Bab IV Metode Alternating Projection

Metode alternating projection mengubah masalah feasibility non konveks menjadi masalah feasibility konveks. Pada bab ini akan dicari matriks definit positif dan simetri X,Y yang digunakan untuk membentuk model tereduksi sistem LPV dengan menggunakan metode alternating projection.

Dalam bab ini teori alternating projection dipaparkan dalam subbab IV.1.

Selanjutnya pemanfaatan metode ini pada masalah reduksi orde model disajikan pada subbab IV.2. Algoritma metode ini disajikan dalam subbab IV.3. Bukti bahwa metode ini tetap mempertahankan kestabilan sistem tereduksi disajikan dalam subbab IV.4. Berikutnya dalam subbab IV.5 diberikan simulasi program berdasarkan metode diatas.

IV.1 Metode Alternating Projection

Metode alternating projection adalah prosedur iteratif untuk mencari titik yang berada di suatu irisan beberapa himpunan konveks yang tutup. Metode ini memberikan alternatif perhitungan numerik yang lebih sederhana dan lebih efisien dibandingkan dengan metode konveks lain dalam menyelesaikan non smooth convex problems. Dalam metode alternating projection, struktur sederhana dari kendala-kendala yang ada didapat dari rumus masing-masing proyeksi pada tiap himpunan kendala. Metode alternating projection mengubah masalah feasibility non konveks menjadi masalah feasibility konveks [5]. Beberapa kasus telah berhasil diselesaikan dengan menggunakan metode alternating projection, diantaranya adalah image recontruction, statistical estimation, covariance control, desain pengontrol berorde tetap, dan masalah reduksi orde model norm H_∞[17].

Diberikan H ruang Hilbert berdimensi hingga, dengan ⋅ adalah norm dari H yang diinduksi dari hasil kali dalam ⋅ ⋅, . Dalam tesis ini akan diselesaikan masalah feasibility sebagai berikut.

Diberikan keluarga himpunan-himpunan tutup Q_α∈H , dengan α∈ ℑ untuk sebuah himpunan indeks ℑ . Akan dicari titik x^*∈H sedemikian sehingga

*

A

x Q Q_α

α∈

∈ =

I

^.

Untuk suatu vektor ˆx∈H , operator proyeksi P_Qα pada himpunan Q_α didefinisikan sebagai ^P_Qα

( )

^{xˆ := ∈x Q}_α, sedemikian sehingga

^ˆ Q

( )

^{ˆ inf ˆ}

(

^ˆ,

)

y Q

x P_α x x y x Q

α ρ α

− = ∈ − = . (IV.1) Proyeksi pada himpunan konveks adalah tunggal.

{ }

^P_α ^{dengan α∈ ℑ disebut}

dengan putaran proyeksi. Barisan alternating projection

{ }

^xn _n^∞₌₀ diberikan oleh xⁿ⁺¹ =xⁿ +λ_n

(

P_{α( )n}

( )

xⁿ −xⁿ

)

, 0≤λ_n ≤2, (IV.2) dengan ( )

( )

( )n

( )

n n

n Q

P x P x

α = α .

Khususnya untuk λ_n = didapat 1

xⁿ⁺¹=P_{α( )}n

( )

x^{n .} (IV.3) Urutan putaran himpunan indeks ℑ dalam barisan alternating projection (IV.2) diatur dengan urutan sebagai berikut. Misalkan ℑ =

{

α α1, 2,...,α_m

}

, maka

^α

( )

^{n =α}_n

₍

_modm

₎

₊₁ , (IV.4) dengan ⁿ

(

^modm

)

adalah sisa yang didapat dari membagi n dengan m. Terkait

dengan (IV.1), didefinisikan

(

^n, ( )ⁿ

)

^sup

(

^n,

) ( )

ⁿ

A

x Q_α x Q_α x

ρ α ρ

∈

= = Φ . (IV.5) Dalam teorema berikut akan ditunjukkan bahwa barisan alternating projection

{ }

^{xn ∞}_n=0 konvergen ke sebuah titik ^*

A

x Q Q_α

α∈

∈ =

I

^{untuk Qα} himpunan konveks untuk semua α dan Q tak kosong [11].

Teorema IV.1 Diberikan himpunan Q_α tutup dan konveks dengan

A

Q Q_α

α∈

=

I

tak kosong dan 0≤ ≤ε₁ λ_n ≤ −2 ε_2, dengan ε₂ > . Misalkan kondisi-kondisi 0 berikut dipenuhi :

(a)

0

A

Q_α Q_α

αα α∈

≠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

∩ ⎜⎜⎝

I

⎟⎟⎠ tak kosong, dengan

0

A

Q_α

αα α∈

≠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝

I

⎠ menotasikan himpunan titik- titik interior dari

A

Q_α

αα α∈

≠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝

I

⎠^.

(b) Q_α konveks seragam untuk semua Q_α dengan α α≠ , yaitu terdapat fungsi ^{δ τ}

( )

^{>0 dengan τ >0} sedemikian sehingga untuk ,x y∈Q_αberakibat z∈Q_α untuk semua z dengan

( )

2 x y

z− ⁺ ≤δ x−y . (c) H berdimensi hingga.

(d) ℑ =

{

α α1, 2,...,α_m

}

berhingga, dan semua Q_α memenuhi ^{Qα =}

{

^{x c xi, ≤βi}

}

^.

Maka, untuk sembarang nilai awal x , barisan alternating projection ⁰

{ }

^xn _n^∞₌₀

konvergen ke sebuah titik ^*

A

x Q Q_α

α∈

∈ =

I

^.

Untuk membuktikan Teorema IV.1 diatas, terlebih dahulu dipaparkan lemma- lemma berikut yang akan digunakan dalam pembuktian [11].

Lemma IV.1 Diberikan titik x∈H dengan proyeksi x pada himpunan Q dinotasikan dengan ^{P x}

( )

, maka vektor ^{x−P x}

( )

^memenuhi

^{x−P x}

( )

^{,y−P x}

( )

≤ , (IV.6) ⁰ untuk semua y∈ . Q

Bukti :

Karena Q konveks, maka untuk 0< <λ 1 berlaku

^{λy+ −}

(

^{1 λ}

) ( )

^{P x ∈Q,}

sehingga dari definisi proyeksi didapat

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

1

2 , ,

x P x x y P x

x P x P x y x P x P x y

λ λ

λ λ

− ≤ − + −

≤ − + − + − −

sehingga

( )

^,

( )

¹

( )

²

x−P x y−P x ≤ 2λ P x −y . Dengan mengambil λ→0, maka didapat ^{x−P x}

( )

^{,y−P x}

( )

^{≤ . 0}

Lemma IV.2 Diberikan titik x y, ∈H dengan proyeksi x dan y pada himpunan Q berturut-turut dinotasikan dengan ^{P x}

( )

^{dan P y}

( )

. Maka, operator proyeksi P memenuhi

^{P x}

( )

^{−P y}

( )

^{≤ −x y} . (IV.7)

Bukti:

Dengan mengaplikasikan persamaan (IV.6) dua kali didapat

^{x−P x}

( ) ( )

^{,P y −P x}

( )

≤ dan ^{0 y−P y}

( ) ( )

^{,P x −P y}

( )

^{≤ . 0}

Tambahkan kedua ketaksamaan diatas diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

0 ,

. x y P x P y P x P y

x y P x P y P x P y

≥ − − + −

≥ − − − + −

Sehingga diperoleh ^{P x}

( )

^{−P y}

( )

^{≤ −x y .}

Lemma IV.3 Diberikan barisan alternating projection

{ }

^xn _n^∞₌₀^{, dengan}

xⁿ⁺¹ =xⁿ +λ_n

(

P_{α( )n}

( )

xⁿ −xⁿ

)

, 0≤λ_n ≤2.

Untuk sembarang pemilihan ^α

( )

ⁿ , untuk setiap titik kekonvergenan

A

x Q Q_α

α∈

∈ =

I

, dan untuk semua n berlaku

xⁿ⁺¹− ≤x xⁿ− . (IV.8) x

Bukti :

Dengan menggunakan ketaksamaan (IV.6) untuk himpunan Q_{α( )n} dan syarat 0≤λ_n ≤ , didapat untuk x Q2 ∈ ,

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

( )

2 2 1

2 2 2

2 2 2

2 2

2

= 2 ,

= 2 2 ,

2 .

n n n n

n n

n n n n n n

n n n n

n n n n n n

n n n n n n

n n n

n n n

n

x x x P x x x

x x P x x x x P x x

x x P x x P x x P x x

x x P x x

x x

α

α α

α α α

α

λ

λ λ

λ λ λ

λ λ

+ − = + − −

− + − + − −

− + − − + − −

≤ − − − −

≤ −

Terbukti xⁿ⁺¹− ≤x xⁿ− . x

Lemma IV.4 Diberikan barisan alternating projection

{ }

^xn _n^∞₌₀ ^dengan

^xn+1=xn+λn

(

^Pα_{( )}ⁿ

( )

^{xn −xn}

)

^{, 0≤λn ≤2, α}

^{( )}

^{n =αn}

(

^modm

)

^+1,

dan 0≤ ≤ε₁ λ_n ≤ −2 ε_2, dengan ε₂ > . Maka, berlaku 0 _n^lim_→∞^Φ

( )

^{xn =0} dengan

( )

^{n sup}

(

^n,

)

A

x x Q_α

α ρ

∈

Φ = . (IV.9)

Bukti :

Menggunakan Lemma IV.3 dengan ^x=PQ

( )

^xn didapat

^ρ

(

^{x Qn,}

)

^{= xn−PQ}

( )

^{xn ≥ xn+1−PQ}

( )

^{xn ≥ xn+1−PQ}

( ) (

^{xn+1 =ρ xn+1,Q}

)

^.

Jadi ^ρ

(

^{x Qn,}

)

turun monoton, sehingga terdapat ^{ρ =}_n^lim_→∞^ρ

( )

^{x Qn, , ρ ≥ . 0}

Lebih lanjut,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) (

( )

( ) ) ^{( )}

2 2

2 2 1 1 1

2 2

1

2 2

, ,

n n n n n n

Q Q

n n n n

Q Q

n n n n n n

Q n n Q

x Q x Q x P x x P x

x P x x P x

x P x x P_α x x P x

ρ ρ

λ

+ + +

+

− = − − −

≥ − − −

= − − + − −

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

( )

2 2 2

2

2

2 , 2

n n n n n n

Q Q n n

n n n n

n Q n

n n

n n n

x P x x P x P x x

x P x P x x

P x x

α α

α

λ λ

λ λ

= − − − − −

− − −

= − −

( )

( ) ( )

( )

( )

(

²

)

( )

( )

²

2 , 2 .

n n n n

n n Q n

n n

n n n

P x x P x P x

P x x

α α

α

λ λ λ

+ − −

≥ − −

Dengan menggunakan Lemma IV.1 dan 0≤ ≤ε₁ λ_n ≤ −2 ε_2, didapat ^ρ2

(

^{x Qn,}

) (

^{−ρ2 xn+1,Q}

)

^{≥ε ε1 2 Pα}( )ⁿ

( )

^{xn −xn 2.}

Dan berdasarkan fakta ^ρ

(

^{x Qn,}

)

→ , didapat ^ρ ρ

(

^{x Qn,} α_{( )}ⁿ

)

= ^xn−^Pα( )ⁿ

( )

^xn →⁰.

Selanjutnya untuk ε >0 tertentu, dipilih N sedemikian sehingga

(

^{x Qn, α}( )ⁿ

)

₂^ε_m

ρ ≤ untuk semua n≥N. Sehingga untuk n≥N didapat

^{xn+1−xn =λn Pα}_{( )}ⁿ

( )

^{xn −xn =λ ρn}

(

^{x Qn, α}( )ⁿ

)

^≤_m^{ε .}

Untuk setiap 1 i≤ ≤m dapat dicari k<m sedemikian sehingga α

(

n+k

)

=αi. Sehingga untuk n≥N diperoleh

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 1

,

....

. 2

i i

n n n n n

Q n k

n n k n k n

n k

n n n k n k n k n

n k

x Q x P x x P x

x x x P x

x x x x x P x

km m

α α α

α

α

ρ

ε ε ε

+

+ +

+

+ + − + +

+

= − = −

≤ − + −

≤ − + + − + −

≤ + <

Sehingga

( )

^max

(

^, i

)

n n

i

x ρ x Q_α ε

Φ = < , yang berakibat _n^lim_→∞^Φ

( )

^{xn =0.}

Lemma IV.5 Jika syarat-syarat (a) – (d) dalam Teorema IV.1 dipenuhi, maka untuk suatu barisan terbatas

{ }

^xn _n^∞₌₀ yang memenuhi Lemma IV.4, kondisi berikut dipenuhi

_n^lim_→∞^ρ

( )

^{x Qn,} = . (IV.10) ⁰ Bukti :

Misalkan kondisi (a) dipenuhi. Pilih

0

A

x Q_α Q_α

αα α∈

≠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

∈ ∩ ⎜⎜⎝

I

⎟⎟⎠ ^{dan δ >0} sedemikian

sehingga z∈Q_α untuk semua α dengan α α≠ dan semua z− ≤x δ . Untuk y sembarang titik sedemikian sehingga ^ρ

(

^{y Q,} _α

)

^≤ε untuk semua α dengan α α≠ , dipenuhi w ε x δ y Q_α

ε δ ε δ

= + ∈

+ + untuk semua α dengan α α≠ . Lebih lanjut,

^w=_{ε δ}^ε₊ ^⎛_⎜^x+δ_ε

(

^y−P_α

( )

^y

)

^⎞_⎟⁺_{ε δ}^δ₊ ^P_α

( )

^{y =}_{ε δ}^ε₊ ^z+_{ε δ}^δ₊ ^P_α

( )

^y

⎝ ⎠ ,

dengan ^{z x} δ

(

^{y P}α

( )

^y

)

= +ε − . Karena ^{z− =x δ}_ε ^y−P_α

( )

^y ≤ , maka didapat ^δ z∈Q_α. Jadi w adalah titik interior dari suatu interval yang mempunyai titik akhir z∈Q_α dan ^P_α

( )

^{y ∈Q}_α , sehingga w∈Q_α . Ambil ^y=Pα

( )

^xn dan pilih

( )

2 xⁿ

ε = Φ , maka untuk α α≠ didapat

( ) ( ) ( )

( ) ( )

,

, ,

.

2 2

n n n n

n n

y Q y P x y x x P x

x Q x Q

α α α

α α

ρ

ρ ρ

ε ε ε

≤ − ≤ − + −

= +

≤ + =

Sehingga jika dipilih bentuk w seperti datas, didapat w∈Q_α untuk semua α dengan α α≠ . Tetapi karena x Q∈ _α dan y∈Q_α, maka w∈Q_α juga. Sehingga

w∈ . Oleh karena itu, Q

( )

^,

2

2

1 1

.

2 2

n n n

n

x Q x w x y y w

y x x x

R c

ρ

ε ε ε δ ε ε

δ

ε ε

δ

≤ − ≤ − + −

≤ + −

+

≤ + −

⎛ ⎞

≤ ⎜⎝ + ⎟⎠=

Jadi

( )

^n,

( )

ⁿ , dengan 1 ²R

x Q c x c

ρ ^{≤ Φ = +} δ ^{. Karena} _n^lim_→∞^Φ

( )

^{xn =0 maka}

( )

lim ⁿ, 0

n

ρ x Q

→∞ = .

Misalkan kondisi (b) dipenuhi. Andaikan Lemma IV.5 tidak dipenuhi, yaitu terdapat subbarisan

{ }

^xnk sedemikian sehingga _n^lim_→∞^ρ

(

^xnk,Q

)

= > . Pilih ^{ρ 0}

min , , 0

4 4

ρ ρ

ε = ^⎧⎨⎩ δ^{⎛ ⎞}⎜ ⎟⎝ ⎠^⎫⎬⎭ ε > dan dicari n_k =N sedemikian sehingga

( )

^{xN ε dan ρ}

(

^xN,Q

)

^ρ₂

Φ ≤ ≥ . Pandang titik ^y=1₂

(

^PQ

( ) ( )

^{xN +Pα xN}

)

^{. Jelas}

y∈Q_α . Dilain pihak untuk α α≠ , karena Q_α konveks seragam, maka bola dengan pusat di ¹₂

(

^Pα

( ) ( )

^{xN +PQ xN}

)

dan jari-jari ^δ

(

^Pα

( ) ( )

^{xN +PQ xN}

)

berada dalam Q_α. Tetapi

( ) ( ) ( ) ( )

,

2 2 4 4

N N N N N N

Q Q

P_α x P x x P x P_α x x

ρ ε ρ ρ ρ

− ≥ − − −

≥⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− ≥ − =

yang artinya ^δ

(

^Pα

( ) ( )

^{xN +PQ xN}

)

^{≥δ⎛ ⎞⎜ ⎟}_{⎝ ⎠}^ρ₄ ^{≥ε, dan}

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

1 1

2 2

,

2 2

N N N N

Q

N N N N

y P x P x P x P x

P x x P x x

α α α

α α

ε ε ε

− + = −

≤ − + −

≤ + =

yang artinya y∈Q_α . Karena y∈Q_α dan y∈Q_α untuk semua α α≠ maka y∈ . Sehingga Q

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

, 1

2

1 1

2 2

N N N N N

Q

N N N N

Q

x Q x y x P x P x

x P x x P x

α α

ρ ≤ − = − +

≤ − + −

^≤1₂^ρ

(

^xN,Q

)

⁺¹₂^ε,

yang berarti ^ρ

(

^xN,Q

)

^{≤ ≤ε ρ}₄ . Kontradiksi dengan asumsi ^ρ

(

^xN,Q

)

^{≥ ρ}₂ ^.

Misalkan kondisi (c) dipenuhi. Andaikan Lemma IV.5 tidak dipenuhi, yaitu terdapat subbarisan

{ }

^xnk sedemikian sehingga _n^lim_→∞^ρ

(

^xnk,Q

)

= > . Karena ^{ρ 0} barisan

{ }

^xnk terbatas, maka terdapat subbarisan dari

{ }

^xnk sebut dengan

{ }

^xnk

yang konvergen ke titik x . Karena ^{* ρ}

(

^xnk,Qα

)

^{→0 untuk k → ∞} untuk setiap dan Q_α

α tutup, maka x^*∈Q_α untuk semua α . Sehingga x^*∈Q , yang kontradiksi dengan asumsi bahwa ^ρ

(

^xnk,Q

)

^{= >ρ 0.}

Misalkan kondisi (d) dipenuhi. Notasikan L adalah subruang berdimensi hingga yang memuat x dan dibangun oleh vektor-vektor ⁰ c c₁, ₂,...,c_m . Kemudian

notasikan xⁿ adalah proyeksi xⁿ pada L. Maka,

(

^{x Qn, i}

) (

^xn,Qi

)

^,

( ) ( )

^{x Qn, xn,Q}

ρ =ρ ρ =ρ . Sehingga Lemma IV.5 cukup

dibuktikan pada ruang berdimensi hingga L. Dalam kasus ini asumsi berikut dipenuhi :

^ρ

( ) ( )

^{xn,Q =ρ x Qn, ≤cmax}_i ^ρ

(

^{x Qn, i}

)

^=cmax_i ^ρ

(

^xn,Qi

) ( )

^{= Φc xn .}

Sehingga karena _n^lim_→∞^Φ

( )

^{xn =0 , maka} _n^lim_→∞^Φ

( )

^{xn =0} , yang berakibat

( )

lim ⁿ, 0

n

x Q

→∞ρ = .

Lemma IV.6 Untuk suatu himpunan tutup dan konveks Q dan untuk suatu x ⁿ yang memenuhi (IV.7) dan (IV.9), x konvergen ke ⁿ x^*∈Q.

Bukti:

Notasikan ^{S x}

(

^,ρ bola dengan pusat pada titik x dan jari-jari

)

ρ . Pandang

( ) ( )

( )

0

, ,

=

=

I

^{m n n}

m Q

n

S S P x ρ x Q , maka himpunan S konveks, tutup, tak kosong _m (karena dalam (IV.8) ^xm−PQ

( )

^{xn ≤ρ}

(

^{x Qn,}

)

untuk semua n≤m , artinya

∈

m

x S ), dan m S_m+1⊂S . Karena barisan himpunan memiliki irisan yang tak _m kosong, maka misalkan ^*

0

∞

=

∈

I

_n ⁿ

x S . Dan karena ^{x*∈S P}

(

^Q

( ) (

^{xn ,ρ x Qn,}

) )

^,

didapat

^{xn−x* ≤ xn−PQ}

( )

^{xn + PQ}

( )

^{xn −x* ≤2ρ}

(

^{x Qn,}

)

^.

Sehingga karena _n^lim_→∞^ρ

( )

^{x Qn, = , maka 0 xn−x* =0.}

Bukti Teorema IV.1

Berdasarkan Lemma IV.4, dengan asumsi kondisi (IV.4) dipenuhi, maka metode alternating projection memenuhi

_n^lim_→∞^Φ

( )

^{xn =0}, dengan

( )

^{n sup}

(

^n,

)

A

x x Q_α

α ρ

∈

Φ = . (A)

Dan berdasarkan Lemma IV.5, karena kondisi (a) – (d) dipenuhi, maka untuk sembarang barisan terbatas yang memenuhi (A) berlaku

_n^lim_→∞^ρ

( )

^{x Qn,} = . (B) ⁰ Selanjutnya berdasarkan Lemma IV.3, maka dalam metode alternating projection untuk suatu pemilihan ^α

( )

ⁿ dan untuk setiap titik kekonvergenan

∈

∈ =

I

_A

x Q Q_α

α

serta untuk semua n dipenuhi

xⁿ⁺¹− ≤x xⁿ−x . (C) Maka, dari (A), (B), (C) dan berdasarkan Lemma IV.6, x konvergen ke ⁿ x∈Q .

Dalam hal tidak semua himpunan Q_α konveks, kekonvergenan barisan alternating projection hanya terjadi secara lokal [5]. Sehingga nilai awal dalam barisan alternating projection harus dipilih berada dalam lingkungan dari solusi feasible. Dalam subbab II.5 [8,17], model tereduksi Ω adalah solusi feasible _bal^r untuk masalah reduksi orde model sistem LPV dengan pendekatan error

1

2 ˆ

n j j k

γ σ

= +

=

∑

. Lebih lanjut, kendala (II.29) – (II.31) similar dengan kendala

(III.40) – (III.42) dalam Teorema III.1, yaitu untuk sembarang solusi X,Y dari persamaan (III.40) – (III.42), maka P=γX⁻¹, Q=γY akan memenuhi kendala (II.29) – (II.31). Untuk sistem LPV politopik (II.3)-(II.13) dengan

( )

^{, 1, 2,...}

T si i= L adalah sistem LTI pada titik-titik sudut dari politop Ω dan

( ( ) )

1 k T si

σ ₊ adalah nilai singular Hankel terbesar ke

(

^k+1

)

^{dari T s}_i

( )

^{, maka}

γopt dari masalah reduksi orde model sistem LPV berada pada interval

[

γlb ^, γub

]

,

dengan 1

( ( ) )

1,..,

lb max k i

i L

γ σ ₊ T s

= = dan

1

ˆ 2

n

ub j

j k

γ σ

= +

=

∑

^{, γlb dan γub berturut-}

turut menotasikan batas bawah dan batas atas dari γ_opt. Sehingga didapat kondisi awal dari barisan alternating projection yang berada dalam lingkungan kekonvergenan dari solusi feasible, yaitu _{0 ub}ˆ ¹ dan ₀ 1 ˆ

ub

X γ Y

− γ

= Σ = Σ .

IV.2 Penerapan Metode Alternating Projection pada Masalah Reduksi Orde Model

Subbab ini akan mengulas penerapan metode alternating projection pada masalah reduksi orde model sistem LPV sebagaimana telah dirumuskan dalam subbab III.1 dan III.3. Berdasarkan Teorema III.1, untuk mendapatkan bentuk model tereduksi perlu dicari pasangan matriks X Y, ∈ ^{n n×} yang definit positif dan simetri yang memenuhi kendala-kendala LMI (III.40) – (III.43). Pasangan matriks X Y, ∈ ^{n n×} tersebut akan dicari dengan menggunakan metode alternating projection.

Untuk suatu matriks X Y, ∈ ^{m n×} , didefinisikan norm dan hasil kali dalam Frobenius sebagai

^{X Y, : Tr=}

( )

^{X YT ,}

1 2

1 1

:

m n F ij

i j

X x

= =

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢⎣

∑∑

⎥⎦ ^.

Selanjutnya didefinisikan himpunan-himpunan kendala yang bersesuaian dengan kendala-kendala (III.40) – (III.43) dalam Teorema III.1 sebagai berikut.

₁ : ,

T

i i i

n n

a T

i

A X XA XB

C X X I I

B X I

δ δ

γ

⎧ × ⎡ + ⎤ ⎫

⎪ ⎢ ⎥ ⎪

=⎨ ∈ ≥ ≤ − ⎬

⎢ − ⎥

⎪ ⎣ ⎦ ⎪

⎩ ⎭

,

₁ : ,

T T

n n i i i

b

i

A Y YA C

C Y Y I I

C I

δ δ

γ

⎧ × ⎡ + ⎤ ⎫

⎪ ⎪

=⎨ ∈ ≥ ⎢ ⎥≤ − ⎬

⎢ − ⎥

⎪ ⎣ ⎦ ⎪

⎩ ⎭

,

2:

(

,

)

^{n n n} 0

n

X I

C X Y

I Y

⎧ × ⎡ ⎤ ⎫

⎪ ⎪

=⎨ ∈ ⎢ ⎥≥ ⎬

⎣ ⎦

⎪ ⎪

⎩ ⎭,

3:

(

,

)

^{n n} rank ⁿ

n

X I

C X Y n k

I Y

⎧ × ⎡ ⎤ ⎫

⎪ ⎪

=⎨ ∈ ⎢ ⎥≤ + ⎬

⎣ ⎦

⎪ ⎪

⎩ ⎭,

dengan δ >0 adalah bilangan yang sangat kecil, sehingga semua kendala diatas berupa himpunan tutup.

Metode alternating projection memerlukan ekpresi ekplisit rumus masing-masing proyeksi pada tiap himpunan kendala diatas. Berikut pembahasan tentang rumus masing-masing proyeksi pada tiap himpunan kendala.

Diberikan X Y^{ˆ ˆ}, ∈ ^{n n×} . Proyeksi orthogonal 1

( )

ˆ

Ca

P X pada himpunan C _1a dihitung melalui masalah minimisasi

1

( )

1

* ˆ arg min ˆ

a a

C X C F

X P X X X

= = ∈ − . (IV.11) Masalah minimisasi tersebut dapat diubah kedalam bentuk masalah optimisasi LMI dengan mendefinisikan variabel baru Z [3], yaitu

^:

(

^,

)

^{ˆ 0}

ˆ

n n n n

XZ

Z X X

S X Z

X X I

× ×

⎧ ⎡ − ⎤ ⎫

⎪ ⎪

=⎨ ∈ × ⎢ ⎥≥ ⎬

⎢ − ⎥

⎪ ⎣ ⎦ ⎪

⎩ ⎭

.

Demikian juga proyeksi orthogonal 1

( )

ˆ

Cb

P Y pada himpunan C dihitung melalui _1b masalah minimisasi

1

( )

1

* ˆ arg min ˆ

b

b

C Y C F

Y P Y Y Y

= = ∈ − . (IV.12) Masalah minimisasi tersebut dapat diubah kedalam bentuk masalah optimisasi LMI dengan mendefinisikan variabel baru Z [3], yaitu

^:

(

^,

)

^{ˆ 0}

ˆ

n n n n

YZ

Z Y Y

S Y Z

Y Y I

× ×

⎧ ⎡ − ⎤ ⎫

⎪ ⎪

=⎨ ∈ × ⎢ ⎥≥ ⎬

⎢ − ⎥

⎪ ⎣ ⎦ ⎪

⎩ ⎭

.

Ekspresi eksplisit proyeksi pada himpunan kendala C diberikan oleh lemma ₂ dibawah ini [17].

Lemma IV.7 Diberikan X Y^{ˆ ˆ}, ∈ ^{n n×} , misalkan Y^ˆ−X^ˆ = ΛL L^T adalah dekomposisi nilai eigen dari ˆY−Xˆ . Proyeksi orthogonal 2

( )

ˆ ˆ,

PC X Y pada himpunan C diberikan oleh ₂

^Y*=

(

^{Yˆ+ + ΛXˆ L +LT}

)

^2,

^X*=

(

^{Yˆ+ − ΛXˆ L +LT}

)

². (IV.13)

Dengan Λ adalah matriks diagonal yang didapat dengan mengganti nilai-nilai ₊ eigen negatif dari Λ dengan nol.

Bukti :

Karena Y^*−X^*= ΛL ₊L^T ≥ maka 0

(

^X*,Y*

)

^∈C2 . Selanjutnya, untuk setiap

(

X Y1, 1

)

∈C2,

( )( ) ( )( )

* *

* *

1 1

* *

* *

1 1

* * * *

1 1

ˆ ˆ

ˆ , ˆ

ˆ ˆ

=

T

X X X X

X X X X

Tr

Y Y Y Y

Y Y Y Y

Tr X X X X Y Y Y Y

⎛ ⎞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ − ⎤ ⎢ − ⎥ = ⎜⎡ − ⎤ ⎢ − ⎥⎟

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟

⎢ − ⎥ − ⎜⎢ − ⎥ − ⎟

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎠

⎡ − − + − − ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )( )

( )( )

* * * *

1 1

1 1

1

ˆ ˆ

= 2

ˆ ˆ

= 2

=

T T

T

Tr Y X Y X Y X Y X

Tr Y X L L Y X L L

Tr L L Y L

+ +

+

⎡ − − + − − + ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ − − Λ − − Λ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Λ − Λ

( ) ( )

1 1 1

1 1

2 = 2

0 ,

T T T

T

L X L L Y L L X

Tr L L Y X

+ +

+

⎡ + Λ + Λ ⎤

⎣ ⎦

⎡ Λ − Λ − ⎤

⎣ ⎦

≤

karena Λ − Λ ≤₊ 0 dan Y₁−X₁≥ . 0 Jadi

^{* 1 *}

(

_{1 1}

)

₂

*

* 1

ˆ

, 0 ,

ˆ

X X

X X

X Y C

Y Y Y Y

⎡ ⎤

⎡ − ⎤ −

⎢ ⎥ ≤ ∀ ∈

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥ −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

,

sehingga berdasarkan Lemma IV.1, X^*,Y^* adalah proyeksi orthogonal ˆ ˆX Y , pada C . ₂

Selanjutnya rumus proyeksi pada himpunan kendala C diberikan oleh lemma ₃ dibawah ini [17].

Lemma IV.8 Diberikan X Y^{ˆ ˆ}, ∈ ^{n n×} dan ˆY−Xˆ = ∑U V^T adalah dekomposisi nilai singular dari ˆY− . Misalkan Xˆ ∑ adalah matriks diagonal yang didapat dari _k

mengganti

(

^{n k−}

)

nilai singular terkecil dari ∑ dengan nol. Proyeksi orthogonal

( )

3

ˆ ˆ,

PC X Y pada himpunan C diberikan oleh ₃

^Y*=

(

^{Yˆ+ + ∑Xˆ U kVT}

)

^2,

^{X* =}

(

^{Yˆ+ − ∑Xˆ U kVT}

)

². (IV.14)

Bukti :

Untuk setiap X Y, ∈C₃ didapat Y−X = ∑%U% V% untuk suatu ,^T U V% % dan ∑%

dengan rank

( )

^{∑ ≤% k.}

Untuk membuktikan ^{X* =}

(

^{Yˆ+ − ∑Xˆ U kVT}

)

², didefinisikan fungsi

( )

ˆ 2

: ˆ ^T

F

X X f X

Y X U V

= −

− − ∑%% % .

Karena ^f''

( )

^{X ≥ , maka 0 f X}

( )

adalah fungsi konveks [19]. Lebih lanjut,

( )

f X mencapai minimum pada ^{X% =}

(

^{Yˆ+ − ∑%Xˆ U% V%T}

)

² dengan nilai minimum ^{f X}

( )

^{% =1 ˆ}₂ ^{Y− − ∑%Xˆ U% V%T 2}_F^.

Matriks yang paling dekat dengan ˆY− dan yang mempunyai rank Xˆ ≤k adalah

T

U∑kV . Sehingga dengan memilih U% =U, V%=V dan ∑ = ∑% _k didapat X% = X* . Jadi ^X*=

(

^{Yˆ+ − ∑Xˆ U kVT}

)

² adalah proyeksi orthogonal

ˆ pada 3

X C .

Selanjutnya untuk membuktikan ^{Y* =}

(

^{Yˆ+ + ∑Xˆ U kVT}

)

², didefinisikan fungsi

( )

ˆ 2

: ˆ ^T

F

Y Y f Y

X Y U V

= −

− + ∑%% % .

Karena ^f''

( )

^{Y ≥ , maka 0 f Y}

( )

adalah fungsi konveks [19]. Lebih lanjut, ^{f Y}

( )

mencapai minimum pada ^Y%=

(

^{Yˆ+ + ∑%Xˆ U% V%T}

)

² dengan nilai minimum

( )

^{1 ˆ ˆ 2}

2

T F

f Y% = Y− − ∑%X U% V% .

Matriks yang paling dekat dengan ˆY− dan yang mempunyai rank Xˆ ≤k adalah

T

U∑kV . Sehingga dengan memilih U% =U, V%=V dan ∑ = ∑% _k didapat Y%=Y*. Jadi ^{Y* =}

(

^{Yˆ+ + ∑Xˆ U kVT}

)

² adalah proyeksi orthogonal Y% pada C₃.

IV.3 Algoritma Reduksi Orde Model

Setelah didapatkan nilai awal barisan alternating projection dan ekpresi ekplisit rumus masing-masing proyeksi pada tiap himpunan kendala, maka dapat disusun algoritma reduksi orde model sistem LPV dengan menggunakan metode alternating projection sebagai berikut.

1. Pilih suatu ε sebagai batas toleransi kesalahan reduksi.

2. Definisikan sistem LPV politop

(

A B C Di^, i^, i^, i

)

^, i=^1...L. 3. Cari balanced realization dari sistem

(

^{A B C D}_i^, _i^, _i^, _i

)

^{, i=1...L.}

4. Cari matriks Σˆ , γ_ub, γ_lb. 5. Hitung _{0 ub}ˆ ¹, ₀ 1 ˆ

ub

X γ Y

− γ

= Σ = Σ .

6. Uji apakah γ_ub−γ_lb ≤ . Jika ε γ_ub −γ_lb ≤ , maka proses selesai, lanjut ke ε langkah 11. Jika γ_ub−γ_lb > lanjut ke langkah 7. ε

7. Lakukan biseksi

2

lb ub

γ γ γ = ⁺ .

8. Lakukan prosedur alternating projection sebagai berikut : 8.a Cari 1 ₁

( )

0

Ca

X =P X dengan menyelesaikan masalah feasibility X

dalam

(

^,

)

^{ˆ 0}

ˆ

n n n n Z X X

X Z

X X I

× ×

⎧ ⎡ − ⎤ ⎫

⎪ ∈ × ⎢ ⎥≥ ⎪

⎨ ⎬

⎢ − ⎥

⎪ ⎣ ⎦ ⎪

⎩ ⎭

.

8.b Cari 1 ₁

( )

0 Cb

Y =P Y dengan menyelesaikan masalah feasibility Y

dalam

(

^,

)

^{ˆ 0}

ˆ

n n n n Z Y Y

Y Z

Y Y I

× ×

⎧ ⎡ − ⎤ ⎫

⎪ ∈ × ⎢ ⎥≥ ⎪

⎨ ⎬

⎢ − ⎥

⎪ ⎣ ⎦ ⎪

⎩ ⎭

.

8.c Cari X₂ dan Y dengan ₂

₂ ^{1 1} , ₂ ^{1 1}

2 2

T T

Y X L L Y X L L

X = + − Λ⁺ Y = + + Λ⁺ . 8.d Cari X₃ dan Y dengan ₃

₃ ^{2 2} , ₃ ^{2 2}

2 2

T T

k k

Y X U V Y X U V

X = + − Σ Y = + + Σ .

9. Uji apakah X Y₃, ₃ konvergen. Jika X Y₃, ₃ konvergen, set

0 3 0 3

, ,

ub X X Y Y

γ =γ = = . Jika X Y tidak konvergen, set ₃, ₃ γ_lb = . γ 10. Kembali ke langkah 6.

11. Cari matriks N yang memenuhi Y−X =NN^T. 12. Cari bentuk model tereduksi dari persamaan (III.44)

Secara skema, algoritma diatas dapat digambarkan sebagai berikut :