Interpolasi. Metode Numerik POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

Interpolasi

POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA

DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

TOPIK

š

Pengenalan Interpolasi

š

Jenis Interpolasi

š

Interpolasi Linier

š

Interpolasi Kuadrat

š

Intepolasi Lagrange

š

Interpolasi Newton

Pengenalan

š

Teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi

pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui.

š

Cara menentukan harga fungsi f dititik 𝑥

∗

∈ 𝑥

_$

, 𝑥

_&

dengan menggunakan

informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui 𝑥

_$

, 𝑥

_'

, … , 𝑥

_&

Interpolasi vs Ekstrapolasi

š Ekstrapolasi : prediksi terhadap titik-titik yang akan muncul dimana adanya perluasan

Jenis Interpolasi

š

Interpolasi Linier

š

Interpolasi Kuadrat

š

Interpolasi Lagrange

Interpolasi Linier

6

x

x

x

f(x)

L(x)

y

Interpolasi Linier

š

Ide dasar : pada saat data dalam bentuk tabel tidak begitu bervariasi, sehingga

memungkinkan untuk dilakukan pendekatan dengan menggunakan sebuah

garis lurus di antara dua titik yang berdekatan.

Interpolasi Linier

š Menentukan titik – titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus. š Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik

𝑃_' 𝑥_', 𝑦_' dan 𝑃₊ 𝑥₊, 𝑦₊ dapat dituliskan dengan : 𝑦 − 𝑦_' 𝑦₊ − 𝑦_' = 𝑥 − 𝑥_' 𝑥₊ − 𝑥_' 𝑦 = 𝑦+ − 𝑦' 𝑥₊ −𝑥_' 𝑥 − 𝑥' + 𝑦'

Contoh Interpolasi Linier (1)

š Diketahui data sebagai berikut :

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 Tentukan harga 𝑦 pada 𝒙 = 𝟔. 𝟓 ?

𝑥 = 6.5 terletak antara 𝑥 = 6 dan 𝑥 = 7 𝑦 = 𝑦+ − 𝑦' 𝑥 − 𝑥 + 𝑦 𝑥_' 𝑥₊ 𝑦_' 𝑦₊ 6.5 ? 𝑥 𝑦

Contoh Interpolasi (1)

š Alternatif 2 :

š 𝑥 = 6.5 terletak di antara 𝑥 = 1 & 𝑥 = 7

𝑦 = 𝑦+ − 𝑦' 𝑥₊ −𝑥_' 𝑥 − 𝑥' + 𝑦' 𝑦 = 49 − 1 7 − 1 6.5 − 1 + 1 𝑦 = 48 6 48 + 1 𝒚 = 𝟒𝟓

Contoh Interpolasi (1)

š Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut .

š Mana yang mendekati jawaban yang sesungguhnya ? š Jika kita lihat persamaan fungsi sumbu y , 𝑓(𝑥) = 𝑥+ ,

maka untuk harga 𝑥 = 6.5 di dapat 𝑦 = (6.5)+_{= 𝟒𝟐. 𝟐𝟓}

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Contoh Interpolasi (1)

š Kesalahan mutlak (E), untuk :

𝑦 = 42.5 ⟶ 42.5 – 42.25 = 𝟎. 𝟐𝟓 = 𝟐𝟓% š Sedangkan untuk :

Contoh Interpolasi (2)

š Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaran untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data

percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.

š Perkiraan jarak hentik yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan

kecepatan 45 mil/jam.

Kecepatan (mil/jam) 10 20 30 40 50 60 70

Contoh Interpolasi (2)

š Maka untuk mencari nilai 𝑥 = 45 ,

𝑦 = 𝑦+ − 𝑦' 𝑥₊ −𝑥_' 𝑥 − 𝑥' + 𝑦' 𝑦 = 90 − 65 50 − 40 45 − 40 + 65 𝑦 = 25 10 5 + 65 𝑦 = 12.5 + 65 𝑦 = 12.5 + 65 = 𝟕𝟕. 𝟓 𝒇𝒆𝒆𝒕

Interpolasi Linier

š Algoritma Interpolasi Linier :

1.

Tentukan dua titik 𝑃

_'

dan 𝑃

₊

dengan koordinatnya masing-masing (𝑥

_'

, 𝑦

_'

) dan (𝑥

₊

, 𝑦

₊

).

2.

Tentukan nilai 𝑥 dari titik yang akan dicari.

3.

Hitung nilai 𝑦 dengan :

4.

Tampilkan nilai titik yang baru 𝑄(𝑥, 𝑦)

𝑦 = 𝑦+ − 𝑦'

Interpolasi Linier

š Pendekatan interpolasi dengan derajat 1, pada kenyataannya sama dengan mendekati

suatu harga tertentu melalui garis lurus.

š Untuk memperbaiki kondisi tersebut dilakukan sebuah interpolasi dengan membuat garis

yang menghubungkan titik yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang sering juga disebut interpolasi kuadratik, kubik, dst.

Interpolasi Kuadrat

š Interpolasi orde 2 sering disebut sebagai interpolasi kuadratik, memerlukan 3 titik data. š Bentuk polinomial orde ini adalah :

Interpolasi Kuadrat

x

₀

x

₁

x

f(x)

x

₂

h

h

L(x)

y

Interpolasi Kuadrat

š Titik – titik data (𝑥_$, 𝑦_$) , (𝑥_', 𝑦_') , (𝑥₊, 𝑦₊) 𝑦_$=𝑎_$+𝑎_'𝑥_$+𝑎₊𝑥_$+

𝑦_'=𝑎_$+𝑎_'𝑥_'+𝑎₊𝑥_'+ 𝑦₊=𝑎_$+𝑎_'𝑥_'+𝑎₊𝑥₊+

š Hitung 𝑎_$, 𝑎_', dan 𝑎₊ dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi Gauss š Hitung dengan rumus interpolasi kuadratik :

Contoh Soal Interpolasi Kuadrat (1)

š Diberikan titik ln (8.0) = 2.0794, ln (9.0) = 2.1972, dan ln (9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln (9.2)

dengan interpolasi kuadratik.

Diketahui : 𝑥_$ = 8.0, 𝑦_$ = 2.0794, 𝑥_' = 9.0, 𝑦_' = 2.1972 , 𝑥₊ = 9.5, 𝑦₊ = 2.2513 Ditanya : Nilai ln (9.2) = ?

Sistem persamaan yang terbentuk adalah : 𝑎_$ + 8.0 𝑎_' + 64.0 𝑎₊ = 2.0794

𝑎_$ + 9.0 𝑎_' + 81.0 𝑎₊ = 2.1972 𝑎_$ + 9.5 𝑎_' + 90.25 𝑎₊ = 2.2513

Contoh Soal Interpolasi Kuadrat (1)

š Perhitungan secara manual, diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss :

𝑎_$ + 8.0 𝑎_' + 64.0 𝑎₊ = 2.0794 𝑎_$ + 9.0 𝑎_' + 81.0 𝑎₊ = 2.1972 𝑎_$ + 9.5 𝑎_' + 90.25 𝑎₊ = 2.2513 1 8 64 2.0794 1 9 81 2.1972 1 9.5 90.25 2.2513 𝑅21(−1) 𝑅31(−1) 1 0 0 81 1.5 6417 26.25 2.07940.1178 0.1719 𝑅12(−8) 𝑅32(−1.5) 1 0 0 01 0 −7217 0.75 0.11781.137 −0.0048 𝑅31($.^_' ) 1 0 0 01 0 −7217 1 0.11781.137 −0.0064 𝑅13(72) 𝑅23(−17) 1 0 0 01 0 00 1 0.67620.2266 −0.0064 Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan

Contoh Soal Interpolasi Kuadrat (1)

š Perhitungan menggunakan rumus interpolasi kuadratik :

𝑦 = 𝑦_' 𝑥 −𝑥+ 𝑥 −𝑥\ 𝑥_' −𝑥₊ 𝑥_' −𝑥_\ + 𝑦+ 𝑥 −𝑥_' 𝑥 −𝑥_\ 𝑥₊ −𝑥_' 𝑥₊ −𝑥_\ +𝑦\ 𝑥 −𝑥_' 𝑥 −𝑥₊ 𝑥_\−𝑥_' 𝑥_\ −𝑥₊ Diketahui : 𝑥_' = 8.0, 𝑦_' = 2.0794, 𝑥₊ = 9.0, 𝑦₊ = 2.1972 , 𝑥_\ = 9.5, 𝑦_\ = 2.2513 𝑥 = 9.2 , 𝑦 = ? 𝑦 = 2.0794 9.2 − 9 9.2 − 9.5 8 − 9 8 − 9.5 + 2.1972 9.2 − 8 9.2 − 9.5 9 − 8 9 − 9.5 + 2.2513 9.2 − 8 9.2 − 9 9.5 − 8 9.5 − 9 𝑦 = −0.0831 + 1.581984 + 0.720416

Interpolasi Kuadrat

š Algoritma Interpolasi Kuadrat:

1.

Tentukan tiga titik 𝑃

_'

𝑥

_'

,𝑦

_'

, 𝑃

₊

𝑥

₊

, 𝑦

₊

da 𝑃

_\

𝑥

_\

, 𝑦

_\

.

2.

Tentukan nilai 𝑥 dari titik yang akan dicari.

3.

Hitung nilai 𝑦 dengan rumus interpolasi kuadratik :

𝑦 = 𝑦_' 𝑥 −𝑥+ 𝑥 −𝑥\ 𝑥_' −𝑥₊ 𝑥_' −𝑥_\ + 𝑦+ 𝑥 −𝑥_' 𝑥 −𝑥_\ 𝑥₊−𝑥_' 𝑥₊ −𝑥_\ +𝑦\ 𝑥 −𝑥_' 𝑥 −𝑥₊ 𝑥_\ −𝑥_' 𝑥_\−𝑥₊

Soal Interpolasi Linier

š Perkiraan atau prediksi jumlah penduduk Gunungsari pada tahun 2005 berdasarkan data

tabulasi berikut :

Tahun 2000 2010

Soal Interpolasi Kuadrat

š Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda padat berbentuk parabola.

Dengan data sebagai berikut :

t (detik) Y(m)

5 2.01

6.5 2.443

8 2.897

Jawaban

26

Dipunyai: x₀ = 2000, x₁= 2010, y₀= 179.300, y₁= 203.200. Ditanya: Prediksi jumlah penduduk gunungsari pada tahun 2005.

𝑝_' 𝑥 = 𝑦_$ +(𝑦'− 𝑦$)(𝑥 − 𝑥$) 𝑥_' − 𝑥_$ Misalkan 𝑥 = 2005 𝑝_' 2005 = 179.300 + (203.200 − 179.300)(2005 − 2000) 2010 − 2000 𝑝_' 2005 = 191.250

Jawaban

š Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah:

𝑎_$ + 5,0 𝑎_' + 25,00 𝑎₊ = 2,01 𝑎_$ + 6,5 𝑎_' + 42,25 𝑎₊ = 2,443 𝑎_$ + 8,0 𝑎_' + 64,00 𝑎₊ = 2,897

Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss

1 5 25 1 6,5 42,25 1 8 64 2,01 2,443 2,897 𝑅2, 𝑅1 −1 𝑅3, 𝑅1 −1 1 5 25 0 1,5 17,25 0 3 39 2,01 0,443 0,887 𝑅2 1 1,5

Jawaban

1 0 −32,5 0 1 11,5 1 0 1 0,56667 0,28867 0,00467 𝑅1, 𝑅3(32,5) 𝑅2, 𝑅3(11,5) 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0,71733 0,235 0,00467 Diperoleh : 𝑎_$ = 0,71733, 𝑎_' = 0,235, 𝑎₊ = 0,00467 Sehingga Polinom Kuadratnya adalah:

𝑝₊ 𝑥 = 0,71733 + 0,235𝑥 + 0,00467𝑥+ Sehingga 𝑝₊ 7 = 2,588

Interpolasi Lain

š Secara umum, penentuan polinomial dengan cara tersebut kurang disukai, karena

mempunyai kemungkinan yang jelek terutama untuk derajat polinomial yang semakin tinggi.

š Terdapat beberapa metode polinom interpolasi :

• Polinom Lagrange

Interpolasi Lain

š Secara umum, penentuan polinomial dengan cara tersebut kurang disukai, karena

mempunyai kemungkinan yang jelek terutama untuk derajat polinomial yang semakin tinggi.

š Terdapat beberapa metode polinom interpolasi :

• Polinom Lagrange

Interpolasi Lagrange

š Polinom berderajat satu : 𝑝_' 𝑥 = 𝑦_$+(def dg)(hf hg)

h_ef h_g

š Dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi :

š Atau dapat dinyatakan dalam bentuk (*) š Dimana : 𝑝_' 𝑥 = 𝑦_$ (𝑥 − 𝑥') 𝑥_$ − 𝑥_' + 𝑦' (𝑥 − 𝑥_$) 𝑥_' − 𝑥_$ 𝑝_' 𝑥 = 𝑎_$𝐿_$(𝑥) + 𝑎_'𝐿_'(𝑥) 𝑎_$ = 𝑦_$ 𝑎_' = 𝑦_' 𝐿_$ 𝑥 = (𝑥 − 𝑥') 𝑥 − 𝑥 𝐿' 𝑥 = (𝑥 − 𝑥_$)

Interpolasi Lagrange

š Pendekatan orde ke-1.

𝑓

_'

𝑥 = 𝐿

_$

𝑥 𝑓 𝑥

_$

+ 𝐿

_'

𝑥 𝑓(𝑥

_'

)

𝐿

_$

𝑥 =

𝑥 − 𝑥

'

𝑥

_$

− 𝑥

_'

𝐿

'

𝑥 =

𝑥 − 𝑥

_$

𝑥

_'

− 𝑥

_$

𝑓

_'

𝑥 =

𝑥 − 𝑥

'

𝑥

_$

− 𝑥

_'

𝑓 𝑥

$

+

𝑥 − 𝑥

_$

𝑥

_'

− 𝑥

_$

𝑓(𝑥

'

)

Interpolasi Lagrange

š Pendekatan orde ke-2.

𝑓₊ 𝑥 = 𝐿_$ 𝑥 𝑓 𝑥_$ + 𝐿_' 𝑥 𝑓(𝑥_') + 𝐿₊ 𝑥 𝑓(𝑥₊) 𝐿_$ 𝑥 = 𝑥 − 𝑥' 𝑥_$ − 𝑥_' 𝑥 − 𝑥₊ 𝑥_$ − 𝑥₊ 𝑥 − 𝑥_' 𝑥 − 𝑥₊ 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥₊ 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_' 𝐿_' 𝑥 = 𝑥 − 𝑥$ 𝑥_' − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥₊ 𝑥_' − 𝑥₊ 𝐿+ 𝑥 = 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥₊ − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_' 𝑥₊− 𝑥_' 𝑖 = 0 𝑛 = 2 𝑗 ≠ 𝑖 𝑖 = 1 𝑛 = 2 𝑗 ≠ 𝑖 𝑖 = 2 𝑛 = 2 𝑗 ≠ 𝑖

Interpolasi Lagrange

š Pendekatan orde ke-3.

𝑓_\ 𝑥 = 𝐿_$ 𝑥 𝑓 𝑥_$ + 𝐿_' 𝑥 𝑓(𝑥_') + 𝐿₊ 𝑥 𝑓(𝑥₊) +𝐿_\ 𝑥 𝑓(𝑥_\) 𝑓_\ 𝑥 = _𝑥𝑥 − 𝑥' $− 𝑥' 𝑥 − 𝑥₊ 𝑥_$− 𝑥₊ 𝑥 − 𝑥_\ 𝑥_$− 𝑥_\ 𝑓 𝑥$ + 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥_'− 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥₊ 𝑥_'− 𝑥₊ 𝑥 − 𝑥_\ 𝑥_'− 𝑥_\ 𝑓 𝑥' + 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥₊− 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_' 𝑥₊− 𝑥_' 𝑥 − 𝑥_\ 𝑥₊− 𝑥_\ 𝑓 𝑥+ + 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥_\− 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_' 𝑥_\− 𝑥_' 𝑥 − 𝑥₊ 𝑥_\− 𝑥₊ 𝑓 𝑥\

Interpolasi Lagrange

š Algoritma Interpolasi Lagrange:

1.

Tentukan jumlah titik (N) yang diketahui.

2.

Memasukkan titik-titik yang diketahui 𝑃

_n

= 𝑥

_n

, 𝑦

_n

untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑁

3.

Tentukan 𝑥 dari titik yang dicari.

4.

Hitung nilai y dari titik yang dicari dengan formulasi interpolasi lagrange.

𝑦 = p 𝑦

_n

q

(𝑥 − 𝑥

r

)

(𝑥

_n

− 𝑥

_r

)

Contoh Interpolasi Lagrange

š Berapa nilai distribusi t pada 𝛼 = 4% ?

𝛼 = 2.5% → 𝑥_$ = 2.5 → 𝑓 𝑥_$ = 2.571 𝛼 = 5% → 𝑥_' = 5 → 𝑓 𝑥_' = 2.015 𝛼 = 10% → 𝑥₊ = 10 → 𝑓 𝑥₊ = 1.476

Contoh Interpolasi Lagrange

š Pendekatan orde ke-1

𝑓_' 𝑥 = 𝐿_$ 𝑥 𝑓 𝑥_$ + 𝐿_' 𝑥 𝑓(𝑥_') 𝑓_' 𝑥 = 𝑥 − 𝑥' 𝑥_$ − 𝑥_' 𝑓 𝑥$ + 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥_' − 𝑥_$𝑓(𝑥') 𝑥_$ = 2.5 → 𝑓 𝑥_$ = 2.571 𝑥_' = 5 → 𝑓 𝑥_' = 2.015 𝑥₊ = 10 → 𝑓 𝑥₊ = 1.476 𝑥 = 4 → 𝑓 𝑥 =? 𝑓_' 𝑥 = 4 − 5 2.5 − 52.571 + 4 − 2.5 5 − 2.5 2.015

Contoh Interpolasi Lagrange

š Pendekatan orde ke-2 𝑥$ = 2.5 → 𝑓 𝑥$ = 2.571

𝑥_' = 5 → 𝑓 𝑥_' = 2.015 𝑥₊ = 10 → 𝑓 𝑥₊ = 1.476 𝑥 = 4 → 𝑓 𝑥 =? 𝑓₊ 𝑥 = 2.214 𝑓₊ 𝑥 = 𝐿_$ 𝑥 𝑓 𝑥_$ + 𝐿_' 𝑥 𝑓(𝑥_') + 𝐿₊ 𝑥 𝑓(𝑥₊) 𝑓₊ 𝑥 = 4 − 5 2.5 − 5 4 − 10 2.5 − 10 2.571 + 4 − 2.5 5 − 2.5 4 − 10 5 − 10 2.015 + 4 − 2.5 10 − 2.5 4 − 5 10 − 5 1.476

Interpolasi Newton

š Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek:

• Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi

sebelumnya yang dapat digunakan.

• Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat

Interpolasi Newton

š Persamaan Polinom Linier 𝑝_' 𝑥 = 𝑦_$ +d_hefdg

yfhg 𝑥 − 𝑥$

š Bentuk pers. Ini dapat ditulis : 𝑝_' 𝑥 = 𝑎_$ + 𝑎_'(𝑥 − 𝑥_$) š Yang dalam hal ini 𝑎_$ = 𝑦_$ =𝑓(𝑥_$) (1) š Dan 𝑎_' = d_hefdg

yfhg =

z(he)fz(hg)

h_yfh_g (2)

š Persamaan ini merupakan bentuk selisih terbagi (divided-difference)

Interpolasi Newton

š Polinom Kuadratik

𝑝₊ 𝑥 = 𝑎_$ + 𝑎_' 𝑥 − 𝑥_$ + 𝑎₊ 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_' 𝑝₊ 𝑥 = 𝑝_' 𝑥 + 𝑎₊ 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_'

Interpolasi Newton

š Jadi tahapan pembentukan polinom Newton :

𝑝_' 𝑥 = 𝑝_$(𝑥) + 𝑎_' 𝑥 − 𝑥_$ 𝑝_' 𝑥 = 𝑎_$ + 𝑎_' 𝑥 − 𝑥_$ 𝑝₊ 𝑥 = 𝑝_'(𝑥) + 𝑎₊ 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_' 𝑝₊ 𝑥 = 𝑎_$ + 𝑎_' 𝑥 − 𝑥_$ + 𝑎₊ 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_' 𝑝_\ 𝑥 = 𝑝₊(𝑥) + 𝑎_\ 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_' 𝑥 − 𝑥₊ 𝑝_\ 𝑥 = 𝑎_$ + 𝑎_' 𝑥 − 𝑥_$ + 𝑎₊ 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_' + 𝑎_\ 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_' 𝑥 − 𝑥₊

Interpolasi Newton

š Nilai konstanta 𝑎_$, 𝑎_', 𝑎₊, …, 𝑎_&, merupakan nilai selisih terbagi (ST), dengan nilai 𝑎_$= 𝑓(𝑥_$)

𝑎_' = 𝑓[𝑥_', 𝑥_$] 𝑎₊= 𝑓[𝑥₊, 𝑥_',𝑥_$]

𝑎_& = 𝑓[𝑥_&,𝑥_&f',…, 𝑥_',𝑥_$]

š Yang dalam hal ini

𝑓 𝑥_n, 𝑥_r =𝑓 𝑥n − 𝑓(𝑥r) 𝑥_n− 𝑥_r

Interpolasi Newton

i xi yi = f(xi) ST-1 ST-2 ST-3 0 x0 f[x0] f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0] 1 x1 f[x1] f[x2,x1] f[x3,x2,x1] 2 x2 f[x2] f[x3,x2] 3 x3 f[x3]

Tabel Selisih Terbagi

𝑝_& 𝑥 = 𝑓(𝑥_$) + 𝑓 𝑥_', 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_$ + 𝑓 𝑥₊, 𝑥_', 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_' + 𝑓[𝑥_&, 𝑥_&f', … , 𝑥_', 𝑥_$] 𝑥 − 𝑥_$ 𝑥 − 𝑥_' 𝑥 − 𝑥_&f'

Contoh Soal Interpolasi Newton

i xi yi = f(xi) ST-1 ST-2 ST-3 ST-4

x0 0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147

x1 1 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880

Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range [0,4] dan antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.

Contoh Soal Interpolasi Newton

Cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel :

𝑓 𝑥_', 𝑥_$ = 𝑓 𝑥' − 𝑓(𝑥$) (𝑥_'−𝑥_$) = 0.5403 − 1 1 − 0 = −0.4597 𝑓 𝑥₊, 𝑥_' = 𝑓 𝑥+ − 𝑓(𝑥') (𝑥₊−𝑥_') = −0.4161 − 0.5493 2 − 1 = −0.9564 𝑓 𝑥₊, 𝑥_', 𝑥_$ = 𝑓 𝑥+, 𝑥' − 𝑓(𝑥', 𝑥$) 𝑥₊− 𝑥_$ = −0.9564 − (−0.4597) 2 − 0 = −0.2484

Contoh Soal Interpolasi Newton

Maka polinom newton derajat 1, 2, dan 3 dengan x0 = 0 sebagai titik pertama :

cos 𝑥 ≈ 𝑝_' 𝑥 = 1 − 0.4597(𝑥 − 0)

cos 𝑥 ≈ 𝑝₊ 𝑥 = 1 − 0.4597 𝑥 − 0 − 0.2484(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)

cos 𝑥 ≈ 𝑝_\ 𝑥 = 1 − 0.4597 𝑥 − 0 − 0.2484 𝑥 − 0 𝑥 − 1 + 0.1466(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) cos 𝑥 ≈ 𝑝_• 𝑥 = 1 − 0.4597 𝑥 − 0 − 0.2484 𝑥 − 0 𝑥 − 1 + 0.1466 𝑥 − 0 𝑥 − 1 𝑥 − 2 −

Contoh Soal Interpolasi Newton

• Nilai fungsi di x=2.5 dengan polinom derajat 3 adalah :

cos 2.5 ≈ 𝑝_\ 2.5 = 1.0 − 0.4597 2.5 − 0 − 0.2484 2.5 − 0 2.5 − 1 + 0.1466(2.5 − 0)(2.5 − 1)(2.5 − 2)

= −0.8056

• Nilai eksak f(2.5) adalah

𝑓 2.5 = cos 2.5 = −0.8011

• Jadi solusi hampiran mempunyai error :

Soal Interpolasi Newton

š Diberikan pasangan nilai x0=1, f(x0)=0; x1=4, f(x1)=1.3862944; x2=6, f(x2)=1.7917595; x3=5,

f(x3)=1.6094379.

• Buat tabel beda terbagi dari data tersebut

• Gunakan tabel beda terbagi diatas dalam menerapkan rumus interpolasi beda terbagi

Soal Interpolasi Lagrange

š Dicari nilai ln(2) dengan metode interpolasi polinomial Lagrange order satu dan dua

berdasar data ln(1)=0 dan data ln(6)=1.7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln(1) dan data ln(4)=1.3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, hitung pula besar error (nilai eksak ln(2) = 0.6931471)

Praktikum Lagrange

š Cari nilai x = 0,5 ; x = 0.7 ; x = 0.9 ; x = 1, dengan polinom derajat 3. š Hitung nilai error dari masing-masing x.

X Y 0 1 0.4 0.921061 0.8 0.696707 1.2 0.362358 𝑓(𝑥) = cos 𝑥

Praktikum Newton

š Fungsi Awal : 𝑓(𝑥) = cos (𝑥) + 𝑥

š Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga, empat dan lima yang menghampiri

𝑓 𝑥 = cos 𝑥 + 𝑥 dalam range [-5,-2.5] dan antar titik adalah 0.5. Lalu buat grafik polinom newton masing-masing derajat.