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(1)

Extensi´

on de familias multiplicativas

de isometr´ıas

Extension of multiplicative families of isometries

Ram´on Bruzual (rbruzual@euler.ciens.ucv.ve)

Marisela Dom´ınguez (mdomin@euler.ciens.ucv.ve)

Escuela de Matem´atica Facultad de Ciencias Universidad Central de Venezuela

Caracas, Venezuela.

Resumen

Se prueba que una familia multiplicativa de isometr´ıas en un espa-cio de Hilbert, con par´ametro en un intervalo de un grupo ordenado y con subespacio generador, se puede extender a un grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert m´as grande. Como corolario se ob-tiene un resultado conocido, que establece que toda funci´on a valores operadores y definida positiva en un intervalo de un grupo ordenado, se puede extender a una funci´on definida positiva en todo el grupo.

Palabras y frases clave: completamente positiva, definida positi-va, grupo ordenado, representaci´on unitaria

Abstract

We prove that a multiplicative family of isometries on a Hilbert space, with parameter on an interval of an ordered group and with generating subspace, can be extended to a group of unitary operators on a larger Hilbert space. As a corollary we obtain the known result that every operator valued positive definite function on an interval of an ordered group, can be extended to a positive definite function on the whole group.

Key words and phrases: completely positive, positive definite, ordered group, unitary representation

(2)

1

Introducci´

on

Sea a un n´umero real positivo, M. G. Kre˘ın [10] prob´o que toda funci´on a valores complejos, continua y definida positiva en (−a, a) puede extenderse a una funci´on continua y definida positiva en toda la recta.

El desarrollo de la teor´ıa de operadores y su interrelaci´on con el an´alisis arm´onico ha mostrado que ´este y otros problemas de interpolaci´on pueden llevarse al contexto de la teor´ıa de operadores, considerando familias multipli-cativas de operadores asociadas de manera natural al problema considerado (ver por ejemplo [7], [11], [14], [2], [5], [6])

En este trabajo se prueba que una familia multiplicativa de isometr´ıas en un espacio de Hilbert, con par´ametro en un intervalo de un grupo ordenado y con subespacio generador, se puede extender a un grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert m´as grande (Teorema 3.8).

Como aplicaci´on se obtiene una generalizaci´on del resultado de Kre˘ın para funciones a valores operadores, definidas positivas en un intervalo contenido en un grupo ordenado, que fue probada en [4]. Adem´as se considera el problema de la continuidad de la extensi´on y se prueba que si se parte de una funci´on d´ebilmente continua y definida positiva, entonces toda extensi´on es d´ebilmente (y por lo tanto fuertemente) continua en todo el grupo (Teorema 4.1).

2

Preliminares.

Definici´on 2.1. Sean Ω un grupo abeliano,D un subconjunto de Ω yL(H) el espacio de los operadores lineales y acotados en un espacio de Hilbert H. Se dice que una funci´on F :D→L(H) esdefinida positiva si

X

x,y∈Ω

hF(x−y)h(x), h(y)iH≥0

para toda funci´on h : D → H, con soporte finito y tal que soporte(h)− soporte(h)⊂D.

Sea (Γ,+) un grupo abeliano con elemento neutro 0Γ. Γ es ungrupo

orde-nado si existe un conjunto Γ+⊂Γ tal que:

Γ++ Γ+= Γ+, Γ+T(−Γ+) ={0Γ}, Γ+S(−Γ+) = Γ.

En este caso six, y∈Γ escribimosx≤y si y−x∈Γ+, tambi´en escribimos

(3)

posible, usaremos 0 en lugar de 0Γ. Cuando Γ es un grupo topol´ogico se supone

que Γ+es cerrado.

Sia, b∈Γ y a < b,

(a, b) ={x∈Γ :a < x < b}, [a, b] ={x∈Γ :a≤x≤b}, etc.

Proposici´on 2.2. SeanΓ un grupo ordenado, a∈Γ,a >0 y H un espacio de Hilbert.

Si la funci´on F : (−a, a)→L(H)satisface

X

x,y∈[0,a)

hF(x−y)h(x), h(y)iH≥0,

para toda funci´on con soporte finito h: [0, a)→ H, entonces F es definida positiva en (−a, a).

Demostraci´on. Sea h: (−a, a)→ Huna funci´on con soporte finito. Sup´onga-se que soporte(h) = {γ1, . . . , γn}, donde γ1 < γ2 < · · · < γn. Entonces 0≤γk−γ1, parak= 1, . . . , n, luegoγk−γ1∈[0, a) parak= 1, . . . , n.

Seah′: [0, a)→ Hdefinida porh(γ) =h(γ+γ

1), entonces X

x,y∈Γ

hF(x−y)h(x), h(y)iH=

X

x,y∈[0,a)

hF(x−y)h′(x), h′(y)iH≥0.

3

Familias multiplicativas de isometr´ıas

con subespacio generador

Definici´on 3.1. SeaE un espacio de Hilbert, sea Γ un grupo abeliano orde-nado y sea a∈Γ tal quea >0.

Unafamilia multiplicativa de isometr´ıas parciales en (E,Γ) es una familia (Sγ,Eγ)γ∈[0,a) tal que:

(a) Para cada γ ∈ [0, a) se tiene que Eγ es un subespacio cerrado de E y

E0=E.

(b) Para cadaγ∈[0, a),Sγ :Eγ → E es una isometr´ıa lineal y S0=IE.

(c) Ey⊂ Exsix, y∈[0, a) yx < y.

(4)

Para demostrar el resultado principal sera´n necesarios algunos resultados auxiliares, que se ir´an probando a continuaci´on.

En lo que sigueEes un espacio de Hilbert, Γ es un grupo abeliano ordenado y (Sγ,Eγ)γ∈[0,a) es una familia multiplicativa de isometr´ıas parciales.

Definici´on 3.2. Un subespacio generador para la familia (Sγ,Eγ)γ∈[0,a) es

un subespacio cerrado NdeE tal que:

(a) N \

γ∈[0,a)

Eγ.

(b) Eλ=

_

0≤γ<a−λ

SγN para todoλ∈[0, a).

Proposici´on 3.3. Six, y, x+y∈[0, a)yf ∈Nentonces

Syf ∈ Ex y Sx+yf =SxSyf.

Demostraci´on. Seanx, y∈[0, a) tales que x+y ∈[0, a) y seaf ∈N. Como

0 ≤y < a−x, por la parte (b) de la Definici´on 3.2, tenemos que Syf ∈ Ex, luegoSx+yf =SxSyf.

Sea (G,+), con elemento neutro eG el grupo dual de Γ con la topolog´ıa discreta. Sea C(G) el espacio de las funciones continuas a valores escalares con dominioG.

SeaSel conjunto de todos los polinomios trigonom´etricosp:G→Ctales

que soporte(pb)⊂(−a, a).

EntoncesS es un sistema operador (“operator system”), contenido en el ´algebra A=C(G).

SeaK: (−a, a)→L(N) definido por

K(γ) =PNSγ|N

si γ ∈ [0, a) y K(γ) = K(−γ)∗ si γ (a,0], donde P

N es la proyecci´on ortogonal de E sobreN.

Se defineL:S→L(N) por

L(p) =X γ∈Γ b

p(γ)K(γ).

(5)

(a) Si x, y∈[0, a)yf, g∈N entonces hK(xy)f, giN=hSxf, SygiE,

(b) K es una funci´on definida positiva.

Demostraci´on. (a) Seanf, g∈Ny seanx, y[0, a). Sixy, entonces

hK(x−y)f, giN=hSx−yf, giE =hSxf, SygiE.

Si x≤y, entonces

hK(x−y)f, giN=hf,(K(x−y))∗giN=hf, K(y−x)giE =hSxf, SygiE.

(b) Seah: [0, a)→N una funci´on con soporte finito, entonces

X

x,y∈[0,a)

hK(x−y)h(x), h(y)iN=

X

x,y∈[0,a)

hSxh(x), Syh(y)iE

=

° ° ° ° ° °

X

x∈[0,a)

Sxh(x)

° ° ° ° ° ° 2

≥0.

Definici´on 3.5. SeaN un n´umero natural, se dice que un conjuntoQ con-tenido en {(k, l) ∈ {1, . . . , N} × {1, . . . , N} : k ≤ l} es un cuasitri´angulo si

lk = m´ax{l:k≤l≤N,(k, l)∈Q} ≥k

para cada 1≤k ≤N y para cada (k′, l) con kkll

k, se tiene que (k′, l)Q.

En [1] se puede hallar m´as informaci´on acerca de los cuasitri´angulos.

Proposici´on 3.6. Seanγ1, . . . , γn∈Γ tales queγ1< γ2<· · ·< γn. Entonces existe una matriz positiva

A= (Akl)nk,l=1∈L(N⊕ · · · ⊕N)

tal que

(6)

Demostraci´on. La demostraci´on de este resultado se basa en algunos resulta-dos daresulta-dos en [1, Section 3 ]. Sea

E={(k, l) : 1≤k≤l≤n y γl−γk∈[0, a)}.

Se probar´a que E es un cuasitri´angulo.

Como 0∈[0, a), se tiene que (k, k)∈E para 1≤k≤n, luegolk≥k. Sup´ongase quek≤k′ ll

k, donde 1≤k≤n, entonces 0≤γl′−γk′ ≤γlk−γk,

comoγlk−γk ∈[0, a) se tiene queγl′−γk′ ∈[0, a), luego (k

, l)[0, a).

Comof es definida positiva, toda matriz de la forma (f(γl′−γk′))k≤k′,l′≤lk

es positiva, as´ı que el resultado sigue de [1, Corolario 3.2].

Lema 3.7. La aplicaci´onL es completamente positiva.

Demostraci´on. Primero se probar´a queL es positiva. Seap∈S un elemento positivo. Se define Φp: Γ→L(N) por

Φp(γ) =pb(γ)K(γ).

Sean γ1, . . . , γn ∈ Γ tales que γ1 < γ2 < · · · < γn. Se mostrar´a que la matriz a valores operadores (Φp(γl−γk))nk,l=1 es positiva.

SeaAcomo en la Proposici´on 3.6, entonces la matriz (Φp(γl−γk))nk,l=1es

el producto de Schur de las matrices ¡pb(γl−γk)

¢n

k,l=1 yA.

La matriz ¡pb(γl−γk)

¢n

k,l=1 es positiva porque p toma valores positivos,

luego la matriz (Φp(γl−γk))nk,l=1 es positiva.

Por lo tanto Φp es una funci´on definida positiva y

c

Φp(eG) =

X

γ∈Γ

Φp(γ) =L(p)

es positiva.

Ahora se mostrar´a queLes completamente positiva. SeaN un entero posi-tivo, sea MN el espacio de las matrices complejas N × N y sea

LN :MN(S)→ MN(L(N)) la aplicaci´on inducida porL, es decir

LN

¡

(pij)Ni,j=1 ¢

(7)

(ver [9, pag. 25] para los detalles).

Aplicando el rearreglo can´onico, se obtiene la siguiente matriz

(Φς(γl−γk))nk,l=1=

donde⊙denota el producto de Schur. Las matrices

³¡

(8)

Teorema 3.8. Sea Γ un grupo abeliano ordenado, sea E un espacio de Hil-bert y sea a ∈ Γ, a > 0. Si (Sγ,Eγ)γ∈[0,a) es una familia multiplicativa de

isometr´ıas parciales con subespacio generador en (E,Γ), entonces existe un espacio de Hilbert F que contiene a E como subespacio cerrado y una re-presentaci´on unitaria (Uγ)γ∈Γ de Γ en L(F) tal que Sγ = Uγ|Eγ para todo

γ∈[0, a).

Demostraci´on. SeaLcomo en el Lema 3.7. Por el teorema de extensi´on de Ar-veson (ver [3, 9]) existe una aplicaci´on completamente positiva

e

L:C(G)→L(N) que extiende aL.

Del teorema de representaci´on de Stinespring (ver [13, 9]), se obtiene que existe un espacio de HilbertF, un homomorfismo unital Π :C(G)→L(F) y

se tiene queJ es una isometr´ıa.

Paraγ∈Γ seaǫγ :G→Cdefinido porǫγ(ξ) =ξ(γ), entoncesǫ0Γ =1y

ǫγ1+γ2 =ǫγ1ǫγ2.

Si se define

Uγ= Π(ǫγ)

(9)

En consecuencia la aplicaci´on

Sγ1f1+· · ·+Sγnfn7→Uγ1J f1+· · ·+UγnJ fn

define un operador isom´etrico deE=Wγ∈[0,a)SγNenF, por lo tantoEpuede identificarse con un subespacio deFy, con esta identificaci´on,Sγ =Uγ|Eγpara

todo γ∈[0, a).

4

Aplicaci´

on: Extensi´

on de funciones definidas

positivas en un intervalo

Teorema 4.1. Sean Γ un grupo abeliano ordenado, a ∈ Γ, a > 0 y H un espacio de Hilbert. Si k : (−a, a) →L(H) una funci´on definida positiva en-tonces:

(a) ktiene una extensi´on definida positiva a todo el grupoΓ.

(b) Si Γ es un grupo topol´ogico y k es d´ebilmente continua entonces cual-quier extensi´on definida positiva dekes fuertemente continua.

Demostraci´on.

(a) SeaMel espacio vectorial definido por

M={f : [0, a)→ H: soporte de f es finito}.

Paraf, g∈ Mse define

hf, giM=

X

x,y∈[0,a)

hk(x−y)f(x), g(y)iH.

Es claro que h , iM es una forma sesquilineal no-negativa enM. Sea E

el espacio de Hilbert obtenido completando Mdespu´es de tomar el cociente natural.

Paraγ∈[0, a) sea

Mγ={f ∈ M: soportef ⊂[0, a−γ)}

y paraf ∈ Mγ sea

(Sγf)(x) =

(

0 six∈[0, γ)

(10)

EntoncesSγ:Mγ → Mes un operador isom´etrico. Sea Eγ la clausura de

Mγ en E. Es claro queSγ puede extenderse a un operador isom´etrico de Eγ a E, que tambi´en denotaremos porSγ.

Es sencillo probar que la familia (Sγ,Eγ)γ∈[0,a) es una familia

multiplica-tiva de isometr´ıas parciales.

Paraγ0∈Γ, sea δγ0 la funci´on definida por

δγ0(γ) =

(

1 siγ=γ0,

0 otro caso.

Seanh∈ H y γ∈[0, a), se tiene quehδγ es un elemento deM. Adem´as si [hδγ] denota la clase de equivalencia dehδγ enE, entonces [hδ0]∈ Eγ para todo γ∈[0, a) y

Sγ[hδ0] = [hδγ].

Por lo tanto si N es la clausura de la variedad lineal {[0] : h ∈ H},

entonces Nes un subespacio generador para la familia (Sγ,Eγ)γ[0,a).

Por el Teorema 3.8 existe un espacio de HilbertF que contiene aE como un subespacio cerrado y una representaci´on unitaria (Uγ)γ∈Γ de Γ en L(F)

tal que Sγ =Uγ|Eγ para todoγ∈[0, a).

Seanγ, γ′ (a, a),h, h∈ H. Entonces

hk(γ−γ′)h, h′iH=h[hδγ],[h′δγ′]iE

=hUγ[hδ0], Uγ′[h′δ0]iG

=hUγ−γ′[hδ0],[h′δ0]iG

Si se defineτ:H → F porτ h= [hδ0] entonces

kτ hk2F=hτ h, τ hiE =hk(0)h, hiH≤kk(0)kL(H)khk2H

as´ı que τ es un operador lineal acotado y paraγ∈[−2a,2a]

k(γ) =τ∗Uγτ. DefiniendoK(γ) =τ∗U

γτ paraγ∈Γ se obtiene el resultado.

(b) SeaKuna extensi´on definida positiva deka todo el grupo. Parah∈ H la funci´on a valores escalares

γ7→ hK(γ)h, hi

(11)

Como 0∈(−a, a), del resultado correspondiente para funciones a valores escalares (ver [12, pag. 24]) y de la f´ormula de polarizaci´on se obtiene que K

es d´ebilmente continua.

La continuidad fuerte se sigue del hecho general de que la dilataci´on unita-ria minimal de Naimark de una funci´on definida positiva d´ebilmente continua es fuertemente continua.

Observaci´on 4.2. La parte (a) de este resultado fue probada:

(i) Por Kre˘ın para el caso Γ =Ryf a valores escalares y continua ([10]).

(ii) En [8], para Γ = R y f una funci´on d´ebilmente continua a valores

operadores.

(iii) En [6], para el caso Γ =Zn´o Γ =R×Zn con el orden lexicogr´afico yf

una funci´on d´ebilmente continua a valores operadores.

(iv) En [4], para un grupo ordenado general yf una funci´on a valores ope-radores.

Referencias

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Figur

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Referensi

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