BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Schrödinger

Persamaan Schrödinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu persamaan differensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika kuantum.

2.2 Persamaan Schrödinger Bebas-waktu

Aplikasi persamaan Schrödinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan energy potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan tidak merupakan fungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada keberadaan elektron dari waktu ke waktu, melainkan tertuju pada kemungkinan dia berada dalam selang waktu yang cukup panjang. Jadi jika faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi gelombang, maka hal itu akan menyederhanakan persoalan. Kita tinjau persamaan Schrodinger kasus satu dimensi dan menuliskan persamaan gelombang sebagai berikut

+ P (x) Atau

+ P (x)

Inilah persamaan Schrödinger satu dimensi yang bebas-waktu.

Untuk tiga dimensi persamaan itu menjadi :

2 ∇ , , 0

Perlu kita sadari bahwa adanyan persamaan Schrödinger bebas-waktu bukanlah berarti bahwa elektron atau partikel yang ingun kita pelajari dengan mengaplikasikan persamaan ini adalah partikel bebas-waktu. Partikel tersebut memiliki kecepatan gerak, dan kecepatan adalah turunan terhadap waktu dan posisi.

Oleh karena itu dalam memeberi arti pada penurunan matematis dan persamaan Schrödinger bebas-waktu, dalam hal-hal tertentu kita perlu mempertimbangkan masalah waktu, sesuai dengan logika.

(2.2)

(2.3) (2.1)

Dengan persamaan Schrödinger bebas-waktu (2.1) atau (2.2) fungsi gelombang yang dilibatkan dalam persamaan ini juga fungsi gelombang bebas-waktu, ψ(x) Dari bentuk gelombang komposit untuk elektron

S(x,t) dengan S(x,t) = ∑

kita mengambil bentuk ψ(x) sebagai ψ(x) A(x)e ^–jkx, dengan A(x) adalah selubung paket gelombang, untuk mencari solusi persamaan Schrödinger.

Persamaan Schrödinger adalah persamaan gelombang dan yang kita maksudkan adalah gelombang sebagai representasi elektron atau partikel. Mencari solusi persamaan Schrödinger adalah untuk memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnya digunakan untuk melihat bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antara momentum p dan energi E dengan besaran-besaran gelombang (k,ω,f,λ) adalah

p = _{λ λ}

2.3 Fungsi Gelombang

Persamaan Schrödinger adalah persamaan diferensial parsial dengan adalah fungsi gelombang, dengan pengertian bahwa

Adalah probabilitas keberadaan elektron pada waktu tertentu dengan volume dx, dy, dz di sekitar titik (x,y,z), * adalah konjugat dari . Jadi persamaan Schrödinger tidak menentukan posisi elektron melainkan memberikan probabilitas bahwa ia akan ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita juga tidak mengatakan secara pasti bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan momentum elektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg.

(2.5) (2.4)

Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombang.

∆ /

Dan

∆ /

Maka

∆ /

Apa yang berada dalam tanda kurung pada (2.9) adalah selubung paket gelombang yang merupakan fungsi x sedangkan A0 memiliki nilai konstan. Jadi selubung paket gelombang itulah yang menentukan probabilitas keberadaan partikel.

Persyaratan Fungsi Gelombang, Fungsi gelombang (x) hasil solusi persamaan Schrödinger mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut.

• Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi 1

• Fungsi gelombang (x), harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinyuan hal itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat diterima.

• Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, d / dx, juga harus kontinyu. Kita telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan momentum elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapat diartikan sebagai persyaratan kekontinyuan momentum.

• Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan berarti ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron.

• Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol disemua posisi sebab kemungkinan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.(Kamal Singh,2006)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

2.4 Probabilitas dan Normalisasi

Fungsi gelombang ψ(x) menyatakan suatu gelombang yang memiliki panjang gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang jelas. Masalah yang muncul ketika hendak menafsirkan amplitudonya. Apakah yang dinyatakan oleh amplitudo ψ(x) dan variabel fisika apakah yang bergetar? Ini merupakan suatu jenis gelombang yang berbeda, yang nilai mutlaknya memberikan probabilitas untuk menemukan partikelnya pada suatu titik tertentu. Dimana |ψ(x)|² dx memberikan probabilitas untuk menemukan partikel dalam selang dx di x. Rapat probabilitas P(x) terhadap ψ(x) menurut persamaan Schrödinger sebagai berikut:

P(x)dx=|ψ(x)|²dx (2.9)

Tafsiran |ψ(x)|² ini membantu memahami persyaratan kontinu ψ(x), walaupun amplitudonya berubah secara tidak jelas dan kontinu. Probabilitas untuk menemukan partikel antara x1 dan x2 adalah jumlah semua probabilitas P(x)dx dalam selang antara x1 dan x 2 adalah sebagai berikut:

∫

⁼

∫

²

1 2 2

1

) ( )

(

x

x x

x

dx x dx

x

P ψ

(2.10)

Dari aturan ini, maka probabilitas untuk menemukan partikel disuatu titik sepanjang sumbu x, adalah 100 persen, sehingga berlaku:

^+∞

∫

( )² =1

∞

−

dx

ψ x (2.11)

Persamaan (2.12) dikenal dengan syarat Normalisasi, yang menunjukkkan bagaimana mendapatkan tetapan A. Dimana tetapan A tidak dapat ditentukan dari persamaan Differensialnya. Sebuah fungsi gelombang yang tetapan pengalinya ditentukan dari persamaan (2.12) disebut ternormalisasikan. Hanyalah fungsi gelombang yang ternomalisasi secara tepat, yang dapat digunakan untuk melakukan semua perhitungan yang mempunyai makna fisika. Jika normalisasinya telah dilakukan secara tepat, maka persamaan (2.12) akan selalu menghasilkan suatu probabilitas yang terletak antara 0 dan 1.

Setiap pemecahan persamaan Schrödinger yang menghasilkan |ψ(x)|² bernilai tak hingga, harus dikesampingkan. Karena tidak pernah terdapat probabilitas tak hingga untuk menemukan partikel pada titik manapun. Maka harus

m sa di sy ak di p

m p se ra

2

D m 2

b d en

y m b p

mengesampin ama dengan ifferensial m yaratnya A kan menjad ibatasi dalam emecahanny

Kedud menjamin kep ada keduduk etiap kooord ata-rata hasil

.5 Penerap Persam Dimana pem memberikan i .5.1. Pada p Yang ergerak tanp dV(x) / dx = 0 nergi potens

Partik ang mengak mekanika k

ergantung w ersamaan (2

2

2

− hm

ngkan suatu n nol. Seba

menghasilka

= 0 agar pe di tak hingg m selang 0 ya berlaku p

dukan suatu pastian hasil kannnya. N dinat, maka d

l dari sejuml

pan Persam maan Schrö mecahan pe informasi te partikel Beb

dimaksud pa dipengaru 0 sehingga m silnya nol.

kel bebas dal kibatkan en kuantum da waktu. Persa 2.13) berikut

) (

2 2

x V

x ψ

ψ ₊

∂

∂

u pemecaha gai contoh, j an ψ(x) = A

emecahannn ga untuk x m 0 < x < L, m

pada seluruh u partikel tid

l suatu kali p amun jika m ditemukan h lah besar pen

aan Schröd ödinger dapa ersamaan S

ntang perilak bas

d dengan “P uhi gaya ap menempuh l

lam mekanik nergi totalny apat dipeca amaan Schro

:

( ) (x E

Vψ = ψ

an dengan jika pemec

A + B

nya mempun menuju tak h maka A tidak h daerah neg dak dapat d pengukuran menghitung asil yang mu ngukuran be

dinger at diterapka chrödinger, ku gelomban

Partikel Be papun dalam lintasan luru

ka klasik ber ya jadi kon ahkan deng odinger pada

) (x

mengemba cahan matem

bagi selu nyai makna hingga ( Teta k boleh sama gatif sumbu x

dipastikan,da suatu besara

probabilitas ungkin dari p erkali-kali (E

an dalam be yang dise ng dari parti

ebas” adalah m suatu ba us dengan ke

rgerak denga nstan. Tetap gan persam

a partikel be

alikan faktor matika bagi uruh daerah fisika. Jika api jika pe a dengan nol

x < 0, maka alam hal in an fisika yan s yang berk pengukuran Eisberg,1970

erbagai pers ebut fungsi ikel.

h sebuah p agian ruang, elajuan konst

an momentu pi partikel maan Schröd

ebas dapat d

r pengaliny i persamaa x > 0 , mak tidak |ψ(x) emecahanny l). Tetapi jik a B = 0.

i tidak dapa ng bergantun kaitan denga satu kali ata 0).

soalan fisika gelombang

partikel yan yaitu, F = tan. Sehingg

um konstan P bebas dalam dinger tida diperoleh da

(2.12) ya an ka

)|

ya ka

at ng an au

a.

g,

ng - ga

P, m ak ri

Untuk partikel bebas V = 0, maka persamaannya menjadi

) ) (

(

2 ²

2 2

x x E

x

m ψ = ψ

∂

− h ∂ (2.13)

atau

2 2 ( )

x x

∂

∂

ψ

=2₂ h

m E

ψ

(x) (2.14)

Atau:

0 ) 2 (

) (

2 2

2 + =

∂

∂ mE x

x

x

ψ

ψ

h (2.15)

Karena:

2

2 2

h

k = mE atau

m E k

2

2

h2

= (2.16)

Dengan demikian diperoleh:

) ) (

( ₂

2 2

x x k

x ψ

ψ ₌₋

∂

∂

(2.17)

0 ) ) (

( 2

2 2

=

∂ +

∂ k x

x

x ψ

ψ (2.18)

Persamaan (2.19) adalah bentuk umum dari persamaan differensial biasa berorde dua, dengan k² adalah positif, dimana ψ(x) merupakan kuantitas kompleks yang memiliki bagian real (nyata) dan bagian imajiner,Maka :

0 ) ) (

( 2

2 2

=

∂ +

∂ k x

x

x

ψ

ψ

(2.19)

Maka didapatkan

ψ(x)=Asinkx+ B cos kx (2.20) Pemecahan ini tidak memberikan batasan pada k, maka partikel yang diperkenankan memiliki semua nilai (dalam istilah kuantum, bahwa energinya tidak terkuantisasi). Sedangkan penentuan nilai A dan B mengalami beberapa kesulitan,

karena integral normalisasi tidak dapat dihitung dari -∞ hingga +∞ , bagi fungsi gelombang itu. (Krane, 1992).

2.5.2. Partikel dalam sumur potensial

Sumur Potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial. Hal ini berarti bahwa partikel selama berada dalam sumur potensial, merupakan electron bebas. Kita katakan bahwa electron terjebak di sumur potensial, dan kita anggap bahwa dinding potensial sangat tinggi menuju ∞, atau kita katakan sumur potensial sangat dalam. Dalam gambar (2.1) berikut kita akan menggambarkan sumur potensial. Daerah I dan daerah III adalah daerah-daerah dengan V= ∞, Sedangkan di daerah II, yaitu antara 0 dan L, V= . Kita katakan bahwa lebar sumur potensial ini adalah L.

V(x) = 0, 0 ≤ x ≤ L V(x) = ∞, x < 0, x > L,

I II III Ep=∞ Ep= 0 Ep=∞

Ψ1 Ψ2 Ψ3

Gambar 2.1 Partikel dalam sumur potensial daerah II

Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah dimana kemungkinan berada elektron bisa dianggap nol, Ψ1(x) = 0 dan Ψ2(x) = 0.

Sedangkan pada daerah dua Kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu-x antara x

= 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak akan kehilangan Energinya jika bertumbukan dengan dinding, energi totalnya tetap konstan.

Dari per nyataan tersebut maka energi potensial V dari partikel itu menjadi tak hingga di kedua sisi sumur, sedangkan V konstan di dalam sumur, dapat dikatakan V

= 0 seperti yang terlihat pada gambar (2.1) di atas. Karena partikel tidak bisa memiliki Energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar sumur, sehingga fungsi gelombang ψ = 0 untuk 0 ≤ x ≤ L. Maka yang perlu dicari adalah

nilai ψ di dalam sumur, yaitu antara x = 0 dan x = L . Persamaan Schrodinger bebas waktu adalah :

(2.21)

Dengan

(2.22)

Dimana

(2.23)

Sesuai dengan persamaan gelombang maka :

ψ(x)=Asinkx+B coskx (2.24) Pemecahan ini belum lengkap, karena belum ditentukan nilai A dan B, juga belum menghitung nilai energi E yang diperkenankan. Untuk menghitungnya, akan diterapkan persyaratan bahwa ψ(x) harus kontinu pada setiap batas dua bagian ruang.

Dalam hal ini, akan dibuat syarat bahwa pemecahan untuk x < 0 dan x > 0 bernilai sama di x = 0. Begitu pula pemecahan untuk x > L dan x < L haruslah bernilai sama di x = L. Jika x = 0, Untuk x < 0 Jadi harus mengambil ψ(x) = 0 pada x = 0.

ψ(0) =Asin 0 + B cos 0

ψ(0) = 0 + B.1 = 0 (2.25)

Jadi,didapat B = 0. Karena ψ =0 untuk x > L, maka haruslah berlaku ψ(L) = 0, Ψ(L) = AsinkL + Bcos kL = 0 (2.26) Karena telah didapatkan bahwa B = 0,maka haruslah berlaku:

AsinkL = 0 (2.27)

Disini ada dua pemecahan yaitu A = 0, yang memberikan ψ(x) = 0 dan ψ²(x) = 0, yang berarti bahwa dalam sumur tidak terdapat partikel (Pemecahan tidak masuk akal) atau sin kL = 0, maka yang benar jika:

kL = π,2π,3π,…… n=1,2,3 …. (2.28) Dengan:

(2.29)

Dari persamaan (2.28) dan persamaaan (2.29) diperoleh bahwa energi partikel mempunyai harga tertentu yaitu harga eigen. Harga eigen ini membentuk tingkat energisitas yaitu:

Dimana energy yang kita tinjau disini berbeda dengan energy Born dimana pada energy Born menyatakan energy tingkat atomic sedangkan tingkat energy pada persamaan Schrodinger menyatakan tingkat energy untuk electron.

Fungsi gelombang sebuah partikel didalam sumur yang berenergi En ialah:

(2.31)

Untuk memudahkan E1 =ħ²π²/2mL², yang mana tampak bahwa unit energi ini ditentukan oleh massa partikel dan lebar sumur. Maka E = n²E1 dan demikian partikelnya hanya dapat ditemukan dengan energi E1, 4 E1, 9 E1, 16 E1 dan seterusnya. Karena dalam kasus ini energi yang diperoleh hanya pada laju tertentu yang diperkenankan dimiliki partikel. Ini sangat berbeda dengan kasus klasik, misalnya manik-manik (yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat dan menumbuk kedua dinding secara secara elastik) dapat diberi sembarang kecepatan awal dan akan bergerak selamanya, bolak-balik, dengan laju tersebut.

2 2 2 2

2mL E_{n =} n

π

h

mE x

A ⁿ

n h

sin 2

ψ

=

Dalam kasus kuantum, hal ini tidaklah mungkin, karena hanya laju awal tertentu yang dapat memberikan keadaan gerak tetap, keadaan gerak khusus ini disebut keadaan stasioner (Disebut keadaan”stasioner”karena ketergantungan pada waktu yang dilibatkan untuk membuat ψ(x,t),ψ(x,t)² tidak bergantung waktu).

Hasil pengukuran energi sebuah partikel dalam sebuah sumur potensial harus berada pada salah satu keadaan stasioner, hasil yang lain tidaklah mungkin. Pemecahan bagi

)

ψ(x belum lengkap, karena belum ditentukan tetapan A. Untuk menentukannya, ditinjau kembali persyaratan normalisasi, yaitu^+∞

∫

( )² =1

∞

−

dx

ψ x . Karena ψ(x)=0,

kecuali untuk 0 ≤ x ≤ Lsehingga berlaku:

.

| | 1 (2.32)

.

Maka diperoleh A = 2/L. Dengan demikian, Pemecahan lengkap bagi fungsi gelombang untuk 0 ≤ x ≤ L adalah:

.

L x n

n L

ψ

= 2sin

π

n=1,2,3,… (2.33)

.

Dalam gambar 2.2 dan 2.3 akan dilukiskan berbagai tingkat energi, fungsi gelombang dan rapat probabilitas ψ ² yang mugkin untuk beberapa keadaan terendah. Keadaan energi terendah, yaitu pada n =1 , dikenal sebagai keadaan dasar dan keadaan dengan energi yang lebih tinggi (n > 1) dikenal sebagai keadaan eksitasi.

Gambar 2. 2 Tingkat energi dalam sumur secara konstan ( Kamal Sing,2005)

Gambar 2.3 Probabilitas keberadaan electron dalam sumur potensial

Kita lihat di sini bahwa energi elektron mempunyai nilai-nilai tertentu yang diskrit, yang ditentukan oleh bilangan bulat n. Nilai diskrit ini terjadi karena pembatasan yang harus dialami oleh ψ2, yaitu bahwa ia harus berada dalam sumur potensial. Ia harus bernilai nol di batas-batas dinding potensial dan hal itu akan terjadi bila lebar sumur potensial L sama dengan bilangan bulat kali setengah panjang gelombang. Jika tingkat energi untuk n = 1 kita sebut tingkat energi yang pertama, maka tingkat energi yang kedua pada n = 2, tingkat energi yang ketiga pada n = 3 dan seterusnya.Jika kita kaitkan dengan bentuk gelombangnya, dapat kita katakan bahwa tingkat-tingkat energi tersebut sesuai dengan jumlah titik simpul gelombang. Dengan

demikian maka diskritisasi energi elektron terjadi secara wajar melalui Pemecahan persamaan Schödinger.

Persamaan (2.30) memperlihatkan bahwa selisih energy antara satu tingkat dengan tingkat berikutnya, misalnya antara n=1 dan n =2, berbanding terbalik dengan kuadrat lebar sumur potensial. Makin lebar sumur ini, makin kecil selisih energy tersebut, artinya tingkat-tingkat energy semakin rapat. Untuk L sama dengan satu satuan misalnya, selisih energy untuk n=2 dan n=1 adalah E2- E1 = 3ћ² / 8m dan jika L 10 kali lebih lebar maka selisih ini menjadi E2 – E1 = 0.03ћ²/8m.

Gambar 2.4. Pengaruh lebar sumur terhadap energy

Jadi makin besar L maka perbedaan nilai tingkat-tingkat energy akan semakin kecil dan untuk L semakin lebar maka tingkat-tingkat energy tersebut akan semakin rapat sehingga mendekati kontinyu.( Neuredine Zettili, 2009)

(a) (b)

2.6 Pemrograman dengan Mathematica 7

Mathematica merupakan perangkat lunak yang diproduksi dan dikembangkan oleh Wolfram Research, Inc. Pendiri dan presiden perusahaan tersebut adalah Stephen Wolfram, P.hD. Beliau adalah fisikawan di bidang fisika teoritis dan berkebangsaan Inggris. Mathematica dapat digunakan untuk aplikasi matematika, ilmu pengetahuan, teknologi, bisnis dan aplikasi lainnya.

Pada Penelitian ini, program lebih banyak dibuat dengan menggunakan perintah-perintah berikut ini

1. Graphics: perintah untuk menampilkan grafik dua dimensi berdasarkan data yang diberikan.

Sintaks umumnya: Graphics[primitives,options].

2. Manipulate: perintah untuk memanipulasi secara interaktif ekspresi-ekspresi program, grafik dan objek lainnya.

Sintaks umumnya: Manipulate[expr,{u,umin,umax}].

3. Module: perintah untuk membuat variabel lokal dengan nama tertentu yang dapat dipanggil.

Sintaks umumnya: Module[{x,y,…},expr].

4. If: perintah untuk memberikan suatu ekspresi tertentu jika kondisi benar dan ekspresi lainnya jika kondisi salah.

Sintaks umumnya: If[condition,t,f].

5. ListLinePlot: perintah untuk memplot grafik linier dua dimensi berdasarkan pasangan data yang telah ditentukan.

Sintaks umumnya: ListLinePlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}].

Untuk informasi yang lebih mendetail tentang Mathematica dapat melihatnya di situs resmi Wolfram (www.wolfram.com).