3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1

3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1

Mohamad Sidiq

INTEGRASI NUMERIK

METODE NUMERIK

• TEKNIK INFORMATIKA – S1 • 3 SKS

MATERI PERKULIAHAN

SEBELUM-UTS SETELAH-UTS

 Pengantar Metode Numerik  Sistem Bilangan dan Kesalahan

 Penyajian Bilangan Bulat & Pecahan  Nilai Signifikan

 Akurasi dan Presisi

 Pendekatan dan Kesalahan  Penyelesaian Persamaan Non Linier

 Metode Tabel  Metode Biseksi  Metode Regula Falsi

 Penyelesaian Persamaan Non Linier (Lanjutan)  Metode Iterasi Sederhana

 Metode Newton Raphson  Metode Secant

 Penyelesaian Persamaan Simultan  Metode Eliminasi Gauss  Metode Gauss Jordan

 Penyelesaian Persamaan Simultan (Lanjutan)  Metode Gauss Seidel

 Studi Kasus

 Diferensi Numerik  Selisih Maju  Selisih Mundur  Selisih Tengah

 Diferensi Tingkat Tinggi

 Integrasi Numerik  Metode Reimann  Metode Trapezoida  Metode Simpson

 Integrasi Numerik (Lanjutan)  Metode Gauss  Studi Kasus  Interpolasi  Metode Linier  Metode Kuadrat  Interpolasi (Lanjutan)  Metode Polinomial  Metode Lagrange  Regresi  Linier  Eksponensial  Polinomial

INTEGRASI NUMERIK

 Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara

untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan

secara analitik.

 Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang

digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.

 Digunakan untuk menghitung luas daerah dan

INTEGRASI NUMERIK

 Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

 Fungsi yang rumit misal : e dx x x _0.5x 2 0 2 3 sin 5 . 0 1 ) 1 cos( 2



 _  C x x x dx x C x dx x C b a a dx b ax C b a a dx b ax C a e dx e C n ax dx ax ax ax n n                   













 | | ln | | ln | | ln 1 ) sin( 1 ) cos( ) cos( 1 ) sin( 1 1

DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

1 1 0 0 0 n n i n i i b a

x

f

c

x

f

c

x

f

c

x

f

c

dx

x

f















 x₀ x₁ x_n-1 x_n x f(x)

DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK

x₀ x₁ x_n-1 x_n x

f(x)

 Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, dan

Formula Newton-Cotes

dx

x

f

dx

x

f

I

b a n b a









(

)

(

)

Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

n n 1 n 1 n 1 0 n

x

a

a

x

a

x

a

x

f

(

)











_ 



f_n (x) bisa fungsi linear, bisa fungsi kuadrat

f_n (x) bisa fungsi kubik atau polinomial

Polinomial dapat didasarkan data

INTEGRASI NUMERIK



Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung

dengan:



L =



 

b a dx x f

METODE INTEGRAL REIMANN

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

METODE INTEGRAL REIMANN



Luasan yang dibatasi y = f(x) dan

sumbu x.



Luasan dibagi menjadi N bagian pada

range x = [a,b].



Kemudian dihitung L

_i

: luas setiap

METODE INTEGRAL REIMANN



Luas

keseluruhan

adalah jumlah L

_i

dan

dituliskan:

 Di mana:  Didapat :

 

 

 

 

 

_i n i i n n x x f x x f x x f x x f x x f L L L L L                



0 3 2 2 1 1 0 0 2 1 0 ... ..

 

_

 







n i i b a

x

f

h

dx

x

f

0

h

x

x

x

x















_n





_{0 1 2}

...

CONTOH



Hitung luas yang dibatasi y = x

2

dan

sumbu x untuk range x = [0,1]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x**2

CONTOH

 Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel:

 Secara kalkulus :  Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052





 

0.1 3,85



0,385 00 . 1 81 . 0 64 . 0 49 . 0 36 . 0 25 . 0 16 . 0 09 . 0 04 . 0 01 . 0 0 1 . 0 ) ( . 10 0              



 i i x f h L ... 3333 , 0 | 3 1 ₁ 0 3 1 0 2   

_

x dx x L

ALGORITMA METODE

INTEGRAL REIMANN



Definisikan fungsi f(x)



Tentukan batas bawah dan batas ata

integrasi



Tentukan jumlah pembagi area N



Hitung h=(b-a)/N



Hitung







N i i

x

f

h

L

0

)

(

.

METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA

Aproksimasi

garis lurus (linier)



( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 1 1 0 0 i 1 0 i i b a x f x f 2 h x f c x f c x f c dx x f     





 x₀ x₁ x f(x) L(x)

ATURAN KOMPOSISI TRAPESIUM

       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n 1 n i 1 0 n 1 n 2 1 1 0 x x x x x x b a x f x f 2 x 2f x f 2 x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h dx x f dx x f dx x f dx x f n 1 n 2 1 1 0                    









_      x₀ x₁ x f(x) x₂ h h h x₃ h x₄

n

a

b

h





METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA

   







_{i i}



_i i i i i i x f f L atau x x f x f L         . 2 1 . 2 1 1 1



   1 0  i i L L







_{n n}



n i i i f f f f f h f f h L        _    



0 1 2 1 1 0 1 2 2 ... 2 2 2 1





















  n n i i

f

f

f

h

L

1 1 0

2

2

ALGORITMA METODE

INTEGRASI TRAPEZOIDA



Definisikan y=f(x)



Tentukan batas bawah (a) dan batas

atas integrasi (b)



Tentukan jumlah pembagi n



Hitung h=(b-a)/n



Hitung





















  n n i i

f

f

f

h

L

1 1 0

2

2

ATURAN SIMPSON 1/3

Aproksimasi dengan fungsi parabola



( ) ( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 0 2 2 1 1 0 0 i 2 0 i i b a x f x f 4 x f 3 h x f c x f c x f c x f c dx x f       





_ x₀ x₁ x f(x) x₂ h h L(x)

                                       1 x x 0 x x 1 x x h dx d h x x 2 a b h 2 b a x b x a x let x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x L 2 1 0 1 1 2 0 2 1 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 0 2 0 1 0 2 1      , , , , ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ 2 ₁ f x₂ 2 1 x f 1 x f 2 1 L           

ATURAN SIMPSON 1/3

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ 2 ₁ f x₂ 2 1 x f 1 x f 2 1 L            1 1 2 3 2 1 1 3 1 1 1 2 3 0 1 1 2 1 0 2 1 1 1 0 1 1 ) 2 3 ( 2 ) ( ) 3 ( ) ( ) 2 3 ( 2 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) 1 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) ( ) (                   











ξ ξ h x f ξ ξ h x f ξ ξ h x f dξ ξ ξ h x f dξ ξ ( h x f dξ ξ ξ h x f dξ L h dx x f b a 



( ) ( ) ( )



) ( _{0 1 2} b a 3 f x 4 f x f x h dx x f   



ATURAN SIMPSON 1/3

ATURAN KOMPOSISI SIMPSON

x₀ x₂ x f(x) x₄ h h h x_n-2 x_n

n

a

b

h





…...

h x₃ x₁ x_n-1

METODE INTEGRASI SIMPSON

 Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari

daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

 atau dapat dituliskan dengan:



f

f

 

h

f

f

 

h

f

f

 

h

f

f



h



f

_n

f

_n

 

h

f

_n

f

_n



h

L



₀



₁



₁



₂



₂



₃



₃



₄





_2



_1



2

_1



3

2

3

...

2

3

2

3

2

3

2

3

           





_n genap i i ganjil i i f f f f h L ₀ 4 2 3 N = 0 – n L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

CARA II



Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2

yang melalui ketiga titik tersebut

0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 ! 2 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( f h h x x f h x f x f h h x x x f h x x f x p           

CARA II

 Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 2 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 2 3 4 2 2 4 4 6 8 2 4 2 | 4 6 2 ! 2 ) ( ) ( f h f h x hf L f h h f h x hf L f h h h h f h h x hf L f h x h x f h x x f L dx f h h x x f h x f L xdx p dx x f L h x x h h h             _                                   _{  }  _     







Cara II

 Mengingat  Maka selanjutnya 0 1 0

f

f

f







) 4 ( 3 3 3 4 3 3 3 2 3 2 2 2 ) 2 ( 3 ) ( 2 2 2 1 0 2 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 f f f h L f h f h f h L f h f h f h hf hf x hf L f f f h f f h x hf L                   0 1 2 0 1 1 2 0 1 0 2

2

)

(

)

(

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

























ATURAN SIMPSON 3/8

Aproksimasi dengan fungsi kubik

 ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 0 3 3 2 2 1 1 0 0 i 3 0 i i b a x f x f 3 x f 3 x f 8 h 3 x f c x f c x f c x f c x f c dx x f         





_ x₀ x₁ x f(x) x₂ h h L(x) x₃ h

) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( 3 2 3 1 3 0 3 2 1 0 2 3 2 1 2 0 2 3 1 0 1 3 1 2 1 0 1 3 2 0 0 3 0 2 0 1 0 3 2 1 x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x L                            



( ₀ ) ( ₁) ( ₂ ) ( ₃)



b a b a x f x f 3 x f 3 x f 8 h 3 3 a b h ; L(x)dx f(x)dx       





Error Pemenggalan 3 a b h ; f 6480 a b f h 80 3 E 4 5 4 5 t        ( )() ( ) ( )()

ATURAN SIMPSON 3/8

METODE INTEGRASI GAUSS



Metode Newton Cotes (Trapezoida,

Simpson)  berdasarkan titik-titik data

diskrit. Dengan batasan :



H sama



Luas dihitung dari a sampai b



Mengakibatkan error yang dihasilkan

METODE INTEGRASI GAUSS

 Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang

[-1,1]

 Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

 Misal x₁=-1, x₂=1 dan c₁=c₂=1  menjadi m. trapezoida

 Karena x₁, x_2,,c₁ dan c₂ sembarang maka kita harus memilih nilai

tersebut sehingga error integrasinya min





2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( 1 1        



 h f f f f h dx x f I ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 1 x f c x f c dx x f I 



  

METODE INTEGRASI GAUSS

 Bagaimana mencari x₁, x_2,,c₁ dan c₂ Persamaan dibawah ini

dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

 f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 1 x f c x f c dx x f I 



   0 3 2 0 2 1 1 1 3 3 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1            









    dx x x c x c dx x x c x c dx x x c x c dx c c Didapat 3 1 3 1 1 2 1 2 1      x x c c

METODE INTEGRASI GAUSS



Persamaan dibawah ini dinamakan

metode Gauss Legendre 2 titik

) 3 1 ( ) 3 1 ( ) ( 1 1   



 f f dx x f

TRANSFORMASI



Range [a,b]  [-1,1]



X  u f(x)  g(u) dx du





b a i

f

x

dx

L

(

)







1 1

)

( du

u

g

L

_i

TRANSFORMASI

du

a

b

dx

u

a

b

b

a

x

au

bu

b

a

x

a

a

b

u

x

a

b

u

a

x

u

a

b

a

x











 











































2

2

)

(

)

(

2

2

)

)(

1

(

2

)

)(

1

(

2

2

2

1

a x _b -1 u ₁

TRANSFORMASI

du u a b b a f a b du u g





             1 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) (







1 1

)

( du

u

g

L

_i



( ) ( )



) ( 2 1 ) (u b a f ₂1 b a u ₂1 b a g     

ANALISIS METODE

 Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes

(Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya

membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

 Lebih teliti dibandingkan dengan metode

Newton-Cotes.

 Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih

dahulu menjadi



 1 1 ) ( duu g

ALGORITMA INTEGRASI KUADRATUR

GAUSS DENGAN PENDEKATAN 2 TITIK



Definisikan fungsi f(x)



Tentukan batas bawah (a) dan batas atas

integrasi (b)



Hitung nilai konversi variabel :



Tentukan fungsi g(u) dengan:



Hitung





( ) 2 1 2 1 a b u a b x    



( ) ( )



) ( 2 1 ) (u b a f 1₂ b a u ₂1 b a g                     3 1 3 1 g g L

METODE GAUSS LEGENDRE 3 TITIK

 Parameter x₁, x₂ , x₃ ,c₁ ,c₂ dan c₃ dapat dicari dengan

membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :

 Dengan cara yang sama didapat

)

(

)

(

)

(

)

(

_{1 1 2 2 3 3} 1 1

x

f

c

x

f

c

x

f

c

dx

x

f

I











 5 4 3 2 ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ; 1 ) ( x x f x x f x x f x x f x x f x f       5 3 ; 0 ; 5 3 9 5 ; 9 8 ; 9 5 3 2 1 3 2 1        x x x c c c

METODE GAUSS LEGENDRE 3 TITIK

 

_



































5

3

9

5

0

9

8

5

3

9

5

)

(

1 1

g

g

g

du

u

g

ALGORITMA METODE INTEGRASI GAUSS

DENGAN PENDEKATAN 3 TITIK

BEBERAPA PENERAPAN

INTEGRASI NUMERIK



Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar



Menghitung Luas dan Volume

MENGHITUNG LUAS DAERAH

BERDASARKAN GAMBAR

 Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai

atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

 Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal

ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut: Skala 1:100000 0 5 10 6 3 15 9

MENGHITUNG LUAS DAERAH

BERDASARKAN GAMBAR



Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung

dengan menggunakan 3 macam metode:

 Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

 Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

 Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5 . 73 2 2 15 1 16 0             i i y y y h L 5 . 73 16 0  



 i i y h L 74 2 4 3 0 16 _         





  i genap i ganjil i i y y y y h L

MENGHITUNG LUAS DAN

VOLUME BENDA PUTAR



Luas benda putar:



Volume benda putar:





b a p

f

x

dx

L

2



(

)









b a p

f

x

dx

V



(

)

2

CONTOH

 Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian

 bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,

 bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali. Bagian I: Bagian II:

4 cm 6 cm 7 cm 12 cm 7 cm 5 cm I II III IV satuan dalam cm  (4)(7) 56 2   I L  (4)(7)2 196  I V

 





12 (12) 288 2   II L

  

  12 12 3456 2 2   II V

CONTOH

 Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian

area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

 Pada bagian II dan IV: dan

 Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:   2 108 2 2 ) ( 4 1 5 0          



 i i IV II y y y h L L    2 1187.5 2 4 1 2 2 5 2 0              i i IV II y y y h V V IV II L L  V_II V_IV

CONTOH

 Luas permukaan dari botol adalah:

 Luas = 1758.4 cm2  Volume botol adalah:

 Volume = 18924.78 cm3 4 . 1758 560 108 288 108 56          











IV III II I L L L L L      6024 5 . 1187 3456 5 . 1187 196          V_I V_II V_III V_IV V