Metode Numerik. Integrasi Numerik. Umi Sa adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2012 PENS-ITS

Integrasi Numerik

Umi Sa’adah Politeknik Elektronika Negeri Surabayag y 2012

Topik

Topik

• Integral Reimann

Integral Reimann

• Trapezoida

Si

1/3

• Simpson 1/3

• Simpson 3/8

• Kuadratur Gauss 2 titik

• Kuadratur Gauss 3 titik

Kuadratur Gauss 3 titik

INTEGRASI NUMERIK

INTEGRASI NUMERIK

• Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)

• Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari

jawaban hampiran (aproksimasi) dari

pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

INTEGRASI NUMERIK

INTEGRASI NUMERIK

• Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

C n ax dx ax n n   



₁1 C b a dx b ax C a e dx e ax ax       





) cos( 1 ) sin( • Fungsi yang rumit misal :

2 3 C b a a dx b ax C b a a dx b ax        





1 ) sin( 1 ) cos( ) cos( ) sin( dx e x x _0.5x 2 0 2 sin 5 . 0 1 ) 1 cos( 2



 _  C x x x dx x C x dx x     





| | ln | | ln | | ln 1 4



| | | |

INTEGRASI NUMERIK

INTEGRASI NUMERIK

• Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yangPerhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak

keperluan.

• digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

• Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar

Dasar Pengintegralan Numerik

Dasar Pengintegralan Numerik

 Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

) ( ) ( n b f d f





) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 0 0 n n i i i a x f c x f c x f c x f c dx x f     





 f(x) ) ( ) ( ) ( _{0 1 1} 0 f f n f n 6 x₀ x₁ x_n-1 x_n x

Dasar Pengintegralan Numerik

Dasar Pengintegralan Numerik

• Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

• Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

10 12 6 8 2 4 PENS-ITS 7 0 2 3 5 7 9 11 13 15

Dasar Pengintegralan Numerik

Dasar Pengintegralan Numerik

F

l N

t

C t

Dasar Pengintegralan Numerik

Dasar Pengintegralan Numerik

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

p

dx

x

f

dx

x

f

I





b

f

(

)





b

f

_n

(

)

a n a





(

)

(

)

 Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

p

f( )

g

p

n n 1 n 1 n 1 0 n

x

a

a

x

a

x

a

x

f

(

)











_ 



8

 f

_n

(x) bisa fungsi linear

b

f

k d

 f

_n

(x) bisa fungsi kuadrat

 f

_n

(x) bisa juga fungsi kubik atau

polinomial yang lebih tinggi

INTEGRASI NUMERIK

INTEGRASI NUMERIK

• Luas daerah yang diarsirLuas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan : b • L =



 

b a dx x f 12

Metode Integral Reimann

Metode Integral Reimann

0.5 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 0.4 0.45 0.35 0.3 0.2 0.25 PENS-ITS 13 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Metode Integral Reimann

Metode Integral Reimann

• Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x

Luasan yang dibatasi y f(x) dan sumbu x

• Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x

= [a b]

= [a,b]

• Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi

j

di

Li  i f ( i)

panjang dimana

Li  xi. f (xi)

Metode Integral Reimann

Metode Integral Reimann

• Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :

 

x x f

 

x x n f

 

x x f

 

x x f L L L L L               _{0 1 2} ..

 

 

 

 

 

_i n i n x x f x x f x x f x x f x x f           



3 2 2 1 1 0 0 ... • Dimana Did t i0 h x x x x        _n   _{0 1 2} ... • Didapat

 

_

 







n i i b a

x

f

h

dx

x

f

0 PENS-ITS 15 a

Contoh

_

1 2

L

Contoh

• Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x



0 2 dx x

L =

Hitung luas yang dibatasi y x dan sumbu x untuk range x = [0,1] 1 x**2 0.8 0.4 0.6 0.2 16 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Contoh

Contoh

• Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :



0 0 01 0 04 0 09 0 16 0 25 0 36 0 49 0 64 0 81 1 00



1 0 ) ( . 10 0            



 i i x f h L • Secara kalkulus :





 

0.1 3,85



0,385 00 . 1 81 . 0 64 . 0 49 . 0 36 . 0 25 . 0 16 . 0 09 . 0 04 . 0 01 . 0 0 1 . 0              3333 0 | 1 ₁ 0 3 1 2   

_

x dx x L • Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 • = 0,052 ... 3333 , 0 | 3 0 0   

_

x dx x L PENS-ITS 17

Algoritma Metode Integral Reimann

Algoritma Metode Integral Reimann

• Definisikan fungsi f(x)

Definisikan fungsi f(x)

• Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi

k

j

l h

b

i

• Tentukan jumlah pembagi area N

• Hitung h=(b-a)/N

• Hitung





h

N

f

x

L



(

)





i i

x

f

h

L

0

)

(

.

18

Metode Integrasi Trapezoida

• Aproksimasi garis lurus (linier)

1 b







) ( ) ( ) ( ) ( _{i 0 0 1 1} 0 i i b a h x f c x f c x f c dx x f 



 







f (x₀ ) f (x₁)



2 h   f(x) f(x) L(x) PENS-ITS 19 x₀ x₁ x



( ) ( )





( ) ( )





( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( x x x x x x b a x f x f h x f x f h x f x f h dx x f dx x f dx x f dx x f n 1 n 2 1 1 0           









_   















( ) ( ) ( ) ( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n 1 n i 1 0 n 1 n 2 1 1 0 x f x f 2 x 2f x f 2 x f 2 h x f x f 2 x f x f 2 x f x f 2                    2 f(x) n a b h   20 x h x h x h x h x x n

Metode Integrasi Trapezoida

Metode Integrasi Trapezoida

     _{i i}  _i i f x f x x L   _ . 2 1 1  _{i i}  _i i f f x L atau    _ . 2 1 2 1



   1 0  i i L L  _{i i}  _i i f f  2 1 i0







_{n n}



n i i f f f f f h f f h L        _   



0 1 2 1 1 1 2 2 ... 2 2 2 1

_

_

_

_

n n i i i f f f f f f f  



0 1 2 1 0 1 2 2     n h 1         



 n i i f f f h L 1 0 2 2 PENS-ITS 21

d

Trapezoida

• Definisikan y=f(x)

Definisikan y f(x)

• Tentukan batas bawah (a) dan batas atas

integrasi (b)

integrasi (b)

• Tentukan jumlah pembagi n

• Hitung h=(b-a)/n

• Hitung

_

_n

_

h

1

g





















 n n i i

f

f

f

h

L

1 1 0

2

2

22

• Aproksimasi dengan fungsi parabola

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{0 0 1 1 2 2} 2 x f c x f c x f c x f c dx x f _{i i} b    







( ) 4 ( ) ( )



3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 0 2 2 1 1 0 0 0 x f x f x f h x f c x f c x f c x f c dx x f _i i i a     





 3 f(x) L(x) PENS-ITS 23 x₀ h x₁ h x₂ x

Aturan Komposisi Simpson

Aturan Komposisi Simpson

Aturan Komposisi Simpson

Aturan Komposisi Simpson

f(x) n a b h   f(x)

…...

x₀ h x₁ h x₂ h x₃ h x₄ x_n-2 x_n-1 x_n x 24 0 1 2 3 4 n 2 n 1 n

Cara II

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

• Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb

0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 ! 2 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( f h h x x f h x f x f h h x x x f h x x f x p             ! 2 ! 2 h h h h PENS-ITS 25

N

G

Newton Gregory

N

G

Newton Gregory

Bentuk Umum Bentuk Umum

Cara II

(Buku Rinaldi Munir hlm 285)

Cara II

(Buku Rinaldi Munir hlm 285)

• Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 2 2h h   2 0 2 2 0 0 0 2 0 ) ( ) ( dx f h x x f x f L xdx p dx x f L h     _{  }  _       2 0 0 2 2 2 3 0 2 0 0 0 2 0 0 | 4 6 2 ! 2 f h x h x f h x x f L dx f h f h f L h x x                        0 2 2 2 3 0 2 0 4 4 6 8 2 4 2 f h h h h f h h hf L                 2 0 2 0 0 2 2 3 4 2 2 f h f h hf L f h h f h hf L             _     28 0 0 0 3 2 2hf h f f L     

Cara II

(Buku Rinaldi Munir hlm 286)

Cara II

(Buku Rinaldi Munir hlm 286)

• Mengingat f f f  • Maka selanjutnya 0 1 0 f f f    2 2hf h f h 2 f L     0 1 2 0 1 1 2 0 1 0 2 2 ) ( ) ( f f f f f f f f f f             • Maka selanjutnya ) 2 ( 3 ) ( 2 2 3 2 2 0 1 2 0 1 0 0 2 0 0 f f f h f f h hf L f f h hf L            4 3 3 2 3 2 2 2 _{0 1 0 2 1 0} f h f h f h L f h f h f h hf hf hf L       ) 4 ( 3 3 3 3 2 1 0 2 1 0 f f f h L f f f L       PENS-ITS 29

Kaidah Simpson 1/3 (total)

Kaidah Simpson 1/3 (total)

L_{t t l} = ) ( ) ( ) ( ) ( 2 4 x x xn b d f d f d f d f









L_total ) 4 ( 3 ... ) 4 ( 3 ) 4 ( 3 ) ( ... ) ( ) ( ) ( 1 2 4 3 2 2 1 0 0 2 n 2 n n n x x a f f f h f f f h f f f h dx x f dx x f dx x f dx x f x              









   ) 2 4 ( 3 3 3 3 2 6 , 4 , 2 1 5 , 3 , 1 0 n n i i n i i f f f f h _{  } 





    Di tk j l h i ( ) h

• Disyaratkan jumlah pias (n) harus genap

Si

1/3

Simpson 1/3

• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang g gg p y g dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut: N = 0 – n       fn fn fn h f f f h f f f h f f f h L ₀ ₁ ₂  ₂ ₃ ₄  ₄ ₅ ₆   _24 _1 3 ... 4 3 4 3 4 3 L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln

• atau dapat dituliskan dengan:

3 3 3 3     h

• Disyaratkan jml pias (n) genap

              _n genap i i ganjil i i f f f f h L ₀ 4 2 3 PENS-ITS 31

Contoh

Contoh

• Hitung integralHitung integral





1

2 dx

x

3

0

2 dx

x

L_total L_total = 0.1/3*( f(0) + 4*f(1) + 2*f(2) + …+ 4*f(9) + f(10)) = 0.1/3*(0+0.008+0.032+0.216+0.256+1+0.864 +2.744+2.048+5.832+2) = 0.0333333 * 15 = 0.5 Nilai eksak = | = 0.51₂

x

4 0 1 32 Nilai error = 0.5 - 0.5 = 0

Aturan Simpson 3/8

Aturan Simpson 3/8

 Aproksimasi dengan fungsi kubik

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{i 0 0 1 1 2 2 3 3} 3 i b x f c x f c x f c x f c x f c dx x f 



   





( ) ( ) ( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 0 3 3 2 2 1 1 0 0 i 0 i i a x f x f 3 x f 3 x f 8 h 3 x f c x f c x f c x f c x f c dx x f       





 8 f(x) L(x) h h h PENS-ITS 33 x₀ x₁ x x₂ h h h x₃

Si

3/ 8

Simpson 3/ 8

• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari g gg p , daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

3 3 3 3 N = 0 – n L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln t d t dit li k d f f f f  hf f f f  h hf_n f_n f_n f_n h L ₀  ₁ ₂  ₃  ₃  ₄  ₅  ₆    _3 3 _2 3 _1  8 3 ... 8 3 3 3 8 3 3 3 8 3

• atau dapat dituliskan dengan:

Latihan Soal

Latihan Soal

• Hitung Integral dengan menggunakanHitung Integral dengan menggunakan dx ex



1 _ 0 1 1 – Integral Reimann – Integrasi Trapezoida 0 g p

– Integrasi Simpson 1/3 dan 3/8

Metode Integrasi Gauss

Metode Integrasi Gauss

• Metode Newton-Cotes (Trapezoida Simpson)

Metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson)

 berdasarkan titik-titik data diskrit. Dengan

batasan :

batasan :

– h sama

Luas dihitung dari a sampai b – Luas dihitung dari a sampai b

• Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup

b

besar.

Metode Integrasi Gauss

Metode Integrasi Gauss

• Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]

1 h_{ } 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( 1 1           



 h f f f f h dx x f I

• Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss) 2 ) 1 ( 1 h ) ( ) ( ) ( 1 f f d f I





• Misal x₁=-1, x₂=1 dan c₁=c₂=h/2=1  menjadi metode trapezoida

) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 x f c x f c dx x f I 



  

• Karena x₁, x_2,,c₁ dan c₂ sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya minimum

Metode Integrasi Gauss

Metode Integrasi Gauss

• Bagaimana mencari xg ₁₁, x, _22,,c, ₁₁ dan c_{2 2} ? Karena ada 4 perubah p yang tidak diketahui, maka harus ada 4 persamaan simultan yang mengandung x₁, x_2,,c₁ dan c₂.

D t dilih t b h il i i t i ik d t d

• Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan metode trapesium akan tepat (error = 0) untuk fungsi tetap dan fungsi linier.

• Misalnya persamaan-persamaan di bawah ini dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

f( ) 1 f( ) f( ) 2 f( ) 3 • f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

Metode Integrasi Gauss

Metode Integrasi Gauss

) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 x f c x f c dx x f I 



  1 1 1 2 1 2 ) 1 ( 1 | 1 1 ) (x dx x c c f     x_x_       1



 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 0 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 | 2 1 ) ( ) ( | ) ( x c x c x dx x x x f f x x x                 1 2 2 2 2 1 1 3 3 1 1 3 1 1 2 2 1 3 2 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 3 1 | 3 1 ) (x x x dx x c x c x f    x_x_        3 2 2 3 1 1 4 4 1 1 4 1 1 3 3 0 ) 1 ( 4 1 ) 1 ( 4 1 | 4 1 ) (x x x dx x c x c x f    x_x_        PENS-ITS 39

2



c  c  1

Sekarang sudah didapatkan 4 persamaan simultan sbb :

0

2

2 2 1 1 2 1









x

c

x

c

c

c

577350269 . 0 3 1 1 1 2 1     x c c apabila dipecahkan menghasilkan

3

2

2 2 2 2 1 1

x

 x

c



c

_0.577350269 3 1 3 2     x

0

3 2 2 3 1 1

x

 x

c



c

1 S hi ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) ( 1 1    



 f f dx x f I Sehingga : 40

Metode Integrasi Gauss

Metode Integrasi Gauss

• Persamaan dibawah ini dinamakan metode GaussPersamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1  



f d

• Dengan kaidah ini menghitung integral f(x) di

) 3 ( ) 3 ( ) ( 1  



 g g dx x f

Dengan kaidah ini, menghitung integral f(x) di dalam selang[-1, 1] cukup hanya dengan

mengevaluasi nilai fungsi g pada dan_{x  1 3} x  1 3

Transformasi

Transformasi

b ₁





b a i

f

x

dx

L

(

)







1 1

)

(

u

du

g

L

_i

• Range [a,b]



[-1,1]

a 1

• x



u

• f(x)

f(x)





g(u)

g(u)

• dx



du

42

Transformasi

Transformasi

u a x  1 a b u a x u a b a x ) )( 1 ( 2 2 2 1         a au bu a b a a b u x 2 2 ) )( 1 ( 2 ) )( (         a x b u a b a b x x ) ( ) ( 2      -1 u ₁ du a b dx u x 2 ) ( 2 2    PENS-ITS 43 2

Transformasi

Transformasi









b

f

x

dx

g

u

du

L

1

)

(

)

(











a i

f

x

dx

g

u

du

L

1

)

(

)

(

) ( ) ( ) (b b  b  2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) (u du f b a b a u b a g         _  

du

u

a

b

b

a

f

a

b

du

u

g



















_







1 1

)

(

)

(

)

(

)

(

f

g





 









1 1

2

2

2

)

(

44

Analisa

Analisa

• Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, g g ( p Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi. y g

• Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes. • Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu

menjadi menjadi



1 g( duu)



1 ) ( g PENS-ITS 45

Integrasi Kuadratur Gauss

Integrasi Kuadratur Gauss

dgn Pendekatan 2 titik (1) Definisikan fungsi f(x)

(1) Definisikan fungsi f(x)

(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) (3) Hitung nilai konversi variabel :

(3) Hitung nilai konversi variabel :

(4) k f i ( ) d u a b a b x 2 ) ( 2 ) (    

(4) Tentukan fungsi g(u) dengan:

       _    b a f b a b a u u g 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( (5) Hitung:               3 1 3 1 g g L   2 2 2 46     3 3

du u a b b a f a b du u g            _    1 1 1 1 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( PENS-ITS 47

Metode Gauss Legendre 3 Titik

Metode Gauss Legendre 3 Titik

) ( ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2 3 3} 1 1 x f c x f c x f c dx x f I 



  

• Parameter x₁, x₂ , x₃ ,c₁ ,c₂ dan c₃ dapat dicari dengan membuat penalaran

bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat (error = 0) untuk 6 buah fungsi berikut : 1  2 ) ( ; ) ( ; 1 ) (x f x x f x x f   

• Dengan cara yang sama dengan 2 titik didapatkan

5 4 3 ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ; 1 ) ( x x f x x f x x f x x f x x f x f      

Dengan cara yang sama dengan 2 titik didapatkan

9 5 ; 9 8 ; 9 5 3 2 1  c  c  c 774596669 0 5 3 774596669 0 5 3 0 774596669 . 0 5 3 2 1      x x 48 774596669 . 0 5 3 3   x

Metode Gauss Legendre 3 Titik

Metode Gauss Legendre 3 Titik









Sehingga rumus luasannya menjadi :

 

_

































0

₉

5

₅

3

9

8

5

3

9

5

)

(

1

g

g

g

du

u

g

_

















1

9

5

9

9

5

PENS-ITS 49

d d k k dengan Pendekatan 3 Titik

(1) Definisikan fungsi f(x)

(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) (3) Hitung nilai konversi variabel :

(3) Hitung nilai konversi variabel :

u a b a b x 2 ) ( 2 ) (       b a b a a b ) ( ) ( ) (

(4) Tentukan fungsi f(u) : 

      _    b a f b a b a u u g 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) (     (5) Hitung:

 

_               



 5 3 9 5 0 9 8 5 3 9 5 ) ( 1 1 g g g du u g 50

Metode Gauss n-Titik

Metode Gauss n Titik

N

ik

Numerik

• Menghitung Luas Daerah Berdasarkan

Menghitung Luas Daerah Berdasarkan

Gambar

• Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

• Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

G

b

Gambar

9 6 Skala 1:100000 0 5 10 3 15

• Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

P d b di t l i i i ki i d id k 0 d i i k id k (d l h l i i

• Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=16). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar

• Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung denganDari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:

• Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

• Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

5 . 73 16 0     i i y h L g gg g p

• Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5 . 73 2 2 15 1 16 0        _{ }    i i y y y h L

• Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

74 2 4 3 0 16 _         





  i genap i ganjil i i y y y y h L 54   i ganjil i genap

B d P

Benda Putar

• Luas benda putar:

Luas benda putar:



 b

p f x dx

L 2



( )

• Volume benda putar:



a p







 b p f x dx V  ( ) 2 a PENS-ITS 55

Contoh :

5

Contoh :

7 cm cm I II III IV 4 cm 6 cm 7 cm 12 cm satuan dalam cm

• Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian

– bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu bag a da e upa a be tu s de ya g t da pe u dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,

– bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

• Bagian I: _LI  ₂₍₄₎₍₇₎  ₅₆ ₍₄₎₍₇₎2 ₁₉₆ V Bagian I: • Bagian III:  (4)(7) 56 2   I L  _{ (4)(7)}2  _196 I V

 

  12 (12) 288 2   III L VIII  2  12 12 2  3456 56

Contoh :

Contoh :

• Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

• Pada bagian II dan IV: dan

• Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

IV II L L  IV II V V 

• Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

  2 108 2 2 ) ( 4 5 0            _i IV II y y y h L L 2  _i1     2 1187.5 2 4 1 2 2 5 2 0              i i IV II y y y h V V PENS-ITS 57

Contoh :

Contoh :

• Luas permukaan dari botol adalah:    

IV III II I L L L L L 560 108 288 108 56              IV III II I L L L L L • Luas = 1758.4 cm2 l b l d l h 4 . 1758      V_I V_II V_III V_IV V

• Volume botol adalah:

     6024 5 . 1187 3456 5 . 1187 196         _{II III IV} I V V V V V • Volume = 18924.78 cm3 58