PRESENTASI TUGAS AKHIR CI 1599

PENERAPAN METODE BARVINOK RATIONAL

FUNCTIONS PADA OPTIMASI INTEGER

PROGRAMMING

(Kata kunci: Integer Programming, Barvinok rational function)

PRESENTASI TUGAS AKHIR – CI 1599

Penyusun Tugas Akhir :

Riska Kurniawati

(NRP : 5107.100.508)

Dosen Pembimbing

:

Rully Soelaiman, S.Kom, M.Kom.

• Optimasi sering kali dibutuhkan dalam proses pengambilan keputusan

• Bentuk optimasi dapat berupa meminimumkan biaya yang dikeluarkan atau juga dapat berupa memaksimumkan pendapatan yang ingin diperoleh.

• Permasalahan yang sering muncul, jika hasil dari proses optimasi berupa bilangan pecahan.

• Digunakan metode

integer programming

untuk menyelesaikan masalah tersebut.

• Metode

integer programing

yang sudah ada, kurang baik dalam hal efisiensi waktu jika masalah yang dipecahkan terlalu besar karena akan membutukan kompleksitas waktu yang lama.

• Jurnal yang ditulis oleh J.A De Loera, D.Haws, R. Hemmecke, P. Huggins, dan R. Yoshida memberikan alternatif metode penyelesaian permasalahan

integer programming

menggunakan metode

Barvinok Rational Functions

• Pada Tugas akhir ini, metode

Barvinok Rational Functions

diharapkan mampu untuk menyelesaikan permasalahan

integer

programming

dengan lebih cepat dan efisien dalam penggunaan

memori.

Tujuan dari pembuatan tugas akhir ini adalah :

•

Memberikan kemudahan dalam menyelesaikan kasus

integer

programming

.

•

Menganalisa algoritma

binary search

yang digunakan dalam metode

Barvinok Rational Functions

untuk menentukan efisiensi algoritma tersebut dalam menyelesaikan kasus

integer programming.

•

Menentukan nilai optimal suatu kasus

integer programming

menggunakan algoritma

binary search

dari metode

Barvinok

Rational Functions

•

Membandingkan nilai optimal dari permasalahan integer programming menggunakan program Latte v1.2 dengan Solver IP yang sudah umum

• Menentukan tahapan apa saja yang harus dilakukan untuk mendapatkan nilai optimal dalam menyelesaikan suatu kasus

integer programming

menggunakan metode

Barvinok

Rational Functions.

• Menentukan bagaimana jalannya algoritma

binary search

dari metode

Barvinok Rational Functions

dalam menyelesaikan kasus

integer programming.

Metode

barvinok rational functions

hanya digunakan untuk menyelesaikan kasus

integer programming

.

Hanya algoritma

Binary search

yang diterapkan dan dianalisa untuk mendapatkan nilai optimal dalam suatu kasus

integer

programming

.

Penyelesaian permasalahan

integer programming

menggunakan algoritma

binary search

dari metode

Barvinok

Rational Functions

dilakukan dengan perhitungan secara

manual.

Perangkat Lunak yang digunakan untuk menyelesaikan kasus

integer programming

berdasarkan metode

Barvinok Rational

Functions

yaitu program Latte v1.2 yang dijalankan

menggunakan sistem operasi Linux Red Hat.

Untuk solver IP digunakan Program TORA dengan metode

Branch and Bound

.

• Integer Programming

• Metode Branch and Bound • Teori Fungsi Polynomial • Lattice Point

• Polyhedra

• Generating Function • Rational Function

• Metode Barvinok Rational Function • Monomial Substitution

• Algoritma Binary Search

Pada bagian perancangan ini meliputi dua

bagian, yaitu:

•

Perancangan Data :

Data Masukan

Data Keluaran

•

Perancangan Proses :

Flowchart Keseluruhan Sistem

Skenario uji coba pada tugas akhir ini yaitu :

„ Skenario uji coba kebenaran hasil dari program Latte v1.2

yang dibandingkan dengan program TORA

„ Skenario uji coba kinerja dari program Latte v1.2

dibandingkan dengan program TORA untuk menguji tingkat efisiensi waktu pada saat komputasi

.

•

Data yang digunakan :

•

Data taaa1

•

Data taaa2

•

Data cuww1

•

Data cuww2

•

Data cuww3

• Berdasarkan hasil uji coba yang dilakukan pada skenario uji coba menggunakan beberapa variabel, maka dapat di evaluasi bahwa :

Program Latte v1.2 yang menerapkan algoritma binary search dari metode barvinok rational function mampu menyelesaikan permasalahan integer dengan efektif dan efisien.

Program Latte v1.2 yang menerapkan algoritma binary search dari metode barvinok rational function mempunyai waktu eksekusi program yang lebih cepat dibandingkan dengan waktu eksekusi program TORA dengan menggunakan metode branch and bound

Program Latte v1.2 yang menerapkan algoritma binary search dari metode barvinok rational function mempunyain jumlah Iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan iterasi pada program TORA

• Tabel hasil evaluasi

Berdasarkan hasil uji coba yang telah dilakukan, maka dapat disimpulkan bahwa :

• Program Latte v1.2 yang menerapkan metode barvinok rational functions

mampu memberikan kemudahan dalam menyelesaikan kasus integer programming serta mempunyai waktu komputasi yang lebih cepat dan lebih efisien dalam penggunaan memori .

• Algoritma binary search dalam metode barvinok rational functions, merupakan algoritma yang efektif dalam menyelesaikan kasus integer programming dibandingkan dengan metode branch and bound yang digunakan dalam TORA.

• Penerapan metode barvinok rational functions ini mampu menghasilkan

one feasible integer solution untuk masing – masing data uji coba sehingga memudahkan pengguna dalam pengambilan keputusan

• Program Latte v1.2 mampu menghasilkan nilai optimal yang sama dari suatu permasalahan integer programming dengan solver IP lainnya yang sudah umum.

[1] A.I. Barvinok, J. Pommersheim, An algorithmic theoryof lattice points in polyhedra, in: New Perspectives in Algebraic Combinatorics (Berkeley, CA, 1996–1997), Mathematical Science and Research Institute Publications, vol. 38, Cambridge University Press, Cambridge, 1999, pp. 91–147

[2] A.I Barvinok, Lattice Points, Polyhedra, and Complexity, IAS/Park City Mathematics Series Volume , 2004

[3] A.I. Barvinok, Polynomial time algorithm for counting integral points in polyhedra when the dimension is fixed, Math. Oper. Res. 19 (1994) 769–

779.

[4] J.A De Loera, D.Haws, R. Hemmecke, P. Huggins, R. Yoshida, A computational study of integer programming algorithms based on Barvinok rational functions, Discrete Optimization 2 (2005) 135 – 144

[5] J.A. De Loera, R. Hemmecke, J. Tauzer, R.Yoshida, Effective lattice point counting in rational convex polytopes, J. Symbolic Comput. 38 (2004) 1273–1302.

[6] J.A. De Loera, D. Haws, R. Hemmecke, P. Huggins, J. Tauzer, R.Yoshida, A User’s Guide for LattE v1.1, 2003, Program package LattE is available at http://www.math.ucdavis.edu/~latte/

[7] M. F. Muthohar, Penerapan Algoritma Branch and bound pada Masalah

Integer Knapsack , ITB, 2008

[8] R. Maharesi, Perbandingan Antara Pendekatan Branch and Bound dan

Pemrograman Linier: Dengan Sebuah Contoh Kasus Optimasi,

Universitas Gunadarma, 2002.

[9] Taha, Hamdi A. 1982. Operation Research : An Introduction, Eight Edition, Macmillan Publishing Co.Inc. .New York

[10] …..2007, Barvinok, <URL : http://freshmeat.net/ projects/ barvinok/>

[11] ...2007, Bilangan Bulat <URL : http://id.wikipedia.org/ wiki/Bilangan_bulat>

[12] ...2007, Integer <URL : http://id.wikipedia.org/wiki/ Integer_(ilmu_komputer) >

[13] ...2009, Laurent Polynomial <URL : http://en. wikipedia.org/wiki/Laurent_series>

•

Integer programming yang biasa disebut juga pemrograman integer sering kali dibutuhkan ketika keputusan harus dilakukan dalam bentuk bilangan bulat

•

Model matematis dari pemrograman bulat sebenarnya sama dengan model

linier programming

, dengan tambahan batasan bahwa variabelnya harus bilangan bulat

•

Bentuk :

Maximize

c.x

subject to :

Ax ≤ b

x ≥ 0 dan non-negative

•

Dalam ilmu komputer, istilah "

Integer

" digunakan untuk merujuk kepada tipe data apapun yang merepresentasikan bilangan bulat, atau beberapa bagian dari bilangan bulat. Disebut juga sebagai

integral data type

.

•

Tipe data integral terbagi menjadi dua kategori, baik itu bertanda (

signed

) ataupun tidak bertanda (

unsigned

). Bilangan bulat bertanda mampu merepresentasikan nilai bilangan bulat negatif, sementara bilangan bulat tak bertanda hanya mampu merepresentasikan bilangan bulat positif

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan

Z (atau ), berasal dari

Zahlen

(bahasa jerman untuk "bilangan")

• Metode branch and bound diusulkan pertama kali oleh A.H.Land dan A.G.Doig pada tahun 1960.

• Metode branch and bound adalah sebuah metode pencarian di dalam ruang solusi secara sistematis. Ruang solusi pada algoritma branch and bound diorganisasikan ke dalam pohon ruang status. Ruang status pada pohon tersebut digunakan untuk menyimpan berbagai kemungkinan solusi yang kemudian diolah lebih lanjut untuk mendapatkan solusi optimal

• Tools : program TORA. Solusi yang diperoleh dengan program ini mempunyai kekurangan, karena tidak menyediakan pilihan yang dapat memberikan alternatif solusi optimal.

• Algoritma branch and bound ini merupakan algoritma yang cukup efektif dalam menentukan solusi optimal, namun kurang baik dalam hal efisiensi waktu jika masalah yang dipecahkan terlalu besar karena akan

Metode Branch and Bound

•

Monomial

merupakan suatu fungsi yang terdiri dari term tunggal, misalnya

cxn

, dimana

c

merupakan konstanta,

x

merupakan variabel, dan

n

bernilai nol atau positif integer. Sedangakan

polynomial

bisa juga diartikan sebagai suatu fungsi yang mengandung operasi baik penjumlahan ataupun perkalian dari sejumlah

monomial

term yang terbatas (

finite

).

•

Bentuk fungsi

polynomial

pada umumnya :

•

Laurent Polynomial

Teori Fungsi Polynomial

0 0 1 2 2 1 1

...

)

(

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

f

=

_n n

+

_n− n−

+

+

+

+

•

Finite field

atau bisa disebut

Galois field

adalah

field

yang terdiri dari elemen – elemen yang nilainya terbatas. Sedangkan field sendiri adalah abstraksi sistem bilangan seperti bilangan rasional Q, bilangan real R, dan bilangan kompleks C, beserta sifat – sifat pentingnya. Jika suatu

field

terdiri dari himpunan F yang terbatas anggotanya, maka

field

tersebut dinamakan

finite

field

•

Bentuk

Polynomial

dapat terdiri lebih dari satu variabel

(

multivariate

). Salah satu bentuk

polynomial

yang terdiri lebih

dari satu variabel yaitu

Laurent Polynomial

. Bentuk dari

Laurent

Polynomial

ini sama seperi bentuk

polynomial

pada umumnya

tetapi pada bentuk

Laurent Polynomial

ini setiap term dimungkinkan untuk mempunyai

negative degree

(derajat eksponen yang bernilai negatif).

•

Bentuk fungsi

laurent polynomial

pada umumnya :

Laurent Polynomial

∑

∈

=

n n n n

x

a

R

a

x

f

(

)

,

•

Lattice Points

merupakan suatu kumpulan (set) titik-titik integer yang berada dalam suatu

region

yang terbatas (

bounded

polyhedron

), baik yang berada tepat di batas

region

maupun

yang berada didalam

region

•

Lattice point

dapat digunakan untuk menentukan bentuk dari

polyhedron

, apakah

polyhedron

tersebut

bounded

atau

unbounded

.

Lattice point

dapat digunakan untuk menentukan

titik yang paling optimal dalam

polyhedron

yang

bounded

. Jika

lattice point

dalam suatu

polyhedron

terus bertambah, berarti

polyhedron

tersebut

unbounded

dan tidak dapat dicari titik yang

paling optimal dari

polyhedron

tersebut

•

Polyhedra

merupakan representasi geometris dari sistem persamaan baik linier maupun tidak linier.

Polyhedra

dapat berupa suatu bidang . Perpotongan (

intersection)

dari beberapa

polyhedra

akan membentuk suatu

polyhedron).

•

Bounded Polyhedron

biasanya disebut juga sebagai

Polytope

.

Convex rational polytope

merupakan

rational

polyhedron

yang memiliki batasan yang

convex. Polyhedron

yang

bounded

akan

convergen

terhadap semua nilai.

•

Polytope

biasanya disebut juga dengan sebuah

cone

•

Pemecahan (

decompose

) sebuah

cone

menghasilkan

unimodular cone

yang lebih sederhana

•

Generating function

merupakan suatu proses untuk mendapatkan suatu bentuk persamaan yang tidak dipengaruhi oleh faktor rekursifnya

•

Bentuk umum dari

generating function

:

generating function

digunakan

untuk

proses

pemecahan

cone

menjadi beberapa

unimodular cone

yang sederhana , proses ini biasanya disebut sebagai

proses

decompose cone

.

Generating Function

∑

∈

=

d z m m

x

x

P

f

(

,

)

₍₁₎

•

Rational function

merupakan suatu fungsi yang dituliskan berdasarkan

ratio

dari 2 fungsi

polynomial

, contoh , dimana P dan Q merupakan fungsi

polynomial

.

•

Rational function

merupakan salah satu bentuk expansi dari

generating function

, dimana semua variabel dalam persamaan

tersebut berupa bilangan integer. Jika inputan yang digunakan dalam persamaan

rational function

tersebut berupa

lattice point

, maka persamaan tersebut disebut

rational polyhedron

•

Bentuk umum dari Rational function :

Rational Function

( )

(

) (

)

∑

• Metode

Barvinok rational functions

pertama kali diperkenalkan oleh A.I Barvinok pada tahun 1993. Metode

Barvinok rational

functions

ini merupakan suatu metode baru yang ditawarkan

untuk memperbaiki dan menyempurnakan penyelesaian kasus

integer programming

.

•

Tujuan dari metode

Barvinok rational functions

ini adalah untuk menemukan solusi optimal dari

Maximize

c.x

subject to :

Ax ≤ b

x ≥ 0 non-negative integer

•

Input data berupa mxd integral matrix A, dimana m merupakan

•

Bentuk umum dari

Barvinok Rational Functions

:

•

Dimana:

I

=

polynomial

size indexing set

Ei

= elemen dari {1,-1}, nilai plus atau minus Ei bergantung dari penambahan atau pengurangan cone.

zui

=

Lattice point

yang mengandung titik-titik integer, dapat

berupa vertice (puncak dari

unimodular cone

)

zvij

=

generator

dari

cone

P (berupa vektor

rays

dari

cone

P)

∑

Π

∈ ₌

−

=

I i v d j u i ij i

z

z

E

z

P

f

)

1

(

)

;

(

1 (3)

•

Persamaan (3) merupakan bentuk dari

rational function

dimana, dalam bentuk fungsi

rational function

tersebut selalu ada komponen pembilang dan penyebut, yaitu :

•

Denominator

(penyebut) dari fungsi diatas berupa hasil kali

binomial dari , dimana

vij

merupakan

generator

dari

cone Pi

(

ray

dari cone

Pi

). Dan bentuk dari penyebut ini berupa

polynomial

.

•

Numerator

(pembilang) dari fungsi diatas berupa

single

•

Dari metode

barvinok rational functions f(P,z)

suatu

polytope P

, jumlah dari

lattice point

di dalam

P

menjadi terbatas ketika vektor (

z1...zd

) mendekati nilai (1,....,1). Untuk mengatasi hal tersebut, substitusi vektor tidak dapat dilakukan dengan mudah. Oleh karenanya dilakukan

general monomial substitution

•

Jika diberikan suatu cost vector

c

elemen

Zd

, dan diterapkann substitusi untuk

zk

=

tck

, maka persamaan 2.8 bentuk

rational

function

nya dalam t adalah :

Monomial Substitution

∑

Π

∈ ₌

−

=

I i v c k j u c i ij i

t

t

E

t

P

f

)

1

(

)

,

(

_. 1 . (4)

Algoritma :

Input : A Zm×d, b Zm, c Zd

Output : Nilai Optimal dari M = maximize[c . x : Ax ≤ b, x ≥ 0, x Zd]

1. Selesaikan masalah Integer Programming dengan menggunakan metode linier programming relaxation dimana M = [max { c . x : Ax ≤ b, x ≥ 0}] dan m = [min{ c . x : Ax ≤ b, x ≥ 0}] . Dengan demikian, [M,m] merupakan initial range untuk algoritma binary search ini

2. Algoritma:

While M > m do

new := [M+m/2]

Using Barvinok algorithm compute qnew = | P ∩ {x: c.x ≥ new}∩ Zd|

If qnew > 0 then set m = new

Else M = new -1

• Data masukan yang digunakan dalam proses manual metode barvinok rational functions ini berupa persamaan integer programming berupa : Maximize c.x

subject to : Ax ≤ b x ≥ 0 x Zd

Data masukan yang digunakan dalam program Latte v1.2 merupakan persamaan integer sama halnya seperti yang digunakan dalam proses manual, dengan bentuk matriks:

dimana: - m = jumlah constrains - d = jumlah variabel

Data Masukan

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

A

1

b

d

m

Contoh

Data taaa1

•

Manual : Persamaan Integer : Maximize z = 5x1 + 4x2 Subject to : x1 + x2 ≤ 5 10x1 + 6x2 ≤ 45 x1,x2 >= 0

Contoh Data Masukan

•

Latte v1.2 : taaa1 2 3 5 -1 -1 45 -10 -6 linearity 1 1 nonnegative 2 1 2 taaa1.cost 1 2 5 4

TABEL DATA KELUARAN

• Data keluaran yang dihasilkan dari proses manual berupa nilai optimal dari persamaan integer yang ada.

• Data keluaran program Latte v1.2 ini merupakan hasil dari

penyelesaian persamaan

integer programming dengan menggunakan metode Barvinok Rational Functions.

• Tabel Data Keluaran, dapat

Data Keluaran

Waktu yang dibutuhkan untuk menjalankan program TORA Waktu eksekusi

untuk TORA 6

Waktu yang dibutuhkan untuk menjalankan program

menggunakan algoritma BBS Waktu eksekusi

untuk BBS 5

Jumlah iterasi yang dibutuhkan oleh BBS dan TORA

Jumlah Iterasi 3

Nilai optimal yang didapatkan Value

2

Nama File masukan Problem

1

Keterangan Nama Data

Flowchart Keseluruhan Sistem

Mulai Persamaan Integer Programming Proses Inisialisasi Proses Pemecahan Cone Proses Menghitung Lattice Point

Proses Optimasi Menggunakan Algoritma Binary Search

Optimal Value Dari

Terdapat 4 proses utama

yang digunakan

dalam

metode barvinok rational

function :

1. Proses Inisialisasi

2. Proses Pemecahan Cone

3. Proses

Hitung

Lattice

point

4. Proses optimasi dengan

menerapkan

algoritma

Binary Search

• Proses inisialisasi ini merupakan suatu proses untuk

menginisialisasi permasalahan integer programming yang akan diselesaikan menggunakan

metode Barvinok Rational Functions.

• Proses inisialisasi terdiri dari 2 tahap :

• Tahap Cek Input

• Tahap Baca Problem Data

Proses Inisialisasi

Mulai

Persamaan Integer Programming

Proses Cek Inputan

Proses Baca Problem Data

Persamaan IP yang Telah diinisialisasi

• Proses yang dilakukan dalam tahapan ini berupa pengecekan inputan apakah inputan tersebut kosong atau tidak.

• Disini maksud dari kosong adalah apakah inputan tersebut mengandung Lattice Point

ataukah tidak. Jika inputan yang dimasukkan tidak mengandung

Lattice Point, maka inputan tersebut dianggap kosong dan tidak dapat diselesaikan.

• Tahapan ini menghasilkan keluaran berupa persamaan

integer programming yang telah dilakukan pengecekan inputan.

Proses Inisialisasi - Cek Inputan

• Inputan yang sudah dicek pada tahap cek inputan kemudian dibaca problem data yang terkandung didalamnya.

• Dilakukan inisialisasi apakah problem pada inputan tersebut berupa permasalahan integer ataukah bukan.

• Jika hasil inisialisasi terhadap problem data tersebut bukan

merupakan permasalahan integer maka inputan tersebut

dianggap kosong dan tidak dapat dikerjakan

• Proses pemecahan (decompose) cone

merupakan bagian yang penting dalam metode Barvinok rational functions.

• Proses Decompose cone merupakan proses pemecahan suatu cone kedalam beberapa unimodular cone.

• Salah satu cara yang digunakan untuk memecah suatu cone (decompose cone) kedalam beberapa bentuk unimodular cone dengan tepat adalah dengan menerapkan fungsi generating function.

Proses Pemecahan Cone

•

Setelah didapatkan

unimodular

cone

dari proses decompose cone, maka untuk menentukan

Lattice Point

yang paling optimal

dari masing-masing

unimodular

cone

adalah dengan melakukan proses

monomial substitution

.

Proses Hitung Lattice Point

• Pada proses optimasi ini, akan dicari nilai optimal dari permasalahan yang ada dengan menganalisa jalannya algoritma

binary search dalam metode

barvinok rational functions

• Algoritma binary search akan membandingkan lattice point

dari masing-masing unimodular cone dan dicari lattice point

yang terbesar dari beberapa

unimodular cone tersebut untuk dijadikan nilai optimal dari permasalahan IP

Proses Optimasi

Data taaa1

•

Manual : Persamaan Integer : Maximize z = 5x1 + 4x2 Subject to : x1 + x2 ≤ 5 10x1 + 6x2 ≤ 45 x1,x2 >= 0

Data taaa1

•

Latte v1.2 : taaa1 2 3 5 -1 -1 45 -10 -6 linearity 1 1 nonnegative 2 1 2 taaa1.cost 1 2 5 4

•

Menggunakan Latte v1.2

•

Menggunakan TORA

Output Program :

(Current) Best Objective Value (Max) = 23 Found at iteration 2

Optimality verified at iteration 5

Hasil Percobaan Data taaa1

Data taaa2

•

Manual : Persamaan Integer : Maximize z = 2x1 - x2 + 3x2 Subject to : x1 - x2 + 5x3 ≤ 10 2x1 - x2 + 3x2 ≤ 40 x1,x2 >=0

Data taaa2

•

Latte v1.2 : taaa2 2 4 10 -1 1 -5 40 -2 1 -3 linearity 1 2 nonnegative 3 1 2 3 taaa2.cost 1 3 2 -1 3

•

Menggunakan Latte v1.2

•

Menggunakan TORA

Output Program :

(Current) Best Objective Value (Max) = 40 Found at iteration 1

Optimality verified at iteration 2

Hasil Percobaan Data taaa2

Gambar hasil uji coba data taaa2 menggunakan TORA Gambar hasil uji coba data taaa2 menggunakan Latte v1.2

Data cuww1

•

Manual : Persamaan Integer : Maximize z = 213x1 -1928x2 – 11111x3 – 2345x4 + 9123x5 Subject to : 12223x1 + 12224x2 + 36674x3 + 61119x4 + 85569x5 ≤ 89643482 x1,x2,x3,x4,x5 >= 0

Data cuww1

•

Latte v1.2 : cuww1 1 6 89643482 -12223 -12224 -36674 -61119 -85569 linearity 1 1 nonnegative 5 1 2 3 4 5 cuww1.cost 1 5 213 -1928 -11111 -2345 9123

•

Menggunakan Latte v1.2

Output Program :

•

Menggunakan TORA

Output Program :

Hasil Percobaan Data cuww1

Data cuww2

•

Manual : Persamaan Integer : Maximize z = 213x1 -1928x2 – 11111x3 – 2345x4 + 9123x5 – 12834x6 Subject to : 12228x1 + 36679x2 + 36682x3 + 48908x4 + 61139x5 + 73365x6 ≤ 89716839 x1,x2,x3,x4,x5 >= 0

Data cuww2

•

Latte v1.2 : cuww2 1 7 89716839 -12228 -36679 -36682 -48908 -61139 -73365 linearity 1 1 nonnegative 6 1 2 3 4 5 6 cuww2.cost 1 6 213 -1928 -11111 -2345 9123 -12834

•

Menggunakan Latte v1.2

•

Menggunakan TORA

Output Program :

Hasil Percobaan Data cuww2