jurnal PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DAT

(1)

1 silver.zezia@gmail.com

PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS

MENGGUNAKAN

FOURIER RESIDUAL MODIFICATION

GREY FORECASTING MODEL

(1,1)

Cendra Puspa Nuswantri, Suyonodan Widyanti Rahayu

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Jakarta

Jl. Rawamangun Muka, Jakarta Timur 13220, Indonesia silver.zezia@gmail.com

Abstrak Peramalan jangka pendek sangat diperlukan untuk menyelesaikan hal yang mendesak. Namun jika data masa lalu yang tersedia sulit didapatkan atau terbatas maka bisa mengakibatkan sulitnya mendapatkan ramalan yang akurat. Model peramalan dikatakan baik jika nilai keakuratan peramalannya mendekati data sebenarnya. Grey Forecasting Model atau GM (1,1) merupakan model peramalan yang menggunakan persamaan differensial orde satu dan satu variabel. Fourier Residual Modification Grey Forecasting Model atau FGM (1,1) merupakan modifikasi GM(1,1) dengan menggunakan Deret Fourier demi meningkatkan keakuratan ramalan jangka pendek untuk data terbatas.

Kata kunci: Grey Forecasting Model, Fourier Residual Modification Grey Forecasting Model, Deret Fourier, peramalan jangka pendek, data terbatas.

1 Pendahuluan

Metode peramalan terbagi menjadi dua yaitu metode peramalan kualitatif dan kuantitatif. Metode peramalan kualitatif digunakan jika metode peramalan kuantitatif sulit digunakan. Metode peramalan kuantitatif adalah peramalan untuk data-data yang bisa dikuantitatifkan. Berdasarkan waktunya, peramalan terbagi menjadi peramalan jangka pendek, peramalan jangka menengah dan peramalan jangka panjang. Peramalan jangka pendek digunakan untuk kurun waktu tidak lebih dari 3 bulan ke depan. Peramalan jangka pendek berguna untuk untuk mengambil keputusan yang sifatnya mendesak seperti ketenagakerjaan, penjadwalan, produksi, dan perencanaan keuangan (Makridakis, 1990).

Sebelum tahun 1990-an, pendekatan dengan regresi tradisional mendominasi literatur peramalan, tapi kondisi ini berubah setelah pertengahan 1990-an sebagian besar peneliti lebih banyak yang menggunakan teknik ekonometrik modern, misalnya model kointegrasi dan model koreksi kesalahan (Error Correction Model) untuk pemodelan dan meramalkan permintaan. Selain itu, penelitian sebelumnya telah difokuskan pada analisis ekonometrik tradisional, dengan model regresi, model deret waktu dan model ARIMA. Namun model-model tersebut hanya efektif untuk meramalkan permintaan jangka panjang dan tidak bagus untuk peramalan jangka pendek dan pada data dengan karakteristik berfluktuasi (Huang & Lee, 2011).

(2)

untuk dilakukan. Peramalan akan menghasilkan informasi baru yang akan terjadi di masa depan. Informasi ini tentu sangat bermanfaat bagi para pembuat kebijakan, pebisnis dan pengambil keputusan. Namun tidak setiap data mudah didapatkan sehingga data tersebut jumlahnya terbatas. Peramalan jangka pendek merupakan hal yang sulit dilakukan apalagi dengan data terbatas. Peramalan dengan GM(1,1) bisa digunakan untuk jumlah data yang kecil atau dengan kata lain data terbatas. Peramalan ini digunakan untuk peramalan barisan, prediksi interval, peramalan bencana alam, peramalan musim dan peramalan pasar modal (Liu & Lin, 2006). Grey Forecasting Model (1,1) atau GM(1,1) telah berhasil diterapkan untuk data permintaan pariwisata di Taiwan yang volatilitasnya tinggi (Huang & Lee, 2011). Peramalan ini dilakukan untuk periode jangka panjang. Model GM(1,1) dengan bentuk umum GM(d,v) dimana d adalah order atau tingkat persamaan differensial dan v adalah jumlah variabel pada persamaan model (Nguyen & Huang, 2011). GM (1,1) adalah model peramalan Grey yang menggunakan persamaan differensial tingkat pertama dengan satu variabel. Dengan demikian diperlukan model peramalan yang tepat agar hasil peramalannya akurat.

Pada penelitian ini akan digunakan GM (1,1) yang dilanjutkan dengan modifikasi Deret Fourier demi mendapatkan peramalan jangka pendek untuk data terbatas. Penggunaan Fourier awalnya dikembangkan oleh Brigham tahun 1998 lalu dilanjutkan oleh Hsu tahun 2003 untuk peramalan. Modifikasi Grey Forecasting Model dengan Deret Fourier diharapkan dapat memberikan metode yang lebih efektif untuk menangani peramalan jangka pendek untuk data terbatas.

2 Landasan Teori

1. Peramalan

Peramalan adalah esensi dari perencanaan dan operasi kontrol dalam berbagai bidang seperti manajemen produksi, sistem inventori, kontrol kualitas, perencanaan keuangan dan analisis investasi (Wei, 2006:88). Peramalan dilakukan karena adanya

time lag atau senjang waktu antara kesadaran akan peristiwa atau kebutuhan mendatang dengan kejadian yang terjadi di masa depan. Adanya lead time atau waktu tenggang ini merupakan alasan utama bagi perencanaan dan peramalan. Jika waktu tenggang panjang dan dan hasil peristiwa akhir bergantung pada faktor-faktor yang diketahui maka perencanaan menjadi sangat penting. Dengan demikian, peramalan diperlukan untuk menetapkan kapan suatu kejadian terjadi sehingga bisa diputuskan tindakan untuk mengantisipasi (Makridakis, 1983:3).

Menurut Heizer (2005), berdasarkan waktu peramalan dikelompokkan menjadi tiga yaitu peramalan jangka panjang, peramalan jangka menengah dan peramalan jangka pendek . Peramalan jangka pendek adalah peramalan untuk jangka waktu tidak lebih dari 3 bulan ke depan.

2. Grey F orecasting Model

Grey System Theory pertama kali dikembangkan oleh Deng (1982) yang difokuskan pada model ketidakpastian dan informasi yang tidak cukup dalam menganalisis dan memahami sistem melalui riset pada analisis bersyarat, prediksi dan pengambilan keputusan. Dalam kehidupan nyata sering dijumpai sistem ketidakpastian sehingga peneliti mendapatkan keterbatasan informasi mengetahui struktur sistem, parameter dan karakteristik. Contoh yang merupakan sistem grey

(3)

mesin dan sistem yang eksak lainnya. Grey Forecasting Model merupakan adaptasi dari bagian inti Grey System Theory dan telah berhasil diaplikasikan dalam bidang finansial, integrated circuit industry dan pemasaran jasa perjalanan udara. Grey Forecasting Model menggunakan Operasi Pembangkit Akumulasi atau Accumulated Generating Operation disingkat AGO untuk membangun persamaan differensial.

Grey Forecasting Model atau disingkat GM memberikan solusi untuk model ketidakpastian pada data terbatas (minimal terdapat empat data) yang biasa disebut "partial known, partial unknown" (Liu & Lin, 2006). Model umum peramalan ini adalah GM (d,v) dimana d adalah order dari persamaan differensial dan v adalah jumlah variabel dalam persamaan (Nguyen & Huang, 2011). Grey Forecasting Model

digunakan untuk peramalan jangka pendek tanpa perlu memisalkan distribusi data yang akan diolah. Grey Forecasting Model pada skripsi ini adalah GM(1,1) dimana menggunakan turunan orde pertama dengan satu variabel.

Untuk mendapatkan model GM(1,1) diperlukan barisan data asli atau data mentah yang disusun berdasarkan waktu. Data asli dapat dinyatakan dalam definisi berikut (Huang & Lee, 2011).

Definisi 1. Barisan data asli atau data mentah berdasarkan urutan waktunya didefinisikan sebagai

_{ _}

dimana adalah urutan dari dari data periode paling lampau hingga data terkini.

Definisi 2. Barisan data first order Accumulated Generating Operation atau AGO orde pertama dari dinotasikan . Misal ∑ , AGO orde pertama ditulis sebagai

_∑

∑

Definisi 3. Inverse Accumulated Generating Operation disingkat IAGO didefinisikan sebagai

Pada model peramalan GM(1,1) ini, IAGO nantinya akan digunakan untuk mendapatkan restored value atau nilai ramalan di masa datang yang dinotasikan sebagai ̂ . Dari barisan data kemudian didapatkan Barisan pembangkit Rata-Rata yaitu .

Definisi 4. Misal adalah nilai rata-rata dari dua data yang berdekatan yaitu

(4)

Generated Mean Sequence atau Barisan Pembangkit Rata-Rata dari dinotasikan

Selanjutnya untuk setiap pasang nilai dan dibentuk menjadi persamaan GM(1,1). Namun sebelum membentuk GM(1,1) perlu diketahui definisi persamaan diferensial order pertama Grey.

Definisi 5. Persamaan differensial Grey didefinisikan sebagai

dimana disebut background value dari

dan a dan b adalah parameter -

parameternya.

Proposisi 1. Misalkan barisan data mentah yaitu

_{ _}

dan barisan Operasi Pembangkit Akumulasi pertama yaitu

_{ _}

dimana ∑ Turunan pertama grey dari adalah

(Liu & Lin, 2006:197).

Definisi 6. Misal { } adalah barisan data mentah dan { } adalah barisan Operasi Pembangkit Akumulasi pertama. Bentuk asli dari GM(1,1) dinyatakan sebagai

Simbol GM(1,1) menyatakan bahwa model menggunakan persamaan diferensial orde pertama dan satu variabel. Misal adalah Barisan Pembangkit Rata-Rata dimana [ ] Bentuk dasar GM(1,1) dinyatakan sebagai

(Liu & Lin, 2010:107).

Pada pembahasan selanjutnya yang digunakan adalah bentuk dasar GM(1,1).

(5)

Untuk mendapatkan nilai parameter a dan b digunakan metode least square estimate

atau estimasi kuadrat terkecil seperti pada teorema berikut ini.

Teorema 1. Misal terdefinisi sebelumnya, non-negatif. Jika

̂ adalah barisan parameter dan

[

_]

,

[

_]

maka estimasi kudrat terkecil dari

memenuhi

̂ [ ]

(Liu & Lin, 2006:199).

Definisi 8. Asumsikan barisan non-negatif, barisan AGO orde pertama dari

_dan _{adalah barisan rataan dari} _{yang berdekatan. Jika}

[ ]

maka

disebut whitenization atau image equation dari

Teorema 2. Misalkan ̂ terdefinisi seperti pada Teorema 1. Jika

[ ]

terpenuhi maka berlaku

1. Solusi (fungsi respon waktu) dari fungsi whitenization

adalah

₍

)

2. Barisan respon waktu dari persamaan differensial grey GM(1,1)

adalah

̂ ₍

)

3. Misal maka

̂ ₍

)

4. Restored value atau nilai ramalan dari adalah

̂ _̂ _̂

(6)

3. Keakuratan Model Peramalan Grey F orecasting Model

Keakuratan model peramalan dapat dilihat dari nilai selisih data asli dan data hasil ramalan. Setelah mendapatkan hasil ramalan menggunakan Grey Forecasting Model, untuk melihat keakuratan ramalan dibutuhkan Residual Series, Residual Error

dan Average Residual Error.

Misal adalah data asli dan ̂ adalah ramalan dengan Grey Forecasting Model. Residual series didefinisikan sebagai

dimana ̂ |

|

_{∑ |} |

Seringkali Residual Error dan Average Residual Error dinyatakan dalam persen. _{∑ |} ̂ |

Untuk mengetahui tingkat keakuratan ramalan dapat dilihat pada table berikut. Tabel 2.1 Kriteria keakuratan model peramalan

Tingkatan Kriteria

Residual Error Keakuratan

I (Sangat bagus) 1% 90%

II (Bagus) 5% 80%

III (Mencukupi) 10% 70%

IV (Tidak mencukupi) 20% 60%

Sumber: Liu dan Lin, 2010: 135 4. Modifikasi Grey F orecasting Model

Peramalan diawali menggunakan model GM(1,1). Dengan membandingkan nilai ramalan dan data asli, maka didapatkan residu GM(1,1). Selanjutnya hasil residu GM(1,1) dimodifikasi menggunakan Fourier sehingga didapatkan FGM(1,1). Dengan membandingkan kembali antara ramalan FGM(1,1) dengan data asli, akan dihasilkan residu untuk model FGM(1,1). Berdasarkan Tabel 2.1, semakin kecil Residual Error

maka semakin baik keakuratannya.

5. Deret Fourier

Deret Fourier adalah fungsi periodik dengan periode dan frekuensi yang dinyatakan dengan

∑[ ] dimana (Brigham, 1988:74).

Pada pembahasan Fourier Residual Modification Grey Forecasting Model atau yang dikenal sebagai FGM(1,1) ini, koefisien dan kan didapatkan dengan cara least square estimate.

(7)

3 Pembahasan

Model peramalan Fourier Residual Modification Grey Forecasting Model atau FGM(1,1) merupakan modifikasi dari model GM(1,1), dalam hal ini yang dimodifikasi adalah barisan nilai error atau residual series berdasarkan ramalan GM(1,1). Misal adalah original input dan ̂ adalah hasil ramalan dengan GM(1,1). Residual series dinotasikan sebagai

(8)

̂

∑ [ (

) ( )]

Misal ̂ deret original dari FGM(1,1). Selanjutnya untuk memperoleh ramalan FGM(1,1) adalah

̂ _̂

Pada persamaan (3.7) menunjukkan bahwa FGM(1,1) adalah usaha meningkatkan keakuratan ramalan GM(1,1) dengan mencari estimasi nilai Residual Series. Untuk melihat efektifitas ramalan FGM(1,1) selanjutnya dilakukan uji coba pada data empiris yang memiliki tingkat varian yang berbeda. Untuk mengetahui keakuratan ramalan FGM(1,1) digunakan persamaan (2.15), (2.16) dan Tabel 2.1 sebagai acuan.

(9)

Peramalan jangka pendek untuk data terbatas menggunakan FGM(1,1) diterapkan pada data permintaan tiket pesawat pada musim liburan berikut ini.

Tabel 3.1 Data permintaan tiket pesawat

Tabel 3.2 Hasil peramalan untuk data permintaan tiket pesawat

Hari k Data

Gambar 3.2 Grafik hasil peramalan permintaan tiket pesawat

Peramalan pada data permintaan tiket pesawat pada musim liburan dengan menggunakan GM(1,1) memperoleh keakuratan 97,93% dan dengan menggunakan FGM(1,1) memperoleh keakuratan 99,05%. Selanjutnya untuk melihat efektifitas

(10)

model peramalan FGM(1,1) juga diterapkan pada data lain dengan tingkat varian kecil, sedang dan tinggi dan hasilnya adalah FGM(1,1) tetap konsisten memiliki keakuratan yang lebih tinggi daripada GM(1,1).

4 Penutup

Berdasarkan pada pembahasan mengenai bagaimana melakukan peramalan jangka pendek untuk data terbatas menggunakan Fourier Residual Grey Forecasting Model atau FGM(1,1) maka didapatkan kesimpulan bahwa peramalan FGM(1,1) didapatkan dengan memodifikasi Residual Series atau selisih dari data mentah dan hasil ramalan GM(1,1). Untuk data mentah yang sama, hasil peramalan jangka pendek dimana datanya terbatas menggunakan model peramalan FGM(1,1) lebih akurat dibandingkan dengan model ramalan GM(1,1). FGM(1,1) dapat digunakan untuk meramalkan data yang memiliki varian kecil, sedang dan bahkan varian besar dengan nilai keakuratan lebih tinggi dibandingkan GM(1,1) sehingga model peramalan FGM(1,1) lebih efektif dibandingkan GM(1,1).

Pustaka

[1] Brigham, E. Oran. (1988). The Fast Fourier Transform and It’s Applcations. New Jersey: Prentice Hall.

[2] Deng, Julong. (1982). Control Problems of Grey System, Problems and Control Letters, Vol.5, 288-294. China.

[3] Heizer, J. dan Render B. (2005).Operation Management, Edisi 7. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.

[4] Huang, Y.L. dan Lee, Y.H. (2011). Accurately Forecasting Model for the Stochastic Volatility Data in Tourism Demand, Modern Economy, Vol.2, 823-829. China. [5] Liu, Sifeng dan Lin, Yi. (2006). Grey Information: Theory and Practical

Applications. London: Springer-Verlag.

[6] Liu, Sifeng dan Lin, Yi. (2010). Grey Systems: Theory and Applications. United States of America: Springer.

[7] Makridakis, Spyros G. (1990). Forecasting, Planning and Strategy for 21st Century. United States of America: Collier Macmillan, Inc.

[8] Makridakis, Spyros G., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. (1983). Forecasting Methods and Applications, Second Edition. Canada: John Wiley and Sons.

[9] Nagle, R. Kent. (2012). Fundamentals of Differential Equations, 8th Edition. Boston: Pearson Education, Inc.

[10] Nguyen, T.L. dan Huang, Y.F. (2011). Forecasting Energy Intensity with Fourier Residual Modified Grey Model: An Empirical Study in Taiwan. Taiwan: National Kaohsiung University of Applied Sciences.

[11] Tang, dkk. (2005). Study on Grey Model GM (1,1) Forecasting for Airport Passenger Throughput, China-USA Business Review, Vol. 4. China: Beijing Jiaotong University.

[12] Wei, William W. S. (2006). Time Series Analysis : Univariate and Multivariate Methods, Second Edition. United States of America: Pearson Addison Wesley. [13] Xinping, Xiao dan Rongjiao, Zheng. (2011). Multi-Level Recursive Method of