bab 4 pd linear tingkat tinggi2

BAB IV

PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TINGGI

4.1 Bentuk Umum

Persamaan tingkat satu derajat satu adalah persamaan yang

ditulis dalam bentuk:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

) , (

) , (

y x N

y x M dx

dy

  

 f(x,y) dx

dy



0 ) ,

( 



 f x y

dx dy

Sehingga dalam bentuk yang paling sederhana persamaan differensial

tingkat satu derajat satu secara eksplisit dinyatakan dengan f(x,y,

dx dy

)

= 0. Secara lengkap telah dibahas pada bab II. Dengan memisalkan p =

dx dy

maka bentuk umum persamaan differensial tingkat satu derajat

satu dapat dinyatakan secara implisit f(x,y,p) = 0. Jika p berpangkat

lebih dari satu maka persamaannya dinamakan persamaan differensial

tingkat satu derajat tinggi atau persamaan tingkat satu derajat n.

Bentuk umum persamaan differensial tingkat satu derajat-n)

Po(x,y) (

, maka bentuk di atas dapat dinyatakan

dengan

 P0(x,y)pn + P₁(x,y)pn1 + P₂(x,y)pn2 + ... + P n₁ (x,y)p + P

n (x,y) = 0

atau secara implisit dinyatakan

Persamaan tingkat satu derajat tinggi pada contoh di atas dapat

ditentukan derajatnya. Persamaan pada contoh 1 dan 4 berderajat

empat sedangkan contoh 2 dan 3 berderajat 2. Setelah ditentukan

derajatnya, akhirnya dapat ditentukan selesaian umum persamaan

differensial tingkat satu derajat tinggi yang diketahui.

4.2 Selesaian Umum Persamaan Tingkat Satu Derajat Tinggi

Persamaan differensial tingkat satu derajat tinggi yang dinyatakan

dalam bentuk f(x,y,p1_,p2_{, ... ,p}n _{) = 0, selanjutnya dapat ditentukan}

selesaian umumnya setelah bentuk umum di atas dinyatakan dalam

pemfaktoran yang paling sederhana. Bentuk pemfaktoran tersebut

meliputi 1) Cara faktorisasi (persamaan diselesaikan ke bentuk p =

dx dy

), 2) persamaan diselesaikan ke bentuk y = f(x,p), 3) persamaan

diselesaikan ke bentuk x = f(y,p) dan 4) metode persamaan differensial

Clairut.

1. Persamaan yang dapat diselesaikan ke p =

dx dy

Metode ini dilakukan dengan memandang bentuk persamaan

differensial linear tingkat derajat tinggi

pn _{+ P}

1 (x,y)p

1



n _{+ P}

2 (x,y)p

2



n _{+ ... + P}

1



n (x,y)p + Pn (x,y) = 0

ruas kiri sebagai polinomial dalam p. Karena polinomial maka dapat

Po (x,y)pn + P₁ (x,y)pn1 + P₂(x,y)pn2 + ... + Pn₁ (x,y)p + Pn (x,y) =

0

 (p-F1)(p-F2 )(p-F3) ... (p-Fn ) = 0

dimana F adalah fungsi dengan variabel x dan y.

Dari bentuk di atas diperoleh

(p-F1) = 0, (p-F2)= 0, (p-F3) = 0, ... (p- Fn ) = 0

 p = F1(x,y) , p = F2 (x,y), p = F3(x,y) ... p = Fn (x,y)



dx dy _{= F}

1(x,y) , _dx dy _{= F}

2 (x,y), _dx dy _{= F}

3(x,y) ... dx dy _{= F}

n (x,y)

 f1(x,y,C), f2 (x,y,C), f3(x,y,C), ....,fn (x,y,C) = 0

Sehingga selesaian umum persamaan differensial linear

pn _{+ P}

1 (x,y)p

1



n _{+ P}

2 (x,y)p

2



n _{+ ... + P}

1



n (x,y)p + Pn (x,y) = 0

adalah

f1(x,y,C). f2 (x,y,C). f3(x,y,C). ....fn (x,y,C) = 0

Setiap selesaian di atas dapat ditulis dalam bentuk yang

bervariasi sebelum digabungkan dalam perkalian.

Perhatikan contoh-contoh dibawah ini

Selesaikan persamaan differensial dibawah ini

1. (

dx dy

)4 _{- (x+2y+1)(}

dx dy

)3 _{+ (x+2y+2xy)(}

dx dy

)2 _{- 2xy(}

dx dy

) = 0

Jawab

Nyatakan persamaan dalam bentuk polinomila p, didapat

 p4 _{- (x+2y+1)p}3 _{+ (x+2y+2xy)p}2 _{- 2xyp = 0}

 p = 0 atau p = 1, p = x atau p = 2y



dx dy

= 0 atau

dx dy

= 1 atau

dx dy

= x atau

dx dy

= 2y

Masing-masing adalah persamaan differensial tingkat satu variabel

terpisah dan

Selesaiannya (y-C) = 0, (y-x-C) = 0, (2y-x2 _{-C), (y-Ce}2x _{) = 0}

Sehingga selesaian umumnya

(y-C) = 0, (y-x-C) = 0, (2y-x2_{-C), (y-Ce}2x _{) = 0}

atau dapat dinyatakan dengan

(y-C)(y-x-C)(2y-x2 _-C)(y-Ce2x _{) = 0}

2. (xy)(

dx dy

)2 _{+ (x}2 _{+ xy + y}2₎₍

dx dy

) + (x2_{+ xy) = 0}

 (xy)p2 _{+ (x}2 _{+ xy + y}2_{)p + (x}2 _{+ xy) = 0}

 (xp + x +y)(yp+x) = 0

Persamaan di atas dapat diselesaikan, dengan cara

1) (xp+x+y) = 0

 x

dx dy

+ x + y = 0

 x

dx dy

+ y = - x

dx dy

 +

x y

= -1 (persamaan differensial linear)

Selesaiannya adalah yeP(x)dx =



Q(x)eP(x)dx dx

2) (yp + x ) = 0



dx dy

y + x = 0 (persamaan variabel terpisah)

 y dy + x dx = 0

Selesaiannya y2 _{+ x}2_{- C = 0}

Berdasarkan selesaian 1) dan 2) diperoleh primitifnya

(2xy + x2 _{+ C )( y}2 _{+ x}2 _{- C ) = 0}

3. (x2 _{+ x)p}2 _{+ (x}2 _{+ x – 2xy –y)p +(y}2 _{- xy) = 0}

Jawab

Nyatakan persamaan di atas dalam bentuk polinomial, dan diperoleh:

{(x+1)p-y}{xp+x-y} = 0

 (x+1)p – y = 0 atau (xp + x – y = 0)

Persamaan di atas, diselesaikan masing-masing

1) (x+1)p – y = 0

 (x+1)

dx dy

- y = 0 (persamaan variabel terpisah)

 dy_y -

1



x dx

= 0

Selesaiannya y – C(x+1) = 0

2) xp + x – y = 0

 x

dx dy

- y = - x



dx dy

-

x y

= -1 (persamaan linear)

Selesaiannya yeP(x)dx ₌

Diperoleh y + x ln Cx = 0

Dari 1) dan 2) diperoleh primitifnya

{y – C(x+1)}{y + x Ln x} = 0

2. Persamaan yang Dapat Diselesaikan ke y = f(x,p)

Persamaan pn _{+ P}

1 (x,y)p

1



n _{+ P}

2(x,y)p

2



n _{+ ... + P}

1



n (x,y)p +

Pn (x,y) = 0

diubah dalam bentuk y = f(x,p).

Turunkan y = f(x,p) terhadap variabel x didapat

dx dy

=

x f

 

+ __pf dp_dx

 p =

x f

 

+ __pf dp_dx

 F(x,p,

dx dp

) = 0 (persaman differensial tingkat satu derajat satu)

Diperoleh primitif _{(x,p,C) = 0}

Untuk mendapatkan primitif dilakukan dengan mengeliminasikan

p diantara y = f(x,p) dan _{(x,p,C) = 0, apabila mungkin, atau nyatakan}

x dan y secara terpisah sebagai fungsi parameter p.

Contoh

Tentukan selesaian umum persamaan

1. 16x2 _{+ 2p}2_{y - p}3_{x = 0 (PD Linear tingkat satu derajat tiga)}

Jawab

 2y = 2

Dengan menurunkan persaman terhadap variabel x diperoleh

2

 = 0 tidak diperhatikan, karena tidak memuat

turunan

dx dp

.

Jawab

Dengan menurunkan persamaan terhadap variabel x, diperoleh

dx dy

= 2(p + x

dx dp

) + (2xp4 _{+ 4x}3_p2

dx dp

)

 p = 2(p + x

dx dp

) + (2xp4 _{+ 4x}3_p2

dx dp

)

 (p + 2x

dx dp

) + (2xp4 _{+ 4x}3_p2

dx dp

) = 0

 (p + 2x

dx dp

)(1 + 2p3_{x) = 0}

Faktor(1 + 2p3_{x) = 0, diabaikan seperti contoh 1 di atas, dari}

persamaan

(p + 2x

dx dp

) = 0 diperoleh selesaian xp2 _{= C.}

Pada bentuk parameter diperoleh

x

= _p2

C

, y = 

p C

2

C2 _.

Hubungan yang terakhir didapat setelah

x

= 2

p C

disubstitusi ke

persamaan y = 2px + p4 _x2 _.

3. x = yp + p2

Jawab

x = yp + p2

 y = _px - p

(persamaan differensial linear)

Selesaiannya xeP(x)dx ₌

_

_Q(x)eP(x)dx _dx

Turunkan persamaan terhadap x diperoleh

Dengan mensubstitusikan ke persamaan diperoleh

x = 2(2-p) + Ce

Persamaan pn _{+ P}

1 (x,y)p

1



n _{+ P}

2(x,y)p

2



n _{+ ... + P}

1



n (x,y)p +

Pn (x,y) = 0

diubah dalam bentuk x = f(y,p). Turunkan x = f(y,p) terhadap variabel y

didapat

dy dx

= __yf + __pf _dydp

 1_p = f_y   ₊

dy dp p f

 

 F(y,p,dp_dy ) = 0 (persaman differensial tingkat satu derajat satu)

selesaian 1_p = F(y,p,dp_dy ) untuk memperoleh primitif _{(y,p,C) = 0}

Untuk mendapatkan primitifnya dilakukan dengan

mengeliminasikan p diantara x = f(y,p) dan _{(y,p,C) = 0 apabila}

mungkin, atau nyatakan x dan y secara terpisah sebagai fungsi

parameter p.

Contoh

Tentukan selaian umum persamaan

1. p3 _{- 2xyp + 4y}2 _{= 0}

Jawab

Persamaan dinyatakan dalam bentuk x = f(y,p) diperoleh

2x = p_y2 + 4_py

2 _dydx = 2_yp dp_dy - 2

mengambil K = 2C.

2. 4x = py(p2 _-3)

Jawab.

Turunkan persamaan terhadap y diperoleh

4_dydx = p(p2 _{-3) + 3y(p}2 _-1)

= 0 (PD variabel terpisah)

Dengan cara yang sudah dibahas pada bab II diperoleh

x =

4 1

5 3 2 10

9 2

2

) 1 ( ) 4 (

) 3 (

 



p p

p Cp

4. Persamaan Differensial Clairut

Metode persamaan differensial Clairut adalah dengan cara

mengubah persamaan semula menjadi bentuk y = px + f(p). Bentuk ini

dinamakan persamaan Clairut. Persamaan Clairut mempunyai selesaian

y = Cx + f(C) yang diperoleh dengan cara sederhana yaitu dengan

mengganti p dengan C pada persamaan yang diketahui.

Contoh

Tentukan selesaikan persamaan Clairut

1. y = px + _4p2

Jawab

Selesaian umumnya adalah y = Cx + _4C2

2. (y-px)2 _{= 1 + p}2

Jawab

(y-px)2 _{= 1 + p}2

 y = px  _1p2

Selesaian umumnya (y – Cx - _1C2 )(y – Cx + _1C2 ) = 0

 (y-Cx)2 _{= 1 + C}2

3. y = 3px + 6y2 _p2

Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk persamaan Clairut.

Tentukan selesaian umum persamaan di bawah ini

Primitif (y-cx 3)( 2) 0

Diturunkan secara total terhadap variabel x, diperoleh:

2

Diperoleh p = Kx

Karena xp2 _{- 2yp + 4x = 0, maka}

x(Kx)2 _{- 2y(Kx) + 4x = 0}

4. 3xp4 _{- xp – y = 0 (PD tingkat-1 derajat-4)}

_{ 2}xp_y_8p2y

py

p y

x 8

2  



6. y2 _p2 _{+ 3px – y = 0}

7. p2 _{- xp + y = 0}

8. 10y3_p2_{- 4xp + y = 0}

9. xp5 _{- yp}4 _{+ (x}2 _+1)p3 _{- 2xyp}2 _{+ (x + y}2 _{)p – y = 0}

10. xp2 _{- yp – y = 0}

11. p2 _{- xp – y = 0}

12. y = (1+p)x + p2

13. y = 2p + _1p2