BAB V
IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA
5.1 Harga Saham ( ( ))
Seperti yang telah diketahui sebelumnya bahwa opsi Amerika dapat dieksekusi kapan saja saat dimulainya kontrak opsi hingga berakhirnya kontrak opsi misalkan saja [0, ], dengan adalah waktu. Untuk mengetahui kapan kira- kira waktu yang memungkinkan untuk mengeksekusi opsi sehingga investor mendapatkan keuntungan. Karena harga saham berubah sangat signifikan di setiap waktu dan selama kontrak opsi berlangsung, maka harga saham di sepanjang interval [0, ] berubah-ubah. Dengan Simulasi Monte Carlo perubahan harga saham di sepanjang interval[0, ] akan ditentukan.
Gagasan dasar dari simulasi Monte Carlo adalah membuat nilai dari tiap variabel yang merupakan bagian dari model yang dipelajari. Banyak variabel di dunia nyata yang secara alami mempunyai berbagai kemungkinan yang ingin disimulasikan.
Salah satu cara untuk membuat distribusi kemungkinan untuk suatu variabel adalah memperhitungkan hasil di masa lalu. Kemungkinan atau frekuensi relatif untuk tiap kemungkinan hasil dari tiap variabel ditentukan dengan membagi frekuensi observasi dengan jumlah total observasi.
Untuk mencari nilai opsi put Amerika maka pertama kali yang akan disimulasikan adalah pembangkitan harga saham yang terjadi di sepanjang selang waktu [0, ]. Dengan mengasumsikan harga saham S mengikuti model Gerak Brown Geometrik memenuhi persamaan :
( ) = ( ) + ( ) ( ). (5.1)
dengan ( ) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Itô, perubahan ( ) akan memiliki nilai harapan drif rate ( ). Parameter menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan ( ) disebut komponen deterministik.
Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen
( ) merupakan peubah acak dengan drift rate 0 dan variance rate 1, dimana ( ) proses stokastik yang mengikuti gerak Brown (Hull 2006). Dengan demikian, perubahan harga saham tidak secara langsung dipengaruhi oleh ( ), tetapi oleh ( ).
Selanjutnya dari (5.1) dapat dicari harga saham ( ) dengan cara sebagai berikut:
Misalkan ( , ) = ln ( ) atau ( ) = ( )
= 0, =1
, = − 1
. Menurut lemma Itô
( , ) = + +1
2 + ( )
= + ( + ( )) +
= ( + ( )) −
= + ( ) −
= − + ( )
atau dapat dinyatakan
( ) = − + ( ). (5.2)
Persamaan diferensial (5.1) mempunyai solusi
( ) − (0) = −1
2 + ( )
( ) = (0) + −1
2 + ( )
dimana (0) merupakan nilai awal dari ( ).
Dengan diketahuinya harga saham awal , maka dengan membangkitkan secara acak faktor pengganggu (Brownian noise) sehingga diperoleh solusi dari persamaan (5.1) untuk mendapatkan nilai adalah:
( ) = ( ) . (5.3)
Sehingga proses diskretisasi yang mendasari Brownian noise mengikuti proses waktu diskret
= ∆ √∆ × . (5.4)
Untuk contoh kasus dimisalkan harga saham awal = 80, tingkat suku bunga bebas resiko = 0.06, volatilitas = 0.4, dan waktu jatuh tempo = 0.5 tahun. Proses simulasi akan membangkitkan harga saham di sepanjang selang waktu [0, ]. Berdasarkan persamaan (5.4) dengan membagi selang interval menjadi 50 maka diperoleh nilai ( ) yang dapat digambarkan pada Gambar 1;
Gambar 1. Nilai harga saham pada waktu ( ) .
Dari Gambar 1 di atas dapat dilihat pergerakan harga saham ( ) di sepanjang interval waktu [0, ] perubahannya cukup signifikan. Hal ini sesuai dengan pergerakan harga saham yang terjadi dalam kejadian sesungguhnya, dimana perubahan harga saham di setiap waktu cukup signifikan pula. Oleh karena itu simulasi ini meramalkan kejadian pergerakan saham yang akan terjadi di sepanjang periode waktu jatuh tempo, sehingga dapat diperkirakan kapan
Selanjutnya jika dimisalkan harga eksekusi = 100. Berdasarkan hasil simulasi pembangkitan nilai saham di sepanjang interval waktu[0, ], maka untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal dapat diputuskan kapan opsi akan dieksekusi. Karena opsi yang akan dibahas adalah opsi put Amerika maka keadaan di mana opsi akan dieksekusi pada saat apabila ( ) < , tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar − ( ), maka kontrak opsi put berada pada posisi in the money. Pada pembahasan selanjutnya akan dibangkitkan nilai intrinsik di sepanjang interval waktu[0, ].
5.2 Pembangkitan Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika.
Nilai maksimum antara nol dan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu sebelum jatuh tempo disebut dengan nilai intrinsik. Pada waktu jatuh tempo nilai intrinsiknya disebut sebagai nilai payoff. Karena sebelumnya telah diketahui harga saham di sepanjang interval [0, ], maka nilai intrinsik opsi di sepanjang interval[0, ] juga dapat ditentukan.
Dalam pengeksekusian opsi put Amerika yang dilakukan pada interval waktu [0, ] yang diperlukan adalah harga saham pada interval [0,T]. Misalkan nilai intrinsik opsi put Amerika didefinisikan sebagai proses = ( ( )) yang menggambarkan hasil eksekusi di seluruh periode, yaitu ( ) = maks( – ( ), 0). Karena harga saham di sepanjang interval [0, ] berbeda-beda maka nilai intrinsik opsi put pun di sepanjang interval pun berbeda-beda.
Dari hasil simulasi sebelumnya yang telah membangkitkan harga saham ( ) di sepanjang interval [0, ] maka akan dibangkitkan nilai intrinsik ( ) di sepanjang interval [0, ]. Dengan harga saham ( ) yang telah diperoleh sebelumnya maka nilai intrinsik ( ) = maks − ( ) di sepanjang interval waktu[0, ] yang digambarkan dalam Gambar 2 di bawah ini
Gambar 2. Nilai intrinsik opsi pada waktu ( ( )).
Seperti telah dibahas sebelumnya, pemegang opsi put Amerika akan memperoleh keuntungan jika harga saham ( ) lebih kecil dari harga waktu eksekusi . Sehingga berdasarkan grafik di atas maka dapat diketahui kapan kira- kira opsi akan dieksekusi untuk mendapatkan keuntungan maksimum. Perlu diingat dalam simulasi Monte Carlo ini pembangkitan Brownian noise yakni Brownian noise dibangkitkan secara acak, sehingga setiap kali simulasi di ulang akan menghasilkan nilai random yang berbeda-beda. Untuk itu di simulasi berikutnya akan dilakukan simulasi berulang-ulang kali yang nantinya didapat nilai maksimum di setiap simulasi, lalu kemudian nilai maksimum dari setiap hasil simulasi tadi dicari nilai rata-ratanya yang kemudian akan disimpulkan nilai maksimum yang akan diperoleh berkisar di nilai rata-rata tersebut.
5.3 Harga Opsi Put Amerika
Misalkan = ( ) adalah nilai opsi put Amerika. Tujuannya adalah untuk menghitung keuntungan berdasarkan asumsi bahwa waktu eksekusi berada dalam himpunan = { , . . . , }, dengan = ∆ dan = . Diasumsikan bahwa waktu = 0.
Ditetapkan horizon waktu berhingga (finite tme horizon) > 0, dan misalkan terdapat dua proses stokastik ( ) dan , yang terdefinisi pada ruang probabilitas yang terfilter (filtered probability space) (Ω, ℱ, (ℱ) , ). Proses pertama adalah nilai kini dari suku bunga, dan proses kedua mendefinisikan jumlah yang harus dibayar kepada pemegang (holder) dari opsi Amerika pada saat opsi dieksekusi. Diasumsikan juga bahwa probabilitas adalah probabilitas penetapan harga opsi tersebut. Misal adalah waktu penghentian (stoping time), didefinisikan nilai awal dari opsi Amerika yaitu
∗= sup [ ], (5.5)
Dengan ≡ exp − ∫ adalah nilai eksekusi yang terdiskon dari opsi tersebut. Untuk mencegah trivialitas. Diasumsikan bahwa ∗< ∞; serta untuk beberapa > 1, sup | | , dan lintasan dari Z adalah kontinu kanan.
Dengan asumsi tersebut, proses snell envelope
∗≡ sup [ |ℱ ] (5.6)
adalah supermatingale, sehingga mempunyai dekomposisi Doob-Meyer
∗= ∗+ ∗− ∗, (5.7)
dengan ∗ adalah sebuah martingale yang bernilai 0 pada saat = 0, dan ∗ adalah suatu proses yang menaik dan terintegralkan (previsible integrable increasing process), juga bernilai 0 pada saat = 0.
Berikut ini adalah teorema yang digunakan dalam menentukan harga opsi Amerika dalam simulasi Monte Carlo;
Teorema 5.1
∗= inf ∈ [sup ( − )], (5.8)
dengan adalah ruang dari martingale-martingale di mana sup | | ∈ , dan sedemikian sehingga = 0. Batas bawah terbesar (infimum) dicapai dengan mengambil = ∗.
Teorema 5.1 tersebut memberikan petunjuk bagaimana mendapatkan metode penetapan harga opsi Amerika dengan memilih martingale yang sesuai, kemudian dengan simulasi mengevaluasi ekspektasi [sup ( − )]. Bukti dapat dilihat pada Rogers (2002).
5.4 Hedging dan Eksekusi
Berdasarkan Rogers (2002), misalkan telah diketahui sebelumnya martingale yang sesuai. Akan diintepretasikan dalam rangka perlindungan nilai (hedging). Dengan mempertahankan tetap, dan sebuah batas atas untuk ∗ yaitu rata-rata dari peubah acak
≡ sup ( − ). (5.9)
Misalkan ditetapkan ≡ ( |ℱ ) untuk martingale tersebut tertutup dari sebelah kanan sebesar , sehingga ≡ . Misalkan martingale dianggap sebagai keuntungan dari proses perdagangan dari portofolio. Dengan demikian jika kekayaan awal portofolio adalah , maka kekayaan terdiskon pada waktu menjadi + . Persamaan (5.9) berakibat pertidaksamaan untuk setiap
∈ [0, ]
≤ + .
Dengan ekspektasi bersyarat ℱ yang diberikan maka dapat dituliskan hubungan pertidaksamaan berikut
≤ [ − |ℱ ] + ( + ). (5.10)
Interpretasi dari (5.10) adalah terhadap nilai terdiskon, yang harus dibayarkan ke pemegang opsi jika dieksekusi pada waktu , akan mendapatkan lindung nilai
5.5 Algoritma dan implementasi
Sekarang akan dikemukakan algoritma untuk menentukan harga dari opsi Amerika dengan metode yang sebelumnya telah dijelaskan. Misalkan telah dimiliki martingale yang dimaksud pada pembahasan 5.4 diatas. Berikut ini dinotasikan parameter-peremeter yang digunakan;
: banyak dari hari eksekusi yang mungkin : indeks hari
: banyak path sampel : indeks sampel : harga eksekusi : horizon waktu
: tingkat suku bunga bebas resiko satu periode : harga saham awal
: harga saham pada waktu
: nilai intrinsik (payoff) opsi pada waktu : volatilitas saham
Algoritma
Langkah pertama adalah menentukan input untuk simulasi ini yakni menentukan harga saham awal , harga eksekusi , nilai suku bunga bebas resiko , volatilitas saham , dan waktu jatuh tempo . Selanjutnya membangkitkan himpunan tanggal < ≤ ≤ . . . ≤ = di mana opsi mungkin dieksekusi, yang diperoleh dengan membagi periode menjadi selang waktu. Ditentukan pula percobaan yang dilakukan akan diulang sebanyak n kali, dalam hal ini percobaan atau simulasi dilakukan berkali-kali.
Langkah kedua untuk mensimulasikan pembangkitan harga saham adalah membangkitkan Brownian noise di sepanjang interval [0, ]. Faktor penganggu dibangkitkan secara acak berdasarkan sebaran normal baku [0,1].
Setelah diperoleh Brownian noise di sepanjang interval [0, ], maka dengan menggunakan Persamaan (5.3) dapat dibangkitkan harga saham di sepanjang interval[0, ].
Langkah berikutnya setelah diperoleh output , yaitu harga saham di setiap himpunan selang waktu < ≤ ≤ . . . ≤ = . Selanjutnya dapat diperoleh nilai intrinsik di setiap titik waktu dalam himpunan selang waktu
< ≤ ≤ . . . ≤ = dengan cara = maks( − ). Selanjutnya dibangkitan pula nilai martingale di sepanjang selang waktu itu juga. Proses ini diulang sebanyak n kali yang nantinya akan dicari nilai rata-rata nilai intrinsik
maksimum yang diperolah pada satu kali percobaan/simulasi.
Setelah diperoleh nilai intrinsik di sepanjang interval waktu [0, ], maka dimisalkan kembali adalah vektor berdimensi yang merekam nilai maksimum yang dicapai proses( − ) pada setiap path sample :
( ) = maks[ ( ) − ].
Untuk mencari nilai yang maksimum maka dilakukan langkah berikut.
Pada waktu , untuk setiap path simulasi , bandingkan kuantitas( ( ) − ) dan ( ). Bila yang berikutnya lebih baik ketimbang nilai sebelumnya, simpan nilai( ( ) − ) ke dalam entri ( ). Bila ≤ , tingkatkan i satu unit lalu kembali ke langkah pencarian yang terbesar (maksimal).
Selainnya kembalikan ( , ) = ∑ ( ) sebagai dugaan empiris dari nilai dugaan − . Pencarian nilai maksimum ini juga dilakukan sebanyak kali sehingga diperoleh nilai sebanyak pula untuk setiap harga saham awal yang berbeda.
Langkah terakhir adalah mencari nilai rata-rata dari setiap nilai maksimum yang didapat dari setiap percobaan, yang kemudian akan ditetapkan sebagai nilai opsi put Amerika. Standar deviasi dari hasil simulasi ini pun dapat diperoleh dari data nilai yang telah diperoleh di setiap percobaan/simulasi.
Dari langkah-langkah di atas maka dapat dibuat bagan alur untuk algoritma simulasi ini sebagai berikut.
Gambar 3 Bagan alur algoritma simulasi Monte Carlo.
End Next
Nilai yang maksimum If
>
Ya
Tidak
=
= Start
Input Data : , , , , ,
Bangkitkan nilai ~ (0,1) Hitung nilai , , dan
= 0
For = 1 Hitung nilai
= 0
For = 1
= /
Output : harga opsi put Amerika
= +
Next
![High Performance Computing[www Scene rs] pdf pdf](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)