MODUL DAN LEMBAR KERJA MAHASISWA

MODUL DAN LEMBAR KERJA MAHASISWA

ANALISIS REAL I

Disusun Oleh :

Luh Putu Ida Harini

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

ii

IDENTITAS MAHASISWA PESERTA MATA KULIAH

ANALISIS REAL I

Tahun Ajaran 2012/2013

Nama

:______________________________

iii

LEMBAR PENILAIAN PENGUASAAN MATERI LKM

BAB NILAI KETUNTASAN

MATERI

KETERANGAN TANDA

TANGAN

I

II

III

iv

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, karena

atas berkat rahmat-Nya ringkasan modul yang berjudul “

Modul dan Lembar Kerja

Mahasiswa Analisis Real i

” dapat diselesaikan dengan baik. Modul ini digunakan

sebagai bahan ajar sekaligus bahan penugasan bagi mahasiswa Jurusan

Matematika FMIPA Universitas Udayana yang sedang mengambil mata kuliah

Analisis Real I.

Modul ini terdiri atas lima bab yaitu Bab 0 Metode-metode dalam

pembuktian, Bab 1 Sistem Bilangan Real, Bab 2 Barisan Bilangan Real, Bab 3

Limit Fungsi dan Bab 4 Relasi Rekursif. Pada awal sub bab akan disajikan

beberapa definisi dan materi, sedangkan bagian selanjutnya diteruskan dengan

contoh-contoh soal dan soal latihan yang wajib diselesaikan oleh setiap

mahasiswa. Dengan modul ini diharapkan proses pembelajaran menjadi lebih

terarah dan menumbuhkan keaktifan serta kemandirian siswa dalam belajar baik

didalam kelas maupun di luar kelas.

Penulis menyadari tulisan ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis

menerima kritik dan saran yang bersifat membangun demi perbaikan tulisan ini.

v

September, 2012

Penulis

vi

DAFTAR ISI

COVER ...

i

IDENTITAS MAHASISWA

ii

LEMBAR PENILAIAN MAHASISWA

iii

KATA PENGANTAR ...

iv

DAFTAR ISI ...

v

PENDAHULUAN

1

BAB 0. METODE-METODE PEMBUKTIAN ………

5

BAB I. SISTEM BILANGAN REAL ...

16

BAB II. BARISAN BILANGAN REAL ...

52

BAB III. LIMIT FUNGSI ...

78

BAB IV. KEKONTINUAN FUNGSI ...

93

DAFTAR PUSTAKA...

129

1

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

PENDAHULUAN

A. MANFAAT MATA KULIAH

Mata kuliah Analisis Real I merupakan mata kuliah wajib yang harus diambil oleh semua mahasiswa jurusan matematika. Mata kuliah ini tergolong mata kuliah lanjut yang diperuntukan bagi mahasiswa yang telah mengambil mata Kalkulus I dan Kalkulus II. Secara umum materi pada mata kuliah Analisis Real I sebenarnya sudah dikenal oleh mahasiswa yang telah mengambil kedua mata kuliah prasyarat tersebut. Hanya saja, materi pada Analisis Real I bersifat lebih abstrak, teoritis, dan mendalam. Analisis real merupakan alat yang esensial untuk membentuk pola pikir kritis dan analitis sehingga nantinya dapat digunakan, baik di dalam berbagai cabang dari matematika maupun bidang ilmu-ilmu lain. Apabila mata kuliah ini dapat dipahami dengan baik maka mahasiswa mempunyai modal yang sangat berharga untuk memahami mata kuliah di bidang lain. Setelah mempelajari mata ajar Analisis Real I mahasiswa diharapkan mempunyai kedewasaan dalam bermatematika, yang meliputi:

1. Kemampuan berpikir secara deduktif, logis, dan runtut. 2. Kemampuan menganalisis masalah

3. Kemampuan mensintesis suatu hal yang bersifat khusus ke suatu hal yang bersifat umum (kemampuan mengeneralisasi masalah) sehingga dapat menyelesaikan suatu masalah yang lebih kompleks.

4. Kemampuan mengkomunikasikan penyelesaian suatu masalah secara akurat dan rigorous.

B. DESKRIPSI PERKULIAHAN

Sebelumnya mari kita simak kata-kata bijak berikut :

“Imajinasi lebih penting daripada pengetahuan (Albert Einstein).” Mata Kuliah Analisis Real I mempelajari pendekatan deduktif konsep fundamental matematika yang mencakup sistem bilangan real dan sifat-sifatnya, limit dan kekontinuan serta teori-teori fungsi yang

2

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

dikembangkan melalui konsep limit. Mata kuliah ini menetapkan tujuan akhir agar mahasiswa memiliki kemampuan untuk dapat memahami aturan-aturan dasar untuk memberikan justifikasi pada teori matematika yang berkaitan dengan bilangan real dan fungsi. Selain itu diharapkan, setelah mempelajari materi Analisis Real I, mahasiswa mempunyai kedewasaan dalam bermatematika, yang meliputi antara lain kemampuan berpikir secara deduktif, logis, dan runtut, serta memiliki kemampuan menganalisis masalah dan mengomunikasikan penyelesaiannya secara akurat dan rigorous sehingga dapat membangkitkan kemampuan imajinasi yang lebih abstrak.

C. STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR

Standar Kompetensi: Mahasiswa mampu dalam memahami

aturan-aturan dasar untuk memberikan justifikasi pada teori matematika yang berkaitan dengan bilangan real dan fungsi.

Kompetensi Dasar :

• Memahami sistem bilangan real dan aturan dasar yang berlaku di dalamnya.

• Memahami sifat kelengkapan bilangan real dan dapat menggunakannya untuk menunjukkan eksistensi bilangan irrasional dan bilangan rsional.

• Memahami konsep kekonvergenan barisan bilangan real dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya pada masalah yang memuat limit barisan.

• Memahami konsep limit fungsi dan dapat menggu-nakannya untuk menyele-saikan masalah yang memuat limit fungsi.

• Memahami konsep fungsi kontinu dan sifat-sifatnya serta dapat menggunakannya untuk menyelesaikan masalah yang memuat fungsi kontinu.

D. STRATEGI PERKULIAHAN

Selama masa pembelajaran berlangsung, mahasiswa diharapkan untuk aktif melakukan perkuliahan. Diskusi di luar sesi tatap muka

3

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

dapat dilakukan dengan membuat perjanjian terlebih dahulu. Pada setiap topik disiapkan lembar kerja mahasiswa untuk digunakan pada sesi tatap muka. Pengerjaan lembar kerja selama proses pembelajaran bukan dimaksudkan hanya untuk melakukan latihan soal, namun lebih penting lagi, sebagai bagian proses membentuk pengetahuan (construction of

knowledge) dan pendalaman (internalisasi) sehingga diharapkan

mahasiswa dapat aktif dalam diskusi di kelas.

Pertanyaan-pertanyaan pada lembar kerja sudah dirancang untuk menunjang proses pembelajaran. Mahasiswa yang sudah memahami tanpa perlu mengerjakan lembar kerja lebih lanjut dapat meneruskan proses pembelajaran tanpa harus mengerjakan keseluruhan pertanyaan satu demi satu. Secara singkat, selama pembelajaran mahasiswa diharapkan ready to think, dan ready to work, tidak sekedar menjadi pembaca atau pendengar untuk menjamin terjadinya proses pembelajaran yang efektif.

Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari LKM ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini.

1. Bacalah dengan baik pendahuluan LKM ini sehingga Anda memahami tujuan dalam mempelajari LKM ini dan bagaimana menggunakannya.

2. Bacalah bagian demi bagian materi yang ada dalam LKM ini, kalau perlu tandai kata-kata/kaliamat yang dianggap penting.

3. Pahami pengertian demi pengertian dari isi LKM ini dengan mempelajari contoh-contohnya, dengan pemahaman sendiri, tukar pikiran (diskusi) dengan rekan atau orang lain.

4. Kerjakan soal-soal latihan dalam LKM ini secara individu terlebih dahulu, apabila mendapat jalan buntu, barulah Anda melihat pekerjaan rekanan lain atau bertanya kepada pengampu mata kuliah ini. Perlu ditekankan bahwa jawaban Anda tidak perlu sama dengan petunjuk yang diberikan, karena kadang-kadang banyak cara yang dapat kita lakukan dalam menyelesiakan suatu permasalahan terutama untuk kasus-kasus diskret.

4

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Beberapa kata mutiara dari ajaran KONFUSIUS (551 – 479 SM.) disajikan disini: “Hidup miskin bukanlah hal yang memalukan, yang memalukan adalah hidup miskin dan tidak mempunyai semangat yang tinggi. Memegang posisi yang rendah tidaklah mengerikan, yang mengerikan adalah memiliki posisi rendah dan tidak meningkatkan kemampuan

diri. Menjadi tua tidaklah menyedihkan, yang menyedihkan adalah

menjadi tua dan telah menyia-nyiakan hidupmu.”

5

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

BAB O

METODE-METODE DALAM PEMBUKTIAN

Secara kasat mata apabila dibandingkan dengan ilmu lain matematika adalah ilmu yang terdiri atas banyak sekali simbol-simbol yang dirangkai dengan sedikit kata sehingga katanya ”bisa membuat rambut yang lurus jadi keriting”. Namun apa yang sebenarnya terjadi. Matematika merupakan cabang utama dari ilmu filsafat. Yang menjadi ibu dari segala ilmu. Matematika juga dikatakan sebagai bahasa yang sangat universal.

Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktif mengandalkan logika dalam meyakinkan akan kebenaran suatu pernyataan. Proses penemuan dalam matematika dimulai dengan pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek matematika lainnya. Selanjutnya, semua informasi dan fakta yang terkumpul secara individual ini dibangun suatu koherensi untuk kemudian disusun suatu konjektur. Setelah konjektur dapat dibuktikan kebenarannya atau ketidakbenaranya maka selanjutnya ia menjadi suatu teorema.

Pernyataan-pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan pernyataan lainnya pada umumnya berbentuk kalimat logika, Jadi membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan kebenaran suatu kalimat logika. Materi logika sudah diberikan sejak di bangku SLTA. Namun selama ini, sebagian siswa atau guru masih menganggap logika sebagai materi HAPALAN. Tanpa menguasai logika maka sulit untuk terbentuknya apa yang disebut dengan logically thinking.

Pola pikIr yang terbentuk pada siswa, mahasiswa, guru atau bahkan dosen selama ini lebih dominan pada algorithm thinking atau berpikir secara algoritma. Cara berpikir algoritmis dalam belajar matematika ini lebih ditekankan pada memahami langkah-langkah dalam menyelesaikan suatu soal, tanpa melihat lebih dalam mengapa

langkah-6

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

langkah tersebut dapat dilakukan. Apabila algorithm thinking lebih mendominasi maka kita akan menjadi ”robot matematika”.

Pada awalnya pekerjaan membuktikan dan memahami bukti bukanlah sesuatu yang menarik karena kita lebih banyak bergelut dengan simbol dan pernyataan logika ketimbang berhadapan dengan angka-angka yang biasanya dianggap sebagai karakter matematika. Kenyataan inilah menjadikan salah satu alasan orang malas untuk memahami bukti dalam matematika. Alasan lainnya adalah pekerjaan membuktikan lebih sulit dan tidak penting. Padahal banyak manfaat yang dapat diperoleh pada pengalaman membuktikan ini, salah satunya adalah melatih logically thinking dalam belajar matematika.

Dalam artikel making mathematics yang berjudul Proof, dijelaskan secara rinci mengenai bukti dalam matematika yang meliputi what is proof, why do we prove, what do we prove, dan how do we prove. Menurut artikel tersebut, terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan, 1. to establish a fact with certainty, untuk meyakinkan bahwa apa yang

selama ini dianggap benar adalah memang benar.

2. to gain understanding, untuk mendapatkan pemahaman.

3. to communicate an idea to others, untuk menyempaikan ide kepada orang lain.

4. for the challenge, untuk tantangan baru

5. to create something beautiful, untuk membuat sesuatu yang bersifat indah.

6. to construct a large mathematical theory, untuk membangun teori matematika yang lebih luas.

Metoda Pembuktian

Definisi memainkan peranan penting di dalam matematika. Topik-topik baru matematika selalu diawali dengan membuat definisi baru. Berangkat dari definisi dihasilkan sejumlah teorema beserta akibat-akibatnya. Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Selanjutnya, untuk memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan logika matematika.

7

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

1. Bukti langsung

Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema yang berbentuk implikasi p ⇒ q. Dalam hal ini p sebagai hipotesis digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi, dan dengan menggunakan p kita harus menunjukkan q berlaku. Secara logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan p ⇒ q benar dimana diketahui p benar.

Contoh A Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x2 _{bilangan ganjil.}

Bukti. Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai x = 2n - 1 untuk

suatu bilangan bulat n. Selanjutnya,

x2 _{= (2n - 1)}2 _{= ... = 2 (2n}2 _{+ 2) +1 = 2m + 1:}

m Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x2 _ganjil. 2. Bukti taklangsung

Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p ⇒ q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ¬q ⇒¬p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.

Contoh B Buktikan, jika x2 _{bilangan ganjil maka x bilangan ganjil.}

Bukti. Pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Mari kita

coba saja. Karena x2 _{ganjil maka dapat ditulis x = ... untuk}

suatu bilangan asli m. Selanjutnya x = 2m+1 tidak dapat disimpulkan apakah ia ganjil atau tidak. Sehingga bukti langsung tidak dapat digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini adalah

”...”.

Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui x genap, jadi dapat ditulis x = 2n untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya,

x2 _{= ... = 2 (2n}2_{) = 2m}

m yang merupakan bilangan genap.

8

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

3. Bukti kosong

Bila hipotesis p pada implikasi p ⇒ q sudah bernilai salah maka implikasi p ⇒ q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p ⇒ q.

Contoh C Didalam teori himpunan kita mengenal definisi berikut :

”Diberikan dua himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B, ditulis A⊂B jika pernyataan berikut dipenuhi : ”jika x∈ A maka x∈B”.

Suatu himpunan dikatakan himpunan kosong jika ia tidak mempunyai anggota. Buktikan, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan apapun.

Bukti. Tanpa mengurangi keumuman bukti dimisalkan A =...

suatu himpunan kosong dan B himpunan sebarang. Akan dibuktikan bahwa pernyataan ”jika x∈ A maka x∈B” bernilai benar. Karena A himpunan kosong maka pernyataan p yaitu x 2 A selalu bernilai salah karena tidak mungkin ada x yang menjadi anggota himpunan kosong. Karena p salah maka terbuktilah kebenaran pernyataan ”jika x∈A maka x∈B”, yaitu A⊂B. Karena B himpunan sebarang maka bukti selesai.

4. Bukti trivial

Bila pada implikasi p ⇒ q, dapat ditunjukkan bahwa q benar maka implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwaq benar maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p ⇒ q.

Contoh D. Buktikan, jika 0 < x < 1 maka 0 <

1 + x

x

Bukti. Karena pernyataan q, yaitu 0 <

1 + x

x

selalu benar untuk setiap x bilangan real termasuk x di dalam interval (0,1) maka secara otomatis kebenaran pernyataan ini terbukti.

9

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

5. Bukti dengan kontradiksi (Reductio ad Absurdum)

Metoda ini mempunyai keunikan tersendiri, tidak mudah diterima oleh orang awam. Dalam membuktikan kebenaran implikasi p ⇒ q kita berangkat dari diketahui p dan ¬q. Berangkat dari dua asumsi ini kita akan sampai pada suatu kontradiksi.

Contoh E Misalkan himpunan A didefinisikan sebagai interval setengah

terbuka yang dituliskan dengan A := [0,1). Buktikan maksimum A tidak ada.

Bukti. Diketahui A := [0,1)

Akan ditunjukkan bahwa maksimum A tidak ada.

Andaikan maksimum A ada, katakan p. Maka haruslah 0 < p < 1, dan akibatnya p 2 1 < 2 1 dan 2 1 (p + 1) < 1. Diperoleh p = p 2 1 + p 2 1 < p 2 1 + 2 1 = 2 1 (p + 1) < 1 Diperoleh dua pernyataan berikut :

• p maksimum A, yaitu elemen terbesar himpunan A. • ada q∈A (yaitu q :=

2 1

(p + 1)) yang lebih besar dari p.

Kedua pernyataan ini kontradiktif, jadi pengandaian A mempunyai maksimum adalah salah, jadi haruslah tidak ada maksimum.

Latihan Tidak ada bilangan bulat positif x dan y yang memenuhi

persamaan Diophantine x2_{- y}2 _{= 1.} Bukti:

Diketahui: ………. Akan dibuktikan: ……… Andaikan………... Maka pada ruas kiri dapat difaktorkan sehingga diperoleh

... Karena x, y bulat maka persamaan terakhir ini hanya dapat terjadi bilamana ………. dan ………. atau ……….. dan ……….

10

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Pada kasus pertama akan dihasilkan x = -1 dan y = 0, sedangkan pada kasus kedua dihasilkan x = 1 dan y = 0. Hasil pada kedua kasus ini bertentangan dengan hipotesis bahwa ……….

Jadi pengandaian diingkar sehingga diperoleh………..

……… Apabila dicermati ada kemiripan bukti dengan kontradiksi dan bukti dengan kontraposisi. Namun pada dasarnya adalah berbeda dan perbedaan pada keduanya dapat dijelaskan sebagai berikut :

• Pada metoda kontradiksi, kita mengasumsikan p dan ¬q, kemudian membuktikan adanya kontradiksi.

• Pada bukti dengan kontraposisi, kita mengasumsikan ¬q, lalu

membuktikan ¬p.

Asumsi awal kedua metoda ini sama, pada metoda kontraposisi tujuan akhirnya sudah jelas yaitu membuktikan kebenaran p, sedangkan pada metoda kontradiksi tujuan akhirnya tidak pasti pokoknya sampai bertemu kontradiksi. Secara khusus jika kita sampai pada pernyataan :p maka kontradiksi sudah ditemukan. Jadi metoda kontraposisi merupakan kasus khusus dari metoda kontraposisi.

6. Bukti eksistensial

Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan takkonstruktif. Pada metoda konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit. Sedangkan pada metoda takkonstruktif, eksistensinya tidak diperlihatkan secara eksplisit.

Contoh F Buktikan, ada bilangan irrasional x dan y sehingga xy rasional.

Bukti. Sudah diketahui bahwa 2 irrasional, anggaplah kita sudah

dapat membuktikannya. Sekarang perhatikan

( )

2 2 Bila ternyata

( )

2

11

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

( )

2

2 bukan rasional (yaitu irrasional), diperhatikan bahwa

2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₌

( )

2

2 = 2 merupakan bilangan rasional.

Jadi salah satu pasangan (x,y), dengan x = y = 2, atau x =

( )

2 2 dan y = 2pasti memenuhi pernyataan yang dimaksud.

Pada bukti ini hanya ditunjukkan eksistensi bilangan irrasional x dan y tanpa memberikannya secara eksplisit. Ini dikenal dengan istilah pembuktian eksistensi non konstruktif.

Contoh G (Bartle and Sherbert, 1994). Bila a dan b bilangan real

dengan a < b maka terdapat bilangan rasional r dengan a < r < b.

Bukti. Diperhatikan bahwa

a b−

1

suatu bilangan real positif. Menurut sifat Archimedes terdapat bilangan asli n sehingga n >

a b−

1

. Untuk n ini

berlaku nb - na > 1 (*)

Sekarang ambil m sebagai bilangan bulat pertama yang lebih besar dari

na, dan berlaku m - 1 ≤ na < m (**)

Dari (*) dan (**) diperoleh na < m ≤ na + 1 < nb:

Bentuk terakhir ini dapat ditulis na < m < nb, dan dengan membagi semua ruas dengan n, didapat

a < n m

< b dan dengan mengambil r :=

n m

maka bukti Teorema selesai.

Dalam mebuktikan eksistensi bilangan rasional r, ditempuh dengan langkah-langkah konstruktif sehingga bilangan rasional yang dimaksud dapat dinyatakan secara eksplisit. Ini bukti eksistensial dengan konstruktif.

12

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Dalam membuktikan ketunggalan, pertama harus ditunjukkan eksistensi suatu objek, katakan objek itu x. Ada dua pendekatan yang dapat ditempuh untuk membuktikan bahwa x hanya satu-satunya objek yang memenuhi, yaitu

• Diambil objek sebarang, katakan y maka ditunjukkan y = x, atau • Misalkan y objek sebarang lainnya dengan y ≠ y, ditunjukkan

adanya suatu kontradiksi. cara ini tidak lain menggunakan metoda kontradiksi seperti yang sudah dibahas sebelumnya.

Contoh H Diberikan definisi limit barisan sebegai berikut :

Misalkan (xn : n ∈N) suatu barisan bilangan real. Bilangan real x

dikatakan limit dari (xn : n ∈N), dan ditulis lim(xn) = x jika dan hanya

jika untuk setiap ε > 0 yang diberikan terdapat bilangan asli K sehingga x

x_n − <ε untuk setiap n ≥ K:

Buktikan bahwa jika limit barisan (xn) ada maka ia tunggal.

Bukti. Di sini tidak diperlukan bukti eksistensi karena kita hanya akan

membahas barisan yang mempunyai limit, atau eksistensinya sudah diasumsikan. Sekarang kita gunakan pendekatan kedua. Andaikan barisan X := (xn) mempunyai dua limit yang berbeda, katakan xa dan xb

dengan xa≠ xb. Diberikan ε := x_b −x_a

3 1

Karena lim(xn) = xa maka untuk ε ini terdapat Ka sehingga

a n x

x − <ε untuk setiap n ≥ Ka:

Juga, karena lim(xn) = xb maka terdapat Kb sehingga

b n x

x − <ε untuk setiap n ≥ Kb:

Sekarang untuk n ≥ maks

{

K ,_a K_b

}

maka berlaku

b a x x − = x_a −x_n +x_n−x_b ≤ xn −xa + xn −xb < ε + ε = xa −xb 3 2

13

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Akhirnya diperoleh xa −xb < xa −xb

3 2

suatu pernyataan yang kontradikstif. Pengandaian xa≠ xb salah dan haruslah xa = xb , yaitu

limitnya mesti tunggal.

8. Bukti dengan counter example

Pembuktian ini dilakukan dengan cara menemukan satu saja kasus yang tidak memenuhi konjektur tersebut maka selesailah urusannya dengan kata lain konjektur terbukti.

Contoh I Untuk setiap n bilangan asli maka 2n

2 + 1 merupakan bilangan prima.

Bukti. Pernyataan ini berlaku untuk setiap bilangan asli n. Tapi bila bila

ditemukan satu bilangan asli, katakan n0 dan

0 2

2 n + 1 tidak prima (komposit) maka konjektur ini tidak benar. Diperhatikan beberapa kasus berikut, untuk n = 1 diperoleh bilangan 5, n = 2 menghasilkan 17, n = 3 menghasilkan 257 dan n = 4 menghasilkan 65537. Keempat bilangan ini prima. Coba perhatikan untuk n = 5, diperoleh

225 _{+ 1 = 4294967297 = (641)(6700417).}

Ternyata bukan prima. Nah, n = 5 merupakan contoh penyangkalan (counter example). Akhirnya disimpulkan bahwa konjektur ini salah.

9. Bukti dengan induksi matematika

Induksi matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli.

Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n). Pembuktian dengan induksi matematika terdiri dari dua langkah yaitu: 1. Basis Induksi.

Menunjukkan bahwa pernyataan yang akan dibuktikan berlaku untuk bilanganDengan kata lain tunjukkan bahwa P(1) benar.

2. Langkah Induksi

Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan (n+1).

14

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

a. Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=k. P(k) untuk suatu k tertentu dalam kasus ini disebut hipotesa induksi. b. Tunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n=k,

maka pernyataan tersebut juga benar untuk n= k( +1).

c. Dengan terbukti (a) dan (b) maka dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk setiap bilangan asli n.

10. Bukti dua arah

Ada kalanya suatu pernyataan berupa bi-implikasi, p ⇔ q. Ada dua kemungkinan bi-implikasi bernilai benar p⇔q yaitu p benar dan q benar, atau p salah dan q salah. Dalam prakteknya, pernyataan ini terdiri dari p ⇒ q dan q ⇒ p. Membuktikan kebenaran bi-implikasi p ⇔ q berarti membuktikan kebenaran kedua implikasi p⇒q dan q⇒p. Selanjutnya dapat menggunakan bukti langsung, taklangsung atau mungkin dengan kontradiksi.

Contoh J Buktikan, suatu bilangan habis dibagi sembilan jika hanya jika

jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi sembilan.

Bukti. Sebelum kita buktikan, dijelaskan terlebih dulu maksud dari

pernyataan ini dengan contoh berikut. Ambil bilangan 135, 531, 351, 513, 315, 153, maka semuanya habis dibagi 9. Coba periksa satu per satu. Misalkan p suatu bilangan bulat, maka dapat disajikan dalam bentuk

p = xnxn-1xn-2... x2x1 x0

dimana xn ≠ 0; xn-1,...,x0 bilangan bulat taknegatif.

Sedangkan nilai p ini dapat ditulis dalam bentuk berikut : p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n

Jumlah angka-angka pembangunnya adalah s = x0 + x1 + x2 + . . . + xn.

Pertama dibuktikan ( ⇒ ), yaitu diketahui p habis dibagi 9, dibuktikan s habis dibagi 9. Karena p habis dibagi 9 maka dapat ditulis p = 9k untuk suatu bilangan bulat k. Diperhatikan selisih p - s,

15

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

= (10 - 1)x1 _{+ (10}2 _{- 1)x}2 _{+ . . . + (10}n _{- 1)x}n

Diperhatikan bilangan pada ruas kanan selalu habis dibagi sembilan, misalnya ditulis 9m untuk suatu bilangan bulat m. Jadi diperoleh

9k - s = 9m ⇒ s = 9(k - m)

yaitu s habis dibagi 9. Selanjutnya dibuktikan ( ⇐ ), yaitu diketahui s habis dibagi 9, dibuktikan p habis dibagi 9. Diperhatikan

p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n

= x0 + x1 (101-1) + x2 (102 -1)+ . . . + xn (10n -1) + x1 + x2 + . . . + xn.

= [x0 + x1 + x2 + . . . + xn ] + [x1 (101-1) + x2 (102 -1)+ . . . + xn (10n -1)]

s

Karena bilangan pada kelompok pertama dan kelompok kedua habis dibagi 9 maka terbukti p habis dibagi 9.

Metode-metode pembuktian tersebut nantinya yang dapat digunakan dalam memahami mata kuliah Analisis Real I ini. Tak bisa dipungkiri bahwa belajar matematika dengan cara memahami bukti tidaklah mudah. Dibutuhkan waktu untuk memahami matematika sebagai bahasa logika. Juga, dibutuhkan wawasan matematika yang luas untuk belajar membuktikan fakta-fakta yang lebih rumit. Oleh karena itu, awalilah dengan memahami hal-hal yang bersifat dasar, terutama pahami definisi, sehingga kebelakangnya anda dapat menyelesaikan hal-hal yang lebih kompleks.

16

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

BAB I

SISTEM BILANGAN REAL

KOMPETENSI DASAR

1. Memahami sistem bilangan real dan aturan dasar yang berlaku di dalamnya.

2. Memahami sifat kelengka-pan bilangan real dan dapat menggunakannya untuk menunjukkan eksistensi bilangan irrasional dan bilangan rsional

INDIKATOR:

Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu : 1. Menyebutkan aksioma bilangan real

2. Memahami teorema dasar yang langsung diturunkan dari aksioma

3. Memahami operasi dan himpunan bagian pada bilangan real. 4. Memahami sifat urutan pada bilangan real

5. Memahami ketidaksamaan akar & kuadarat 6. Memahami rata-rata aritmatika-geometri

7. Memahami ketaksamaan Bernoulli dan Cauchy. 8. Memahami definisi dan sifat harga mutlak 9. Memahami pengertian himpunan terbatas.

10. Memahami pengertian supremum dan infimum dan sifatnya.

SUB POKOK BAHASAN :

1.1. Konsep dan Struktur Bilangan

1.2. Himpunan Bilangan Real

1.3. Aksioma Bilangan Real dan Beberapa

Aturan Dasar

17

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Bilangan real yang biasa dinotasikan dengan ℜ memainkan peranan yang sangat penting dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama kali akan diberikan beberapa fakta dan terminologi dari bilangan real. Namun sebelum membahas bilangan real lebih lanjut, ada baiknya diingat kembali definisi bilangan-bilangan yang lain. Pengertian macam-macam bilangan secara umum dapat diuraikan sebagai berikut:

1. Bilangan kompleks

Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika

adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakanhimpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks ini.Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian: bagian real dan bagian imajener (khayal).

2. Bilangan Real (Bilangan Nyata)

Bilangan nyata adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada garis bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk geometrik. Bilangan-bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada berbagai macam bilangan yang termasuk dalam bilangan nyata. Bilangan Real juga dikenal sebagai suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan.

3. Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah apabila sebuah bilangan bukan

merupakan bilangan nyata (dalam artian bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional maupun irasional), maka bilangan tersebut dikatakan imajiner.

4. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan di mana a dan b harus merupakan bilangan

18

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

bulat. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan .

5. Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang terdapat pada suatu garis bilangan yang tidak dapat di alokasikan dengan cara biasa karena bilangan ini tidak dapat digambarkan seperti halnya bilangan rasional.

6. Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan non pecahan yang terdiri dari bilangan: Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …), Nol (0), dan Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)

Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :

• Bilangan bulat genap adalah bilangan yang habis dibagi dengan 2 yaitu { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }

• Bilangan bulat ganjil adalah bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1 yaitu { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }

7. Bilangan Pecahan

• Bilangan pecahan merupakan bilangan yang mempunyai jumlah kurang atau lebih dari utuh.

• Terdiri dari pembilang dan penyebut. • Pembilangan merupakan bilangan terbagi. • Penyebut merupakan bilangan pembagi Macam-macam pecahan ;

a. Pecahan biasa

Bilangan pecahan yang hanya terdiri atas pembilang dan penyebut.

b. Pecahan Campuran

Bilangan pecahan yang terdiri atas bilangan utuh, pembilang dan penyebut.

c. Pecahan Desimal

Merupakan bilangan yang didapat dari hasil pembagian suatu bilangan dengan 10, 100, 1.000, 10.000 dst.

19

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

d. Pecahan Persen

Persen artinya perseratus. Merupakan suatu bilangan dibagi dengan seratus.

e. Pecahan Permil

Permil artinya perseribu. Merupakan suatu bilangan dibagi seribu, ditulis dengan tanda ‰

8. Bilangan Cacah

a. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (1990:116) “bilangan cacah adalah satuan dalam sistem matematis yang abstrak dan dapat diunitkan, ditambah atau dikalikan”. “Himpunan bilangan cacah” adalah himpunan yang semua unsur-unsurnya bilangan cacah {0, 1, 2, 3, 4, 5, ….}. (Cholis Sa’dijah, 2001: 93).

b. Menurut Muchtar A. Karim, Abdul Rahman As’sari, Gatot Muhsetyo dan Akbar Sutawidjaja (1997: 99) bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai bilangan yang digunakan untuk menyatakan cacah anggota suatu himpunan. Jika suatu himpunan tidak mempunyai anggota sama sekali, maka cacah anggota himpunan itu dinyatakan dengan “nol” dan dinyatakan dengan lambang “0”. Jika anggota suatu himpunan hanya terdiri atas satu anggota saja, maka cacah anggota himpunan tersebut adalah “satu” dan dinyatakan dengan lambang “1”. Demikian seterusnya sehingga kita mengenal barisan bilangan hasil pencacahan himpunan yang dinyatakan dengan lambing 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, . . . sebagai bilangan cacah. c. Menurut ST. Negoro dan B. Harahap (1998: 41) menyatakan

bahwa “bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang terdiri atas semua bilangan asli dan bilangan nol”.

9. Bilangan Asli

Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia. Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk membilang. Bilangan asli dimula-mulai dari 1,2,3,4,...

20

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Bilangan prima yaitu bilangan yang hanya dapat dibagi oleh bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2.

11. Bilangan Komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

Beberapa hubungan antar bilangan di atas dapat digambarkan dalam diagram berikut:

Secara umum dalam sistem bilangan, himpunan semua bilangan asli dilambangkan dengan N. Himpunan semua bilangan cacah

Bilangan Komplek

Bilangan Real (R) Bilangan Khayal

Nol (0)

Bilangan Cacah (C)

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan Irasional (I)

Bilangan Pecahan Bilangan Bulat (Z)

Bilangan Rasional (Q)

21

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

dilambangkan dengan C. Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan himpunan Z. Bilangan-bilangan real yang dapat ditulis dalam bentuk

q p

dengan p,q∈Z disebut bilangan pecahan. Gabungan antara himpunan bilangan bulat dengan bilangan pecahan disebut bilangan rasional atau terukur dan himpunan semua bilangan rasional dilambangkan dengan Q. Bilangan-bilangan real yang bukan bilangan rasional disebut bilangan irasional atau tak terukur dan himpunan semua bilangan dilambangkan (I). Bilangan diluar bilangan real disebut bilangan khayal atau imajiner, dan gabungan antara bilangan real dan imajiner inilah yang dikenal sebagai bilangan kompleks.

Lembar Kerja 1

1. Gambarkan hubungan ke sebelas jenis bilangan yang telah

dipaparkan dalam sub bab ”Konsep dan Struktur Bilangan” dalam diagram Venn.

22

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

2. Buatlah gambar himpunan jenis bilangan tersebut dalam garis bilangan! Jawab: ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3. Selain jenis bilangan di atas apakah ada jenis bilangan lain yang

pernah anda kenal?

Jawab: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

23

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

24

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

1.2. Himpunan Bilangan Real

Sub bab ini menjelaskan tentang hal-hal yang berkaitan dengan dengan himpunan dan sistem bilangan real sebagai suatu sistem matematika yang memiliki sifat-sifat sebagai suatu lapangan yang terurut dan lengkap yaitu bahwa pada himpunan semua bilangan real R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian berlaku sifat-sifat aljabar dari lapangan. Sifat terurut dari R berkaitan dengan konsep kepositifan dan ketidaksamaan antara dua bilangan real, sedangkan sifatnya yang lengkap berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas terkecil. Teorema-teorema dasar dalam kalkulus elementer, seperti Teorema Eksistensi Titik Maksimum dan Minimum, Teorema Nilai Tengah, Teorema Rolle, Teorema Nilai Rata-Rata, dan sebagainya, didasarkan atas sifat kelengkapan dari R ini. Sifat ini berkaitan erat dengan konsep limit dan kekontinuan. Dapat dikatakan bahwa sifat kelengkapan dari R mempunyai peran yang sangat besar di dalam analisis real.

1.3. Aksioma Bilangan Real dan Beberapa Aturan Dasar

Definisi 1.1 (Sifat Aljabar dari Bilangan Real) Sistem bilangan R adalah

suatu sistem aljabar yang terhadap operasi jumlahan (+) dan operasi perkalian (_o) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

A. (R, +) Grup komutatif, yaitu:

(A1). ∀a,b∈ℜ,a+b∈ℜ (Tertutup) (A2). ∀a,b,c∈ℜ,a+

(

b+c

) (

= a+b

)

+c (Assosiatif)

(A.3). ∃!o∈ℜ,∀a∈ℜ,a+o=o+a=a (ada elemen Netral ⊕) (A.4). ∀a∈ℜ,∃!−a∈ℜ,a+

( )

−a =o=−a+a (Ada elemen Invers ⊕) (A.5). ∀a,b∈ℜ,a+b=b+a (Komutatif)

B. (R-{0}, _o) Grup Komutatif, yaitu

(M1). ∀a,b∈ℜ−

{ }

0,a_ob∈ℜ−

{ }

0 (Tertutup) (M2). ∀a,b,c∈ℜ−

{ } (

0,a_o b_oc

) (

= a_ob

)

_oc (Assosiatif)

25

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

(M4). ∀ ∈ℜ−

{ }

0,∃!1∈ℜ−

{ }

0, 1 = 1 a=1 a a a a

a o o (Ada el invers ditulis _a−1₎

(M5). ∀a,b∈ℜ−

{ }

0 a_{o =}b b_oa (komutatif) C.

(

ℜ,+,_o

)

distributif

(

b c

)

a b a c a c b a ∈ℜ _o + = _o + _o ∀ , , ,

Selanjutnya anggota ℜ _{disebut sistem bilangan Real / bilangan nyata.}

Teorema 1.2

(a). Jika z dan a∈ℜ,z+a=a, maka z = 0

(b). Jika u,b∈ℜ dengan b≠o dan u_ob=b, maka u=1

Bukti:

(a). Diketahui z,a∈ ,ℜ z+a =a

Akan ditunjukkan bahwa z = 0

Menurut (A4)

(

z+a

) ( )

+ −a =a+

( )

−a (A2) z+

(

a+

( )

−a

)

=a+

( )

−a (A4) z+0 =0 (A3) z =0 (b). Diketahui u,b∈ℜ,b≠0,u⋅b=b (M4)

(

_{u b}

)

_b−1 =_{b b}−1 o o o (M2) _u

(

_{b b}−1

)

=_{b b}−1 o o o (M4) u_o1 =1 (M3) u =1 Teorema 1.3.

(a). Jika a,b∈ℜ, a+b=0 maka b=−a (b). Jika a≠0,b∈ℜ,a_ob=1 maka a b= 1 Bukti : (a). Diketahui a,b∈ℜ, a+b=0 (A4)

( ) (

−a + a+b

) ( )

= −a +0 (A2)

(

( )

−a +a

)

+b=

( )

−a +0 (A4) 0+b=

( )

−a +0 (A3) b=−a

26

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

(b). Latihan! Diketahui... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Teorema 1.4 Misal a,b∈ℜ, maka

(a). Persamaan a+x=b mempunyai penyelesaian tunggal x=

( )

−a +b (b). Jika a≠0, persamaan a_ox=b mempunyai penyelesaian tunggal

b a x ⎟_o ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 Bukti:

(a). Dengan (A2) (A4) & (A3) didapat

( )

(

a b

)

(

a

( )

a

)

b b b

a+ − + = + − + =0+ =

_Q a+x=b mempunyai penyelesaian x=

( )

−a +b Misal x1 juga penyelesaian, maka diperoleh:

a+x₁ =b (A4)

( ) (

−a + a+x1

) ( )

= −a +b (A2)

(

−a+a

)

+x₁ =

( )

−a +b (A4) 0+x₁ =

( )

−a +b

27

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

(b). Latihan ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Teorema 1.5. Jika a∈ℜ sebarang, maka (a). a_o0=0 (c). −

( )

−a =a (b).

( )

_{− o}1 a=−a (d).

( ) ( )

− o1 −1 =1 Bukti: (a). a∈ℜ (⇒M ) a 1=a 3 o ⇒ a+a_o0=a_o1+a_o0 ( )= oa

(

1+0

)

c A=a 1=a 3 o ( ) 0 0 0 1 = ⇒ = + _{o o} Q a a a Th a a (b). a

( )

1 oa(M )1oa

( )

1 oa 3 − + = − + ( )

( )

(

)

a c o 1 1+ − = ( ) a A o 0 4 = ( ) 0 a =

( )

a ( )

( )

a a a+ − o = Th⇒a − o =− Q 1 0 1 2

28

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

(c). Dari A4⇒

( )

−a +a=0 Th⇒2aa=−

( )

−a (d). Dari b,a diganti −1⇒

( ) ( ) ( )

−1 _o −1 =− −1 ( )

( ) ( )

−1 −1 =1 ⇒c _o Teorema 1.6 Diberikan a ,,b c∈ℜ (a). Jika a≠0 maka 1 ≠0

a dan a a

=

1

1

(b). Jika a_ob=a_oc,a≠0, maka b=c (c). Jika a ob=0 , maka a=0 atau b=0

Bukti: (a). a a≠0⇒1 ada Andaikan 1 =0 a , maka ( ) 0 0 1 1 3 = = = a a a M o o Kontradiksi. Jadi a Th a a a b 1 1 1 1 _{= ⇒}2 ₌ o (b). ≠0⇒ 1 ≠0 a

a sehingga dari yang diketahui:

c a b a_{o = o}

(

)

(

a c

)

a b a ao o o o 1 1 ₌ c b _o o 1 1 = c b=

(c). Misalkan a≠ 0⇒ harus dibuktikan b=0. Karena a≠0, maka 1 ≠0

a . Oleh karena itu

(

)

0

1 1 o o o a b _a a⎟⎠ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (diketahui) 0 0 1 = = b b o

Sifat Terurut dari ℜ

Sifat terurut dari R berkaitan dengan konsep kepositifan dan ketidaksamaan antara dua bilangan real. Seperti apa kedua konsep

29

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

tersebut? Di sini, kita akan membahasnya. Terlebih dahulu kita akan membahas konsep kepositifannya.

(Sifat Kepositifan). Terdapat himpunan bagian tak kosong dari R , yang

dinamakan himpunan bilangan real positif Ρ∈ℜ sehingga memenuhi: (1). a,b∈Ρ⇒a+b∈Ρ

(2). a,b∈Ρ⇒a_ob∈Ρ

(3). ∀a∈ℜ, tepat satu berlaku : a∈Ρ, a=0, −a∈Ρ (sifat Trichotomi) Selanjutnya P disebut himpunan bilangan real positif.

Sifat Trichotomy ini mengatakan bahwa R dibangun oleh tiga buah himpunan yang disjoin. Tiga buah himpunan tersebut adalah himpunan

{

− :a a∈P

}

yang merupakan himpunan bilangan real negatif, himpunan

{ }

0 , dan himpunan bilangan real positif .

Kesepakatan :

a

a∈Ρ⇒ disebut bilangan Real Positif, ditulis a>0 a

a∈Ρ⇒

− disebut bilangan Real Negatif, ditulis a<0

{ }

a

a∈Ρ∪ 0 ⇒ disebut bilangan real non negatif, ditulis a≥0

{ }

a

a∈Ρ∪ ⇒

− 0 disebut bilangan real non positif, ditulis a≤0 ⇒ Ρ ∈ − b a ditulis a>b atau b<a

{ }

a b b a− ∈Ρ∪ 0 ⇒ ≥ atau b≤a b a c b a< < ⇒ < dan b<c b a c b a≤ ≤ ⇒ ≤ dan b≤c

Penjumlahan k buah suku elemen 1 menghasilkan bilangan k.

Himpunan bilangan k yang dikonstruksi dengan cara demikian disebut sebagai himpunan bilangan asli, dinotasikan dengan N . Himpunan N ini merupakan himpunan bagian dari himpunan . Himpunan ini memiliki sifat fundamental, yakni bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari

N memiliki elemen terkecil. Sifat yang demikian disebut sebagai sifat

well-ordering dari N . Selanjutnya, jika kita ambil sembarang k∈N maka

N

k −

− ∈ . Gabungan himpunan N ,

{ }

0 , dan

{

−k k: ∈N

}

membentuk suatu

himpunan yang disebut sebagai himpunan bilangan bulat, dinotasikan dengan Z . Himpunan bilangan asli N disebut juga sebagai himpunan

30

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

bilangan bulat positif, dinotasikan dengan Z+_{, sedangkan himpunan}

{

−k k: ∈Z

}

disebut juga himpunan bilangan bulat negatif, dinotasikan

dengan Z−_{. Dari himpunan Z , kita bisa mengonstruksi bilangan dalam}

bentuk m n/ , dengan n≠0. Bilangan real yang dapat direpresentasikan dalam bentuk yang demikian disebut sebagai bilangan rasional. Sebaliknya, bilangan real yang tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk itu disebut sebagai bilangan irasional. Himpunan bilangan

rasional dinotasikan dengan Q. Dapat dikatakan bahwa himpunan

bilangan real R merupakan gabungan dua himpunan disjoin, himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional. Bilangan 2 dan 0 merupakan contoh bilangan-bilangan rasional, dan dapat ditunjukkan

bahwa 2, akar dari persamaan 2

2

x = , merupakan contoh bilangan

irasional. Sekarang, kita sampai kepada penjelasan tentang konsep ketidaksamaan antara dua bilangan real, sebagai salah satu konsep yang berkaitan dengan sifat terurut dari R .

Teorema 1.7 Diberikan a ,,b c∈ℜ (1). a>b dan b>c⇒a>c

(2). Tepat satu berlaku : a>b, a=b, a<b (3). a≥b dan a≤b⇒a=b

Bukti:

(1). Karena a>b dan b>c, maka a− b∈Ρ dan b− c∈Ρ, sehingga menurut (1) didapat

(

a−b

) (

+ b−c

)

=a−c∈Ρ. D.k.l a>b

(2). Dengan Trichotomi, tepat satu berlaku :

(

−

)

∈Ρ − = − Ρ ∈ −b a b a b a , 0 , b a b a b a> , = , <

(3). Andaikan a≠b, maka a<b _dan a>b, kontradiksi dengan yang diketahui.

Teorema 1.8 Diberikan a∈ℜ (1). _a≠0⇒_a2 >0

(2). 1>0

31

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Bukti:

(1). Menurut sifat Trichotomi, untuk a≠0, maka a∈Ρ atau − a∈Ρ Dengan sifat urutan (2) _a=_a2∈Ρ

a o atau

( ) ( )

−a o −a =a2∈Ρ. Jadi a2 >0 (2). Dari (1) : 1≠0⇒12∈Ρ. _Jadi 0 1> 1 1 1_o = (3). Dengan induksi matematika:

i) n=1⇒1>0 benar karena (2) ii) Dianggap benar untuk n=k

Karena 1∈Ρ&k∈Ρ maka dengan sifat urutan (1) : Ρ ∈ +1 k _Q k+1>0. Jadi n> ,0 ∀n Teorema 1.9 Diketahui a,b,c,d∈ℜ (1). a>b⇒a+c>b+c (2). a>b∧c>d ⇒a+c>b+d (3). a>b∧c>0⇒ac>bc a>b∧c<0⇒ac<bc (4). a>0⇒ 1_a>0 a<0⇒ 1_a<0 Bukti: (1). Dari a> maka b, a− b∈Ρ.

(

a+c

) (

− b+c

)

=∈a−Ρb ⇒a+c>b+c

(2). Karena a>b∧c>d maka a− b∈Ρ dan c− d∈Ρ

Dengan sifat urutan (1) :

(

a−b

) (

+ c−d

) (

= a+c

) (

− b+d

)

∈Ρ _Q a+c>b+d

(3). Dari a>b dan c>0, maka a− b∈Ρ dan c∈Ρ Dengan sifat urutan (2) :

(

a−b

)

_oc∈Ρ

ac− bc∈Ρ _Q ac>bc

32

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Teorema 1.10 Jika a<b maka a<

(

a+b

)

<b 2 1 Bukti : Diketahui a<b⇒2a=a+a<a+b a<b⇒a+b<b+b=2b

(

)

(

a b

)

b a

(

a b

)

b b a a < + < ⋅ < + + < ⋅ ⇒ > ⇒ > ⇒ Ν ∈ 2 1 2 2 1 2 1 dan 2 1 2 2 1 0 2 1 0 2 2 Teorema 1.11

Jika a∈ℜ dan 0≤ a<

ε

, untuk sebarang bilangan

ε

>0 maka a=0

Bukti:

Andaikan a ≠0, a >0. Dengan Teorema sebelumnya, < a<a 2 1 0 . Diambil bilangan a 2 1 0 =

ε , maka 0<ε0 <a. Kontradiksi dengan yang diketahui : 0

, 0≤a≤ε ∀ε >

Q Pengandaian a≠0 salah

Teorema 1.12 (Teorema Ketidaksamaan Bernoulli)

ℜ ∈

33

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Bukti:

Dengan induksi matematika: i) n=1⇒

(

1+x

)

≥1+x benar

ii) Dianggap benar untuk n=k :

(

1+x

)

k ≥1+kx iii) n= k+1

(

)

1

(

) (

) (

)(

)

(

)

2 1 1 1 1 1 1 1+x k+ = +x k ⋅ +x ≥ +kx +x = + k+ x+kx ≥1+

(

k 1+

)

x

(

1+x

)

n ≥1+nx Q . HARGA MUTLAK

Definisi 1.13 (Nilai Mutlak) Nilai mutlak dari bilangan real a,

dinotasikan dengan a, didefinisikan dengan

, 0 : , 0. a a a a a ≥ ⎧ = ⎨_{− <} ⎩

Nilai mutlak dari bilangan-bilangan real ini memiliki sifat-sifat tertentu, di antaranya seperti yang tertuang dalam fakta berikut ini.

Teorema 1.14

1. a =0⇔a=0 2. −a = a

3. ab = a b untuk setiap a,b∈R.

4. Misalkan c≥0 dan a∈R, a ≤c jika dan hanya jika c a c− ≤ ≤ .

5. Misalkan c≥0 dan a∈R, a ≥ jika dan hanya jika a cc ≥ atau a≤ − . c

6. − a <a< a , ∀a∈ℜ

Bukti:

1. Jelas dari definisi 2. a∈ℜ

i) a=0⇒−a=0⇒ −a = a

ii) a>0⇒−a<0⇒ a =a=−

( )

−a = −a iii) a<0⇒−a>0⇒ −a =−a= a

34

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

3. Diberikan a,b∈ℜ. Jika a=0 atau b=0maka ab = 0 = dan 0 a b = . 0 Jika a b, >0 maka ab>0, a = , dan b ba = , sehingga ab =ab dan

a b =ab. Jika a>0 dan b<0 maka ab<0, a = , dan ba = − , b sehingga ab = −ab dan a b =a

( )

− = −b ab. Untuk kasus a<0 dan b>0, penyelesaiannya serupa dengan kasus sebelumnya.

4. Misalkan a ≤ . Untuk c a≥0, kita peroleh a = ≤ , sehingga didapat a c 0≤ ≤a c. Untuk a≤0, kita peroleh a = − ≤ atau aa c ≥ − , sehingga c didapat − ≤ ≤c a 0. Dengan menggabungkan hasil dari kedua kasus tersebut, kita peroleh c a c− ≤ ≤ .

Untuk sebaliknya, misalkan c a c− ≤ ≤ . Hal tersebut mengandung arti c a

− ≤ dan a c≤ . Dengan kata lain, a c− ≤ dan a c≤ . Lebih sederhana, yang demikian dapat dituliskan sebagai a ≤ . c

5. Misalkan a ≥ . Untuk c a≥0, kita peroleh a = ≥ . Untuk a c a≤0, kita peroleh a = − ≥ atau aa c ≤ − . Dengan menggabungkan hasil dari c kedua kasus tersebut, kita peroleh a c≥ atau a≤ − . Untuk c sebaliknya, jika a c≥ atau a≤ − maka a cc ≥ atau a c− ≥ . Dengan kata lain, a ≥ . c 6. Jelas bahwa a ≥0 dan oleh karena itu menurut (4) diperoleh

a a a < < −

Selanjutnya, kita sampai kepada sifat nilai mutlak yang lain, yang dinamakan dengan Ketidaksamaan Segitiga. Ketidaksamaan ini mempunyai kegunaan yang sangat luas di dalam matematika, khususnya di dalam kajian analisis dan aljabar.

Teorema 1.15 (Teorema Ketaksamaan Segitiga)

Untuk a,b,∈ ,ℜ a+b ≤ a+ b

Bukti:

Untuk a,b∈ℜ : − a ≤a≤ a −b ≤b≤ b

35

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Diperoleh : − a− b ≤a+b≤ a + b −

(

a+ b

)

≤a+b≤ a+ b⇒( )4 a+b ≤ a + b Akibat 1.16 (1). a − b ≤ a−b (2). a−b ≤ a + b Bukti: 1). Untuk ℜa,b∈ (i) a = a−b+b ≤ a−b+ b (ii) b−b−a+a ≤ b−a+ a = −

(

a−b

)

+ a = a−b+ a Sehingga b a b a − ≤ − dari (i) b a a

b− ≤ − atau − a−b ≤ a− b dari (ii)

Jadi b a b a b a− ≤ − ≤ − − D.k.l b a b a − ≤ − 2). a−b = a+

( )

−b ≤ a + −b = a+ b Contoh 1.17

Tentukan Μ >0 sehingga f

( )

x ≤Μ, ∀x∈

[ ]

1,4 dengan

( )

1 5 4 3 2 2 − + + = x x x x f Jawab:

( )

1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 2 2 − + + = − + + = x x x x x x x f 4 3 2 4 3 2x2 + x+ ≤ x2 + x + 4 3 2 2 + + = x x 48 4 4 3 16 2⋅ + ⋅ + = ≤ 4 1 1 5 1 5x− ≥ ⋅ − =

36

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

( )

12 ,

[ ]

1,4 4 48 1 15 4 3 2 2 _{≤ = =Μ ∀ ∈} − + + = x x x x x f . Lembar Kerja 2.

1. Cari semua penyelesaian dari ketidaksamaan 2

6 x − <x .

Jawaban. Perhatikan bahwa

(

)(

)

2 2

6 6 0 2 3 0

x − < ⇔x x − − < ⇔x x+ x− < .

Dari sini diperoleh bahwa x+ >2 0 dan x− <3 0, atau ………. dan ………. Untuk kasus yang pertama kita dapatkan x> −2 dan x<3, atau dengan kata lain ………. Untuk kasus yang kedua kita peroleh bahwa x< −2 dan x>3. Perhatikan bahwa pada kasus kedua tersebut tidak ada nilai x yang memenuhinya. Dengan

demikian, ketidaksamaan 2

6

x − <x dipenuhi oleh semua

{

∈ :−2< <3

}

∈ x x

x R . ■

2. Selidiki apakah ketidaksamaan 2 2 2 3 x x − _> + memiliki penyelesaian. Jawaban: ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……….. 3. Cari himpunan penyelesaian dari 2x+ < . 1 5

37

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Jawaban: ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………..

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari .

Jawaban: ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……….. ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………

38

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

……… ……… ……… ……….. ……… 5. Selidiki apakah ketidaksamaan x− + + ≤ memiliki penyelesaian. 3 x 2 4

Jawaban: ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……….. ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……….. ………

39

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Sifat Kelengkapan ℜ

Sifat kelengkapan berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas terkecil. Untuk itu, kita akan bahas terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan batas atas dari suatu himpunan bilangan real, dan kebalikannya, yaitu batas bawahnya.

Definisi 1.18

(i). Himpunan A⊂R dan A≠

φ

dikatakan terbatas ke atas (bounded

above) jika ada bilangan real k sehingga berlaku a≤ untuk setiap k A

a∈ . Selanjutnya k disebut batas atas (upper bound) himpunan A. (ii). Himpunan A⊂R dan A≠

φ

dikatakan terbatas ke bawah (bounded

below) jika ada bilangan real l sehingga berlaku l≤ untuk setiap a A

a∈ . Selanjutnya l disebut batas atas (lower bound) himpunan A. (iii). Himpunan A⊂R dikatakan terbatas (bounded) jika A terbatas ke

atas dan terbatas ke bawah.

Definisi 1.19

(i). Bilangan real M∈R disebut batas atas terkecil (supremum) atas

himpunan A⊂R jika memenuhi:

a. a≤M untuk setiap a∈ . A

b. Jika a≤M′′ untuk setiap a∈ maka A M ≤M′′

(ii). Bilangan real m∈R disebut batas bawah terbesar (infimum) atas

himpunan A⊂R jika memenuhi:

c. m≤a untuk setiap a∈ . A

d. Jika m′′≤a untuk setiap a∈ maka A m′′≤m

Teorema 1.20

(i). M supremum himpunan A jika dan hanya jika memenuhi a. M batas atas himpunan A

b. Untuk setiap bilangan ε >0 terdapat a′∈A sehingga M

a M −ε < ′≤

(ii). m infimum himpunan A jika dan hanya jika memenuhi c. m batas bawah himpunan A

40

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

d. Untuk setiap bilangan ε >0 terdapat a′′∈A sehingga ε + ≤ ′′ ≤a m m . Bukti

(i).

( )

⇒ Karena M supremum (batas atas terkecil) himpunan A maka M

a≤ untuk setiap a∈ dan untuk setiap bilangan A ε >0 , M−ε bukan batas atas himpunan A. Berarti ada a′∈A sehingga M−ε <a′. Karena M batas atas terkecil himpunan A maka untuk setiap a∈ A khususnya a′∈A berlaku a′≤M .

Jadi terbukti ada a′∈A sehingga M −ε <a′≤M .

( )

⇐ Diketahui bahwa a≤M dan untuk setiap bilangan ε >0 terdapat A

a′∈ sehingga M −ε <a′≤M . Hal ini berarti tidak ada batas atas M₁ sehingga M₁<M . Andaikan ada batas atas M₁ dengan M₁<M . Kemudian diambil εo=M −M1 maka diperoleh kontradiksi

(

M M

)

M a M

M1= − − 1 = −εo< . Dengan kata lain terbukti bahwa M

supremum himpunan A

(ii).

( )

⇒ Karena m infimum (batas bawah terbesar) himpunan A maka m

a≥ untuk setiap a∈ dan untuk setiap bilangan A ε >0 , m+ε bukan batas atas himpunan A. Berarti ada a′′∈A sehingga a′′ m< +ε . Karena m batas bawah terbesar himpunan A maka untuk setiap a∈ A khususnya a′′∈A berlaku m≤a′′.

Jadi terbukti ada a′′∈A sehingga m≤a′′<m+ε .

( )

⇐ Diketahui bahwa m≤a dan untuk setiap bilangan ε >0 terdapat A

a′′∈ sehingga m≤a′′<m+ε . Hal ini berarti tidak ada batas bawah m₁ sehingga m<m₁. Andaikan ada batas bawah m₁ dengan m<m₁. Kemudian diambil ε_o=m₁−m maka diperoleh kontradiksi

(

m1 m

)

m1

m m

a′′< +εo = + − = .

Dengan kata lain terbukti bahwa m infimum himpunan A.

Selanjutnya jika A⊂R,A≠

φ

dan A terbatas maka supremum atau

41

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

Teorema 1.21 (Aksioma Supremum) Jika A⊂R,A≠

φ

dan A terbatas

ke atas makaAmempunyai supremum di R, yaitu terdapat M∈R

sehingga M sup= A.

Akibat 1.22 Jika A⊂R,A≠

φ

dan A terbatas ke bawah

makaAmempunyai infimum di R, yaitu terdapat m∈R sehingga

A m inf= .

Sering muncul pertanyaan, apakah perbedaan antara supremum (infimum) dengan maksimum (minimum)? Contoh sebelumnya tentang himpunan

{

x R∈ :0< x<1

}

, bisa menjadi ilustrasi untuk menjelaskan hal ini. Himpunan

{

x R∈ :0< x<1

}

tidaklah mempunyai minimum dan maksimum, karena tidak ada m,M∈

{

x∈R:0< x<1

}

sedemikian sehingga

m≤ dan x M ≥x, untuk setiap x∈

{

x∈R:0< x<1

}

. Sedangkan untuk supremum dan infimum, himpunan

{

x R∈ :0< x<1

}

memilikinya, yaitu 1 dan 0, masing-masing secara berurutan. Elemen minimum dan maksimum haruslah elemen dari himpunan yang bersangkutan, tetapi elemen infimum dan supremum tidaklah harus demikian. Jadi elemen infimum dan supremum bisa termasuk atau tidak termasuk ke dalam himpunan yang bersangkutan. Himpunan

{

x R∈ :0≤ x≤1

}

memiliki infimum dan supremum, yaitu elemen 1 dan 0, yang termasuk ke dalam himpunan

{

x R∈ :0≤ x≤1

}

.

Catatan :

1). Inf & sup tidak perlu jadi anggota → Contoh : S₃ =

{

x:0< x<1

}

2). Suatu himpunan bisa jadi punya batas bawah tapi tidak punya batas atas, dan sebaliknya punya batas atas, tidak punya batas bawah. Misal:

{

∈ℜ ≥

}

→

= : 0

1 x x

S Punya batas bawah tapi tidak punya batas atas

{

∈ℜ <

}

→

= : 0

1 x x

S Punya batas atas tapi tidak punya batas bawah

Sifat Kelengkapan ℜ

1. Setiap himpunan tak kosong dan terbatas di atas dalam ℜ