Divulgaciones Matem´aticas v. 3, No. 1/2 (1995), 129–130
Problemas y Soluciones
Editor responsable
Jos´
e Heber Nieto
(e-mail: [email protected])
Reiteramos la invitaci´on a nuestros lectorews para que env´ıen so-luciones a los problemas propuestos en esta secci´on, las mejores de las cuales ser´an publicadas, y tambi´en a que propongan problemas intere-santes y originales.
Problemas Propuestos
Problema 5
Pruebe que para todo enteronexiste una matriz sim´etrica de 4×4 cuyos elementos diferentes son diez enteros consecutivos y cuyo deter-minante es n.
Problema 6(Comunicado por Alirio J. Pe˜na P.)
Sea X un conjunto infinito, A un anillo conmutativo con identidad 1 6= 0, L = A(X) la suma directa (externa) de card(X) (cardinal de
X) copias de A, visto como A-m´odulo, y R = EndA(L) el anillo de endomorfismos A-lineales deL. Pruebe que R, visto comoR-m´odulo a izquierda, tiene una base connelementos, para cada entero positivon.
Soluciones
Problema 3
Sea n un entero positivo y G un grafo con 2n v´ertices y al menos n2+ 1 aristas.
a) Pruebe queGcontiene al menos un tri´angulo.
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Problemas y Soluciones
Soluci´on(por el Editor Responsable)
a) Para n = 1 el resultado es cierto por vacuidad. Supong´amoslo cierto para un natural ny seaGun grafo con 2(n+ 1) v´ertices y al menos (n+1)2+1 aristas. Seanuyvdos v´ertices adyacentes de
G. Siuyvson ambos adyacentes a un tercert v´erticew, entonces Gcontiene un tri´angulo. En caso contrario el grafoG′=G−{u, v}
que resulta al remover deG u,vy todas las aristas incidentes con ellos, tiene 2nv´ertices y al menos (n+ 1)2+ 1−(2n+ 1) =n2+ 1
aristas, y por hip´otesis inductiva G′ contiene alg´un tri´angulo.
b) No, ya que el grafo bipartito completoKn,n tiene 2nv´ertices,n2 aristas y ning´un tri´angulo.
Comentario: El profesor Julio Subocz hace notar que este proble-ma es un caso particular de un teoreproble-ma de Tur´an (ver Harary, “Graph Theory”, p.17, Addison-Wesley, 1969).
Problema 4
Sea f una funci´on continua a valores reales definida en la frontera S del cubo unitario [0,1]n en Rn tal que las restricciones a cada cara f(x1, . . . , xi−1,0, xi+1, . . . , xn) y f(x1, . . . , xi−1,1, xi+1, . . . , xn) sean polinomios parai= 1, . . . , n. Pruebe que existe una funci´on polinomial P :Rn→R cuya restricci´on aS esf.
Soluci´on
Est´a contenida en el art´ıculo “An algorithm for extending functions in hypercubes”, en este mismo n´umero.
