Penggunaan
Penggunaan
Transformasi
Transformasi
–
–
z
z
pada
pada
Analisa
Analisa
Respon
Respon
Frekuensi
Frekuensi
Sistem
Sistem
FIR
FIR
Oleh
Oleh
:
:
Tri Budi Santoso
Tri Budi Santoso
E
konsep
konsep
pemikiran
pemikiran
“
“
domains of representation
domains of representation
”
”
Domain-n (discrete time):
Sequence, impulse response, persamaan beda
Domain-w
Freq. Response, spectral representation
Domain-z
Operator dan pole-zero
Apabila suatu kasus sulit dipecahkan pada suatu domain tertentu,
maka transformasi ke domain yang lain akan mudah menyelesaikannya.
1.
1.
Definisi
Definisi
Transformasi
Transformasi
–
–
z
z
domain
domain
-
-
n
n
domain
domain
-
-
z
z
x[n
x[n
] = d[n
] = d[n
-
-
n
n
0
0
]
]
X
(
z
)
=
z
−
n
0[ ] [
]
∑
=−
=
N kk
n
k
x
n
x
0]
[
δ
[ ]
[ ]
( )
∑
∑
= − = −=
=
N k k N kz
k
x
z
k
x
z
X
0 1 0 1)
(
z
z
Proses
Proses
pengolahan
pengolahan
audio
audio
secara
secara
digital:
digital:
--
analisis
analisis
langsung
langsung
sulit
sulit
:
:
Æ
Æ
transformasi
transformasi
z
z
untuk
untuk
mendapat
mendapat
analitis
analitis
mudah
mudah
dengan
dengan
operasi
operasi
aljabar
aljabar
(domain
(domain
-
-
z)
z)
--
analisis
analisis
frekuensinya
frekuensinya
Æ
Æ
dalam
dalam
domain
domain
-
-
w
w
--
implementassinya
implementassinya
:
:
Æ
Contoh
Contoh
1:
1:
Dapatkan bentuknya dalam domain z
Penyelesaian:
Ditabelkan….
]
4
[
2
]
3
[
4
]
2
[
6
]
1
[
4
]
[
2
]
[
n
=
n
+
n
−
+
n
−
+
n
−
+
n
−
x
δ
δ
δ
δ
δ
0
0
2
4
6
4
2
0
0
x[n]
n>5
5
4
3
2
1
0
-1
n<-1
n
Untuk domain – z akan didapatkan sebagai:
4
3
2
1
2
4
6
4
2
)
(
z
=
+
z
−
+
z
−
+
z
−
+
z
−
H
Contoh
Contoh
2:
2:
Diketahui
Diketahui
suatu
suatu
sistem
sistem
dalam
dalam
domain
domain
-
-
z
z
memiliki
memiliki
bentuk
bentuk
seperti
seperti
berikut
berikut
:
:
z
z
Penyelesaian
Penyelesaian
:
:
Dengan
Dengan
cara
cara
yang
yang
sama
sama
akan
akan
kita
kita
dapatkan
dapatkan
bentuk
bentuk
sebagai
sebagai
berikut
berikut
:
:
5 3 1
2
3
2
1
)
(
z
=
−
z
−+
z
−−
z
−H
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
=
−
=
=
=
=
−
=
<
=
5
1
4
0
3
3
2
0
1
2
0
1
0
0
]
[
n
n
n
n
n
n
n
n
x
Kita dapati bentuk dalam domain-n sebagai:
]
5
[
]
3
[
3
]
1
[
2
]
[
]
[
n
=
n
−
n
−
+
n
−
−
n
−
x
δ
δ
δ
δ
2.
2.
Transformasi
Transformasi
-
-
z
z
pada
pada
Suatu
Suatu
Filter FIR
Filter FIR
Suatu
Suatu
filter FIR
filter FIR
dalam
dalam
persamaan
persamaan
beda
beda
:
:
∑
=−
=
M k kx
n
k
b
n
y
0]
[
]
[
yang merupakan operasi konvolusi y[n]=x[n]*h[n]
Mengapa ???
Dalam hal ini penjelasannya adalah:
h[n] = b
k= b
n; yang merupakan
koefisien-koefisien
=
∑
−
M kn
k
b
n
h
[
]
δ
[
]
Jika x[n]=z
nberlaku untuk semua nilai n, maka:
∑
∑
∑
∑
= = − − = =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
=
−
=
M k n M k k k k n k M k M k k k kz
z
b
z
z
b
n
y
z
b
k
n
x
b
n
y
0 0 0 0]
[
]
[
]
[
System Function
Filter
∑
∑
−
=
−
=
M
k
M
k
k
z
k
h
z
b
z
H
(
)
[
]
Maka:
[
]
∑
∑
= − ==
−
=
M k k k M k kn
k
H
z
b
z
b
n
h
0 0)
(
)
(
δ
sehingga:
n
n
z
z
H
z
n
h
n
y
[
]
=
[
]
*
=
(
)
Contoh
Contoh
3
3
Suatu filter FIR dinyatakan sebagai:
]
2
[
]
1
[
]
[
6
]
[
n
=
x
n
−
x
n
−
+
x
n
−
y
Dapatkan bentuk dalam domain-z dan nilai zeronya
Penyelesaian:
Dengan cara yang sama dengan logika pada contoh 1
maka didapatkan bentukdalam domain–z sebagai berikut:
(
1)(
1)
2 2 12
1
3
1
6
2
3
5
6
)
(
z
z
z
z
z
z
z
z
H
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
−
=
+
−
=
− − − −Dengan mengacu pada bentuk terakhir persamaan diatass,
didapatkan bahwa nilai zero terjadi pada z = 1/3 dan z = ½
Contoh
Contoh
4:
4:
Suatu filter FIR memiliki system function dalam domain–n sebagai berikut:
]
3
[
3
]
2
[
7
]
[
]
[
n
=
n
−
n
−
−
n
−
h
δ
δ
δ
Dapatkan representasinya dalam domain-z.
Penyelesaian:
Dengan cara yang sama kita dapatkan bentuk domain-z sebagai:
3
2
3
7
1
)
(
z
=
−
z
−
−
z
−
H
Contoh
Contoh
5:
5:
Dapatkan bentuk respon impulse suatu filter FIR dengan system function
yang direpresentasikan dalam domain–z sebagai berikut:
(
1)(
1)(
1)
8
,
0
1
1
1
4
)
(
z
=
−
z
−+
z
−+
z
−H
Penyelesaian:
(
)(
)
(
)(
)
(
)
]
3
[
2
,
3
]
2
[
4
]
1
[
2
,
3
]
[
4
)
(
2
,
3
4
2
,
3
4
8
,
0
8
,
0
1
4
8
,
0
8
,
1
1
1
4
8
,
0
8
,
0
1
1
4
)
(
3
2
1
3
2
1
2
1
1
2
1
1
1
−
−
−
−
−
+
=
−
−
+
=
−
−
+
=
+
+
−
=
+
+
+
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
n
n
n
n
n
H
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
H
δ
δ
δ
δ
3.
3.
Transformasi
Transformasi
-
-
z
z
sebagai
sebagai
Suatu
Suatu
Operator Unit Delay
Operator Unit Delay
Dalam domain waktu, unit-delay operator D didefinisikan sebagai:
y[n] = D{x[n]}= x[n-1]
semua tahu kalau x[n]=z
nbagi semua nilai n
maka:
[ ]
{ }
{ }
]
[
]
[
1
1
1
n
x
z
z
z
z
z
D
n
x
D
n
y
n
n
n
−
−
−
=
=
=
=
=
maka:
y[n]=z
-1{x[n]}=x[n-1]
Notasi
Notasi
Operator
Operator
y[n]=x[n]-x[n-1] Î dikenal sebagai “first difference” case
Operator dalam transformasi-z:
(
z
)
{ }
x
[ ]
n
n
Diagram
Diagram
Blok
Blok
x[n]
Unit Delay
y[n]
X(z)
z
-1X(z)
z
-1Realisasi untuk first difference y[n] = b0x[n] + b1x[n-1] Adalah dalam bentuk seperti dibawah ini
x[n]
x[n-1]
y[n]
b
04.
4.
Hubungan
Hubungan
antara
antara
domain
domain
-
-
z
z
dan
dan
domain
domain
-
-
ω
ω
dalam hal ini kita tetapkan
sebagai besaran frekuen dalam satuan radian
ω
ω
ω
=
s=
ˆ
ω ω ωω
ω
j e z j M k k k M k k j kz
H
e
H
H
z
b
z
H
e
b
H
= = = −=
=
=
⇔
=
∑
∑
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0 0maka formulasinya kita dapatkan sebagai
Jika suatu sinyal input z
nmasuk ke suatu filter LTI,
outputnya adalah y[n]=H(z)z
nJika nilai
k je
z
=
ω ω je
z
=
maka
y
[
n
]
=
H
( )
e
j
ω
e
j
ω
n
Bidang
Bidang
-
-
z
z
dan
dan
Unit Circle
Unit Circle
• Respon frekuensi periodik dengan periode 2π,sehingga kita perlu
melakukan evaluasi sepanjang satu periode
−π<ω<π
• Kita miliki nilai z
Æ 1 satuan magnitudo
Æ
ω bervariasi dari −π sampai π
nilai
z
=
e
jωÆ ada di suatu circle (lingkaran) dengan radius 1
Æ disebut sebagai “unit circle”
Matlab Command:
zplane(0.5*sqrt(2)+j*0.5*sqrt(2),0) grid
Zero
Zero
dan
dan
Pole
Pole
pada
pada
H(z
H(z
)
)
Suatu filter FIR dicirikan oleh nilai-nilai zero-nya.
Misal sebuah filter FIR memiliki system function dalam domain-z sebagai berikut:
3 2 1
2
2
1
)
(
z
=
−
z
−+
z
−−
z
−H
Bagimana lokasi zero dan pole pada sistem ini?
Persamaan system function diatas dapat dimodifikasi:
(
1)(
/3 1)(
/3 1)
3 2 11
1
1
2
2
1
)
(
− − − − − − −−
−
−
=
−
+
−
=
z
e
z
e
z
z
z
z
z
H
j jπ πBisa juga dengan cara lain
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
3 3 / 3 / 3 2 3 3 3 3 2 1 3 31
1
2
2
2
2
1
)
(
z
e
z
e
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
H
j jπ − π − − −−
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
×
Kita ketahui lokasi zero adalah
3 / 3 /
,
,
1
z
e
jπz
e
jπz
=
=
=
− atau z3 = z2*Î komplek konjugate Nilai z dimana H(z) = infinite disebutsebagai pole pada H(z), maka dalam hal ini pole terletak di z=0
Matlab Command:
B=[1;exp(j*pi/3);exp(-j*pi/3)]; A=[0;0;0];
zplane(B,A) grid
zero
Nulling
Nulling
Filter
Filter
Jika pada bidang-z hanya mampu me-nol-kan sinyal dengan bentuk khusus x[n] = z0n
Sehingga untuk me-nol-kan input x[n] = cos(ω0n) kita perlu proses cascade sebab:
( )
j n j ne
e
n
n
x
0 02
1
2
1
cos
]
[
=
ω
0=
ω+
− ωMasing-masing eksponensial komplek ini dapat dibuang (di-nol-kan) dengan suatu first-order FIR filter, sehingga perlu dua filter first order untuk me-nol-kan sinyal cos(ω0n).
Maka filter yang dibutuhkan:
memiliki dua zero pada
sebagai second order FIR filter
n j n j
e
z
dan
e
z
0 0 2 1 ω ω=
−=
Sinyal z
1nÆ dinolkan oleh
( )
( )
( )
( )
0
1
1
z
z
1
z
H
z
z
pada
0
z
H
z
z
-1
z
H
1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 1=
−
=
−
=
=
=
=
−Sinyal z
2nÆ dinolkan oleh H
2
(z) = 1- z
2nz
-1Maka nulling filter second order akan memiliki bentuk:
( )
( ) ( )
(
)(
)
(
)
(
)
(
) (
)
( )
-1 -2 2 -j -j 1 -j -j 2 -2 1 1 -2 1 1 -2 1 -1 2 1z
z
cos
2
1
z
e
e
z
e
e
1
z
z
z
z
z
z
1
z
z
-1
z
z
-1
z
H
z
H
z
H
0 0 0 0+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
=
=
ω
ω ω ω ωZero terjadi pada nilai
z
=
e
±
j
π
/
4
Persamaan diatas
( )
( )
2 1 -2 -1 02
1
z
z
cos
2
1
z
H
− −+
−
=
+
−
=
z
z
ω
Sehingga filter ini akan me-nol-kan sinyal cos(0,25π) dari
suatu input yang masukke FIR filter yang memiliki bentuk
dalam persamaan beda sebagai berikut:
]
2
[
]
1
[
2
]
[
]
[
n
=
x
n
−
x
n
−
+
x
n
−
y
Relasi
Relasi
secara
secara
Grafik
Grafik
bidang
bidang
-
-
z
z
dengan
dengan
bidang
bidang
-
-
ω
ω
Suatu FIR filter dengan system function sebagai berikut:
( )
∑
= −=
10 0 k kz
z
H
– punya zero yang terletak di unit circle, yaitu ω = 2πk/11 Æ untuk nilai k =1,2,…10 – pole di z = 0
( )
(
)(
) (
)
11 / 1 11 / 20 1 11 / 4 1 11 / 2.
1
....
1
1
k j k j k j j je
e
z
z
e
z
e
z
e
z
H
π ω π π π − − − − − − − − −=
→
−
−
−
=
w=-pi:.01:pi;H_w = 1 + exp(-j*w) + exp(-j*w*2) + exp(-j*w*3)+ exp(-j*w*4)+ exp(-j*w*5)+ exp(-j*w*6)+ exp(-j*w*7)+ exp(-j*w*8)+ exp(-j*w*9)+ exp(-j*w*10);
plot(0.5*w/pi,abs(H_w),'linewidth',2)
Memiliki zero yang tersebar di 10 titik secara uniform pada unit circle dalam bidang-z. Dalam bidang−ω Æ respon frekuensinya adalah sbb:
5.
5.
Band Pass Filter
Band Pass Filter
Sebelum kita masuk ke band pass filter, kita bicara dulu
yang namanya running-sum filter.
L-Point Running Sum Filter Bentuk umum:
∑
− =−
=
1 0]
[
]
[
L kk
n
x
n
y
Memiliki fungsi system sebagai:
∑
− = −=
1 0]
[
L k kz
z
H
Suatu deret geometri
)
1
(
1
1
1
)
(
1 1 0−
−
=
−
−
=
=
− −− = −∑
z
z
z
z
z
z
z
H
L L L L k kNumerator
(pembilang)
Denumerator
(penyebut)
(1)Juga dikenal sebagai
“the L-th roots of unity”
Zero pada H(z):
z
-L-1 =0 Î z
L=1
Juga dikenal sebagai
“the L-th roots of unity”
dengan e
j2πk=1 untuk nilai k integer
maka z = e
j2πk/Luntuk k=0,1,2,…..L-1
Pada denominator 0 terjadi pada z = 0 atau z = 1
Karena akar ke-L adalah satu satuan z = 1, maka zero pada numerator yangmeng-cancell yang terjadi pada z = 1. Sehingga pole pada z = 0.
Persamaan system function bisa ditulis kembali sebagai:
(
)
∏
∑
− −=
−−
−=
1 2 / 1 11
)
(
L L k j L kz
e
z
z
H
π
(2) (3) (4)Misal pada kasus dimana L=10, system function ini menjadi
)
1
(
1
1
1
)
(
9 10 1 10 9 0−
−
=
−
−
=
=
−− = −∑
z
z
z
z
z
z
z
H
k k (5)Dari persamaan (5) akan menghasilkan 10 titik zero yang tersebar secara uniform pada lingkaran (diagram-z) sesuai dengan z = ej2πk/L untuk nilai k = 0,1,2,…9.
Karena suatu kondisi untuk z=1 antara pole dan zero saling meng-cancell (menghilangkan) maka tidak muncul dalam bidang–z.
Matlab Code: B=[exp(j*2*pi/10);exp(j*4*pi/10);exp(j*6*pi/10);exp(j*8*pi/10);exp(j*10*pi/10);exp(j*12* pi/10);exp(j*14*pi/10);exp(j*16*pi/10);exp(j*18*pi/10)]; A=[0;0;0;0;0;0;0;0;0]; figure(1) zplane(B,A) grid title('bidang-z') w=-pi:.01:pi;
H_w = 1 + exp(-j*w) + exp(-j*w*2) + exp(-j*w*3)+ exp(-j*w*4)+ exp(-j*w*5) + exp(-j*w*6)+ exp(-j*w*7)+ exp(-j*w*8)+ exp(-j*w*9);
Suatu
Suatu
Band Pass Filter
Band Pass Filter
Komplek
Komplek
Pada LPF posisi w=0 digeser sehingga polenya bergeser.
Saat Æ bandpass filter System function menjadi:
0
≠
ω
(
)
∏
− ≠ = −−
=
1 1 1 / 21
)
(
L ko k k L k jz
e
z
H
π (6) k0 menunjukkan kondisiz
=
e
j2πk / Lz
−1 dihindari Î tidak munculMisal disini k0 = 2, dan L =10 akan memberikan: Interval
L
k
02
π
ω
=
Matlab Code: B=[1;exp(j*2*pi/10);exp(j*6*pi/10);exp(j*8*pi/10);exp(j*10*pi/10);exp(j*12*pi/10); exp(j*14*pi/10);exp(j*16*pi/10);exp(j*18*pi/10)]; A=[0;0;0;0;0;0;0;0;0]; figure(1) zplane(B,A) grid title('bidang-z') w=-pi:.01:pi;
H_w = (1 - exp(j*0*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*3*pi/10-j*w)). *(1 - exp(j*2*4*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*5*pi/10-j*w)). *(1 - exp(j*2*6*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*7*pi/10-j*w)). *(1 - exp(j*2*8*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*9*pi/10-j*w)) ; figure(2) plot(0.5*w/pi,abs(H_w),'linewidth',2) grid
Perhatikan Persamaan (6) yang telah diberikan
diatas…
- efektif untuk melihat respon frekuensi
- tidak efektif untuk mencari koefisien-koefisien
pada Band Pass Filter
Solusinya ????...
Solusi 1: Suatu Operator Baru H(z) = G(z/r)
Solusi 1: Suatu Operator Baru H(z) = G(z/r)
Misal G(z) = z
2-3z + 2 = (z-2)(z-1)
2 2 2 2 2)
)(
2
(
2
3
2
3
)
(
r
r
z
r
z
r
r
rz
z
r
z
r
z
r
z
G
z
H
−
−
=
+
+
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2 Akar pada H(z) adalah
z=2r dan z=r.
Pada kasus BPF G(z)Îrunning-sum system function:
∑
− = −
=
1 0 1)
(
L kz
z
G
Perkalian dengan eksponensial komplek, menghasilkan perputaran sudut
dengan e
j2πko/LÎ perputaran (pergeseran) sebesar j2πko/L
∑
− = − −=
=
=
1 0 / 2 / 2 0 0)
(
)
2
(
)
(
L k L k k j k L k je
z
ze
G
z
G
z
H
π πsehingga koefisien-koefisien pada bandpass filter komplek adalah:
L
k
k
j
k
e
b
=
2
π
0/
untuk nilai k=0,1,2,…L-1
(7)Solusi 2: Dengan Menghitung Secara Langsung
(
)
(
j(
k L)
)
L k k L k j L k k j L k k j je
G
e
e
e
e
H
/ 2 ˆ 1 0 / 2 ˆ 1 0 ˆ / 2 ˆ 0 0 0)
(
π ω π ω ω π ω − − − = − − − = −=
=
=
∑
∑
(8)Persamaan (8) menunjukkan respon frekuensi pada persamaan (7)
yang tergeser dengan nilai sebesar 2πko/L
Suatu
Suatu
Band Pass Filter
Band Pass Filter
dengan
dengan
Koefisien
Koefisien
-
-
Koefisien
Koefisien
Real
Real
Bagaimana cara mendesain dengan koefisien-koefisien tidak komplek???
Band Pass Filter koefisien real
Î k=0,1,2,…L-1
Ekspansi z-kdalam terminologi komplek eksponensial memberikan:
)
/
2
cos(
k
0k
L
b
k=
π
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
)
/
2
cos(
)
(
1 0 / 2 1 0 / 2 1 0 / 2 / 2 1 0 0 0 0 0 0e
z
e
z
e
e
z
z
L
k
k
z
H
L k L k k j k L k L k k j k L k L k k j L k k j k L k k+
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
=
∑
∑
∑
∑
− = − − − = − − = − − − = − π π π ππ
H1(z): BPF complek dengan center freq di 2πk0/L H1(z): BPF complek dengan center freq di -2πk0/L Untuk k0 = 2 dan L = 10, respon frekuensinya
Matab Code B=[cos(0.4*pi);1;exp(j*2*pi/10);exp(j*6*pi/10);exp(j*8*pi/10);exp(j*10*pi/10); exp(j*12*pi/10);exp(j*14*pi/10);exp(j*18*pi/10)]; A=[0;0;0;0;0;0;0;0;0]; figure(1) zplane(B,A) grid title('bidang-z') w=-pi:.01:pi;
H1_w = (1 - exp(j*0*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*3*pi/10-j*w)). *(1 - exp(j*2*4*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*5*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*6*pi/10-j*w)). *(1 - exp(j*2*7*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*8*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*9*pi/10-j*w)) ;
H2_w = (1 - exp(-j*0*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*3*pi/10-j*w)). *(1 - exp(-j*2*4*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*5*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*6*pi/10-j*w)). *(1 - exp(-j*2*7*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*8*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*9*pi/10-j*w)) ; H_w = 0.5*H1_w + 0.5*H2_w;
ada 2 peak (puncak) pada
