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El Grupo de los Enteros p-´

adicos

The Group of p-adic Integers

Edixo Rosales (

erosales@hydra.math.luz.ve

)

Departamento de Matem´atica y Computaci´on

Facultad Experimental de Ciencias La Universidad del Zulia

Maracaibo, Venezuela

Resumen

En este art´ıculo se estudia el grupo aditivo del anillo de los n´umeros p-´adicosO+

y se muestra que el mismo es un grupo topol´ogico compacto y de Hausdorff, para lo cual presentamos una prueba usando la teor´ıa de los l´ımites proyectivos. Al final del trabajo se se˜nala la importancia del problema inverso de Galois y su relaci`on conO+

.

Palabras y frases clave:n´umerosp-´adicos, l´ımites proyectivos

Abstract

In this paper the additive groupO+

of the ring of p-adic numbers is studied, showing that it is a compact Hausdorff topological group. A proof using the theory of projective limits is presented. At the end of the article we point out the importance of the inverse Galois problem and its relation withO+

.

Key words and phrases:p-adic numbers, projective limits

Introducci´

on

Este trabajo es fundamentalmente de tipo divulgativo. En el mismo estu-diamos el grupo O+ _{de los enteros p-´adicos y su conocida propiedad de} gru-po togru-pol´ogico compacto. El excelente texto de Paul J. MacCarty [1], en su ´apendice 2, presenta de manera sint´etica lo que nosotros en este art´ıculo desarrollamos, sobre todo el problema inverso de Galois, resuelto para O+_. Nuestro estudio en la segunda parte del trabajo permite ver el grupo O+ co-mo grupo topol´ogico compacto v´ıa el l´ımite proyectivo de grupos topol´ogicos

discretos. Nuestro inter´es es mostrar la hermosa herramienta proporcionada por los l´ımites proyectivos y la elegancia de las pruebas en algunos t´opicos de la teor´ıa de los cuerpos.

1

Preliminares

Supondremos que el lector est´a familiarizado con los conceptos b´asicos de grupos topol´ogicos, los cuales puede consultar en [2, p´ag. 125–129]. Comen-zaremos nuestro estudio con los l´ımites inversos.

Sea (S,≤) un conjunto dirigido (es decir≤es un orden parcial sobre S y siα, β∈S entonces existe γ∈S tal que α≤γ yβ≤γ).

Consideremos una familia de grupos topol´ogicos (Gα)α∈S y supongamos

que para cada par (α, β) ∈ S ×S con α ≤ β existe un morfismo continuo Φβα : Gβ → Gα. Se adiciona que Φαα = iGα y si α ≤ β, β ≤ γ, luego Φγα= ΦβαΦγβ. Con estas propiedades se dice que la terna (S,{Gα},{Φβα})

es un sistema inverso.

Ahora consideremos el producto directo de grupos Q_α∈SGa y el

subcon-junto de este producto G= {(xα)α∈S : siα ≤β entonces Φβα(xβ) = xα}.

Notemos queG6=∅ya que sixα= 1 luego (xα)α∈S ∈G. AGse le llama el l´ımite inverso oproyectivode los Gα y se denota porG= lim_←−Gα.

Proposici´on 1. G con la topolog´ıa inducida de la topolog´ıa producto es un grupo topol´ogico.

Demostraci´on. Hay que ver que G es un subgrupo de Q_α∈SGa. En efecto,

como (xα)α∈S.(yα)α∈S = (xα.yα)α∈S y Φβα(xβ.yβ) = Φβα(xβ).Φβα(yβ) =

xα.yα, se deduce queGes cerrado con respecto al producto. Supongamos que

(xα)α∈S ∈G, luego Φβα(x−_β1) = Φβα(xβ)−1=x−α1=⇒(xα)−α∈1S ∈G.

Proposici´on 2. Si cada Gα es de Hausdorff entonces G es un subespacio cerrado deQ_α∈SGa.

Demostraci´on. Sea (xα)α∈S ∈/ G. Entonces existeα≤β tal que Φβα(xβ)6=

xα. Como cada Gγ es de Hausdorff, existen entornos Uα ∈ Uxα y Vα ∈

UΦβα(xβ), conUα∩ Vα =∅. Sea el abierto b´asico Q

γ∈SAγ , conAα =Uα,

Aβ= Φ−βα1(Vα), Aγ =Gγ, para todo γ6=α, β. Si (yα)α∈S ∈

Q

γ∈SAγ∩G⇒

yβ∈Aβ, yα∈Uα, y Φβα(yβ) =yα∈Uα. Se concluye que Φβα(yβ)∈Vα∩Uα.

Esto es un absurdo.

Demostraci´on. Como Q_α∈SGa es compacto y de Hausdorff yG es de

Haus-dorff y cerrado, se deduce queGes compacto.

Teorema 4. SeanGun grupo topol´ogico de Hausdorff compacto y (S,{Gα}, {φβα}) un sistema inverso de grupos topol´ogicos, donde cadaGαes compacto y de Hausdorff. Supongamos que para cada β∈S existe un morfismo continuo sobreyectivo ψβ : G → Gβ tal que si β ≤ γ luego φγβ ◦ψγ = ψβ y que la

que la familia {Fβ} cumple la propiedad de intersecci´on finita. En efecto Tn

K es de Hausdorff y compacto , Ψ es una biyecci´on y continua, luego Ψ es un homeomorfismo. Esto prueba lo pedido.

Corolario 5. SeanGun grupo topol´ogico compacto y T2 y{Hα}α∈S familia de subgrupos normales y cerrados. Supongamos que si α y β est´an en S, existe un γ ∈ S tal que Hγ ⊆ Hα∩Hβ y que T_α∈SHα = {1}. Para cada

α consideramos Gα =G/Hα. Si Hβ ⊆Hα se define φβα : Gβ −→Gα por

φβα(a.Hβ =a.Hα. EntoncesS puede ser parcialmente ordenado de tal forma que (S,{Gα},{φβα})forman un sistema inverso y G≃lim_←−Gα.

Demostraci´on. Se define α ≤β sii Hβ ⊆Hα. Esto define un orden parcial

en S. Si α, β ∈ S, existe unγ ∈ S tal que Hγ ⊆Hα∩Hβ entonces α≤γ

y β ≤γ. Esto dice que S es dirigido. Veamos que cada Hα es compacto y

T2. Se supone que Gα tiene la topolog´ıa cociente inducida por el morfismo

proyecci´onψα:G−→Gα definida porψα(a) =a.Hαes morfismo continuo y

SeanQel conjunto de los n´umeros racionales con la valuaci´onp−´adica| |p y

Qpsu completaci´on. SeaOpel anillo de valuaci´on asociado a Qp. Denotamos

ϕ:A→O+ por ϕ((xn (mod pn))) =x. Note que ϕ(A) =O+ y como ϕes

Dado un cuerpo finito k, sabemos que k es el cuerpo descomposici´on del polinomioxpn

−x∈Fp[x], dondeFpes el subcuerpo primo deky [k:Fp] =n.

Se puede construir inductivamente una torre de subcuerposkn de la

clau-sura algebraica Fp deFp, tal que kn|kn−1y [kn:kn−1] =pn.

separable deFp y por tanto de Galois.

Sea F = {L | Fp : L ⊂K normal y finita}. Es claro que cada kn ∈ F.

Sea L∈F luegoL=k(a) cona∈L. Se tiene quea∈kn, donde elegimos n

como el primer ´ındice que tiene esta propiedad. Comokn|Fp es de Galois y

L |Fp es normal tenemos que AutLkn es un subgrupo normal de AutFpkn.

[1] McCarthy, P. Algebraic Extensions of Fields, Blaisdell, 1966.

[3] Morandi, P.Fields and Galois Theory, Springer, Berlin, 1996.

[4] Quadros, F. Primeiros Passos p-´adicos, 17o _{Coloquio Brasileiro de}