DASAR TEORI MAKALAH INTERPOLASI INDONESIA

●

_●

●

BAB II

DASAR TEORI 2.1 INTERPOLASI

Pada beberapa masalah kita sering memerlukan suatu penaksiran nilai antara (intermediate values) yaitu suatu nilai diantara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya. Metode yang biasa digunakan untuk menentukan titik antara tersebut adalah melakukan interpolasi. Metode interpolasi yang biasa digunakan adalah dengan interpolasi Polinomial. Persamaan polinomial orde ke n yang dipakai secara umum adalah :

f

(

x

)=

a

₀

+

a

₁

x

+

a

₂

x

2

+

...

+

a

_n

x

n

Persamaan polinomial ini merupakan persamaan aljabar yang hanya mengandung jumlah dari variabel x berpangkat bilangan bulat (integer). Untuk n+1 titik data, hanya terdapat satu polinomial order n atau kurang yang melalui semua titik. Misalnya hanya terdapat satu garis lurus (polinomial order satu) yang menghubungkan dua titik, lihat Gambar 1.1 , (a) . Demikian juga dengan menghubungkan tiga titik dapat membentuk suatu parabola (polinomial order 2), lihat Gambar 1.1 (b), sedang bila empat titik dapat dihubungkan dengan kurva polinomial order tiga, lihat Gambar 1.1 (c), Dengan operasi interpolasi kita dapat menentukan suatu persamaan polinomial order ke n yang melalui n+1 titik data, yang kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai (titik antara) diantara titik data tersebut.

`

(a) (b) (c)

Gambar 1.1 2.2 INTERPOLASI POLINOM LAGRANGE

Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton. Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P (x) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalnya, kita ingin mendapatkan fungsi polinomial berderajat satu yang melewati dua buah titik yaitu (x0, y0) dan (x1, y1).

Bentuk polinomial Newton order satu:

Pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai bentuk:

Substitusi persamaan (6.17) ke dalam persamaan (6.16) memberikan:

f1(x) = f (x0) +

Dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan maka persamaan diatas menjadi:

f1(x) =

[

Persamaan (6.18) dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order satu. Dengan prosedur diatas, untuk interpolasi order dua akan didapat:

f1(x) =

Bentuk umum interpolasi polinomial Lagrange order n adalah:

fn(x) =

Simbol  merupakan perkalian.

Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitung interpolasi Lagrange order yang lebih tinggi, misalnya untuk interpolasi Lagrange order 1, persamaan tersebut adalah:

L0(x) =

(

_x

x

−

x

1 0

−

x

1

)

L1(x) =

(

_x

x

−

x

0 1

−

x

0

)

Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 1 adalah:

f1(x) =

(

x

_x

−

x

1

0

−

x

1

)

f (x0) +

(

_x

x

−

x

0

1

−

x

0

)

_{f (x1)}

Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitung pula interpolasi Lagrange order 2 adalah:

F2 (x) =

∑

i=0

2

L

i

(

x

)

f (xi) = L0(x) f (x0) + L1(x) f (x1) + L2(x) f (x2)

I=0 L0(x) =

(

_x

x

−

x

1 0

−

x

1

)(

x

−

x

₂

x

0

−

x

2

)

I=1 L1(x) =

(

_x

x

−

x

0 1

−

x

0

)(

x

−

x

₂

x

1

−

x

2

)

I=2 L2(x) =

(

_x

x

−

x

0 2

−

x

0

)(

x

−

x

₁

x

2

−

x

1

)

Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 2 adalah:

f2 (x) =

(

_x

x

−

x

1 0

−

x

1

)(

x

−

x

2

x

0

−

x

2

)

_{f (x0) +}

(

x

−

x

0

x

1

−

x

0

)(

x

−

x

2

x

1

−

x

2

)

_{f (x1)}

+

(

x

−

x

0

x

2

−

x

0

)(

x

−

x

1

x

2

−

x

1

)

_{f (x2) +}

(

x

−

x

0

x

3

−

x

0

)(

x

−

x

1

x

3

−

x

1

)

_{f (x3) (6.22)}

f3(x) =

Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 3 adalah:

f3(x) =

Polinom Newton-Geogry maju diturunkan dari table selisih maju. Sebelum menurunkan rumusnya, kita bahas dahulu table selisih maju.

a. Table Selisih Maju

…

f4 = f(x4)

Notasi: fp =f(xp)

∆f0 = f1-f0

∆f1 = f2-f1 …

∆f3 = f4-f3

Notasi: ∆fp = fp+1-fp

∆2_f

0 =∆f1-2f0

∆2_f

1 =∆f2-∆f1

∆2_f

2 =∆f3-∆f2

Notasi : ∆2_f

p =∆ fp+1-∆fp

∆3_f

0 =∆2f1-∆2f0

∆3_f

1 =∆2f2-∆2f1

Notasi : ∆3_f

p =∆2fp+1-∆2fp

Bentuk umum:

∆n+1_f

p =∆n fp+1-∆nfp, n= 0,1,2…

(P.1.0)

b. Penurunan Rumus Polinom Newton-Geogry Maju

Sekarang kita mengembangkan polinom Newton-Geogry maju yang didasarkan pada table selisih maju.

f(x1, x0)=

f (x1)−f(x0)

x1−x0

¿∆ f_h(x0)

¿∆ f_1!h0(P.1.1)

f(x2, x1, x0)=

f[x₂, x₁]−f[x₁, x₀]

x2−x0

¿

f(x2)−f(x1)

x2−x1 −

f(x1)−f(x0)

x1−x0

x2−x0

¿

∆ f1−∆ f1

h

2h

¿∆_∆²_²f_f0

0

¿∆_2!h²f_²0

Bentuk umum:

f(x2, x1, x0)=

∆nf(x0) 2!hn =

∆nf0

2!hn(P.1.2)

Dengan demikian polinom Newton untuk data berjarak sama dapat ditulis sebagai berikut:

¿f0+(x−x0)

Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan sebagai

x1=x0+ih, i=0,1,2, … , n

Dan nilai x yang diinterpolasikan adalah

x1=x0+ih, s∈R

Maka, persamaan (P.1.3) dapat juga ditulis dalam parameter s sebagai

Atau dalam bentuk relasi rekusif. (i). rekunsi: s(s−1) (s−2_{n !})…(s−n+1)∆nf0 Yang dalam hal ini .

(

0s

)

=1,

(

ks

)

=¿ s(s−1) (s−2_{k !})…(s−k+1) (s>0, bilangan bulat)

Dan

k!=1 x 2 x…x k

Tahap pembentuk polinom Newton-Geogry maju untuk titik-titik berjarak sama dapat dituliskan sebagai berikut:

c. Menghitung Galat Interpolasi Newton-Geogry Maju

Seperti halnya pada polinom Newton, kita dapat menghitung batas-batas galat intterpolasi Newton-Geogry maju.

d. Taksiran Galak Interpolotasi Newton-Gregory Maju

Seperti halnya polinon Newton ,taksiran galat interpolotasi dengan nilai pada tabel selisih.

Tinjau kembali polinom Newton_Geogry maju:

pn(x)=pn−1(x)+(x−x0) (x−x1)…(x−xn−1)

∆n_f 0

n !hn

Dengan s= (x-x0)/h

Naikkan suku

(x−x0) (x−x1)…(x−xn−1)

∆nf0

n !hn

Dari n menjadi n+1

(x−x0) (x−x1)…(x−xn−1) (x−xn)

∆n+1_f

0

n !hn+1

Bentuk terakhir ini bersesuaian dengan rumus galat interpolasi

E(x)=(x−x0) (x−x1)…(x−xn)

fn+1 (t) (n+1)!

Sehingga,fn+1

(t) dapat dihampiri dengan

fn+1 (t)∆

n+1_f

0

hn+1 (P.1.8)

Jadi, taksiran galat dalam menginterpolasi f(x) dengan

polinom Newton-Geogry maju adalah

E(x)=(x−x₀) (x−x₁)…(x−x_n) ∆

n+1_f 0

hn+1

(n+1)!(P.1.9)

Atau bentuk lain,

E(x)=s(s−1)s−2¿…(s−n)∆ n+1_f

0

(n+1)!(P.2 .0)

Dengan s=(x-x0)/h.

e. Manfaat Tabel selisih Maju

Pada contoh-contoh perhitungan yang diberikan sebelum ini ,deraja polinom interpolasi di tentukan pada soal. Bila

polinom interpolasi derajat n yang di inginkan ,maka jumlah

DAFTAR PUSTAKA http://www.google.co.id/url?

sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&cad=rja&uact=8&ved=0CEkQFjAE&url=http %3A%2F%2Fsayaanakbaik.files.wordpress.com%2F2011%2F07%2Finterpolasi-polinomial-

lagrange.docx&ei=e3KOU-3HDsrc8AXPz4DAAw&usg=AFQjCNH6SaE3uHVioPjKEii9KJt1bEinVQ&bvm=bv.68235 269,d.dGc

http://www.google.co.id/url?

sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=11&cad=rja&uact=8&ved=0CCUQFjAAOAo&u rl=http%3A%2F%2Ffile.upi.edu%2FDirektori%2FFPTK%2FJUR._PEND.TEKNIK_SIPIL

%2F196306221990011-BUDI_KUDWADI%2FPengajaran%2FNum-bab5.doc&ei=8HOOU_zAAYX48QWvxoGABQ&usg=AFQjCNH_iQYKpbSR6vqFQ0l7Hh LBOnKnJg&bvm=bv.68235269,d.dGc

Munir.Renaldi.2008.Metode Numerik. Informatika Bandung:Bandung

https://www.google.co.id/url?

sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&cad=rja&uact=8&ved=0 CEYQFjAF&url=https%3A%2F%2Fonemat.fles.wordpress.com

%2F2012%2F04%2Fpolinom-newton.docx&ei=3niOU6mlN8Gl8AX2yYKABg&usg=AFQjCNF6NhE9esB xcdetneykLnxqWPCm7A&bvm=bv.68235269,d.dGc