosh (k (h + η)) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ 2 A k -) (h k tanh η

t

∂

η

=

-2

k

G

cosh (k (h + η)) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ 2 A k -) (h k tanh

η

t

∂

η

= - σ A cos kx sin σt Dengan cos kx = sin σt

2

, maka

t

∂

η

=

-2

A

σ

2 A

σ

- = -2 k G cosh (k (h + η)) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ 2 A k -)) (h (k tanh η G =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

+

))

tanh

(k

(h

))

-

k

A

(h

(k

cosh

k

A

η

σ

(6)

I.C Persamaan momentum C.1 Persamaan Bernoulli

C.2 Persamaan momentum fluida ideal Persamaan momentum arah x dari Euler,

2

1

Dengan cos kx = cos σt = , η = A/2 G = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 A k -2 A h k tanh 2 A h k cosh k A σ (B.1)

Dengan demikian potensial aliran menjadi

φ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 A k -2 A h k tanh 2 A h k cosh k t sin kx cos z) (h k cosh A σ σ (B.2)

t

-z

g

2 w

u

p

2 2

∂

+

φ

ρ

= c (t) (C.1) Bernoulli (z = z) = Bernoulli (z = η) t -g 2 w u p t -z g 2 w u p 2 2 2 2 ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ + + + η η η

_η

φ

η

ρ

φ

ρ

Syarat batas dinamik permukaan pη = 0

(

)

t

-z

-g

2 w

u

-2

w

u

p

1

2 2 2 2

∂

+

∂

+

=

η

φ

ρ

η η η

(

)

(

u

w

)

x

2

1 w

u

x

2

1 x

p

1

2 2 2

₊

2

₊

∂

+

∂

=

∂

ρ

η η

z

x

t

x

-x

g

∂

+

∂

η

φ

η

φ

(C.2)

x

p

1 -z

u

w

x

u

t

u

∂

=

∂

+

∂

+

∂

ρ

Fluida ideal

x

w

z

u

∂

=

∂

x

p

1 -x

w

2

1 x

u

2

1 t

u

2 2

∂

=

∂

+

∂

+

∂

ρ

Dengan menggunakan

x

p

1 ∂

∂

ρ

dari Persamaan (C.2)

(

)

x

p

1 w

u

x

2

1 t

u

2 2

∂

=

+

∂

+

∂

ρ

C.3 Persamaan momentum yang digunakan

I.D Persamaan Dispersi

Untuk mempermudah penulisan didefinisikan H = h + η ; P = h + z,

(

2 2

)

(

2 2

)

(

_u2 _w2

)

x 2 1 w u x 2 1 w u x 2 1 t u ₊ ∂ ∂ + + ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ η η +

x

g

-t

x

-t

x

∂

φ

η

φ

η

(

2 2

)

w

u

x

2

1 t

u

η η

+

∂

+

∂

x

g

-t

x

t

x

∂

=

∂

+

∂

φ

η

φ

η

- u = -

x

∂

φ

t

u

∂

= -

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

x

t

φ

Dari teori kalkulus

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

x

t

φ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

t

x

φ

= Dengan demikian

t

u

∂

= -

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

t

x

φ

Pada persamaan momentum terdapat suku,

t

u

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

t

x

φ

+ Dengan sifat fungsi tersebut maka

t

u

∂

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

t

x

φ

= 0,

sehingga persamaan momentum menjadi

(

2 2

)

w

u

x

2

1

η η

+

∂

x

g

-t

x

∂

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

φ

_η

η

- (C.4)

2 A

k

-2

A

h

k

tanh

F

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

D.1

2

1 x

u

2

∂

_η

x

u

∂

η η = u =

-H

k

cosh

P

k

cosh

F

A

x

σ

φ

=

∂

sin kx sin σ t

k

F

A

σ

- sin kP cos kx cos σ t

H

k

cosh

1 x

∂

(7)

x

u

∂

H

k

cosh

P

k

cosh

F

k

A

σ

- cos kx cos σ t

F

A

σ

+ cos kP sin kx cos σ t

H

k

cosh

1 x

∂

F

A

σ

+ cos kP sin kx cos σ t

H

k

cosh

1 x

∂

Pada persamaan

x

u

∂

tersebut

H

k

cosh

1 x

x

∂

diabaikan. Pada kondisi cos kx = sin kx = cos σt = sin σt =

2

, u

x

u

∂

= H k cosh P k cosh F 4 A H k cosh P k cosh F 4 k A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

σ

₊

H

k

cosh

1 x

∂

H

k

cosh

P

k

cosh

F

4 A

2 2 2 2

σ

+

H

k

cosh

1 x

∂

H

k

cosh

P

k

cosh

k

F

4 A

2 2 2 2

σ

−

H

k

cosh

1 x

∂

Pada persamaan terakhir

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

H

k

cosh

1 x

diabaikan. u

x

u

∂

= H k cosh H k sinh F 8 k A H k cosh P k cosh F 4 k A 3 2 3 2 2 2 2 2 2

σ

+ cosh2 kP+

kH

cosh

kH

sinh

F

8 k

A

4 2 3 2

σ

cosh2 kP -

kH

cosh

kH

sinh

F

8 A

4 2 3 2

σ

cosh2 kP 2 3 2

F

8 k

A

σ

x

u

∂

_η η = ₂ 2 2

F

4 k

A

σ

+ tanh kH + 2 3 2

F

8 k

A

σ

kH

cosh

kH

anh

t

2 3 2

F

8 A

σ

-

kH

cosh

kH

anh

t

(D.1)

x

w

∂

_η η D.2 w =

-H

k

cosh

P

k

sinh

F

A

σ

cos kx sin σ t

w

∂

sinh

k

P

k

A

σ

= sin kx sin σ t

F

A

σ

- sin kP sin kx sin σ t

H

k

cosh

1 x

∂

Pada kondisi cos kx = sin kx = cos σt = sin σt =

2

maka x w ∂ ∂ H k cosh P k sinh F 2 k A

σ

= H k cosh H k sinh F 4 k A 2 2 2

σ

sinh kP - w x w ∂ ∂ = - H k cosh H k sinh F 8 k A kH cosh kP sinh F 4 k A 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2

σ

₊ sinh2 kP Pada z = η, x w w ∂ ∂ _η η H k cosh H k sinh F 8 k A -kH cosh sinh F 4 k A 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2

σ

= - (D.2)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

t

x

η

φ

D.3 φ =

H

k

cosh

P

k

cosh

k

F

A

σ

cos kx sin σt

t

∂

φ

H

k

cosh

P

k

cosh

k

F

A

2

σ

= cos kx cos σt+

k

F

A

σ

cosh k P cos kx sin σt

t

∂

H

k

cosh

1

t x ∂ ∂ ∂ ∂ φ = -H k cosh P k cosh F A 2 σ H k cosh P k cosh F A 2 σ sin kx cos σt

k

F

A

2

σ

+ cos kP cos kx cos σt

x

∂

H

k

cosh

1 F

A

σ

cos kP sin kx cos σt -

t

∂

H

k

cosh

1

Dalam hal ini

x

∂

t

∂

H

k

cosh

1

dianggap sangat kecil dan dapat diabaikan.

H

k

cosh

H

k

sinh

F

4 k

A

2 2 2

σ

t

x

∂

φ

H

k

cosh

P

k

cosh

F

2 A

2

σ

= - + cos kP

H

k

cosh

H

k

sinh

F

4 k

A

2 2 2

σ

- cos kP ∂ ∂

φ

η = - A Ak 2 2 2

σ

₊

σ

2A

σ

2A2k + tanh kH -

(8)

F

4 k

A

2 2

σ

tanh kH (D.3)

Substitusi persamaan (D.1), (D.2) dan (D.3) ke per-samaan (C.4)

⎜⎜

⎝

⎛

2 2 2

F

4 k

A

σ

+ ₂ 3 2

F

8 k

A

σ

tanh kH + ₂ 3 2

F

8 k

A

σ

kH

cosh

kH

anh

t

2 3 2

F

8 A

σ

-

⎟

⎠

⎞

kH

cosh

kH

anh

t

+

_⎜⎜

⎝

⎛

2 2 2

F

4 k

A

-

σ

tanh2 kH + F 4 k A2 2 2 σ ⎟⎟ ⎠ ⎞ kH tanh F 8 k A 3 2 3 2 2 σ ⎜⎜ ⎝ ⎛ F 2 A 2 σ + - tanh2 kH