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Obtenci´

on de la Norma

en los Espacios de Bergman

Obtainment of the Norm in Bergman Spaces

Julio C. Ramos Fern´andez (

joramos@ull.es

)

Departamento de Matem´aticas

Universidad de Oriente Venezuela

Resumen

SeaD el disco unitario en el plano complejo yµ una medida po-sitiva que es doblante e invariante por traslaci´on. Para cada funci´on

f∈Lp(D, µ), anal´ıtica sobre el disco, construimos ciertos subconjuntos Gf deD, y probamos que la normaLp def se obtiene esencialmente

por integraci´on sobre los conjuntosGf.

Palabras y frases clave:Espacios de Bergman, medidas doblantes, discos seudo-hiperb´olicos.

Abstract

Let D _{be the open unit disk in the complex plane and let} µ be a positive, translation invariant doubling measure. For each analytic functionf ∈ Lp_{(D, µ) on the diskD, we construct a class of subsets}

Gf ofD, and we show that theLpnorm off is obtained by integration

over the setsGf.

Key words and phrases: Bergman spaces, doubling measures, seudo-hyperbolic disks.

1

Introducci´

on

SeaD_{el disco unitario del plano complejo}C_{. Parap≥1 yα >−1, el espacio}

de Bergman con pesoAp

α:=Apα(D) es la clase de las funciones anal´ıticas sobre

D_{tales que}

kf_kα,p :=

µZ

D|

f(z)_|p_dA α(z)

¶

1 p

<_∞,

donde dAα(z) := (α+ 1)(1− |z|2)αdA(z) ydA(z) = 1

πdxdy= 1

πrdrdθ es la medida bidimensional de Lebesgue. Paraα= 0, el espacio de Bergman usual (sin peso) se denota por Ap_.

Se dice que un subconjunto G de D _{es un conjunto dominante para A}p α si R

G|f(z)| p_dA

α(z) es comparable con kfkpα,p para toda f ∈Apα. En [2], D. Luecking describe los conjuntos dominantes para Ap_{, not´andose que tales} conjuntos deben tener una distribuci´on uniforme de masa cerca de la frontera del disco D_{. En [4] y [1] los autores prueban que tal caracterizaci´on tambi´en}

se cumple para los espacios de Bergman con peso Ap

α, con α > −1, p ≥ 1 y en los espacios de Besov Bp con p > 1, dondef ∈ Bp, p > 1 si y s´olo si f′ _∈Ap

p−2.

En otro orden de ideas, es conocido que si f es una funci´on anal´ıtica sobre D_{, entonces podemos construir conjuntosGf (que llamaremos del}tipo dominante para los espacios de Bergman) tales que la norma de Bergman se obtenga por integraci´on sobre dichos conjuntos. Por ejemplo en [3] D. Marshall y W. Smith prueban que si consideramosGf =f−1(Σε), entonces se obtiene el siguiente resultado:

Teorema 1.1. _{Dadoε >0 existe a una constanteδ >0tal que sif ∈A}1 _es

univalente y f(0) = 0, entonces

Z

f−1(Σ_ε)

|f_|dA_≥δ_kf_k1, (1.1)

siendo conjeturado que la desigualdad (1.1) sigue siendo v´alida, para todoε > 0, si quitamos la condici´on de univalencia. El resultado de Marshall y Smith ha sido generalizado por P´erez-Gonz´alez y Ramos en [5] para funciones en el espacio de Bergman con peso A1

α con α≥0 mostr´andose adem´as, mediante un contraejemplo, que tal generalizaci´on no es factible, para todo ε > 0, si α <0.

En este art´ıculo investigamos un problema de esta naturaleza. Considera-remos una medida µ, invariante por traslaci´on que sea doblante, es decir, la medidaµsatisfaceµ(D(z, ηr))_≤C(η)µ(D(z, r)), para toda bola en el plano complejo y la constanteC(η)>0 depende solamente deη >0. Entonces da-da una funci´on f _∈ Lp_{(D, dµ), anal´ıtica sobre D y constantes ρ, λ}

∈ (0,1), construiremos una clase de subconjuntosGf(ρ, λ) del discoDtales que

Z

Gf(ρ,λ)

|f(z)_|pdµ(z)_≥δ

Z

D|

f(z)_|pdµ(z),

2

Notaciones y preliminares

Antes de establecer nuestro resultado principal, necesitaremos algunas nota-ciones. En general, asumiremos que ε_∈(0,1) es fijo; para cadaa_∈D_,

defini-mos

Dε(a) :={z∈D : |z−a|< ε(1− |a|)}.

Note que Dε(a) es un disco eucl´ıdeo centrado en a y totalmente contenido en el disco unitario. Dado λ_∈(0,1) dado y una funci´on anal´ıticaf sobre D_,

definimos

Eλ(a) :={z∈Dε(a) : |f(z)|> λ|f(a)|}.

Podemos notar que para λ1< λ2<1 se cumple

E(λ2, f)(a)⊂E(λ1, f)(a), a∈D.

Entonces paraρyλdados en (0,1) yf anal´ıtica sobreD_{podemos definir}

los conjuntos

Gf(ρ, λ) ={z∈D:µ(Eλ(z))> ρµ(Dε(z))}, (2.2)

Note que paraλ_∈(0,1) fijo se cumple,

ρ1< ρ2<1⇒Gf(ρ2, λ)⊂Gf(ρ1, λ). (2.3)

Los conjuntosGf juegan un papel fundamental en nuestro resultado. En la pr´oxima secci´on, nos dedicaremos a demostrar que la norma de f se obtiene esencialmente por integraci´on sobre Gf; pero antes necesitaremos algunas estimaciones que involucran discos seudohiperb´olicos.

Recordemos que el disco seudo hiperb´olico con centroa∈D _{y radioεse}

define como

∆(a, ε) =

½

z∈D_: ¯ ¯ ¯ ¯

z−a 1₋az

¯ ¯ ¯ ¯

< ε

¾

.

Entonces, dado que ∆(z, ε) es un disco eucl´ıdeo, se cumple la desigualdad

|∆(z, ε)_{| ≤} 4πε 2

(1−ε2₎2(1− |z|) 2

(2.4)

para cualquierz_∈D_{. Donde|E|denota la medida bidimensional normalizada}

Lema 2.1. _{Dado ε ∈ (0,1), existe una constante C(ε) > 0 tal que para}

cualquier z enD_{se cumple}

I:=

ε(a) denota la funci´on caracter´ıstica del conjuntoDε(a).

Demostraci´on:_{Notamos queDε(a)⊂∆(a, ε) y que}1_D

ε(a)(z)≤1∆(a,ε)(z) =

1_{∆(z,ε)(a), donde en la ´ultima desigualdad hemos usado el hecho de que} z ∈∆(a, ε) si y s´olo sia∈∆(z, ε). Luego sustituyendo en la definici´on deI,

adem´as, dado que ∆(z, ε) es un disco eucl´ıdeo con radio (eucl´ıdeo) R, en-tonces usando la cota en (2.4), podemos ver que existe una C(ε)>0 tal que R=C(ε)radio(Dε(a)) y por tantoµ(∆(z, ε))≤C(ε)µ(Dε(a)), donde hemos usado que µes una medida doblante invariante por traslaci´on. Sustituyendo en (2.6) obtenemosI_≤C(ε),y la prueba est´a completa. ¤

3

Clase de conjuntos dominantes

Dedicamos esta secci´on para probar nuestro resultado principal el cual enun-ciamos de la siguiente manera:

Teorema 3.1. _{Fijemosε∈(0,1)y seaλ∈}¡

0,1 2

¢

. Entonces existen constan-tes ρ_∈(0,1)y δ >0 tal que

0∈(0,1) una constante que depende s´olo de ε que seleccionaremos despu´es. Entonces podemos descomponer el disco unitarioD_{en dos conjuntos disjuntosAyB =}D_{\A, donde}

As´ı de la definici´on deAy el Lema 2.1 podemos ver que existe una constante C(ε)>0 tal que

Z

A|

f(z)|p_dµ(z)

≤r0C(ε)

Z

D|

f(z)|p_{dµ(z). (3.7)}

Note que si seleccionamosr0C(ε)<1, el conjunto D\Aes tambi´en del tipo dominante.

Consideremos ahora un punto a ∈ B, λ ≤ 1

2 y sea R= 1

32r0ε(1− |a|). Probaremos que D(a;R)⊂Eλ(a). En efecto, consideremos r= ε2(1− |a|) y z_∈D(a, R). Entonces por la f´ormula integral de Cauchy podemos escribir

|f(z)−f(a)| ≤ 1₈r0Cr, (3.8)

dondeCr:= sup{|f(t)|:|t−a|=r}. Dado que|f|es una funci´on subarm´onica se tiene

Cr≤ 4

|Dε(a)|

Z

Dε(a)

|f(w)_|dA(w)< 4 r0|

f(a)_|,

donde hemos usado queD(t, r)⊂Dε(a), la definici´on der, la desigualdad de H¨older y la definici´on de B. Luego, sustituyendo en (3.8) se cumple

|f(z)₋f(a)_|< 1 2|f(a)|

para todoz_∈D(a, R) esto ´ultimo junto con la desigualdad triangular implica

|f(z)_|> 1

2|f(a)| ≥λ|f(a)| para cualquier z ∈ D(a, R) y D(a, R) ⊂ Eλ(a) como lo afirmamos.

Por lo tanto, si a _∈ B podemos usar el hecho que µ es doblante para concluir que existe una constante β > 1, que depende s´olo de r0 tal que µ(Dε(a)) ≤ βµ(D(a, R)) ≤ βµ(Eλ(a)), es decir, dado λ ≤ 1₂, existe una constanteρ_∈(0,1) tal queB_⊂Gf(ρ, λ).

Finalmente, seleccionandor0∈(0,1) tal quer0C(ε)<1 obtenemos

Z

D|

f(z)_|pdµ(z)_≤r0C(ε)

Z

D|

f(z)_|pdµ(z) +

Z

Gf(ρ,λ)

|f(z)_|pdµ(z)

y la prueba est´a lista conδ= 1

1−r0C(ε). ¤

puede tomar como C(ε) = ₍₁64

−ε2₎4, de tal manera que para que la conclusi´on

del Teorema sea cierta debemos seleccionar

r0< la constanteρal cual se refiere el Teorema puede ser

ρ= r

que como se nota es una constante bastante peque˜na. Esto ´ultimo junto con el hecho que los conjuntos Gf(ρ, λ) son decrecientes por (2.3) nos lleva a preguntarnos si tales conjuntos no son todo el discoD_.

Con el fin de probar que en general los conjuntos Gf(ρ, λ) no son todo el disco D_{, consideramos ε =} 1

9. Afirmamos que en este caso Gf(ρ, λ) est´a contenido en D\D

10 es claro que

|1₋z_{| ≥}1_{− |}z_{| ≥} 9

[1] Arzolay, W., Ramos, J., Conjuntos donde se alcanza la norma en espacios de Besov, Bolet´ın de la Asociaci´on Matem´atica Venezola-na,XI_{(1) (2004), 5–15.}

[2] Luecking, D.,Inequalities on Bergman spaces, Illinois J. Math.,25 (1981), 1–11.

[3] Marshall, D. E., Smith, W., The angular distribution of mass by Bergman functions, Revista Matem´atica Iberoamericana,15₍₁₎ (1999), 93–116.

J. L. Varona, Secretariado de Publicaciones de la Universidad de La Rioja, Logro˜no, 2001, 97–109.