El Problema de Pick y el Teorema de
Cole-Lewis-Wermer
The Pick Problem and The Cole-Lewis-Wermer Theorem
Gladys Cede˜
no (
[email protected]
)
Departamento de Formaci´on Generaly Ciencias B´asicas Universidad Sim´on Bol´ıvar
Apartado Postal 89000, Baruta 1086, Edo. Miranda.
Resumen
Reformulando el concepto de medida dominante, y con dos hip´otesis adicionales, se extiende el teorema de Cole-Lewis-Wermer a subespacios vectoriales B ⊂ C(X) que separan puntos de X y contienen a las funciones constantes.
Palabras y frases clave:Espacio vectorial uniforme, estado, medida dominante, medida dominante de un subespacio.
Abstract
Reformulating the concept of dominant measure and adding two hypothesis, the Cole-Lewis-Wermer theorem is extended to vector sub-spacesB⊂C(X) that separate points inX and contain the constant functions.
Key words and phrases: Uniform vectorial space, state, dominant measure, dominant measure of a subspace.
1
Introducci´
on
Si Aes un ´algebra uniforme yM1, ..., Mn son puntos distintos del espacio de
Gelfand de A, o sea, son funcionales lineales no nulos tales que Mj(f·g) =
Mj(f)Mj(g) para todof, g∈Ayj= 1, ..., n; e
I:={f ∈A:Mj(f) = 0 paraj = 1, ..., n}
entonces, I es un ideal cerrado en A de codimensi´on finita n, y el espacio cociente A/I es un ´algebra de Banach con la norma definida por:
k[f]k := inf{kgk∞:g∈[f]}
donde
[f] :={g∈A:g−f ∈I}.
Para toda n-upla de n´umeros complejos (w1, ..., wn) =w existe la clase
[fw] tal que para todag∈[fw] Mj(g) =wj paraj= 1, ..., n.
El problema de Cole-Lewis-Wermer (C-L-W) [3], consiste en dar condicio-nes necesarias y suficientes para que
k[fw]k ≤1.
En [3] y [4] se destacan dos ideas fundamentales. Por una parte, est´a el concepto de conjunto hiperconvexo de Cn, introducido por estos autores,
re-lacionado con una generalizaci´on de la desigualdad de Von Neumann. La otra idea es la de las medidas dominantes, relacionado con representaciones iso-morfas del ´algebra cocienteA/I por ´algebras de operadores en un espacio de Hilbert.
En este art´ıculo presentamos una versi´on del problema anteriormente se˜nalado, reemplazando el ´algebra uniformeA, por un espacio vectorial uni-formeB, y el espacio de Gelfand deA, por el espacio de los estados deB (ver definiciones m´as abajo).
Se˜nalemos que, para el problema de Cole-Lewis-Wermer no tiene sentido plantearse un problema de clasificaci´on o unicidad de las soluciones, ya que de existir soluci´on, entonces ´esta es la clase, [fw] y por lo tanto es ´unica. Sin
embargo, como veremos m´as adelante, el problema de Cole-Lewis-Wermer es equivalente al problema de Pick enH∞
µ ,para toda medida dominanteµ,y este
´
ultimo problema puede tener infinitas soluciones. Aqu´ı tratamos un problema sencillo de unicidad.
2
Notaci´
on y resultados b´
asicos
Sea X un espacio compacto Hausdorff,C(X) el espacio de las funciones con-tinuas a valores en C.
a) B separa puntos deX,
b) B contiene a las funciones constantes,
c) kfkB=kfk∞= sup{|f(x)|:x∈X}.
En lo que sigue,B es un espacio vectorial uniforme sobre X,fijo, B∗ su
espacio dual.
Definici´on 2.2. Un elementoF ∈B∗se dice que es unestadodeB si, y s´olo
si, F(1) =1=kFk.
El espacio de los estados deB lo denotamos porP′(B) o sea,
X′
(B) :={F ∈B∗:F es un estado deB
}.
Evidentemente, P′(B) ⊂B∗. A P′(B) se le da la topolog´ıadebil´ −∗ y es
cerrado en esta topolog´ıa. Es f´acil demostrar:
1. FijadosM1, ..., Mn∈P′(B) linealmente independientes y dadosw1, ..., wn∈
Cexistef ∈B tal queMj(f) =wj paraj= 1, ..., n.
2. SiI es un subespacio deB,entonces I tiene codimensi´on finita nsi, y s´olo si, existenM1, ..., Mn∈B∗ linealmente independientes tales que
I={f ∈B:Mj(f) = 0 para j= 1, ..., n}.
3. SiIes un subespacio deB,entonces el espacio cocienteB/I :={[f] :f ∈B}
donde [f] := {g∈B :g−f ∈I} = f +I, es un espacio vectorial con las operaciones entre clases dadas por [f] + [g] = [f +g], c[f] = [cf] para todof, g ∈B, c∈C.Adem´as, toda normak·k enB induce una
seminormap(·) en el espacio cociente B/I dada por
p([f]) := inf{kgk:g∈[f]}= inf{kg−fk:g∈I}
y esta seminorma es una norma si, y s´olo si, Ies cerrado en B respecto de la normak·k.La norma enB/I se denota pork[f]kpara [f]∈B/I .
Definici´on 2.3. SeaIun subespacio cerrado deBde codimensi´on finitan. Se llamar´an-upla definidora del subespacioI a todan-uplaM1, ..., Mn∈B∗tal
que I={f ∈B:Mj(f) = 0 para j= 1, ..., n} ykMjk = 1 paraj = 1, ..., n.
I se llamar´a subespacio asociado a la n-upla (M1, ..., Mn) y B/I espacio
Por lo se˜nalado anteriormente sabemos que, fijadosM1, ..., Mn∈P
′
(B)⊂
B∗ linealmente independientes, y dados w
1, ..., wn ∈C existef ∈B tal que
Mj(f) =wj paraj= 1, ..., n.De manera que siI y B/I son los asociados a
lan-upla (M1, ..., Mn) entonces, existe la clase [fw]∈B/I tal que para toda
g∈[fw] Mj(g) =wj paraj= 1, ..., n.Esto nos indica que podemos plantear
el problema de Cole-Lewis-Wermer en el contexto de los espacios vectoriales uniformes en los siguientes t´erminos:
“FijadosM1, ..., Mn∈P′(B) linealmente independientes, yw1, ..., wn ∈C
y dada [fw]∈B/I tal que para todag∈[fw] Mj(g) =wj paraj= 1, ..., n.
Dar condiciones necesarias y suficientes para que
k[fw]k ≤1.”
3
Respuesta al problema de Cole-Lewis-Wermer
Fijemos un subespacio cerrado I ⊂B de codimensi´on finita n y sea B/I el espacio cociente asociado.
Toda medida de probabilidad,µ,enXdetermina, para cadap, (1≤p <∞) un espacio de Lebesgue Lp(µ) = Lp(X, µ) con la norma kfk
p,µ = kfkp = ¡R
X|f(x)| p
dµ¢1/p.DefinimosH2
µ como la clausura deB enL2(µ),Iµ como
la clausura deI enH2
µ y
Eµ :=Hµ2⊖Iµ= (I)⊥ (F)
Denotaremos con PIµ y PEµ a las proyecciones ortogonales de Hµ2 sobre
Iµ y Eµ respectivamente, y con P+ y P− a las proyecciones ortogonales de
L2(µ) sobreH2
µ y ¡
H2
µ ¢⊥
. De modo que para todaf ∈H2
µ f =PIµf+PEµf
y para toda g∈L2(µ) g=P
+g+P−g=g++g−.
Proposici´on 3.1. SiEµ est´a definido como en (F), entonces dimEµ≤n.
La dimensi´on puede ser igual a cero.(La demostraci´on puede verse en[1]).
Teorema 3.1. Sea[f]∈B/I . Si k[f]k = 1entonces, existe una medida de probabilidad, λ,tal que|(PEλf) (x)|= 1c.t.p.−λ.
Demostraci´on. Como 1 =k[f]k=dist(f, I), existe un ´unico funcional lineal complejol◦enI+{cf}c∈Ctal que:
Por el teorema de Hahn-Banachl◦ se extiende a un funcional continuole◦
enC(X) preservando la norma, y por el teorema de representaci´on de Riesz, existe una medida complejaν enX, tal que:
e
l◦(g) =ν(g) =
Z
X
g(t)dν(t), g∈C(X) (3.2)
kνk=kl◦k= 1 (3.3)
l◦(g) =le◦(g) =
Z
X
g(t)dν(t), g∈B. (3.4) Por (3.1) y (3.2) resulta queν(I) = 0 pues,
ν(y) =
Z
X
y(t)dν(t) =le◦(y) =l◦(y) = 0, y∈I (3.5)
yν(f) = 1 pues,
ν(f) =
Z
X
f(t)dν(t) =le◦(f) =l◦(f) = 1. (3.6)
Seaλ=|ν|,la variaci´on total deν, entonces,λ(1) =|ν|(1) =kνk= 1 =
kλk, por lo tanto,λes una medida de probabilidad, adem´asνes absolutamente continua respecto deλy por el teorema de Radon-Nikodym, existe una funci´on medibleϕtal que
dν=ϕdλ |ϕ(x)|= 1 c.t.p.−λ⇒ϕ∈L∞(λ). (3.7)
Usando la definici´on dek[f]kobtenemos una sucesi´on{ym}m≥1⊂Ital que
1 =k[f]k ≤ kf−ymk∞<1 +
1
m ≤2.Por lo tanto, la sucesi´on{f−ym}m≥1
es uniformemente acotada, como{f−ym}m≥1 ⊂B ⊂L∞(λ)∼=
¡
L1(λ)¢∗ y
por el teorema de Bourbaki-Alaoglu, las bolas cerradas son compactas, enton-ces, existe una subsucesi´on {f−ymk}k≥1 y una funci´on g ∈L∞(λ) tal que
(f−ymk)−→g debil´ −∗ sik−→ ∞, o sea, Z
X
h(f −ymk)dλ−→ Z
X
hgdλ si k−→ ∞para toda h∈L1(λ) (3.8)
como l´ım
k→∞kf −ymkk= 1 resulta,
kgk∞= 1. (3.9)
Por serL2(λ)⊂L1(λ) entonces(3.8) vale para todah∈L2(λ) y por (3.9)
1 =RXf dν=RX(f−ymk)dν = R
X(f−ymk)ϕdλ−→ R
Xgϕdλsik→ ∞
o sea, Z
X
g(t)ϕ(t)dλ(t) = 1 (3.10)
por lo tanto,
|g(x)|= 1 y ϕ(x) =g(x) c.t.p.−λ. (3.11)
Combinando (3.5) , (3.7) y (3.11) resulta,
0 =ν(y) =RXydν=RXyϕdλ=RXygdλ=hy, giL2(λ)para todo y∈I
o sea,
g∈(I)⊥=Eλ. (3.12)
Comog es l´ımite d´ebil enL2(λ) de la sucesi´on{f−y
mk}k≥1⊂B⊂Hλ2,
entonces,g∈H2
λyf−ges l´ımite d´ebil de la sucesi´on{ymk} ⊂I, por lo tanto,
f −g∈Iλ, luego,f = (f−g) +g conf−g∈Iλ yg∈Eλ, en consecuencia,
PEλf =g y|(PEλf) (x)|= 1c.t.p.−λ.
Observemos que por serB ⊂C(X),para toda f, g∈B, f ·g∈C(X) pero no necesariamentef·g∈B, por consiguiente imponemos aIla siguiente:
Hip´otesis 1El subespacio cerradoIes tal quey·f ∈Ipara today∈I, f ∈
B.
Lema 3.1. Seaµuna medida de probabilidad enX, fija. Para cadaf ∈B sea
Sµf :Eµ−→Eµ definido porSµfe:=PEµP+f epara todo e∈Eµ, entonces,
a) Para cadaf ∈B Sµf ∈L(Eµ) y ° °
°Sfµ°°°≤ kfk∞.
b) Si f ∈I entonces, Sfµ= 0.
c) Para toda f, g∈B, c∈C
Scfµ+g=cSfµ+Sµ g
Si f(x) = 1 para todox∈X,entoncesSµf = 1Eµ
donde 1Eµ es el operador identidad enEµ.
Demostraci´on. b) Si f ∈ I entonces, para todo e ∈ Eµ f e ∈ Iµ . Por lo
Se deduce del lema anterior que, sif ∈B es fijo, entoncesSfµ+y=Sfµpara todo y∈I.En consecuencia, obtenemos el siguiente resultado:
Proposici´on 3.2. Sea µuna medida de probabilidad en X. Para cada[f]∈
Lema 3.2. a) Si µes una medida de probabilidad enX, entonces
°
k[f1]k= 1 y por la implicaci´on anteriormente demostrada ser´a
1 = supn°°°S[µf
Definici´on 3.1. Se dice que la medida de probabilidadµesdominantede la
n-upla definidora (M1, . . . , Mn) del subespacio I, o dominante, si existe una
constantec >0 (independiente de losMj) tal que
|Mj(f)| ≤c³RX|f(x)|2dµ ´1
2
para todaf ∈B, j= 1, . . . , n.
Definici´on 3.2. Diremos que la medida de probabilidadµes dominante del subespacio I si
B∩Iµ=I
o sea si el subespacioI es cerrado enB respecto de la norma deL2(µ).
La definici´on (3.1) fue dada por Cole-Wermer en [4] y la definici´on (3.2) es dada en [1].
Proposici´on 3.3. La medidaµes dominante de lan-upla (M1, . . . , Mn)
de-finidora del subespacioI si y s´olo si es dominante del subespacio I.
Demostraci´on. Sea µ una medida dominante y f ∈ B∩Iµ, entonces existe
una sucesi´on{ym}m≥1⊂Ital que l´ımm→∞kf−ymk2= 0.Existe una constante
c >0 tal que para todoj= 1, ..., nym= 1, ...se verifica
luego, |Mj(f)|= 0 paraj= 1, ..., ny por lo tantof ∈I.
Si la medidaµes dominante del subespacioI,entonces
k[f]kµ:= inf{kgk2:g∈[f]}
es una norma en el espacio de dimensi´on finitaB/I y por lo tanto existe una constante c >0 tal que k[f]k ≤ck[f]kµ para toda f ∈B. Como para toda
f ∈B [f] =f +IyMj(I) = 0 paraj= 1, ..., nse tiene:
|Mj(f)|=|Mj([f])| ≤ k[f]k ≤ck[f]kµ ≤ckfk2.
Observaci´on 3.1
a) Existen medidas dominantes de la n-upla definidora (M1, ..., Mn) del
subespacioI.
b) Si adem´as,Mj(1) = 1 paraj= 1, ..., nentonces, existen medidas
domi-nantesµ,tales queµ(y) = 0 para today∈I.
Proposici´on 3.4. Sea µ una medida de probabilidad tal queµ(I) = 0. En-tonces, la medidaµ es dominante del subespacioI si, y s´olo si, la aplicaci´on
Sµ:B/I −→L(E µ)
[f]7−→Sµ[f]
es un isomorfismo lineal.
Demostraci´on. Supongamos que la medidaµ es dominante del subespacioI.
Sif ∈ByS[µf] = 0 entonces, para todoe∈Eµ PEµP+f e= 0.Comoµ(I) = 0
entonces 1∈Eµ yS[µf]1 =PEµP+f1 =PEµf = 0 por lo tanto, f ∈Iµ o sea,
f ∈B∩Iµ=I, luego [f] =I ySµ es un isomorfismo lineal.
Rec´ıprocamente, siSµ es un isomorfismo yB∩I
µ 6⊂I, existe f ∈B∩Iµ
y f /∈ I entonces, [f] 6= I por lo tanto S[µf] 6= 0, luego, existe e ∈ Eµ tal
que PEµP+f e6= 0 o sea, P+f e /∈ Iµ como f ∈B∩Iµ existe {ym}m≥1 ⊂I
tal que l´ım
m→∞kf−ymk2 = 0, por ser e ∈ Eµ existe {gn}n≥1 ⊂ B tal que
l´ım
n→∞ke−gnk2= 0.Se tiene entonces,ymgn∈I param, n= 1,2, .... Fijando
n= 1,2, ...se tiene
l´ım
m→∞kf gn−ymgnk2≤ml´ım→∞kgnk∞kf−ymk2= 0
luego, f gn∈Iµ para todon= 1,2, ...y como
l´ım
resulta P+f e=f e∈Iµ y esto es una contradicci´on.
Demostraci´on. Supongamos quek[f]k= 1, entonces
supn°°°S[µf]
° °
°:µes dominante yµ(I) = 0o≤
supn°°°S[µf]°°°:µes dominanteo≤ k[f]k= 1.
Seanλla medida de probabilidad del teorema 3.1 y 0< ε <1. Considere-mos unan-upla definidora del subespacioI, (M1, ..., Mn) tal queMj(1) = 1
(todas las distancias tomadas respecto de la norma del espacioL2(µ
ε)).
(todas las distancias tomadas respecto de la norma del espacioL2(λ)).
Como para todoy∈Ise verifica la desigualdad:
como Sλ
[f]1 =PEλf y por el teorema 3.1 eskPEλfk2= 1 resulta,
° ° °S[µεf]1°°°
2>
1−εpor lo tanto,°°°S[µεf]°°°>1−ε.
Observemos que en el problema de Cole-Lewis-Wermer la n-upla fijada, (M1, ..., Mn), es la definidora del subespacioI y como para j = 1, ..., n los
Mj son estados linealmente independientes, entonces se cumple que:
“Dados w1, ..., wn ∈C existe la clase [fw] ∈B/I tal que para toda f ∈
[fw] Mj(f) =wj paraj= 1, ..., n”.
Tenemos el siguiente resultado:
Teorema 3.3. Fijados M1, ..., Mn ∈ P′(B) linealmente independientes y
dados w1, ..., wn ∈ C y la clase [fw] ∈ B/I tal que para toda g ∈ [fw]
Mj(g) =wj paraj= 1, ..., n.
k[fw]k ≤1
si y s´olo si,
supn°°°Sµ[fw]
° °
°:µes dominante yµ(I) = 0o≤1.
Demostraci´on. Para toda medida µ, se cumple que °°°S[µfw]°°° ≤ k[fw]k ≤ 1.
Rec´ıprocamente, supongamos que supn°°°S[µfw]°°°:µes dominante yµ(I) = 0o≤
1 y k[fw]k= 1 +a con a >0.Definiendof1= 1+1afw entonces k[f1]k = 1 y
por el teorema 3.2 se tiene
1 = supn°°°Sµ[f
1]
° °
°:µes dominante yµ(I) = 0o=
1
1+asupn°°°S µ
[fw]
° °
°:µes dominante yµ(I) = 0o.
Luego, supn°°°S[µfw]°°°:µes dominante yµ(I) = 0o= 1 +a >1 y esto es una contradicci´on.
Para cada medida dominanteµ, tal queµ(I) = 0, los estadosM1, ..., Mn
tienen extensiones continuas,Mf1, ...,Mgn aHµ2,y por el teorema de
represen-taci´on de Riesz, existenη1(µ), ..., ηn(µ)∈Hµ2 tales que para todah∈Hµ2
f
Mj(h) =hh, ηj(µ)i= Z
X
Como µ(I) = 0 entonces, ηj(µ) ∈ (I)
⊥
= Eµ para j = 1, ..., n y son
linealmente independientes, por lo tanto dim (Eµ) = n. De manera que las
matrices asociadas a los operadores S[µf] tienen orden n. Para expresar la condici´on°°°S[µf]°°°≤1 en t´erminos de matrices positivas definidas, necesitamos una base de vectores propios de estos operadores, y para ello imponemos las siguientes hip´otesis adicionales:
Hip´otesis 2
a) Todas la medidas dominantes satisfacen:
Para todof ∈B ye∈Eµ f e∈Hµ2.
b) Las extensionesMf1, ...,Mgn de los estadosM1, ..., Mn a Hµ2 verifican:
Para todof ∈B ye∈Eµ Mfj(f e) =Mj(f)Mfj(e) para j= 1, ..., n.
Con estas hip´otesis adicionales se tiene:
vec-°
Con las hip´otesis 2, completamos la respuesta al problema de Cole-Lewis-Wermer para el espacio vectorialB,en el siguiente resultado.
Teorema 3.4. Fijados M1, ..., Mn ∈ P
′
(B) linealmente independientes y dadosw1, ..., wn ∈Cy la clase[fw]∈B/I tal que
El teorema 3.4 da la respuesta al problema de Cole-Lewis-Wermer para es-pacios vectoriales uniformes,B, que satisfacen las hip´otesis 1 y 2. Cambiando
B por un ´algebra uniformeA, y fijandoM1, ..., Mn en el espacio de Gelfand
deA, entonces el subespacio cerradoIes un ideal y los funcionalesM1, ..., Mn
son multiplicativos, o sea, se satisfacen las hip´otesis requeridas para establecer el teorema 3.4 y por lo tanto, todos los resultados son v´alidos para el ´algebra uniformeA.
H∞
µ :=Hµ2∩L∞(µ)
se tiene que, si F ∈ H∞
µ y e ∈ Eµ entonces, F e ∈ Hµ2. En consecuencia,
obtenemos el siguiente resultado:
Proposici´on 3.6. Sea µ una medida dominante, fija. Para cada F ∈ H∞
µ
sea SFµ :Eµ−→Eµ definido por SFµe:=PEµF e para e∈Eµ. Entonces,
a) Para cadaF ∈H∞
µ SµF ∈L(Eµ) y kSµFk ≤ kFk∞.
b) Si F ∈H∞
µ y{fn}n≥1 ⊂B tal que l´ımn→∞kfn−Fk2 = 0 entonces, para
todoe∈Eµ∩B l´ım n→∞
° °
°Sfnµ e−SFµe°°°
2= 0.
Por ser H∞
µ ⊂Hµ2 la igualdad (3.13) es cierta para toda F ∈Hµ∞ y nos
planteamos el siguiente problema: “FijadosM1, ..., Mn∈P
′
(B) linealmente independientes y dadosw1, ..., wn∈
C, dar condiciones necesarias y suficientes para que, para toda medida
domi-nante µtal queµ(I) = 0, existaF ∈H∞
µ que verifique
kFk∞≤1 y
f
Mj(F) =wj paraj = 1, ..., n.”
Proposici´on 3.7. FijadosM1, ..., Mn ∈P
′
(B)linealmente independientes y dadosw1, ..., wn ∈C, para toda medida dominanteµ tal queµ(I) = 0, existe
F ∈H∞
µ tal que
kFk∞≤1 y Mfj(F) =wj para j = 1, ..., n
si y s´olo si existe [fw] ∈B/I tal que para todag ∈[fw] Mj(g) =wj para
j = 1, ..., ny
k[fw]k ≤1.
4
Problema de Unicidad
Si k[fw]k ≤1, el teorema 3.1 establece la existencia de una medida compleja,
ν,que determina una medida de probabilidad,λ,y ´esta origina una funci´on,g,
que es l´ımitedebil´ −∗de la sucesi´on{f
w−ynk}k≥1confw−g∈Iλykgk∞≤1,
o sea,g∈H∞
λ .As´ı que, definiendoMfj(g) =Mj(fw) paraj= 1, ..., nresulta, f
Entonces, nos planteamos el problema de la unicidad de la medida compleja,
ν, que origina a la medida de probabilidad,λ,y a la funci´on,g,del teorema 3.1.
La medida compleja,ν,proviene de una extensi´on Hahn-Banach del fun-cional, l◦, definido en el subespacio L◦ = I+{cf}c∈C ⊂ C(X). En conse-cuencia, podemos aplicar el criterio general de unicidad para las extensiones de funcionales se˜nalada en [2].
Consideramos que C(X) satisface el segundo axioma de numerabilidad. As´ı pues, C(X) es separable, por lo tanto, existe {fn}n≥1 ⊂C(X) tal que
C(X) =L◦+Lin{f1, f2, ...}dondeLin{f1, f2, ...} es la c´apsula lineal
gene-rada por f1, f2, ....
De la sucesi´on{fn}n≥1, tomamosf1, ..., fn−1tales que
B=L◦+LinR{f1, ..., fn−1}
(Ac´a consideramos la c´apsula lineal real). Como para todoh∈L◦
h=y+ (a+ib)f con y∈I, (a+ib)∈Centonces,
l◦(h) =a+ib
y el funcional lineal real,l1,asociado al◦ est´a definido por
l1(h) = Rel◦(h) =a para h∈L◦ y a∈R
la seminorma,p,es
p(h) =khk∞ para h∈L◦
e
p(f) = inf{a+kh−fk∞:h∈L◦, a∈R}paraf ∈C(X).
El criterio establece que hay unicidad de la extensi´on si, y s´olo si,
e
p(fn) =−ep(−fn) paran= 1,2, ...
Pero, como siempre es cierta la desigualdad pe(fn)≥ −pe(−fn), entonces
la condici´on se reduce a que sea cierta la desigualdad contraria y esta ´ultima la podemos escribir:
e
p(fn) +pe(−fn)≤0 para n= 1,2, ...
Resumiendo, tenemos el siguiente resultado:
Proposici´on 4.1. Hay unicidad de la medida, ν, de la demostraci´on del teorema 3.1 si, y s´olo si, para todo n≥1
Referencias
[1] Cede˜no, G.,Tesis de Maestr´ıa, Universidad Central de Venezuela, Cara-cas, 1995.
[2] Cede˜no, G., Cotlar, M.,Condici´on de Unicidad para el Problema de Pick,
Divulgaciones Matem´aticas,8(2) (2000), 99-112.
[3] Cole, B., Lewis, K., Wermer, J.,Pick Conditions on a Uniform Algebra and Von Neumann Inequalities, Jour. of Funct. Anal., 107 (2) (1992), 234-244.
