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(1)

Extensi´

on de familias multiplicativas

de isometr´ıas

Extension of multiplicative families of isometries

Ram´on Bruzual (rbruzual@euler.ciens.ucv.ve)

Marisela Dom´ınguez (mdomin@euler.ciens.ucv.ve)

Escuela de Matem´atica Facultad de Ciencias Universidad Central de Venezuela

Caracas, Venezuela.

Resumen

Se prueba que una familia multiplicativa de isometr´ıas en un espa-cio de Hilbert, con parámetro en un intervalo de un grupo ordenado y con subespacio generador, se puede extender a un grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert más grande. Como corolario se ob-tiene un resultado conocido, que establece que toda función a valores operadores y definida positiva en un intervalo de un grupo ordenado, se puede extender a una función definida positiva en todo el grupo.

Palabras y frases clave: completamente positiva, definida positi-va, grupo ordenado, representaci´on unitaria

Abstract

We prove that a multiplicative family of isometries on a Hilbert space, with parameter on an interval of an ordered group and with generating subspace, can be extended to a group of unitary operators on a larger Hilbert space. As a corollary we obtain the known result that every operator valued positive definite function on an interval of an ordered group, can be extended to a positive definite function on the whole group.

Key words and phrases: completely positive, positive definite, ordered group, unitary representation

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1 Introducci´

on

Sea a un número real positivo, M. G. Kre˘ın [10] probó que toda función a valores complejos, continua y definida positiva en (−a, a) puede extenderse a una función continua y definida positiva en toda la recta.

El desarrollo de la teor´ıa de operadores y su interrelación con el análisis armónico ha mostrado que éste y otros problemas de interpolación pueden llevarse al contexto de la teor´ıa de operadores, considerando familias multipli-cativas de operadores asociadas de manera natural al problema considerado (ver por ejemplo [7], [11], [14], [2], [5], [6])

En este trabajo se prueba que una familia multiplicativa de isometr´ıas en un espacio de Hilbert, con par´ametro en un intervalo de un grupo ordenado y con subespacio generador, se puede extender a un grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert m´as grande (Teorema 3.8).

Como aplicación se obtiene una generalización del resultado de Kre˘ın para funciones a valores operadores, definidas positivas en un intervalo contenido en un grupo ordenado, que fue probada en [4]. Además se considera el problema de la continuidad de la extensión y se prueba que si se parte de una función débilmente continua y definida positiva, entonces toda extensión es débilmente (y por lo tanto fuertemente) continua en todo el grupo (Teorema 4.1).

2 Preliminares.

Definici´on 2.1. Sean Ω un grupo abeliano,D un subconjunto de Ω yL(H) el espacio de los operadores lineales y acotados en un espacio de Hilbert H. Se dice que una funci´on F :D→L(H) esdefinida positiva si

X

x,y∈Ω

hF(x−y)h(x), h(y)iH≥0

para toda funci´on h : D → H, con soporte finito y tal que soporte(h)− soporte(h)⊂D.

Sea (Γ,+) un grupo abeliano con elemento neutro 0Γ. Γ es ungrupo

orde-nado si existe un conjunto Γ+⊂Γ tal que:

Γ++ Γ+= Γ+, Γ+T(−Γ+) ={0Γ}, Γ+S(−Γ+) = Γ.

En este caso six, y∈Γ escribimosx≤y si y−x∈Γ+, tambi´en escribimos

(3)

posible, usaremos 0 en lugar de 0Γ. Cuando Γ es un grupo topol´ogico se supone

que Γ+es cerrado.

Sia, b∈Γ y a < b,

(a, b) ={x∈Γ :a < x < b}, [a, b] ={x∈Γ :a≤x≤b}, etc.

Proposici´on 2.2. SeanΓ un grupo ordenado, a∈Γ,a >0 y H un espacio de Hilbert.

Si la funci´on F : (−a, a)→L(H)satisface

X

x,y∈[0,a)

hF(x−y)h(x), h(y)iH≥0,

para toda funci´on con soporte finito h: [0, a)→ H, entonces F es definida positiva en (−a, a).

Demostración. Sea h: (−a, a)→ Huna función con soporte finito. Supónga-se que soporte(h) = {γ1, . . . , γn}, donde γ1 < γ2 < · · · < γn. Entonces 0≤γk−γ1, parak= 1, . . . , n, luegoγk−γ1∈[0, a) parak= 1, . . . , n.

Seah′_{: [0}_{, a}₎_{→ H}_{definida por}_h′₍_γ_{) =}_h₍_γ₊_γ

1), entonces X

x,y∈Γ

hF(x−y)h(x), h(y)iH=

X

x,y∈[0,a)

hF(x−y)h′(x), h′(y)iH≥0.

3 Familias multiplicativas de isometr´ıas

con subespacio generador

Definici´on 3.1. SeaE un espacio de Hilbert, sea Γ un grupo abeliano orde-nado y sea a∈Γ tal quea >0.

Unafamilia multiplicativa de isometr´ıas parciales en (E,Γ) es una familia (Sγ,Eγ)γ∈[0,a) tal que:

(a) Para cada γ ∈ [0, a) se tiene que Eγ es un subespacio cerrado de E y

E0=E.

(b) Para cadaγ∈[0, a),Sγ :Eγ → E es una isometr´ıa lineal y S0=IE.

(c) Ey⊂ Exsix, y∈[0, a) yx < y.

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Para demostrar el resultado principal serań necesarios algunos resultados auxiliares, que se irán probando a continuación.

En lo que sigueEes un espacio de Hilbert, Γ es un grupo abeliano ordenado y (Sγ,Eγ)γ∈[0,a) es una familia multiplicativa de isometr´ıas parciales.

Definici´on 3.2. Un subespacio generador para la familia (Sγ,Eγ)γ∈[0,a) es

un subespacio cerrado N_de_E _{tal que:}

(a) N_⊂ \

γ∈[0,a)

Eγ.

(b) Eλ=

_

0≤γ<a−λ

SγN para todoλ∈[0, a).

Proposici´on 3.3. Six, y, x+y∈[0, a)yf ∈N_entonces

Syf ∈ Ex y Sx+yf =SxSyf.

Demostraci´on. Seanx, y∈[0, a) tales que x+y ∈[0, a) y seaf ∈N_{. Como}

0 ≤y < a−x, por la parte (b) de la Definici´on 3.2, tenemos que Syf ∈ Ex, luegoSx+yf =SxSyf.

Sea (G,+), con elemento neutro eG el grupo dual de Γ con la topolog´ıa discreta. Sea C(G) el espacio de las funciones continuas a valores escalares con dominioG.

SeaSel conjunto de todos los polinomios trigonom´etricosp:G→C_tales

que soporte(p_b)⊂(−a, a).

EntoncesS es un sistema operador (“operator system”), contenido en el ´algebra A=C(G).

SeaK: (−a, a)→L(N_{) definido por}

K(γ) =PNS_γ|N

si γ ∈ [0, a) y K(γ) = K(−γ)∗ _si _γ _∈ ₍₋_a,_{0], donde} _P

N es la proyecci´on ortogonal de E sobreN_.

Se defineL:S→L(N_{) por}

L(p) =X γ∈Γ b

p(γ)K(γ).

(5)

(a) Si x, y∈[0, a)yf, g∈N _entonces _h_K₍_x₋_y₎_{f, g}_iN=hS_xf, S_ygiE,

(b) K es una funci´on definida positiva.

Demostraci´on. (a) Seanf, g∈N_{y sean}_{x, y}_∈_[0_{, a}_{). Si}_x_≥_y_{, entonces}

hK(x−y)f, giN=hS_x−yf, giE =hSxf, SygiE.

Si x≤y, entonces

hK(x−y)f, giN=hf,(K(x−y))∗giN=hf, K(y−x)giE =hSxf, SygiE.

(b) Seah: [0, a)→N _{una funci´on con soporte finito, entonces}

X

x,y∈[0,a)

hK(x−y)h(x), h(y)iN=

X

x,y∈[0,a)

hSxh(x), Syh(y)iE

=

° ° ° ° ° °

X

x∈[0,a)

Sxh(x)

° ° ° ° ° ° 2

≥0.

Definición 3.5. SeaN un número natural, se dice que un conjuntoQ con-tenido en {(k, l) ∈ {1, . . . , N} × {1, . . . , N} : k ≤ l} es un cuasitriángulo si

lk = m´ax{l:k≤l≤N,(k, l)∈Q} ≥k

para cada 1≤k ≤N y para cada (k′_{, l}′_{) con} _k_≤_k′ _≤_l′ _≤_l

k, se tiene que (k′_{, l}′₎_∈_Q_.

En [1] se puede hallar más información acerca de los cuasitriángulos.

Proposici´on 3.6. Seanγ1, . . . , γn∈Γ tales queγ1< γ2<· · ·< γn. Entonces existe una matriz positiva

A= (Akl)nk,l=1∈L(N⊕ · · · ⊕N)

tal que

(6)

Demostraci´on. La demostraci´on de este resultado se basa en algunos resulta-dos daresulta-dos en [1, Section 3 ]. Sea

E={(k, l) : 1≤k≤l≤n y γl−γk∈[0, a)}.

Se probar´a que E es un cuasitri´angulo.

Como 0∈[0, a), se tiene que (k, k)∈E para 1≤k≤n, luegolk≥k. Sup´ongase quek≤k′ _≤_l′_≤_l

k, donde 1≤k≤n, entonces 0≤γl′−γ_k′ ≤γ_l_k−γ_k,

comoγlk−γk ∈[0, a) se tiene queγl′−γk′ ∈[0, a), luego (k

′_{, l}′₎_∈_[0_{, a}_).

Comof es definida positiva, toda matriz de la forma (f(γl′−γ_k′))_k≤k′_,l′≤lk

es positiva, as´ı que el resultado sigue de [1, Corolario 3.2].

Lema 3.7. La aplicaci´onL es completamente positiva.

Demostraci´on. Primero se probar´a queL es positiva. Seap∈S un elemento positivo. Se define Φp: Γ→L(N) por

Φp(γ) =pb(γ)K(γ).

Sean γ1, . . . , γn ∈ Γ tales que γ1 < γ2 < · · · < γn. Se mostrar´a que la matriz a valores operadores (Φp(γl−γk))nk,l=1 es positiva.

SeaAcomo en la Proposici´on 3.6, entonces la matriz (Φp(γl−γk))nk,l=1es

el producto de Schur de las matrices ¡pb(γl−γk)

¢n

k,l=1 yA.

La matriz ¡pb(γl−γk)

¢n

k,l=1 es positiva porque p toma valores positivos,

luego la matriz (Φp(γl−γk))nk,l=1 es positiva.

Por lo tanto Φp es una funci´on definida positiva y

c

Φp(eG) =

X

γ∈Γ

Φp(γ) =L(p)

es positiva.

Ahora se mostrar´a queLes completamente positiva. SeaN un entero posi-tivo, sea MN el espacio de las matrices complejas N × N y sea

LN :MN(S)→ MN(L(N)) la aplicaci´on inducida porL, es decir

LN

¡

(pij)Ni,j=1 ¢

(7)

(ver [9, pag. 25] para los detalles).

Aplicando el rearreglo can´onico, se obtiene la siguiente matriz

(Φς(γl−γk))nk,l=1=

donde⊙denota el producto de Schur. Las matrices

³¡

(8)

Teorema 3.8. Sea Γ un grupo abeliano ordenado, sea E un espacio de Hil-bert y sea a ∈ Γ, a > 0. Si (Sγ,Eγ)γ∈[0,a) es una familia multiplicativa de

isometr´ıas parciales con subespacio generador en (E,Γ), entonces existe un espacio de Hilbert F que contiene a E como subespacio cerrado y una re-presentaci´on unitaria (Uγ)γ∈Γ de Γ en L(F) tal que Sγ = Uγ|Eγ para todo

γ∈[0, a).

Demostración. SeaLcomo en el Lema 3.7. Por el teorema de extensión de Ar-veson (ver [3, 9]) existe una aplicación completamente positiva

e

L:C(G)→L(N_{) que extiende a}_L_.

Del teorema de representaci´on de Stinespring (ver [13, 9]), se obtiene que existe un espacio de HilbertF, un homomorfismo unital Π :C(G)→L(F) y

se tiene queJ es una isometr´ıa.

Paraγ∈Γ seaǫγ :G→Cdefinido porǫγ(ξ) =ξ(γ), entoncesǫ0Γ =1y

ǫγ1+γ2 =ǫγ1ǫγ2.

Si se define

Uγ= Π(ǫγ)

(9)

En consecuencia la aplicaci´on

Sγ1f1+· · ·+Sγnfn7→Uγ1J f1+· · ·+UγnJ fn

define un operador isom´etrico deE=W_γ∈[0,a)SγNenF, por lo tantoEpuede identificarse con un subespacio deFy, con esta identificaci´on,Sγ =Uγ|Eγpara

todo γ∈[0, a).

4 Aplicaci´

on: Extensi´

on de funciones definidas

positivas en un intervalo

Teorema 4.1. Sean Γ un grupo abeliano ordenado, a ∈ Γ, a > 0 y H un espacio de Hilbert. Si k : (−a, a) →L(H) una funci´on definida positiva en-tonces:

(a) ktiene una extensi´on definida positiva a todo el grupoΓ.

(b) Si Γ es un grupo topológico y k es débilmente continua entonces cual-quier extensión definida positiva dekes fuertemente continua.

Demostraci´on.

(a) SeaMel espacio vectorial definido por

M={f : [0, a)→ H: soporte de f es finito}.

Paraf, g∈ Mse define

hf, giM=

X

x,y∈[0,a)

hk(x−y)f(x), g(y)iH.

Es claro que h , iM es una forma sesquilineal no-negativa enM. Sea E

el espacio de Hilbert obtenido completando Mdespu´es de tomar el cociente natural.

Paraγ∈[0, a) sea

Mγ={f ∈ M: soportef ⊂[0, a−γ)}

y paraf ∈ Mγ sea

(Sγf)(x) =

(

0 six∈[0, γ)

(10)

EntoncesSγ:Mγ → Mes un operador isom´etrico. Sea Eγ la clausura de

Mγ en E. Es claro queSγ puede extenderse a un operador isom´etrico de Eγ a E, que tambi´en denotaremos porSγ.

Es sencillo probar que la familia (Sγ,Eγ)γ∈[0,a) es una familia

multiplica-tiva de isometr´ıas parciales.

Paraγ0∈Γ, sea δγ0 la funci´on definida por

δγ0(γ) =

(

1 siγ=γ0,

0 otro caso.

Seanh∈ H y γ∈[0, a), se tiene quehδγ es un elemento deM. Adem´as si [hδγ] denota la clase de equivalencia dehδγ enE, entonces [hδ0]∈ Eγ para todo γ∈[0, a) y

Sγ[hδ0] = [hδγ].

Por lo tanto si N _{es la clausura de la variedad lineal} _{_[_hδ₀_{] :} _h _{∈ H}}_,

entonces N_{es un subespacio generador para la familia (}_S_γ_,_E_γ₎_γ_∈_[0_,a₎_.

Por el Teorema 3.8 existe un espacio de HilbertF que contiene aE como un subespacio cerrado y una representaci´on unitaria (Uγ)γ∈Γ de Γ en L(F)

tal que Sγ =Uγ|Eγ para todoγ∈[0, a).

Seanγ, γ′ _∈₍₋_{a, a}_),_{h, h}′ _{∈ H}_{. Entonces}

hk(γ−γ′)h, h′iH=h[hδγ],[h′δγ′]iE

=hUγ[hδ0], Uγ′[h′δ0]iG

=hUγ−γ′[hδ₀],[h′δ₀]iG

Si se defineτ:H → F porτ h= [hδ0] entonces

kτ hk2F=hτ h, τ hiE =hk(0)h, hiH≤kk(0)kL(H)khk2H

as´ı que τ es un operador lineal acotado y paraγ∈[−2a,2a]

k(γ) =τ∗Uγτ. DefiniendoK(γ) =τ∗_U

γτ paraγ∈Γ se obtiene el resultado.

(b) SeaKuna extensi´on definida positiva deka todo el grupo. Parah∈ H la funci´on a valores escalares

γ7→ hK(γ)h, hi

(11)

Como 0∈(−a, a), del resultado correspondiente para funciones a valores escalares (ver [12, pag. 24]) y de la f´ormula de polarizaci´on se obtiene que K

es d´ebilmente continua.

La continuidad fuerte se sigue del hecho general de que la dilatación unita-ria minimal de Naimark de una función definida positiva débilmente continua es fuertemente continua.

Observaci´on 4.2. La parte (a) de este resultado fue probada:

(i) Por Kre˘ın para el caso Γ =R_y_f _{a valores escalares y continua ([10]).}

(ii) En [8], para Γ = R _y _f _{una funci´on d´ebilmente continua a valores}

operadores.

(iii) En [6], para el caso Γ =Zn_{´o Γ =}R_×Zn _{con el orden lexicogr´afico y}f

una funci´on d´ebilmente continua a valores operadores.

(iv) En [4], para un grupo ordenado general yf una funci´on a valores ope-radores.

Referencias

[1] Gr. Arsene, Zoia Ceausescu, T. Constantinescu,Schur analysis of some completion problems. Linear Algebra Appl. 109(1988) 1–35. Citado en p´agina(s): 27, 28

[2] R. Arocena, On the Extension Problem for a class of translation inva-riant positive forms.J. Operator Theory21 (1989), 323–347. Citado en p´agina(s): 24

[3] W. Arveson,Subalgebras ofC∗_algebras._{Acta Math.}₁₂₃_{(1969) 141–224.}

Citado en p´agina(s): 30

[4] M. Bakonyi,The extension of positive definite operator-valued functions defined on a symmetric interval of an ordered group. Proc. Am. Math. Soc.130, No.5, (2002) 1401–1406. Citado en p´agina(s): 24, 33

(12)

[6] R. Bruzual, M. Dom´ınguez,Extensions of operator valued positive definite functions and commutant lifting on ordered groups.J. Funct. Anal. 185 (2001) 456–473. Citado en p´agina(s): 24, 33

[7] A. Devinatz,On the extensions of positive definite functions.Acta Math. 102, (1959), 109–134. Citado en p´agina(s): 24

[8] M. L. Gorbachuck,Representation of positive definite operator functions.

Ukrainian Math. J.17(1965) 29–46. Citado en p´agina(s): 33

[9] V. Paulsen, Completely bounded maps and dilations. Pitman Research Notes in Mathematics Series, 146. (1986). Citado en p´agina(s): 29, 30

[10] M. G. Kre˘ın,Sur le probl`eme du prolongement des fonctions hermitiennes positives et continues.Dokl. Akad. Nauk. SSSR26(1940) 17–22. Citado en p´agina(s): 24, 33

[11] D. Sarason, Generalized interpolation inH∞_._{Trans. Amer. Math. Soc.}

127(1967) 179–203. Citado en p´agina(s): 24

[12] Z. Sasv´ari,Positive definite and definitizable functions.Akademie Verlag, 1994. Citado en p´agina(s): 33

[13] W. Stinespring,Positive functions onC∗_-algebras._{Proc. Am. Math. Soc.}

6(1955) 211-216. Citado en p´agina(s): 30