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´

Ordenes de algunos

Grupos Lineales Modulares

Orders of some Modular Linear Groups

Roy Quintero (

rquinter@ula.ve

)

Departamento de F´ısica y Matem´aticas N´ucleo Rafael Rangel - Universidad de Los Andes

Trujillo, Venezuela.

Resumen

En este art´ıculo damos las definiciones y calculamos los ´ordenes de algunos subgrupos deGL(m,Zn) similares a los subgrupos lineales

cl´asicos del grupo lineal gene- ral sobre un cuerpo cualquiera. Espec´ıfi-camente, el grupo lineal modular especialSL(m,Zn), el grupo modular

ortogonalO(m,Zn), el grupo modular ortogonal especialSO(m,Zn) y

finalmente el grupo modular simpl´ectico Sp(2m,Zn). La t´ecnica

uti-lizada consiste en reducir el problema al caso primo y luego emplear la descomposici´on prima den, para ello aplicamos algunos resultados

b´asicos sobre isomorfismos de grupos y de aritm´etica modular. Palabras y frases clave:matrices sobre anillos especiales, unidades, grupos de unidades, otros grupos de matrices sobre anillos.

Abstract

In this paper we give the definitions and calculate the orders of some subgroups ofGL(m,Zn) similar to the classical linear subgroups of the

general linear group over any field. Specifically, the special modular linear groupSL(m,Zn), the orthogonal modular groupO(m,Zn), the

special orthogonal modular groupSO(m,Zn) and finally the symplectic

modular groupSp(2m,Zn). The technique used consists in reducing the

problem to the prime case and then employ the prime decomposition of

n, for this we apply some basic results about group isomorphisms and

from modular arithmetic.

Key words and phrases: matrices over special rings, units, groups of units, other matrix groups over rings.

1

Introducci´

on

El grupo lineal general de rangom >1 sobreZn, el anillo de los enteros

mo-dulares con m´odulon, lo denotaremosGL(m,Zn). Este grupo lineal modular

surge frecuentemente de ciertas aplicaciones de la Teor´ıa de Enteros Modu-lares, Teor´ıa de Grupos Finitos y Algebra Lineal en el estudio o creaci´on de sistemas criptogr´aficos tanto sim´etricos como de clave p´ublica. Ejemplos del primer tipo son “Vigene`re cipher” y “Hill cipher”, los cuales se estudian en [1]. Hace pocos a˜nos, la joven cient´ıfica irlandesa Sara Flannery [3] cre´o el sistema de clave p´ublica “Cayley-Purser algorithm” o simplemente “CP”. En el caso particular del sistemaCP se requiri´o conocer el orden deGL(2,Zpq)

(p, qprimos). Es por ello, que el objetivo de este art´ıculo es conocer los ´ordenes de ciertos subgrupos modulares que pudieran emplearse en futuros sistemas criptogr´aficos que usen algebra matricial modular. A continuaci´on damos las definiciones de algunos subgrupos de GL(m,Zn), similares a los subgrupos

cl´asicos de GL(m, F) cuando F es un cuerpo cualquiera, y calculamos sus ´ordenes.

2

Definici´

on de algunos subgrupos de GL

(

m,

Z

n

)

Iniciamos esta secci´on recordando que el grupo lineal general GL(m,Zn)

est´a constituido por las matrices m×m invertibles con entradas en Zn; es

decir:

GL(m,Zn) ={A= [aij]∈Zm

×m

n : det(A)∈ U(Zn)}

donde U(Zn) ={u∈Zn : mcd (u, n) = 1} es el grupo de unidades de Zn y

cuyo orden esϕ(n); es decir, el valor de la funci´on-ϕde Euler enn.

En [2] pueden verse las definiciones de los grupos lineales cl´asicos siguien-tes: grupo lineal especial, grupo ortogonal, grupo ortogonal especial y grupo simpl´ectico, todos de rango general y con entradas en un cuerpo.

Definici´on 2.1. Los grupos modulares especial, ortogonal y ortogonal espe-cial de rango m sobre Zn, denotados SL(m,Zn), O(m,Zn) y SO(m,Zn) y

simpl´ectico de rango2msobreZn,Sp(2m,Zn), son definidos a continuaci´on:

SL(m,Zn) :={A∈GL(m,Zn) : det(A) = 1},

O(m,Zn) :={A∈GL(m,Zn) :AT ·A=Im},

y

Sp(2m,Zn) :={S∈GL(2m,Zn) :STJn S=Jn},

donde Jn =

·

Om Im

−Im Om

¸

(Om y Im son las matrices nula e identidad de

Zm×m n ).

3

Ordenes de los subgrupos de GL

´

(

m,

Z

n

)

3.1

Orden de SL

(

m,

Z

n

)

El orden del grupo lineal modular viene dado por la f´ormula (ver [6])

|GL(m,Zn)|=nm

2

k

Y

i=1

m

Y

j=1

(1−p−j i ),

siendon=pα1

1 . . . p

αk

k la descomposici´on prima den.

Teorema 3.1. El orden del grupo lineal modular especial de rango m sobre

Zn es (ver [5]):

|SL(m,Zn)|=nm

2

−1

k

Y

i=1

m

Y

j=2

(1−p−j i ).

Demostraci´on:Es bien conocido que la aplicaci´on ∆ :GL(m,Zn)−→ U(Zn)

definida porA7−→det(A) es un epimorfismo de grupos. Adem´as, tenemos que

Ker(∆) ={A∈GL(m,Zn) : ∆(A) = 1}=SL(m,Zn).

Aplicando el primer teorema de isomorfismo de grupos obtenemos que

|SL(m,Zn)| =

|GL(m,Zn)|

|U(Zn)|

= n

m2_Qk

i=1 Qm

j=1(1−p

−j i )

ϕ(n)

= n

m2_Qk

i=1 Qm

j=1(1−p

−j i )

nQk

i=1(1−p

−1

i )

=nm2−1

k

Y

i=1

m

Y

j=2

(1−p−ij).

3.2

Orden de O

(m,

Z

n

)

Para calcular el orden del grupo ortogonal de rango m sobre Zn primero

demostramos algunos resultados.

Lema 3.1. Sean α ≥ 2 un entero, p ≥ 2 un primo y n = pα1

1 . . . p

αk

k la

descomposici´on prima den. Entonces

1. La aplicaci´onRedα:GL(m,Zpα)−→GL(m,Z_pα−1)definida mediante

la asignaci´on A = [aij] 7−→ Redα(A) = [aij], donde aij y aij son las

clases de congruencia de aij m´odulo pα y pα−1, es un epimorfismo de

grupos.

2. La aplicaci´onP rod:GL(m,Zn)−→GL(m,Zpα1

1 )× · · · ×GL(m,Zp αk k )

definida mediante la asignaci´on A = [aij] 7−→ P rod(A) = (A(1), . . . ,

A(k)), donde A(h) = [aij(h)] y aij(h) es la clase de congruencia de aij

m´odulopαh

h parah= 1, . . . , k, es un isomorfismo de grupos.

Demostraci´on: 1. Claramente Redα(A) es independiente de la escogencia

de los representantes de las clases que son entradas de A. Por otra parte, como mcd (det([aij]), pα) = 1 =⇒mcd¡det([aij]), pα−1¢= 1, tenemos que la

aplicaci´on est´a bien definida. M´as a´un, para todo par de matrices A yB en

GL(m,Zpα) se cumple que Red_α(A·B) =Red_α(A)·Red_α(B) y as´ı resulta queRedα es un homomorfismo. Claramente es sobreyectivo.

2. Es evidente que cada componente de P rod(A) es independiente de la escogencia de los representantes de las clases que son entradas deAy pertenece al correspondiente grupo factor. Por otra parte, como mcd (det([aij]), n) =

1 =⇒ mcd (det([aij]), pαhh) = 1 para h= 1, . . . , k tenemos que la aplicaci´on

est´a bien definida. M´as a´un, para todo par de matrices AyB enGL(m,Zn)

se cumple queP rod(A·B) =P rod(A)·P rod(B) y as´ı resulta queP rodes un homomorfismo.

Ahora probaremos que P rod es una aplicaci´on sobreyectiva. En efecto, dada una k-upla cualquiera (B1, . . . , Bk) en el grupo GL(m,Zpα1

1 )× · · · ×

GL(m,Zpαk_k ), debemos encontrarX = [xij]∈GL(m,Zn) tal que X(h)=Bh

para cada h. Supongamos que Bh =

·

bij,h

(h)¸

, entonces xij =bij,h

(h)

para

h= 1, . . . , kyi, j= 1, . . . , n. Por tanto, para cada par (i, j) debemos encontrar un enteroxij que satisfaga el siguiente sistema de ecuaciones modulares

  

 

xij ≡ bij,1 (m´odpα11)

.. .

pero el teorema del resto chino garantiza su existencia. As´ı queP rodes sobre. Para concluir tenemos que demostrar queP rodes inyectiva. En efecto,

A= [aij]∈Ker(P rod) ⇐⇒ A(h)=Im(h), h= 1, . . . , k

⇐⇒ aij(h)=

(

0(h) ifi6=j

1(h) ifi=j , h= 1, . . . , k

⇐⇒ aij ∈

½

0 ifi6=j

1 ifi=j.

⇐⇒ A=Im.

Por tanto,P rodes un isomorfismo. ¤

Lema 3.2. Seanα≥2 entero yp >2 primo. Entonces

1.

|O(m,Zpα)|=p m2−m

2 · |O(m,Z

pα−1)|. (1)

2.

|O(m,Z2α)|= 2 m2 +m

2 · |O(m,Z

2α−1)|. (2)

Demostraci´on: 1. Sea f la aplicaci´on restricci´on de Redα a O(m,Zpα); es decir,f =Redα|O(m,_Zpα). Observemos que, para toda matrizA∈O(m,Zpα) se cumple (Redα(A))T ·Redα(A) = Redα(AT ·A) = Redα(Im) = Im′ , (I

′

m

es la identidad en Zm×m

pα−1) as´ı que f es un epimorfismo de O(m,Zpα) en

O(m,Zpα−1).

Ahora procedemos a encontrar su kernel. En efecto, seanC⊂ZyU, V ⊂

Zpα los conjuntos siguientes C={k∈Z: 0≤k≤p−1}, U ={kpα−1:k∈

C}yV ={kpα−1_{+ 1 :k∈C}entonces,u= 0⇐⇒u∈Uyv= 1⇐⇒v∈V.}

Luego,

A= [aij]∈Ker(f) ⇐⇒ aij =

(

0 ifi6=j

1 ifi=j yA

T _·

A=Im

⇐⇒ aij ∈

½

U ifi6=j V ifi=j. yA

T

·A=Im

⇐⇒ A=pα−1 _[t

ij] +Im dondetij∈C

yAT ·A=Im.

As´ı que,

Ker(f) =

½

A=pα−1 _[t

ij] +Im: (t11, . . . , tmm)∈Cm

2

yAT ·A=Im

¾

Determinemos con precisi´on todos los elementos del kernel. En efecto,

(pα−1_[t

ij] +Im)T(pα−1 [tij] +Im) =Im

⇐⇒ (pα−1_[t

ij]T+Im)(pα−1 [tij] +Im) =Im

⇐⇒ pα−1¡

[tij+tji]¢+Im=Im

⇐⇒ p|tii, tij+tji(sii6=j)

⇐⇒ tii= 0 ytij+tji= 0 ´op(sii6=j).

Por tanto,

Ker(f) =

©

pα−1_[t

ij]+Im:tii= 0 y (tij, tji)∈ {(0,0),(1, p−1), . . . ,(p−1,1)} sii < jª,

y su orden es pm

2

−m

2 , luego la ecuaci´on (1) se cumple.

2. Observemos que todo lo hecho en la parte 1 hasta la ecuaci´on (3), es v´alido si reemplazamosppor 2; es decir,

Ker(f) =

½

A= 2α−1_[t

ij] +Im: (t11, . . . , tmm)∈Cm

2

yAT ·A=Im

¾

,

pero,

(2α−1_[t

ij] +Im)T(2α−1 [tij] +Im) =Im

⇐⇒ (2α−1_[t

ij]T+Im)(2α−1 [tij] +Im) =Im

⇐⇒ 2α−1¡

[tij+tji]

¢

+Im=Im

⇐⇒ 2 |tij+tji (sii6=j)

⇐⇒ tij+tji= 0 ´o 2 (sii6=j).

Por tanto,

Ker(f) =

½

2α−1_[t

ij] +Im:tii∈C y (tij, tji)∈ {(0,0),(1,1)}sii < j

¾

,

y su orden es 2m2 +2m, luego la ecuaci´on (2) tambi´en se cumple. ¤

Corolario 3.1. Seanα≥2 un entero yp >2 primo. Entonces

1.

|O(m,Zpα)|=p

¡_m2

−m

2

¢

(α−1)_{· |O(}

2.

|O(m,Z2α)|= 2

¡m2 +m 2

¢

(α−1)_{· |O(m,}

Z2)|.

En [4, pags. 158 y 163] se encuentra el siguiente lema.

Lema 3.3. Si p >2 es primo y r≥1es entero, entonces:

1. |O(2r+ 1,Z2)|= 2r

2_Qr

t=1(22

t_−1).

2. |O(2r+ 1,Zp)|= 2pr

2_Qr

t=1(p2

t_−1).

3. |O(2r,Z2)|=

½ _{2 sir= 1}

2r2_Qr−1

t=1(22

t_{−1) si}

r≥2

4. |O(2r,Zp)|=

     

    

2(p−1) sir= 1 y p≡1 (m´od 4)

2(p+ 1) sir= 1 y p≡3 (m´od 4)

2pr2

−r_(pr₋₁₎Qr−1

t=1(p2

t_{−1) sir≥2y p≡1 (m´od 4)}

2pr2−r₍

pr−(−1)r₎Qr−1

t=1(p2

t₋₁₎

sir≥2 yp≡3 (m´od 4)

Definici´on 3.1. Diremos que un primop es del tipo 1, si p≡1 (m´od 4), y del tipo 2, si p≡3 (m´od 4).

Teorema 3.2. . Sea n= 2α_pα1

1 . . . p

αk

k q β1

1 . . . q

βl

l donde α≥1,p1, . . . , pk son

primos distintos dos a dos del tipo 1 y α1, . . . , αk son enteros positivos, y

q1, . . . , ql son primos distintos dos a dos del tipo 2 y β1, . . . , βl son enteros

positivos. Entonces,

1. Los gruposO(m,Zn)yO(m,Z2α)×Qk_i

=1O(m,Zpαi_i )×

Ql

j=1O(m,Zq_jβj)

son isomorfos; es decir,

O(m,Zn)∼=O(m,Z2α)×

k

Y

i=1

O(m,Zpαi_i )× l

Y

j=1

O(m,Z_qβj j

2. El orden del grupoO(m,Zn)se expresa mediante la siguiente f´ormula:

Demostraci´on: 1. Por el Lema 3.1, P rod es un isomorfismo de grupos. Adem´as

lo cual demuestra que la funci´on P rod restringida al grupo O(m,Zn) (i.e.,

P rod|O(m,Zn)), es el isomorfismo buscado; es decir, la ecuaci´on (4) se cumple.

2. Probaremos s´olo la tercera ecuaci´on; es decir, cuando m ≥4 es par. Los otros dos casos se prueban similarmente.

el Corolario 3.1 y el Lema 3.3 tenemos que

Para calcular el orden del grupo modular ortogonal especial de rangomsobre Zn consideramos el homomorfismo de grupos determinante, ∆ (Teorema 3.1),

restringido al grupo modular ortogonal correspondiente; es decir, ∆|O(m,_Zn). Teorema 3.3. El orden del grupo lineal especial de rango msobre Zn es:

|SO(m,Zn)|=

|O(m,Zn)|

Demostraci´on: Dado el homomorfismo ∆|O(m,Zn), observemos que su ran-go o imagen es el grupo multiplicativo {±1} y su kernel es exactamente

SO(m,Zn). Entonces, por el primer teorema de isomorfismo de grupos

te-nemos que:

|O(m,Zn)| = |Ker(∆|O(m,_Zn))||Im(∆|O(m,Zn))|= 2|SO(m,Zn)|,

luego, la ecuaci´on (6) se cumple. ¤

Corolario 3.2. Sea n= 2α_pα1

son isomorfos, es decir,

SO(m,Zn)∼=SO(m,Z2α)×

2. El orden del grupoSO(m,Zn)se expresa mediante la siguiente f´ormula:

Demostraci´on:1. SeaP rodcomo en el Lema 3.1. Adem´as

A∈SO(m,Zn)⇐⇒A∈O(m,Zn) y det(A) = 1

⇐⇒(A(h))hk+=0l ∈O(m,Z2α)×

k

Y

i=1

O(m,Zpαi_i )× l

Y

j=1

O(m,Z_qβj j

)

y det(A(h)) = 1 (h)

, h= 0,1, . . . , k+l

⇐⇒P rod(A)∈SO(m,Z2α)×

k

Y

i=1

SO(m,Zpαi_i )× l

Y

j=1

SO(m,Z_qβj j

),

lo cual demuestra que la funci´on P rodrestringida al grupo SO(m,Zn) (i.e.,

P rod|SO(m,_Zn)) es el isomorfismo buscado, es decir, la ecuaci´on (7) se cumple. 2. La ecuaci´on (8) se sigue de las ecuaciones (5) y (7). ¤

3.4

Orden de Sp

(2

m,

Z

n

)

Para calcular el orden del grupo modular simpl´ectico de rango 2m sobreZn

necesitamos algunos resultados previos.

Lema 3.4. Seanp≥2primo y α≥2 entero. Entonces

1.

|Sp(2m,Zpα)|=p2m 2

+m

|Sp(2m,Zpα−1)|. (9)

2.

|Sp(2m,Zpα)|=p(2m

2_+m)(α−1)

|Sp(2m,Zp)|. (10)

Demostraci´on: 1. Sea g la aplicaci´on restricci´on de Redα a Sp(2m,Zpα); es decir, g = Redα |Sp(2m,Zpα). Observemos que, para toda matriz A ∈ O(m,Zpα) se cumpleRed_α(S)TJ_pα−1Redα(S) =Redα(S

T_J

pαS) =Red_α(J_pα) =Jpα−1, luegog es un epimorfismo deSp(2m,Z_pα) enSp(2m,Z_pα−1).

Ahora procedemos a encontrar su kernel. En efecto, seanC⊂ZyU, V ⊂

Zpα los conjuntos siguientes C={k∈Z: 0≤k≤p−1}, U ={kpα−1:k∈

C}yV ={kpα−1_{+ 1 :k∈C}entonces,u= 0⇐⇒u∈Uyv= 1⇐⇒v∈V.}

Luego,

S= [sij]∈Ker(g)⇐⇒sij =

(

1 si i=j

0 si i6=j y S

T

JpαS=J_pα

⇐⇒S=pα−1 _[t

Por tanto,

dondeM es

n ¡

[xij],[yij]¢∈Zm

×m pα ×Zm

×m

pα : (xij, yij)∈ {(0,0),(1, p−1), . . . ,(p−1,1)}

o

yN =n[zij]∈Zm

×m

pα :zij=zjisii < j y zij ∈ {0,1, . . . , p−1}

o

.

En consecuencia,

|Ker(g)|= #(M)×#(N)×#(N) =pm2pm2 +2mp m2 +m

2 =p2m 2

+m

.

Por tanto, se cumple la f´ormula (9).

2. La f´ormula (10) se sigue f´acilmente de la parte anterior. ¤

Un resultado bastante conocido es dado en [2, Proposition 4.4] y expresa que el orden del grupo simpl´ectico de rango 2msobreZp es:

|Sp(2m,Zp)|=pm

2

m

Y

j=1

(p2j−1). (11)

As´ı que el corolario siguiente se sigue inmediatamente.

Corolario 3.3. Seanp≥2 primo yα≥2entero. Entonces

|Sp(2m,Zpα)|= (pα)2m 2

+m m

Y

j=1

(1−p−2j

).

Demostraci´on:De las ecuaciones (10) y (11) tenemos que

|Sp(2m,Zpα)|=p(2m 2

+m)(α−1)_pm2 m

Y

j=1

(p2j_{−1) = (p}α₎2m2+m m

Y

j=1

(1−p−2j_).

¤

Teorema 3.4. Sean=pα1

1 . . . p

αk

k la descomposici´on prima den. Entonces,

1. Los grupos Sp(2m,Zn) y Sp(2m,Zpα1

1 )×. . .×Sp(2m,Zp αk

k ) son

iso-morfos; es decir,

Sp(2m,Zn)∼=Sp(2m,Zpα1

1 )×. . .×Sp(2m,Zpαkk ). (12)

2. El orden del grupoSp(2m,Zn)se expresa mediante la siguiente f´ormula,

|Sp(2m,Zn)|=n2m

2

+m k

Y

i=1

m

Y

j=1

(1−p−2j

Demostraci´on:1. Nuevamente consideremos el isomorfismoP rod. Entonces

A∈Sp(2m,Zn)⇐⇒A∈GL(2m,Zn) yATJnA=Jn

⇐⇒A(h)∈GL(2m,Zpαh_h ) yA T

(h)Jpαh_h A(h)=Jpαh_h , h= 1, . . . , k

⇐⇒P rod(A)∈Sp(2m,Zpα1

1 )×. . .×Sp(2m,Zp αk k ),

lo cual demuestra que la funci´on P rodrestringida al grupoSp(2m,Zn) (i.e.,

P rod|Sp(2m,_Zn)), es el isomorfismo buscado; es decir, la ecuaci´on (12) se cum-ple.

2. Combinando la ecuaci´on (12) con el Corolario 3.3 tenemos que

|Sp(2m,Zn)|= k

Y

i=1

|Sp(2m,Zpαi_i )|= k

Y

i=1

[(pαi

i )

2m2_+m

m

Y

j=1

(1−p−i2j)]

=

à k

Y

i=1

pαi

i

!2m2+m _k

Y

i=1

m

Y

j=1

(1−p−i2j) =n

2m2_+m

k

Y

i=1

m

Y

j=1

(1−p−i2j).

y por tanto la ecuaci´on (13) tambi´en es v´alida. ¤

Referencias

[1] Buchmann, J.,Introduction to Cryptography, Springer-Verlag, New York, 2000.

[2] Cameron, P.,Notes on Classical Groups, 2000, Disponible en: http://www.maths.qmul.ac.uk/∼pjc/class gps/

[3] Flannery, S. y Flannery, D.,In Code, Workman Publishing, New York, 2001.

[4] MacWilliams, J., Orthogonal matrices over finite fields, Amer. Math. Monthly,76(1969), 152–164.

[5] B. McDonald.Linear Algebra over Conmutative Rings, Marcel Dekker, New York, 1984.