EFEKTIFITAS PENGGUNAAN LEMBAR KERJA MAHASISWA DALAM MENINGKATKAN PEMAHAMAN DAN PENALARAN MATEMATIS.

(1)

M OD UL D AN LEM BAR KERJA M AH ASI SW A

ANALISIS REAL I

Disusun Oleh :

Luh Putu Ida Harini

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

(2)

ii

IDENTITAS MAHASISWA PESERTA MATA KULIAH

ANALISIS REAL I

Tahun Ajaran 2012/2013

Nama

:______________________________

(3)

iii

LEMBAR PENILAIAN PENGUASAAN MATERI LKM

BAB NILAI KETUNTASAN

MATERI

KETERANGAN TANDA

TANGAN

I

II

III

(4)

iv

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, karena

atas berkat rahmat-Nya ringkasan modul yang berjudul

Modul dan Lembar Kerja

Mahasiswa Analisis Real i

dapat diselesaikan dengan baik. Modul ini digunakan

sebagai bahan ajar sekaligus bahan penugasan bagi mahasiswa Jurusan

Matematika FMIPA Universitas Udayana yang sedang mengambil mata kuliah

Analisis Real I.

Modul ini terdiri atas lima bab yaitu Bab 0 Metode-metode dalam

pembuktian, Bab 1 Sistem Bilangan Real, Bab 2 Barisan Bilangan Real, Bab 3

Limit Fungsi dan Bab 4 Relasi Rekursif. Pada awal sub bab akan disajikan

beberapa definisi dan materi, sedangkan bagian selanjutnya diteruskan dengan

contoh-contoh soal dan soal latihan yang wajib diselesaikan oleh setiap

mahasiswa. Dengan modul ini diharapkan proses pembelajaran menjadi lebih

terarah dan menumbuhkan keaktifan serta kemandirian siswa dalam belajar baik

didalam kelas maupun di luar kelas.

Penulis menyadari tulisan ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis

(5)

v

September, 2012

(6)

vi

DAFTAR ISI

COVER ...

i

IDENTITAS MAHASISWA

ii

LEMBAR PENILAIAN MAHASISWA

iii

KATA PENGANTAR ...

iv

DAFTAR ISI ...

v

PENDAHULUAN

1

BAB 0. METODE-METODE PEMBUKTIAN ………

5

BAB I. SISTEM BILANGAN REAL ...

16

BAB II. BARISAN BILANGAN REAL ...

52

BAB III. LIMIT FUNGSI ...

78

BAB IV. KEKONTINUAN FUNGSI ...

93

(7)

1

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

PENDAHULUAN

A. MANFAAT MATA KULIAH

Mata kuliah Analisis Real I merupakan mata kuliah wajib yang harus

diambil oleh semua mahasiswa jurusan matematika. Mata kuliah ini

tergolong mata kuliah lanjut yang diperuntukan bagi mahasiswa yang

telah mengambil mata Kalkulus I dan Kalkulus II. Secara umum materi

pada mata kuliah Analisis Real I sebenarnya sudah dikenal oleh

mahasiswa yang telah mengambil kedua mata kuliah prasyarat tersebut.

Hanya saja, materi pada Analisis Real I bersifat lebih abstrak, teoritis,

dan mendalam. Analisis real merupakan alat yang esensial untuk

membentuk pola pikir kritis dan analitis sehingga nantinya dapat

digunakan, baik di dalam berbagai cabang dari matematika maupun

bidang ilmu-ilmu lain. Apabila mata kuliah ini dapat dipahami dengan

baik maka mahasiswa mempunyai modal yang sangat berharga untuk

memahami mata kuliah di bidang lain. Setelah mempelajari mata ajar

Analisis Real I mahasiswa diharapkan mempunyai kedewasaan dalam

bermatematika, yang meliputi:

1. Kemampuan berpikir secara deduktif, logis, dan runtut.

2. Kemampuan menganalisis masalah

3. Kemampuan mensintesis suatu hal yang bersifat khusus ke suatu hal

yang bersifat umum (kemampuan mengeneralisasi masalah) sehingga

dapat menyelesaikan suatu masalah yang lebih kompleks.

4. Kemampuan mengkomunikasikan penyelesaian suatu masalah secara

akurat dan rigorous.

B. DESKRIPSI PERKULIAHAN

Sebelumnya mari kita simak kata-kata bijak berikut :

“Imajinasi lebih penting daripada pengetahuan (Albert Einstein).”

Mata Kuliah Analisis Real I mempelajari pendekatan deduktif konsep

fundamental matematika yang mencakup sistem bilangan real dan

(8)

2

dikembangkan melalui konsep limit. Mata kuliah ini menetapkan tujuan

akhir agar mahasiswa memiliki kemampuan untuk dapat memahami

aturan-aturan dasar untuk memberikan justifikasi pada teori

matematika yang berkaitan dengan bilangan real dan fungsi. Selain itu

diharapkan, setelah mempelajari materi Analisis Real I, mahasiswa

mempunyai kedewasaan dalam bermatematika, yang meliputi antara lain

kemampuan berpikir secara deduktif, logis, dan runtut, serta memiliki

kemampuan menganalisis masalah dan mengomunikasikan

penyelesaiannya secara akurat dan rigorous sehingga dapat

membangkitkan kemampuan imajinasi yang lebih abstrak.

C. STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR

Standar Kompetensi: Mahasiswa mampu dalam memahami

aturan-aturan dasar untuk memberikan justifikasi pada teori matematika yang

berkaitan dengan bilangan real dan fungsi.

Kompetensi Dasar :

• Memahami sistem bilangan real dan aturan dasar yang berlaku di dalamnya.

• Memahami sifat kelengkapan bilangan real dan dapat

menggunakannya untuk menunjukkan eksistensi bilangan irrasional

dan bilangan rsional.

• Memahami konsep kekonvergenan barisan bilangan real dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya pada masalah yang memuat limit

barisan.

• Memahami konsep limit fungsi dan dapat menggu-nakannya untuk menyele-saikan masalah yang memuat limit fungsi.

• Memahami konsep fungsi kontinu dan sifat-sifatnya serta dapat menggunakannya untuk menyelesaikan masalah yang memuat fungsi

kontinu.

D. STRATEGI PERKULIAHAN

Selama masa pembelajaran berlangsung, mahasiswa diharapkan

(9)

3

dapat dilakukan dengan membuat perjanjian terlebih dahulu. Pada setiap

topik disiapkan lembar kerja mahasiswa untuk digunakan pada sesi

tatap muka. Pengerjaan lembar kerja selama proses pembelajaran bukan

dimaksudkan hanya untuk melakukan latihan soal, namun lebih penting

lagi, sebagai bagian proses membentuk pengetahuan (construction of knowledge) dan pendalaman (internalisasi) sehingga diharapkan

mahasiswa dapat aktif dalam diskusi di kelas.

Pertanyaan-pertanyaan pada lembar kerja sudah dirancang untuk

menunjang proses pembelajaran. Mahasiswa yang sudah memahami

tanpa perlu mengerjakan lembar kerja lebih lanjut dapat meneruskan

proses pembelajaran tanpa harus mengerjakan keseluruhan pertanyaan

satu demi satu. Secara singkat, selama pembelajaran mahasiswa

diharapkan ready to think, dan ready to work, tidak sekedar menjadi

pembaca atau pendengar untuk menjamin terjadinya proses

pembelajaran yang efektif.

Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari LKM ini,

ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini.

1. Bacalah dengan baik pendahuluan LKM ini sehingga Anda

memahami tujuan dalam mempelajari LKM ini dan bagaimana

menggunakannya.

2. Bacalah bagian demi bagian materi yang ada dalam LKM ini, kalau

perlu tandai kata-kata/kaliamat yang dianggap penting.

3. Pahami pengertian demi pengertian dari isi LKM ini dengan

mempelajari contoh-contohnya, dengan pemahaman sendiri, tukar

pikiran (diskusi) dengan rekan atau orang lain.

4. Kerjakan soal-soal latihan dalam LKM ini secara individu terlebih

dahulu, apabila mendapat jalan buntu, barulah Anda melihat

pekerjaan rekanan lain atau bertanya kepada pengampu mata

kuliah ini. Perlu ditekankan bahwa jawaban Anda tidak perlu sama

dengan petunjuk yang diberikan, karena kadang-kadang banyak

cara yang dapat kita lakukan dalam menyelesiakan suatu

(10)

4

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Beberapa kata mutiara dari ajaran KONFUSIUS (551 – 479 SM.) disajikan

disini: “Hidup miskin bukanlah hal yang memalukan, yang memalukan

adalah hidup miskin dan tidak mempunyai semangat yang tinggi.

Memegang posisi yang rendah tidaklah mengerikan, yang mengerikan

adalah memiliki posisi rendah dan tidak meningkatkan kemampuan

diri. Menjadi tua tidaklah menyedihkan, yang menyedihkan adalah

menjadi tua dan telah menyia-nyiakan hidupmu.”

(11)

5

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

BAB O

METODE-METODE DALAM PEMBUKTIAN

Secara kasat mata apabila dibandingkan dengan ilmu lain

matematika adalah ilmu yang terdiri atas banyak sekali simbol-simbol

yang dirangkai dengan sedikit kata sehingga katanya ”bisa membuat

rambut yang lurus jadi keriting”. Namun apa yang sebenarnya terjadi.

Matematika merupakan cabang utama dari ilmu filsafat. Yang menjadi

ibu dari segala ilmu. Matematika juga dikatakan sebagai bahasa yang

sangat universal.

Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktif

mengandalkan logika dalam meyakinkan akan kebenaran suatu

pernyataan. Proses penemuan dalam matematika dimulai dengan

pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek matematika

lainnya. Selanjutnya, semua informasi dan fakta yang terkumpul secara

individual ini dibangun suatu koherensi untuk kemudian disusun suatu

konjektur. Setelah konjektur dapat dibuktikan kebenarannya atau

ketidakbenaranya maka selanjutnya ia menjadi suatu teorema.

Pernyataan-pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan

pernyataan lainnya pada umumnya berbentuk kalimat logika, Jadi

membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan

kebenaran suatu kalimat logika. Materi logika sudah diberikan sejak di

bangku SLTA. Namun selama ini, sebagian siswa atau guru masih

menganggap logika sebagai materi HAPALAN. Tanpa menguasai logika maka sulit untuk terbentuknya apa yang disebut dengan logically

thinking.

Pola pikIr yang terbentuk pada siswa, mahasiswa, guru atau bahkan

dosen selama ini lebih dominan pada algorithm thinking atau berpikir

secara algoritma. Cara berpikir algoritmis dalam belajar matematika ini

lebih ditekankan pada memahami langkah-langkah dalam

(12)

langkah-6

langkah tersebut dapat dilakukan. Apabila algorithm thinking lebih

mendominasi maka kita akan menjadi ”robot matematika”.

Pada awalnya pekerjaan membuktikan dan memahami bukti

bukanlah sesuatu yang menarik karena kita lebih banyak bergelut

dengan simbol dan pernyataan logika ketimbang berhadapan dengan

angka-angka yang biasanya dianggap sebagai karakter matematika.

Kenyataan inilah menjadikan salah satu alasan orang malas untuk

memahami bukti dalam matematika. Alasan lainnya adalah pekerjaan

membuktikan lebih sulit dan tidak penting. Padahal banyak manfaat

yang dapat diperoleh pada pengalaman membuktikan ini, salah satunya

adalah melatih logically thinking dalam belajar matematika.

Dalam artikel making mathematics yang berjudul Proof, dijelaskan

secara rinci mengenai bukti dalam matematika yang meliputi what is

proof, why do we prove, what do we prove, dan how do we prove. Menurut

artikel tersebut, terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan,

1. to establish a fact with certainty, untuk meyakinkan bahwa apa yang

selama ini dianggap benar adalah memang benar.

2. to gain understanding, untuk mendapatkan pemahaman.

3. to communicate an idea to others, untuk menyempaikan ide kepada

orang lain.

4. for the challenge, untuk tantangan baru

5. to create something beautiful, untuk membuat sesuatu yang bersifat

indah.

6. to construct a large mathematical theory, untuk membangun teori

matematika yang lebih luas.

Metoda Pembuktian

Definisi memainkan peranan penting di dalam matematika.

Topik-topik baru matematika selalu diawali dengan membuat definisi baru.

Berangkat dari definisi dihasilkan sejumlah teorema beserta

akibat-akibatnya. Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Selanjutnya,

untuk memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan

(13)

7

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

1. Bukti langsung

Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema

yang berbentuk implikasi p⇒q. Dalam hal ini p sebagai hipotesis

digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi, dan

dengan menggunakan p kita harus menunjukkan q berlaku. Secara

logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa

pernyataan p⇒q benar dimana diketahui p benar.

Contoh A Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x2_{bilangan ganjil.}

Bukti. Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai x = 2n - 1 untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya,

x2_{= (2}_{n -}₁₎2_{= ... = 2 (2}_n2_{+ 2) +1 = 2}_m_{+ 1}_:

m

Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x2_ganjil.

2. Bukti taklangsung

Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p⇒q ekuivalen dengan

nilai kebenaran kontraposisinya ¬q⇒¬p. Jadi pekerjaan membuktikan

kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.

Contoh B Buktikan, jika x2_{bilangan ganjil maka}_x_{bilangan ganjil.}

Bukti. Pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Mari kita coba saja. Karena x2_{ganjil maka dapat ditulis}_x_{= ... untuk}

suatu bilangan asli m. Selanjutnya x = 2m+1 tidak dapat disimpulkan

apakah ia ganjil atau tidak. Sehingga bukti langsung tidak dapat

digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini adalah

”...”.

Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui

x genap, jadi dapat ditulis x = 2n untuk suatu bilangan bulat n.

Selanjutnya,

x2_{= ... = 2 (2}_n2_{) = 2}_m

m

(14)

8

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

3. Bukti kosong

Bila hipotesis p pada implikasi p⇒q sudah bernilai salah maka implikasi

p⇒q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat

menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil membuktikan

kebenaran p⇒q.

Contoh C Didalam teori himpunan kita mengenal definisi berikut :

”Diberikan dua himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan

bagian dari B, ditulis A⊂B jika pernyataan berikut dipenuhi : ”jika x∈ A

maka x∈B”.

Suatu himpunan dikatakan himpunan kosong jika ia tidak mempunyai

anggota. Buktikan, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari

himpunan apapun.

Bukti. Tanpa mengurangi keumuman bukti dimisalkan A =... suatu himpunan kosong dan B himpunan sebarang. Akan dibuktikan

bahwa pernyataan ”jika x∈ A maka x∈B” bernilai benar. Karena A

himpunan kosong maka pernyataan p yaitu x 2 A selalu bernilai salah

karena tidak mungkin ada x yang menjadi anggota himpunan kosong.

Karena p salah maka terbuktilah kebenaran pernyataan ”jika x∈A maka

x∈B”, yaitu A⊂B. Karena B himpunan sebarang maka bukti selesai.

4. Bukti trivial

Bila pada implikasi p⇒q, dapat ditunjukkan bahwa q benar maka

implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi

jika kita dapat menunjukkan bahwaq benar maka kita telah berhasil

membuktikan kebenaran p⇒q.

Contoh D. Buktikan, jika 0 < x < 1 maka 0 <

1

+ x

x

Bukti. Karena pernyataan q, yaitu 0 <

1

+ x

x

selalu benar untuk setiap x

bilangan real termasuk x di dalam interval (0,1) maka secara otomatis

(15)

9

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

5. Bukti dengan kontradiksi (Reductio ad Absurdum)

Metoda ini mempunyai keunikan tersendiri, tidak mudah diterima

oleh orang awam. Dalam membuktikan kebenaran implikasi p⇒q kita

berangkat dari diketahui p dan ¬q. Berangkat dari dua asumsi ini kita

akan sampai pada suatu kontradiksi.

Contoh E Misalkan himpunan A didefinisikan sebagai interval setengah terbuka yang dituliskan dengan A := [0,1). Buktikan maksimum A tidak

ada.

Bukti. Diketahui A := [0,1)

Akan ditunjukkan bahwa maksimum A tidak ada.

Andaikan maksimum A ada, katakan p. Maka haruslah 0 < p < 1, dan

akibatnya p

2 1

<

2 1

dan 2 1

(p + 1) < 1.

Diperoleh p = p

2 1

+ p

2 1

< p

2 1

+ 2 1

= 2 1

(p + 1) < 1

Diperoleh dua pernyataan berikut :

• p maksimum A, yaitu elemen terbesar himpunan A.

• ada q∈A (yaitu q := 2 1

(p + 1)) yang lebih besar dari p.

Kedua pernyataan ini kontradiktif, jadi pengandaian A mempunyai

maksimum adalah salah, jadi haruslah tidak ada maksimum.

Latihan Tidak ada bilangan bulat positif x dan y yang memenuhi persamaan Diophantine x2_-_y2_{= 1.}

Bukti:

Diketahui: ……….

Akan dibuktikan: ………

Andaikan………...

Maka pada ruas kiri dapat difaktorkan sehingga diperoleh

...

Karena x, y bulat maka persamaan terakhir ini hanya dapat terjadi

bilamana ………. dan ………. atau ……….. dan

(16)

10

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Pada kasus pertama akan dihasilkan x = -1 dan y = 0, sedangkan pada

kasus kedua dihasilkan x = 1 dan y = 0. Hasil pada kedua kasus ini

bertentangan dengan hipotesis bahwa ……….

Jadi pengandaian diingkar sehingga

diperoleh………..

………

Apabila dicermati ada kemiripan bukti dengan kontradiksi dan bukti

dengan kontraposisi. Namun pada dasarnya adalah berbeda dan

perbedaan pada keduanya dapat dijelaskan sebagai berikut :

• Pada metoda kontradiksi, kita mengasumsikan p dan ¬q, kemudian membuktikan adanya kontradiksi.

• Pada bukti dengan kontraposisi, kita mengasumsikan ¬q, lalu membuktikan ¬p.

Asumsi awal kedua metoda ini sama, pada metoda kontraposisi tujuan

akhirnya sudah jelas yaitu membuktikan kebenaran p, sedangkan pada metoda kontradiksi tujuan akhirnya tidak pasti pokoknya sampai bertemu kontradiksi. Secara khusus jika kita sampai pada pernyataan :p

maka kontradiksi sudah ditemukan. Jadi metoda kontraposisi

merupakan kasus khusus dari metoda kontraposisi.

6. Bukti eksistensial

Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan takkonstruktif.

Pada metoda konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit.

Sedangkan pada metoda takkonstruktif, eksistensinya tidak

diperlihatkan secara eksplisit.

Contoh F Buktikan, ada bilangan irrasional x dan y sehingga xy rasional.

Bukti. Sudah diketahui bahwa 2 irrasional, anggaplah kita sudah

dapat membuktikannya. Sekarang perhatikan

( )

2 2 Bila ternyata

( )

2

(17)

11

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

( )

2

2 bukan rasional (yaitu irrasional), diperhatikan bahwa

2 2

2 ⎟⎠⎞ ⎜⎝

⎛ ₌

( )

2

2 = 2 merupakan bilangan rasional.

Jadi salah satu pasangan (x,y), dengan x = y = 2, atau x =

( )

2 2 dan y

= 2pasti memenuhi pernyataan yang dimaksud.

Pada bukti ini hanya ditunjukkan eksistensi bilangan irrasional x

dan y tanpa memberikannya secara eksplisit. Ini dikenal dengan istilah

pembuktian eksistensi non konstruktif.

Contoh G (Bartle and Sherbert, 1994). Bila a dan b bilangan real dengan a < b maka terdapat bilangan rasional r dengan a < r < b.

Bukti. Diperhatikan bahwa

a b−

1

suatu bilangan real positif. Menurut

sifat Archimedes terdapat bilangan asli n sehingga n > a b−

1

. Untuk n ini

berlaku nb - na > 1 (*)

Sekarang ambil m sebagai bilangan bulat pertama yang lebih besar dari

na, dan berlaku m - 1 ≤ na < m (**)

Dari (*) dan (**) diperoleh

na < m ≤ na + 1 < nb:

Bentuk terakhir ini dapat ditulis na < m < nb, dan dengan membagi

semua ruas dengan n, didapat

a < n m

< b

dan dengan mengambil r :=

n m

maka bukti Teorema selesai.

Dalam mebuktikan eksistensi bilangan rasional r, ditempuh dengan

langkah-langkah konstruktif sehingga bilangan rasional yang dimaksud

dapat dinyatakan secara eksplisit. Ini bukti eksistensial dengan

konstruktif.

(18)

12

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Dalam membuktikan ketunggalan, pertama harus ditunjukkan eksistensi

suatu objek, katakan objek itu x. Ada dua pendekatan yang dapat

ditempuh untuk membuktikan bahwa x hanya satu-satunya objek yang

memenuhi, yaitu

• Diambil objek sebarang, katakan y maka ditunjukkan y = x, atau

• Misalkan y objek sebarang lainnya dengan y ≠ y, ditunjukkan adanya suatu kontradiksi. cara ini tidak lain menggunakan

metoda kontradiksi seperti yang sudah dibahas sebelumnya.

Contoh H Diberikan definisi limit barisan sebegai berikut :

Misalkan (xn : n ∈N) suatu barisan bilangan real. Bilangan real x

dikatakan limit dari (xn : n ∈N), dan ditulis lim(xn) = x jika dan hanya

jika untuk setiap ε > 0 yang diberikan terdapat bilangan asli K sehingga

x

x_n − <ε untuk setiap n ≥ K:

Buktikan bahwa jika limit barisan (xn) ada maka ia tunggal.

Bukti. Di sini tidak diperlukan bukti eksistensi karena kita hanya akan membahas barisan yang mempunyai limit, atau eksistensinya sudah

diasumsikan. Sekarang kita gunakan pendekatan kedua. Andaikan

barisan X := (xn) mempunyai dua limit yang berbeda, katakan xa dan xb

dengan xa≠ xb. Diberikan ε := xb −xa

3 1

Karena lim(xn) = xamaka untuk ε ini terdapat Kasehingga

a n x

x − <ε untuk setiap n ≥ Ka:

Juga, karena lim(xn) = xbmaka terdapat Kbsehingga

b n x

x − <ε untuk setiap n ≥ Kb:

Sekarang untuk n ≥ maks

{

K_a,K_b

}

maka berlaku

b a x

x − = x_a −x_n +x_n−x_b

≤ xn −xa + xn −xb

< ε + ε

= xa −xb

(19)

13

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Akhirnya diperoleh x_a −x_b < x_a −x_b

3 2

suatu pernyataan yang

kontradikstif. Pengandaian xa≠xb salah dan haruslah xa = xb , yaitu

limitnya mesti tunggal.

8. Bukti dengan counter example

Pembuktian ini dilakukan dengan cara menemukan satu saja kasus yang

tidak memenuhi konjektur tersebut maka selesailah urusannya dengan

kata lain konjektur terbukti.

Contoh I Untuk setiap n bilangan asli maka 22n + 1 merupakan bilangan prima.

Bukti. Pernyataan ini berlaku untuk setiap bilangan asli n. Tapi bila bila

ditemukan satu bilangan asli, katakan n0 dan

0

2

2 n + 1 tidak prima (komposit) maka konjektur ini tidak benar. Diperhatikan beberapa kasus

berikut, untuk n = 1 diperoleh bilangan 5, n = 2 menghasilkan 17, n = 3

menghasilkan 257 dan n = 4 menghasilkan 65537. Keempat bilangan ini

prima. Coba perhatikan untuk n = 5, diperoleh

225_{+ 1 = 4294967297 = (641)(6700417)}_.

Ternyata bukan prima. Nah, n = 5 merupakan contoh penyangkalan

(counter example). Akhirnya disimpulkan bahwa konjektur ini salah.

9. Bukti dengan induksi matematika

Induksi matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa

sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli.

Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n).

Pembuktian dengan induksi matematika terdiri dari dua langkah yaitu:

1. Basis Induksi.

Menunjukkan bahwa pernyataan yang akan dibuktikan berlaku untuk

bilanganDengan kata lain tunjukkan bahwa P(1) benar.

2. Langkah Induksi

Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n

maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan (n+1).

(20)

14

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

a. Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=k. P(k) untuk suatu k tertentu dalam kasus ini disebut hipotesa induksi.

b. Tunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n=k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n=(k+1).

c. Dengan terbukti (a) dan (b) maka dengan induksi matematika

dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk

setiap bilangan asli n.

10. Bukti dua arah

Ada kalanya suatu pernyataan berupa bi-implikasi, p⇔q. Ada dua

kemungkinan bi-implikasi bernilai benar p⇔q yaitu p benar dan q benar,

atau p salah dan q salah. Dalam prakteknya, pernyataan ini terdiri dari

p⇒q dan q⇒p. Membuktikan kebenaran bi-implikasi p⇔q berarti

membuktikan kebenaran kedua implikasi p⇒q dan q⇒p. Selanjutnya

dapat menggunakan bukti langsung, taklangsung atau mungkin dengan

kontradiksi.

Contoh J Buktikan, suatu bilangan habis dibagi sembilan jika hanya jika jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi sembilan.

Bukti. Sebelum kita buktikan, dijelaskan terlebih dulu maksud dari pernyataan ini dengan contoh berikut. Ambil bilangan 135, 531, 351,

513, 315, 153, maka semuanya habis dibagi 9. Coba periksa satu per

satu. Misalkan p suatu bilangan bulat, maka dapat disajikan dalam

bentuk

p = xnxn-1xn-2... x2x1 x0

dimana xn ≠ 0; xn-1,...,x0bilangan bulat taknegatif.

Sedangkan nilai p ini dapat ditulis dalam bentuk berikut :

p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n

Jumlah angka-angka pembangunnya adalah

s = x0 + x1 + x2 + . . . + xn.

Pertama dibuktikan (⇒), yaitu diketahui p habis dibagi 9, dibuktikan s

habis dibagi 9. Karena p habis dibagi 9 maka dapat ditulis p = 9k untuk

suatu bilangan bulat k. Diperhatikan selisih p - s,

(21)

15

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

= (10 - 1)x1_{+ (10}2_-₁₎_x2₊_{. . .}_{+ (10}n_-₁₎_xn

Diperhatikan bilangan pada ruas kanan selalu habis dibagi sembilan,

misalnya ditulis 9m untuk suatu bilangan bulat m. Jadi diperoleh

9k - s = 9m ⇒ s = 9(k - m)

yaitu s habis dibagi 9. Selanjutnya dibuktikan (⇐), yaitu diketahui s

habis dibagi 9, dibuktikan p habis dibagi 9. Diperhatikan

p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n

= x0 + x1 (101-1) + x2 (102 -1)+ . . . + xn (10n -1) + x1 + x2 + . . . + xn.

= [x0 + x1 + x2 + . . . + xn ] + [x1 (101-1) + x2 (102 -1)+ . . . + xn (10n -1)]

s

Karena bilangan pada kelompok pertama dan kelompok kedua habis

dibagi 9 maka terbukti p habis dibagi 9.

Metode-metode pembuktian tersebut nantinya yang dapat

digunakan dalam memahami mata kuliah Analisis Real I ini. Tak bisa

dipungkiri bahwa belajar matematika dengan cara memahami bukti

tidaklah mudah. Dibutuhkan waktu untuk memahami matematika

sebagai bahasa logika. Juga, dibutuhkan wawasan matematika yang luas

untuk belajar membuktikan fakta-fakta yang lebih rumit. Oleh karena

itu, awalilah dengan memahami hal-hal yang bersifat dasar, terutama

pahami definisi, sehingga kebelakangnya anda dapat menyelesaikan

(22)

16

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

BAB I

SISTEM BILANGAN REAL

KOMPETENSI DASAR

1. Memahami sistem bilangan real dan aturan dasar yang

berlaku di dalamnya.

2. Memahami sifat kelengka-pan bilangan real dan dapat

menggunakannya untuk menunjukkan eksistensi bilangan

irrasional dan bilangan rsional

INDIKATOR:

Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu :

1. Menyebutkan aksioma bilangan real

2. Memahami teorema dasar yang langsung diturunkan dari

aksioma

3. Memahami operasi dan himpunan bagian pada bilangan real.

4. Memahami sifat urutan pada bilangan real

5. Memahami ketidaksamaan akar & kuadarat

6. Memahami rata-rata aritmatika-geometri

7. Memahami ketaksamaan Bernoulli dan Cauchy.

8. Memahami definisi dan sifat harga mutlak

9. Memahami pengertian himpunan terbatas.

10. Memahami pengertian supremum dan infimum dan

sifatnya.

SUB POKOK BAHASAN :

1.1. Konsep dan Struktur Bilangan

1.2. Himpunan Bilangan Real

1.3. Aksioma Bilangan Real dan Beberapa

Aturan Dasar

(23)

17

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Bilangan real yang biasa dinotasikan dengan ℜ memainkan peranan

yang sangat penting dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama kali akan

diberikan beberapa fakta dan terminologi dari bilangan real. Namun

sebelum membahas bilangan real lebih lanjut, ada baiknya diingat

kembali definisi bilangan-bilangan yang lain. Pengertian macam-macam

bilangan secara umum dapat diuraikan sebagai berikut:

1. Bilangan kompleks

Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika

adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan real yang

kita pakai sehari-hari merupakanhimpunan bagian dari himpunan

bilangan kompleks ini.Secara umum bilangan kompleks terdiri

dari dua bagian: bagian real dan bagian imajener (khayal).

2. Bilangan Real (Bilangan Nyata)

Bilangan nyata adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada

garis bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk

geometrik. Bilangan-bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada

berbagai macam bilangan yang termasuk dalam bilangan nyata.

Bilangan Real juga dikenal sebagai suatu bilangan yang terdiri dari

bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya

disajikan dengan sebuah garis bilangan.

3. Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah apabila sebuah bilangan bukan

merupakan bilangan nyata (dalam artian bilangan tersebut bukan

merupakan bilangan rasional maupun irasional), maka bilangan

tersebut dikatakan imajiner.

4. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan Real yang dapat disusun ulang

(24)

18

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

bulat. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat

disusun ulang dalam bentuk pecahan .

5. Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang terdapat pada suatu

garis bilangan yang tidak dapat di alokasikan dengan cara biasa

karena bilangan ini tidak dapat digambarkan seperti halnya bilangan

rasional.

6. Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan non pecahan yang terdiri dari

bilangan: Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …), Nol (0), dan Bulat Negatif

( …,-5,-4,-3,-2,-1)

Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :

• Bilangan bulat genap adalah bilangan yang habis dibagi dengan 2 yaitu { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }

• Bilangan bulat ganjil adalah bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1 yaitu { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }

7. Bilangan Pecahan

• Bilangan pecahan merupakan bilangan yang mempunyai jumlah kurang atau lebih dari utuh.

• Terdiri dari pembilang dan penyebut. • Pembilangan merupakan bilangan terbagi. • Penyebut merupakan bilangan pembagi Macam-macam pecahan ;

a. Pecahan biasa

Bilangan pecahan yang hanya terdiri atas pembilang dan penyebut.

b. Pecahan Campuran

Bilangan pecahan yang terdiri atas bilangan utuh, pembilang dan

penyebut.

c. Pecahan Desimal

Merupakan bilangan yang didapat dari hasil pembagian suatu

(25)

19

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

d. Pecahan Persen

Persen artinya perseratus. Merupakan suatu bilangan dibagi

dengan seratus.

e. Pecahan Permil

Permil artinya perseribu. Merupakan suatu bilangan dibagi seribu,

ditulis dengan tanda ‰

8. Bilangan Cacah

a. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (1990:116) “bilangan

cacah adalah satuan dalam sistem matematis yang abstrak dan

dapat diunitkan, ditambah atau dikalikan”. “Himpunan bilangan

cacah” adalah himpunan yang semua unsur-unsurnya bilangan

cacah {0, 1, 2, 3, 4, 5, ….}. (Cholis Sa’dijah, 2001: 93).

b. Menurut Muchtar A. Karim, Abdul Rahman As’sari, Gatot

Muhsetyo dan Akbar Sutawidjaja (1997: 99) bilangan cacah dapat

didefinisikan sebagai bilangan yang digunakan untuk

menyatakan cacah anggota suatu himpunan. Jika suatu

himpunan tidak mempunyai anggota sama sekali, maka cacah

anggota himpunan itu dinyatakan dengan “nol” dan dinyatakan

dengan lambang “0”. Jika anggota suatu himpunan hanya terdiri

atas satu anggota saja, maka cacah anggota himpunan tersebut

adalah “satu” dan dinyatakan dengan lambang “1”. Demikian

seterusnya sehingga kita mengenal barisan bilangan hasil

pencacahan himpunan yang dinyatakan dengan lambing 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, . . . sebagai bilangan cacah.

c. Menurut ST. Negoro dan B. Harahap (1998: 41) menyatakan

bahwa “bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang terdiri

atas semua bilangan asli dan bilangan nol”.

9. Bilangan Asli

Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling

sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan

dimengerti oleh manusia. Bilangan asli adalah suatu bilangan yang

mula-mula dipakai untuk membilang. Bilangan asli dimula-mulai dari 1,2,3,4,...

(26)

20

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Bilangan prima yaitu bilangan yang hanya dapat dibagi oleh bilangan

1 dan bilangan itu sendiri. Semua anggota bilangan prima adalah

bilangan ganjil kecuali 2.

11. Bilangan Komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan

merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan

sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan

prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6,

8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga disebut bilangan yang

mempunyai faktor lebih dari dua.

Beberapa hubungan antar bilangan di atas dapat digambarkan dalam

diagram berikut:

Secara umum dalam sistem bilangan, himpunan semua bilangan

asli dilambangkan dengan N. Himpunan semua bilangan cacah

Bilangan Komplek

Bilangan Real (R) Bilangan Khayal

Nol (0)

Bilangan Cacah (C)

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan Irasional (I)

Bilangan Pecahan Bilangan Bulat (Z)

Bilangan Rasional (Q)

(27)

21

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

dilambangkan dengan C. Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan himpunan Z. Bilangan-bilangan real yang dapat ditulis dalam

bentuk

q p

dengan p,q∈Z disebut bilangan pecahan. Gabungan antara

himpunan bilangan bulat dengan bilangan pecahan disebut bilangan

rasional atau terukur dan himpunan semua bilangan rasional

dilambangkan dengan Q. Bilangan-bilangan real yang bukan bilangan rasional disebut bilangan irasional atau tak terukur dan himpunan

semua bilangan dilambangkan (I). Bilangan diluar bilangan real disebut bilangan khayal atau imajiner, dan gabungan antara bilangan real dan

imajiner inilah yang dikenal sebagai bilangan kompleks.

Lembar Kerja 1

1. Gambarkan hubungan ke sebelas jenis bilangan yang telah

dipaparkan dalam sub bab ”Konsep dan Struktur Bilangan” dalam

diagram Venn.

(28)

22

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

2. Buatlah gambar himpunan jenis bilangan tersebut dalam garis

bilangan!

Jawab:

...

3. Selain jenis bilangan di atas apakah ada jenis bilangan lain yang

pernah anda kenal?

Jawab:

...

(29)

23

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

(30)

24

1.2. Himpunan Bilangan Real

Sub bab ini menjelaskan tentang hal-hal yang berkaitan dengan dengan

himpunan dan sistem bilangan real sebagai suatu sistem matematika

yang memiliki sifat-sifat sebagai suatu lapangan yang terurut dan lengkap

yaitu bahwa pada himpunan semua bilangan real R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian berlaku sifat-sifat aljabar dari

lapangan. Sifat terurut dari R berkaitan dengan konsep kepositifan dan ketidaksamaan antara dua bilangan real, sedangkan sifatnya yang

lengkap berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas terkecil.

Teorema-teorema dasar dalam kalkulus elementer, seperti Teorema

Eksistensi Titik Maksimum dan Minimum, Teorema Nilai Tengah,

Teorema Rolle, Teorema Nilai Rata-Rata, dan sebagainya, didasarkan atas

sifat kelengkapan dariRini. Sifat ini berkaitan erat dengan konsep limit dan kekontinuan. Dapat dikatakan bahwa sifat kelengkapan dari R

mempunyai peran yang sangat besar di dalam analisis real.

1.3. Aksioma Bilangan Real dan Beberapa Aturan Dasar

Definisi 1.1 (Sifat Aljabar dari Bilangan Real) Sistem bilangan R adalah suatu sistem aljabar yang terhadap operasi jumlahan (+) dan operasi

perkalian (o) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: A. (R, +) Grup komutatif, yaitu:

(A1). ∀a,b∈ℜ,a+b∈ℜ (Tertutup)

(A2). ∀a,b,c∈ℜ,a+

( ) (

b+c = a+b

)

+c (Assosiatif)

(A.3). ∃!o∈ℜ,∀a∈ℜ,a+o=o+a=a (ada elemen Netral ⊕)

(A.4). ∀a∈ℜ,∃!−a∈ℜ,a+

( )

−a =o=−a+a (Ada elemen Invers ⊕) (A.5). ∀a,b∈ℜ,a+b=b+a (Komutatif)

B. (R-{0}, o) Grup Komutatif, yaitu

(M1). ∀a,b∈ℜ−

{ }

0,aob∈ℜ−

{ }

0 (Tertutup) (M2). ∀a,b,c∈ℜ−

{ } ( ) ( )

0,ao boc = aob oc (Assosiatif)

(31)

25

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

(M4). ∀ ∈ℜ−

{ }

0,∃!1∈ℜ−

{ }

0, 1 = 1 a=1

a a a a

a o o (Ada el invers ditulis _a−1₎

(M5). ∀a,b∈ℜ−

{ }

0 aob=boa (komutatif) C.

(

ℜ,+,o

)

distributif

( )

b c a b a c a

c b

a ∈ℜ o + = o + o

∀ , , ,

Selanjutnya anggota ℜ_{disebut sistem bilangan Real / bilangan nyata.}

Teorema 1.2

(a). Jika z dan a∈ℜ,z+a=a, maka z = 0

(b). Jika u,b∈ℜ dengan b≠o dan uob=b, maka u=1

Bukti:

(a). Diketahui z,a∈ℜ, z+a =a

Akan ditunjukkan bahwa z = 0

Menurut (A4)

(

z+a

) ( )

+ −a =a+

( )

−a

(A2) z+

(

a+

( )

−a

)

=a+

( )

−a

(A4) z+0 =0

(A3) z =0

(b). Diketahui u,b∈ℜ,b≠0,u⋅b=b

(M4)

( )

_u_o_b _o_b−1 =_b_o_b−1

(M2)

(

−1

)

= −1

b b b b

uo o o

(M4) uo1 =1

(M3) u =1

Teorema 1.3.

(a). Jika a,b∈ℜ, a+b=0 maka b=−a

(b). Jika a≠0,b∈ℜ,aob=1 maka

a b= 1

Bukti :

(a). Diketahui a,b∈ℜ, a+b=0

(32)

26

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

(b). Latihan!

Diketahui...

...

Teorema 1.4 Misal a,b∈ℜ, maka

(a). Persamaan a+x=b mempunyai penyelesaian tunggal x=

( )

−a +b

(b). Jika a≠0, persamaan aox=b mempunyai penyelesaian tunggal

b a x ⎟o

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= 1

Bukti:

(a). Dengan (A2) (A4) & (A3) didapat

( )

(

a b

)

(

a

( )

a

)

b b b a+ − + = + − + =0+ =

Q a+x=b mempunyai penyelesaian x=

( )

−a +b

Misal x₁ juga penyelesaian, maka diperoleh: a+x1 =b

(A4)

( ) (

−a + a+x1

) ( )

= −a +b

(A2)

(

−a+a

)

+x₁ =

( )

−a +b

(A4) 0+x1 =

( )

−a +b

(33)

27

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

(b). Latihan ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Teorema 1.5. Jika a∈ℜ sebarang, maka (a). ao0=0 (c). −

( )

−a =a

(b).

( )

−1oa=−a (d).

( ) ( )

−1o −1 =1

Bukti:

(a). a ( ) a a

M = ⇒ ℜ ∈ 1 3 o

⇒ a+ao0=ao1+ao0 ( )=ao

( )

1+0

c a a A = = 1 3 o ( ) 0 0 0 1 = ⇒ =

+ o o

Q a a a a

a Th

(b). a

( )

a( ) a

( )

a

M

o o

o 1 1

1 3 − + = − + ( )

( )

(

)

a

c

o

1 1+ − = ( ) a A o 0 4 = ( ) 0 a =

( )

a ( )

( )

a a

a a Th − = − ⇒ = −

+ o o

Q 1 0 1

(34)

28

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

(c). Dari A4⇒

( )

−a +a=0

a

( )

a

a Th − − = ⇒2

(d). Dari b,a diganti −1⇒

( ) ( ) ( )

−1 o −1 =− −1

( )

( ) ( )

−1 −1 =1

⇒c o

Teorema 1.6 Diberikan a,b,c∈ℜ

(a). Jika a≠0 maka 1 ≠0

a dan a a

=

1

(b). Jika aob=aoc,a≠0, maka b=c

(c). Jika aob=0 , maka a=0 atau b=0

Bukti:

(a).

a a≠0⇒1 ada

Andaikan 1 =0

a , maka

( ) 0 0 1 1 3 = =

= a a

a

M

o

o Kontradiksi.

Jadi a Th a a a b 1 1 1 1 2 = ⇒ = o

(b). ≠0⇒ 1 ≠0

a

a sehingga dari yang diketahui:

c a b ao = o

( )

a c

a b a

ao o o o

1 1 = c b o o 1 1 = c b=

(c). Misalkan a≠0⇒ harus dibuktikan b=0. Karena a≠0, maka 1 ≠0

a . Oleh karena itu

( )

0

1 1 o o o a b a a⎟⎠ =

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (diketahui) 0 0 1 = = b b o

Sifat Terurut dari ℜ

Sifat terurut dari R berkaitan dengan konsep kepositifan dan

(35)

29

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

tersebut? Di sini, kita akan membahasnya. Terlebih dahulu kita akan

membahas konsep kepositifannya.

(Sifat Kepositifan). Terdapat himpunan bagian tak kosong dari R, yang dinamakan himpunan bilangan real positif Ρ∈ℜ sehingga memenuhi:

(1). a,b∈Ρ⇒ a+b∈Ρ

(2). a,b∈Ρ⇒aob∈Ρ

(3). ∀a∈ℜ, tepat satu berlaku : a∈Ρ, a=0, −a∈Ρ (sifat Trichotomi) Selanjutnya P disebut himpunan bilangan real positif.

Sifat Trichotomy ini mengatakan bahwa R dibangun oleh tiga buah himpunan yang disjoin. Tiga buah himpunan tersebut adalah himpunan

{

−a:a∈P

}

yang merupakan himpunan bilangan real negatif, himpunan

{ }

0 , dan himpunan bilangan real positif .

Kesepakatan : a

a∈Ρ⇒ disebut bilangan Real Positif, ditulis a>0

a a∈Ρ⇒

− disebut bilangan Real Negatif, ditulis a<0

{ }

a

a∈Ρ∪ 0 ⇒ disebut bilangan real non negatif, ditulis a≥0

{ }

a a∈Ρ∪ ⇒

− 0 disebut bilangan real non positif, ditulis a≤0

⇒ Ρ ∈ −b

a ditulis a>b atau b<a

{ }

a b

b

a− ∈Ρ∪ 0 ⇒ ≥ atau b≤a b

a c b

a< < ⇒ < dan b<c b

a c b

a≤ ≤ ⇒ ≤ dan b≤c

Penjumlahan k buah suku elemen 1 menghasilkan bilangan k. Himpunan bilangan k yang dikonstruksi dengan cara demikian disebut sebagai himpunan bilangan asli, dinotasikan dengan N. Himpunan N ini

merupakan himpunan bagian dari himpunan . Himpunan ini memiliki

sifat fundamental, yakni bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari

N memiliki elemen terkecil. Sifat yang demikian disebut sebagai sifat

well-ordering dari N. Selanjutnya, jika kita ambil sembarang k∈N maka

N

k −

− ∈ . Gabungan himpunan N,

{ }

0 , dan

{

−k k: ∈N

}

membentuk suatu himpunan yang disebut sebagai himpunan bilangan bulat, dinotasikan

(36)

30

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

bilangan bulat positif, dinotasikan dengan Z+, sedangkan himpunan

{

−k k: ∈Z

}

disebut juga himpunan bilangan bulat negatif, dinotasikan dengan Z−. Dari himpunan Z, kita bisa mengonstruksi bilangan dalam bentuk m n/ , dengan n≠0. Bilangan real yang dapat direpresentasikan dalam bentuk yang demikian disebut sebagai bilangan rasional.

Sebaliknya, bilangan real yang tidak dapat direpresentasikan dalam

bentuk itu disebut sebagai bilangan irasional. Himpunan bilangan

rasional dinotasikan dengan Q. Dapat dikatakan bahwa himpunan

bilangan real R merupakan gabungan dua himpunan disjoin, himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional. Bilangan 2 dan 0

merupakan contoh bilangan-bilangan rasional, dan dapat ditunjukkan

bahwa 2, akar dari persamaan 2

2

x = , merupakan contoh bilangan irasional. Sekarang, kita sampai kepada penjelasan tentang konsep

ketidaksamaan antara dua bilangan real, sebagai salah satu konsep yang

berkaitan dengan sifat terurut dari R.

Teorema 1.7 Diberikan a,b,c∈ℜ

(1). a>b dan b>c⇒a>c

(2). Tepat satu berlaku : a>b, a=b, a<b

(3). a≥b dan a≤b⇒a=b

Bukti:

(1). Karena a>b dan b>c, maka a−b∈Ρ dan b−c∈Ρ, sehingga menurut (1) didapat

(

a−b

) ( )

+ b−c =a−c∈Ρ. D.k.l a>b

(2). Dengan Trichotomi, tepat satu berlaku :

(

−

)

∈Ρ −

= − Ρ

∈

−b a b a b

a , 0 ,

b a b

a b

a> , = , <

(3). Andaikan a≠b, maka a<b_dan a>b, kontradiksi dengan yang diketahui.

Teorema 1.8 Diberikan a∈ℜ

(1). _a≠0⇒_a2 >0

(2). 1>0

(37)

31

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Bukti:

(1). Menurut sifat Trichotomi, untuk a≠0, maka a∈Ρ atau −a∈Ρ Dengan sifat urutan (2) = 2∈Ρ

a a

ao atau

( ) ( )

−a o −a =a2∈Ρ.

Jadi a2 >0

(2). Dari (1) : 1≠0⇒12∈Ρ._Jadi 0 1>

1 1 1o =

(3). Dengan induksi matematika:

i) n=1⇒1>0 benar karena (2) ii) Dianggap benar untuk n=k

Karena 1∈Ρ&k∈Ρ maka dengan sifat urutan (1) :

Ρ ∈ +1

k Q k+1>0. Jadi n>0, ∀n Teorema 1.9 Diketahui a,b,c,d∈ℜ

(1). a>b⇒a+c>b+c

(2). a>b∧c>d ⇒a+c>b+d

(3). a>b∧c>0⇒ac>bc

a>b∧c<0⇒ac<bc

(4). a>0⇒ 1_a>0

a<0⇒ 1_a<0

Bukti:

(1). Dari a>b, maka a−b∈Ρ.

(

a c

) ( )

b c a c b c

b a

+ > + ⇒ Ρ ∈ = + −

+ −

(2). Karena a>b∧c>d maka a−b∈Ρ dan c−d∈Ρ

Dengan sifat urutan (1) :

(

a−b

) (

+ c−d

) (

= a+c

) (

− b+d

)

∈Ρ

Q a+c>b+d

(3). Dari a>b dan c>0, maka a−b∈Ρ dan c∈Ρ

Dengan sifat urutan (2) :

(

a−b

)

oc∈Ρ

ac−bc∈Ρ

Q ac>bc

(38)

32

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Teorema 1.10 Jika a<b maka a<

(

a+b

)

<b

2 1

Bukti :

Diketahui a<b⇒2a=a+a<a+b

a<b⇒a+b<b+b=2b

(

)

(

a b

)

b a

(

a b

)

b

b a a < + < ⋅ < + + < ⋅ ⇒ > ⇒ > ⇒ Ν ∈ 2 1 2 2 1 2 1 dan 2 1 2 2 1 0 2 1 0 2 2 Teorema 1.11

Jika a∈ℜ dan 0≤a<

ε

, untuk sebarang bilangan

ε

>0 maka a=0

Bukti:

Andaikan a ≠0, a >0. Dengan Teorema sebelumnya, < a<a

2 1

0 . Diambil

bilangan a

2 1

0 =

ε , maka 0<ε₀ <a. Kontradiksi dengan yang diketahui :

0 ,

0≤a≤ε ∀ε >

Q Pengandaian a≠0 salah

Teorema 1.12 (Teorema Ketidaksamaan Bernoulli)

ℜ ∈

(39)

33

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Bukti:

Dengan induksi matematika:

i) n=1⇒

( )

1+x ≥1+x benar

ii) Dianggap benar untuk n=k :

( )

1+x k ≥1+kx

iii) n=k+1

( )

1

( ) ( ) (

)( )

( )

2

1 1

1 1 1

1

1+x k+ = +x k ⋅ +x ≥ +kx +x = + k+ x+kx

≥1+

( )

k+1x

( )

1+x n ≥1+nx

Q .

HARGA MUTLAK

Definisi 1.13 (Nilai Mutlak) Nilai mutlak dari bilangan real a, dinotasikan dengan a, didefinisikan dengan

, 0

:

, 0.

a a a

a a

≥ ⎧

= ⎨− <_⎩

Nilai mutlak dari bilangan-bilangan real ini memiliki sifat-sifat tertentu,

di antaranya seperti yang tertuang dalam fakta berikut ini.

Teorema 1.14

1. a =0⇔a=0 2. −a = a

3. ab = a b untuk setiap a,b∈R.

4. Misalkan c≥0 dan a∈R, a ≤c jika dan hanya jika − ≤ ≤c a c.

5. Misalkan c≥0 dan a∈R, a ≥c jika dan hanya jika a≥c atau a≤ −c. 6. − a <a< a , ∀a∈ℜ

Bukti:

1. Jelas dari definisi

2. a∈ℜ

i) a=0⇒−a=0⇒ −a = a

ii) a>0⇒−a<0⇒ a =a=−

( )

−a = −a

(40)

34

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

3. Diberikan a,b∈ℜ. Jika a=0 atau b=0maka ab = =0 0 dan a b =0. Jika a b, >0 maka ab>0, a =a, dan b =b, sehingga ab =ab dan

a b =ab. Jika a>0 dan b<0 maka ab<0, a =a, dan b = −b, sehingga ab = −ab dan a b = − = −a

( )

b ab. Untuk kasus a<0 dan b>0, penyelesaiannya serupa dengan kasus sebelumnya.

4. Misalkan a ≤c. Untuk a≥0, kita peroleh a = ≤a c, sehingga didapat 0≤ ≤a c. Untuk a≤0, kita peroleh a = − ≤a c atau a≥ −c, sehingga didapat − ≤ ≤c a 0. Dengan menggabungkan hasil dari kedua kasus tersebut, kita peroleh − ≤ ≤c a c.

Untuk sebaliknya, misalkan − ≤ ≤c a c. Hal tersebut mengandung arti

c a

− ≤ dan a≤c. Dengan kata lain,− ≤a c dan a≤c. Lebih sederhana, yang demikian dapat dituliskan sebagai a ≤c.

5. Misalkan a ≥c. Untuk a≥0, kita peroleh a = ≥a c. Untuk a≤0, kita peroleh a = − ≥a c atau a≤ −c. Dengan menggabungkan hasil dari

kedua kasus tersebut, kita peroleh a≥c atau a≤ −c. Untuk

sebaliknya, jika a≥c atau a≤ −c maka a≥c atau − ≥a c. Dengan kata

lain, a ≥c.

6. Jelas bahwa a ≥0 dan oleh karena itu menurut (4) diperoleh

a a a < < −

Selanjutnya, kita sampai kepada sifat nilai mutlak yang lain, yang

dinamakan dengan Ketidaksamaan Segitiga. Ketidaksamaan ini

mempunyai kegunaan yang sangat luas di dalam matematika, khususnya

di dalam kajian analisis dan aljabar.

Teorema 1.15 (Teorema Ketaksamaan Segitiga)

Untuk a,b,∈ℜ, a+b ≤ a+ b

Bukti:

Untuk a,b∈ℜ : − a ≤a≤ a

(41)

35

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Diperoleh : − a− b ≤a+b≤ a + b

−

(

a+ b

)

≤a+b≤ a+ b⇒( )a+b ≤ a + b

4

Akibat 1.16

(1). a − b ≤ a−b

(2). a−b ≤ a + b

Bukti:

1). Untuk a,b∈ℜ

(i) a = a−b+b ≤ a−b+ b

(ii) b−b−a+a ≤ b−a+ a = −

(

a−b

)

+ a = a−b+ a

Sehingga

b a b

a − ≤ − dari (i)

b a a

b− ≤ − atau − a−b ≤ a− b dari (ii)

Jadi b a b a b

a− ≤ − ≤ − −

D.k.l

b a b a − ≤ −

2). a−b = a+

( )

−b ≤ a + −b = a+ b

Contoh 1.17

Tentukan Μ >0 sehingga f

( )

x ≤Μ, ∀x∈

[ ]

1,4 dengan

( )

1 5 4 3 2 2 − + + = x x x x f Jawab:

( )

2 ₅ 3₁ 4

1 5

4 3

2 2 2

− + + = − + + = x x x x x x x f 4 3 2 4 3

2x2 + x+ ≤ x2 + x +

4 3 2 2 + +

= x x

48 4 4 3 16

2⋅ + ⋅ + =

≤ 4 1 1 5 1

(42)

36

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

( )

12 ,

[ ]

1,4

4 48 1

15 4 3 2 2

∈ ∀ Μ = = ≤ − + +

= x

x x x x

f .

Lembar Kerja 2.

1. Cari semua penyelesaian dari ketidaksamaan x2− <x 6.

Jawaban. Perhatikan bahwa

(

)(

)

2 2

6 6 0 2 3 0

x − < ⇔ − − < ⇔ +x x x x x− < .

Dari sini diperoleh bahwa x+ >2 0 dan x− <3 0_{, atau ………. dan} ………. Untuk kasus yang pertama kita dapatkan x> −2 dan x<3_{, atau dengan kata lain ………. Untuk kasus yang} kedua kita peroleh bahwa x< −2 dan x>3. Perhatikan bahwa pada kasus kedua tersebut tidak ada nilai x yang memenuhinya. Dengan

demikian, ketidaksamaan x2− <x 6 dipenuhi oleh semua

{

∈ :−2< <3

}

∈ x x

x R . ■

2. Selidiki apakah ketidaksamaan

2 2

2 3

x x− >+

memiliki penyelesaian.

Jawaban:

………

………..

(43)

37

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Jawaban:

………

………..

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari .

Jawaban:

………

………..

………

(44)

38

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

………

………..

………

5. Selidiki apakah ketidaksamaan x− + + ≤3 x 2 4 memiliki penyelesaian.

Jawaban:

………

………..

………

………..

(45)

39

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Sifat Kelengkapan ℜ

Sifat kelengkapan berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas

terkecil. Untuk itu, kita akan bahas terlebih dahulu apa yang dimaksud

dengan batas atas dari suatu himpunan bilangan real, dan kebalikannya,

yaitu batas bawahnya.

Definisi 1.18

(i). Himpunan A⊂R dan A≠

φ

dikatakan terbatas ke atas (bounded above) jika ada bilangan real k sehingga berlaku a≤k untuk setiap

A

a∈ . Selanjutnya k disebut batas atas (upper bound) himpunan A. (ii). Himpunan A⊂R dan A≠

φ

dikatakan terbatas ke bawah (bounded

below) jika ada bilangan real l sehingga berlaku l≤a untuk setiap

A

a∈ . Selanjutnya l disebut batas atas (lower bound) himpunan A. (iii). Himpunan A⊂R dikatakan terbatas (bounded) jika A terbatas ke

atas dan terbatas ke bawah.

Definisi 1.19

(i).Bilangan real M∈R disebut batas atas terkecil (supremum) atas himpunan A⊂R jika memenuhi:

a. a≤M untuk setiap a∈A.

b. Jika a≤M′′ untuk setiap a∈A maka M ≤M′′

(ii). Bilangan real m∈R disebut batas bawah terbesar (infimum) atas himpunan A⊂R jika memenuhi:

c. m≤a untuk setiap a∈A.

d. Jika m′′≤a untuk setiap a∈A maka m′′≤m

Teorema 1.20

(i). M supremum himpunan A jika dan hanya jika memenuhi a. M batas atas himpunan A

b. Untuk setiap bilangan ε >0 terdapat a′∈A sehingga

M a M −ε < ′≤

(46)

40

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

d. Untuk setiap bilangan ε >0 terdapat a′′∈A sehingga

ε

+ ≤ ′′

≤a m

m .

Bukti

(i).

( )

⇒ Karena M supremum (batas atas terkecil) himpunan A maka

M

a≤ untuk setiap a∈Adan untuk setiap bilangan ε >0 , M−ε

bukan batas atas himpunan A. Berarti ada a′∈A sehingga M−ε <a′. Karena M batas atas terkecil himpunan A maka untuk setiap a∈A

khususnya a′∈A berlaku a′≤M .

Jadi terbukti ada a′∈A sehingga M −ε <a′≤M .

( )

⇐ Diketahui bahwa a≤M dan untuk setiap bilangan ε >0 terdapat

A

a′∈ sehingga M −ε <a′≤M . Hal ini berarti tidak ada batas atas M₁

sehingga M₁<M . Andaikan ada batas atas M₁ dengan M₁<M .

Kemudian diambil ε_o=M −M₁ maka diperoleh kontradiksi

(

M M

)

M a

M

M₁= − − ₁ = −ε_o< . Dengan kata lain terbukti bahwa M

supremum himpunan A

(ii).

( )

⇒ Karena m infimum (batas bawah terbesar) himpunan A maka

m

a≥ untuk setiap a∈Adan untuk setiap bilangan ε >0 , m+ε bukan batas atas himpunan A. Berarti ada a′′∈A sehingga a′′<m+ε . Karena

m batas bawah terbesar himpunan A maka untuk setiap a∈A

khususnya a′′∈A berlaku m≤a′′.

Jadi terbukti ada a′′∈A sehingga m≤a′′<m+ε .

( )

⇐ Diketahui bahwa m≤a dan untuk setiap bilangan ε >0 terdapat

A

a′′∈ sehingga m≤a′′<m+ε . Hal ini berarti tidak ada batas bawah m₁

sehingga m<m₁. Andaikan ada batas bawah m₁ dengan m<m₁.

Kemudian diambil ε_o=m₁−m maka diperoleh kontradiksi

(

m1 m

)

m1 m

m

a′′< +ε_o = + − = .

Dengan kata lain terbukti bahwa m infimum himpunan A. ฀

(47)

41

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Teorema 1.21 (Aksioma Supremum) Jika A⊂R,A≠

φ

dan A terbatas ke atas makaAmempunyai supremum di R, yaitu terdapat M∈R

sehingga M =supA.

Akibat 1.22 Jika A⊂R,A≠

φ

dan A terbatas ke bawah

makaAmempunyai infimum di R, yaitu terdapat m∈R sehingga

A m=inf .

Sering muncul pertanyaan, apakah perbedaan an