BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

(1)

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Himpunan R merupakan ring jika dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian, di mana terhadap operasi penjumlahan merupakan grup komutatif, dan terhadap operasi perkalian memenuhi sifat asosiatif serta sifat distributif (kiri dan kanan). Lapangan merupakan pengkhususan dari ring. Dalam keseluruhan tulisan ini, ring yang dimaksud adalah ring dengan elemen satuan. Kemudian C(R) menotasikan himpunan elemen center di R.

Misalkan F merupakan lapangan. Apabila diambil sebarang α 6= 0 ∈ F , maka α dapat dinyatakan sebagai α = 0 + α, dimana 0² = 0 atau 0 merupakan elemen idempoten, dan α merupakan unit. Sedangkan untuk α = 0 ∈ F , α dapat dinyatakan sebagai α = 1 + (−1), dimana 1² = 1, atau 1 merupakan elemen idempoten, dan −1 merupakan unit. Suatu elemen dikatakan bersih jika dapat dinyatakan sebagai jumlahan elemen idempoten dan unit. Dalam hal ini, α adalah elemen bersih. Oleh karena α diambil sebarang di F , maka berlaku untuk semua α ∈ F . Sehingga dapat dikatakan setiap lapangan bersih. Dari sinilah didefinisikan ring bersih. Menurut Nicholson (1977), R disebut ring bersih apabila untuk setiap r ∈ R, r dapat dinyatakan sebagai r = e + u, dimana e merupakan idempoten dan u merupakan unit. Selanjutnya dari definisi ini, Nicholson (1999) melanjutkan jika R bersih, dan eu = ue, maka R dikatakan bersih kuat.

Dari konsep ring bersih ini, Chen dan Chen (2002) menyelidiki dan memperkenalkan konsep tentang ideal bersih, yaitu jika I ideal dari ring R, I dikatakan ideal bersih apabila untuk setiap x ∈ I, x = e + u untuk suatu e ∈ Id(R) dan u ∈ U (R), atau dengan kata lain, ideal bersih dari ring R adalah ideal yang setiap elemennya merupakan elemen bersih. Jelas bahwa setiap ideal dari ring bersih me-

1

(2)

rupakan ideal bersih.

Lebih lanjut lagi, diperhatikan bahwa jika diberikan F lapangan dan polinomial g(x) = x² − x atas lapangan F , maka akar dari g(x) adalah 0 dan 1, yang merupakan elemen idempoten di F . Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk semua α ∈ F , α dapat dinyatakan sebagai α = s + u, dimana g(s) = 0 dan u merupakan unit. Dari sini, menjadi pertanyaan bagaimana jika polinomial g(x) di- perumum. Kemudian, Camillo dan Simon (2002), mendefinisikan bahwa jika untuk setiap r ∈ R, r = s + u, dimana g(s) = 0 untuk suatu polinomial g(x) dan u unit, maka R dikatakan bersih-g(x).

Selanjutnya diketahui R bersih-g(x), R merupakan ring pembagi dan K ⊆ R merupakan lapangan, serta g(x) ∈ K[x]. Jelas bahwa g(x) memiliki sekurang- kurangnya 2 akar dalam R. Hal ini dikarenakan, jika g(x) hanya memiliki 1 akar, misalkan a ∈ R merupakan akar g(x) dan oleh karena R bersih-g(x), dan a ∈ R, maka a dapat dinyatakan sebagai a = a + 0, dengan g(a) = 0, sedangkan 0 /∈ U (R). Jadi g(x) memiliki sekurang-kurangnya dua akar sehingga dapat di- faktorkan menjadi, g1(x)g₂(x) = g₂(x)g₁(x) (karena komutatif dalam K). Akan tetapi, jika polinomial g(x) atas ring pembagi R yang belum tentu komutatif, maka g₁(x)g₂(x) 6= g₂(x)g₁(x), maka diasumsikan g(x) memiliki akar pada C(R). Se- lanjutnya, lapangan F dikatakan bersih-(x²− x).

Dari sini, kemudian dikaji pada ring bersih kuat dan ring bersih-g(x) kuat berdasarkan penyelidikan Fan dan Yang (2008), yaitu mengkaji sifat-sifat pada ring bersih kuat dan ring bersih-g(x) kuat, serta menyelidiki hubungan antara keduanya, berdasarkan hubungan antara ring bersih dan ring bersih-g(x). Selanjutnya, me- narik juga untuk menyelidiki dan mendefinisikan konsep tentang ideal bersih-g(x) berdasarkan konsep ideal bersih yang telah dikaji.

1.2 Rumusan Masalah

Masalah-masalah yang akan diselidiki dalam penelitian ini antara lain :

1. Sifat-sifat ring bersih dan ring bersih-g(x), serta sifat-sifat pada ring bersih

(3)

kuat dan ring bersih-g(x) kuat dan hubungan antara keduanya

2. Sifat-sifat ideal bersih antara lain : bayangan homomorfisma ideal bersih, perkalian langsung dari ideal bersih, matriks atas ideal bersih, serta kaitannya dengan ideal peralihan

3. Pendefinisian ideal bersih-g(x) beserta contoh dan sifat-sifatnya.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penyusunan tesis ini adalah untuk mengetahui sifat-sifat pada ring bersih-g(x), serta hubungan antara ring bersih dan ring bersih-g(x). Selanjutnya mengetahui sifat-sifat ring bersih kuat dan ring bersih-g(x) kuat serta hubungan keduanya. Dari konsep ring bersih, dilanjutkan mengetahui konsep tentang ideal bersih beserta sifat-sifatnya antara lain : bayangan homomorfisma ideal bersih, perkalian langsung dari ideal bersih, matriks atas ideal bersih, serta kaitannya dengan ideal peralihan. Selanjutnya akan dikembangkan untuk mengkaji dan menyelidiki tentang definisi dan sifat-sifat ideal bersih-g(x).

1.4 Tinjauan Pustaka

Dalam penelitian ini diperlukan beberapa dasar teori yang diambil dari beberapa buku dan artikel. Dasar teori yang diperlukan, adalah tentang teori ring secara umum, yang dirujuk dari buku Adkins, Weintraub (1992), Mordeson (1997), dan teori tentang ring matriks yang dirujuk dari buku Brown (1993). Selanjutnya menggunakan buku Wisbauer (1991), dan Rowen (1988) untuk mempelajari dan mengkaji sifat-sifat pada elemen idempoten serta dekomposisi Peirce pada suatu ring.

Artikel utama yang dipakai untuk penelitian ini diangkat dari artikel Fan dan Yang (2008), tentang ring bersih-g(x) kuat. Kemudian merujuk pada beberapa artikel untuk mengkaji tentang teori ring bersih, ideal bersih, ring bersih kuat, ring bersih-g(x) dan ring bersih-g(x) kuat. Artikel yang membahas tentang definisi ring bersih ditulis oleh Nicholson (1977). Lalu, Immormino mengkaji sifat-sifat pa-

(4)

da ring bersih, Han dan Nicholson (2001) mengkaji tentang perluasan ring bersih, serta Chen dan Chen (2002) memperkenalkan dan mengkaji tentang ideal bersih.

Tentang ring bersih kuat, dibahas juga oleh Nicholson (1999). Selanjutnya, artikel yang membahas tentang ring bersih-g(x) beserta sifat-sifatnya ditulis oleh Camillo dan Simon (2002), serta artikel dari Fan dan Yang (2008) yang mengkaji hubungan antara ring bersih dan ring bersih-g(x). Sebelumnya, Wang dan Chen (2007) juga mengkaji hubungan antara kedua ring ini.

Tentang ideal bersih yang diperkenalkan oleh Chen dan Chen (2002), se- telah diselidiki belum ada yang membahas tentang ideal bersih-g(x) beserta sifat- sifatnya. Dalam tulisan inilah akan diperkenalkan dan dikaji tentang ideal bersih- g(x) beserta beberapa sifat dan contohnya.

Berkaitan deng konsep ring bersih kuat, terdapat artikel yang ditulis oleh Hiremath dan Hedge (2011). Artikel ini mengkaji tentang syarat perlu dan syarat cukup agar ring bersih kuat memiliki ”stable range one” dan kondisi-kondisi yang memenuhi untuk suatu himpunan idealisasi ring R dan modul M untuk menjadi ring perluasan. Namun, dalam tulisan ini tidak dibahas tentang konsep ini. Akan tetapi bisa menjadi referensi untuk penelitian yang lain yang masih berkaitan dengan ring bersih kuat.

1.5 Metode Penelitian

Konsep dasar yang dipelajari terlebih dahulu dalam penelitian ini adalah konsep tentang elemen khusus suatu ring yaitu elemen idempoten beserta sifat- sifatnya, juga dekomposisi Peirce suatu ring. Dilanjutkan dengan mempelajari teori tentang ring bersih beserta sifat-sifatnya, ideal bersih serta sifat-sifatnya, dan ring bersih-g(x) beserta sifatnya-sifatnya. Konsep ini menjadi dasar dalam mengkaji lebih khusus lagi untuk ring bersih kuat dan ring bersih-g(x) kuat, serta meng- embangkan konsep tentang ideal bersih-g(x). Kemudian, mempelajari tentang hubungan antara ring bersih dan ring bersih-g(x) kuat, yang menjadi dasar mengkaji hubungan antara ring bersih kuat dengan ring bersih-g(x) kuat.

Metode atau langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah

(5)

sebagai berikut.

1. Mempelajari sifat-sifat pada elemen idempoten dan dekomposisi Peirce pada ring.

2. Mempelajari sifat-sifat pada ring bersih, ring bersih-g(x), ring bersih kuat, dan ring bersih-g(x) kuat.

3. Mempelajari sifat-sifat pada ideal bersih antara lain : bayangan homomorfisma ideal bersih, perkalian langsung ideal bersih, matriks atas ideal bersih, serta kaitannya dengan ideal peralihan

4. Mendefinisikan ideal bersih-g(x) dan mempelajari sifat-sifatnya.

5. Membandingkan sifat-sifat ideal bersih dan ideal bersih-g(x)

1.6 Sistematika Penulisan

Pada penulisan tesis ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan.

BAB II DASAR TEORI

Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang digunakan sebagai dasar penelitian.

Bab ini memuat penjelasan tentang sifat-sifat pada elemen idempoten dan dekomposisi Peirce pada ring, definisi dan sifat-sifat ring bersih dan ring bersih kuat, serta memuat penjelasan tentang ideal bersih dari suatu ring R.

BAB III RING BERSIH-g(x), RING BERSIH-g(x) KUAT, DAN IDEAL BERSIH- g(x)

Bab ini berisi teori-teori atau hasil yang menjadi rumusan dan tujuan penelitian ini.

Pada bab ini memuat penjelasan tentang sifat-sifat ring bersih-g(x) dan ring bersih- g(x) kuat beserta hubungan diantaranya. Selanjutnya membahas juga tentang ideal bersih-g(x).

(6)

BAB IV PENUTUP

Bab ini berisi tentang kesimpulan dan saran berdasarkan hasil pembahasan.