MODUL BUKU SISWA MATEMATIKA KELAS X

MODUL / BUKU SISWA

MATEMATIKA

KELAS X

Oleh:

Maya Kurniawati,S.Pd

BAB 1

BENTUK PANGKAT (EKSPONEN), AKAR DAN LOGARITMA

Standar Kompetensi:

1.

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma

Kompetensi Dasar:

1.1.

Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma.

1.2.

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan

logaritma.

A.

Bilangan Berpangkat (Eksponen)

Kalian tentu masih ingat materi di kelas IX tentang perkalian berulang.

Uji Materi Prasyarat

Ingat!!

4 2 2

22 _{   4}3 _{44464}

9 3 3

32 _{   2}4 _{............}

Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut: 1. Hitunglah:

a)

 

_15_{= …}

b) _{2 = …} 3

2. Jika p2, q3, dan r1, hitunglah:

a) 2p2r b) p2qr 3. Sederhanakan:

a) 40 b) 256 4. Hitunglah:

a) 2 710 7 b) 2 710 7 5. Hitunglah:

a) 3log125 b) 2log64

1.Pangkat Bulat Positif

a. Pengertian Pangkat Bulat Positif

Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka _an_{(dibaca "a pangkat n") adalah hasil}

kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk

dengan:

a = bilangan pokok (basis) n = pangkat atau eksponen

n

a = bilangan berpangkat Contoh Soal

Tentukan nilai pemangkatan berikut.

a. ₃4 _{    3 3 3 3 81 d.}

           

5

1 1 1 1 1 1 1

            

b. 2 3 2 2 2 8

3 3 3 3 27

  _     _{  }

       

        e.

3

4w    4 w w w

c.

 

_4w 3 _{4w w w4 4 64w}3

b. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Untuk menemukan sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif, lakukanlah kegiatan berikut:

LEMBAR KEGIATAN SISWA

Menemukan Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Lakukan kegiatan berikut secara berpasangan, untuk menyelidiki sifat perkalian, pembagian, pangkat perkalian, pangkat bentuk pecahan, dan pangkat bilangan berpangkat. Kemudian kemukakan hasilnya di depan kelas.

1. Bagaimana sifat perkalian bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, hitunglah _a5_a3

Tulis _a5 _{dan a}3_{sebagai perkalian berulang!}

.... .... .... ... ...

5 _{    }

a dan _a3 _..._..._...._....

a a

a a

a a

a5 3   ...  ...

a a

a a a

a5 3    ... _{… (1)}

Hitung banyaknya faktor a dalam ruas kanan persamaan (1). Kemudian, tulislah ruas kanan dalam bentuk _an_{. Jadi, a}5_a3 _a...

Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, perhatikan perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real, dan m, n bilangan bulat.

a a

a a

a a

am_ n _{  ...  ...}

= _{aaa....aa}....... Jadi, _am_an _a.......

2. Bagaiman sifat pembagian bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, hitunglah 7₃,

a

a _dengan

0

 a

a

a

a

a

a

n









...



Sebanyak n faktor

….. faktor ... faktor

(….+….) faktor

 Tulis a5 dan a3sebagai perkalian berulang!









a a a



a a

a a a a a

a

a a

a a a

 

       

  

 ....

... ...

3 7

…. (2)

 Sederhanakan faktor yang sama pada pembilang dan penyebut dalam ruas kanan persamaan (2), hitung banyak faktor a yang tersisa dalam bentuk _an

Jadi, ... ... ... 3

7

a a

a

a _  _

 Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, lakukanlah perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real, a0 dan m, n bilangan bulat dengan mn.



 





a a a



a a

a a a

a a a

a

a a

a a a

n m

  

         

   

...

.... ...

...

... _{…. (2)}

_{aa...a a}......

Jadi, a m n a

a

n m

  ...... _,

3. Bagaiman sifat pemangkatan perkalian? Untuk mengetahuinya, hitunglah

 

_ab 5_.

 Tulis

 

_ab 5_{sebagai perkalian berulang.}

     

ab 5  ab  ab ....

 

ab

 Kumpulkan faktor a dan factor b dalam ruas kanan secara tersendiri

 

ab5 aa...abb...b _….(3)

 Hitung masing-masing banyak faktor a dan banyak faktor b dalam ruas kanan persamaan (3). Kemudian, tulislah masing-masing dalam bentuk _an _{dan b}n

 

_ab 5 _a..._b...

 Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, perhatikan perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real, dan m, n bilangan bulat.



a_b

 

n _ a_b

 

_ a_b



_...



a_b



_



_{aa...a}

 

_{ bb...b}



_a..._b... Jadi,



ab



n a...b...

4. Bagaimana sifat pemangkatan bentuk pecahan? Untuk mengetahuinya, hitunglah 5      b

a _{, untuk}

. 0

 b

…..faktor …..faktor

…..faktor …..faktor …..faktor

…..faktor

…..faktor …..faktor

…..faktor …..faktor …..faktor

(…. - ….) faktor

…..faktor …..faktor

 Tulis 5     

b

a _{sebagai perkalian berulang.}

b a b a b

a b a b

a_{     }

   

 5 _{... …..(4)}

 Hitung masing-masing banyak factor a pada pembilang dan banyak faktor b pada penyebut dalam persamaan (4). Kemudian, tulislah masing-masing dalam bentuk _an_{dan b}n_.

... ... 5

b a b a_{ }

    

 Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu perhatikan perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real, b0, dan n bilangan bulat.

... ...

... ... ...

b a b b

b

a a

a b a b

a b a b

a n _

  

             

Jadi, _......

b a b a_n _

   

 _{, b0.}

5. Bagaimana sifat pemangkatan bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, hitunglah

 

_a2 5.  Tulis

 

_a2 5_{sebagai perkalian berulang}

 

_a2 5 _{ a}2_a2_...a2





a...a



….(5)

 Hitung banyaknya faktor a dalam ruas kanan persamaan (5). Kemudian, tulislah dalam bentuk _an_{. Jadi,}

 

_a2 5 _{ a.}..._.

 Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, perhatikan perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real dan m, n bilangan bulat.

 

_am n _{ a}m_am_...am





a...a

 

 a...a



...



a...a



_{aa...a a}......

Jadi,

 

_am n _{ a}......

Contoh Soal;

Tentukan operasi dari bilangan berikut.

a. _3x4_x2 _c.



_{3 2}



3

2p q

…..faktor …..faktor

…..faktor

…..faktor

... ... faktor

…..faktor

…..faktor …..faktor …..faktor …..faktor

…..faktor

b. 3 ₄5,x0

x x

x _d. 3 2 3_{, 0}

      

y b a

Penyelesaian:

a. _3x4_x2 _3x4_x2_3x42_3x6 _{sifat 1}

b. 6 4 2

4 6

4 5 1

4 5 1

4 5

3 3

3 3

3

3 _{x x}

x x x

x x

x x x

x

x _{ }  _{ }  _{ sifat 1 dan 2}

c.



_2p3_q2



3 _{ 2}3_

   

_p3 3_{ q}2 3 _{sifat 3}

6 9 3 2 3

3 ₈

8p q  p q

   _{sifat 5}

 

 

b a b

a b

a b

a2 3 ₃ 2 3 ₃3 2 3 ₂₇ 6

3 _{  }

     

 sifat 4, sifat 3, dan sifat 5

2.Pangkat Bulat Nol

LEMBAR KEGIATAN SISWA Menemukan Definisi Bilangan Berpangkat Nol

Lakukan tugas berikut secara perorangan. Kemudian, presentasikan di depan kelas.

 Perhatikan sifat m_n am n a

a _  _{untuk a 0. Sifat tersebut berlaku untuk mn. Jika diambil mn,}

apa yang Anda peroleh? Substitusikan mn pada kedua ruas persamaan tersebut (ganti m dengan n). Misalnya kita ganti mn3, sehingga:

... ... 3

3





a

a

a

...(1)

 Tulis a3sebagai perkalian berulang

... ...

...

...

...

...

...

...













a

…(2)

 Sederhanakan kedua ruas. ...

...a …(3)

 Ulangi langkah 1 sampai dengan langkah 3 diatas untuk nilai m dan n lainnya dengan mn. Perhatikan persamaan (3) yang Anda peroleh.

Dari kegiatan diatas apa yang dapat Anda simpulkan tentang definisi bilangan berpangkat nol?

 Jadi, a......

Atau untuk menemukan nilai dari _a0 _{bisa diperoleh dengan menemukan pola pangkat dari contoh} berikut. Isilah titik-titik berikut kemudian perhatikan pola pangkatnya:

16

2

4



8

2

3



...

2

2



...

2

1



...

2

0



Pada ruas kiri kebawah, pangkatnya ………, dan pada ruas kanan kebawah hasilnya selalu dibagi …..

Dari pola tersebut , 2 = ⋯

Dari kegiatan diatas apa yang dapat Anda simpulkan tentang definisi bilangan berpangkat nol?

dibagi …..

dibagi …..

dibagi …..

Jika a bilangan real, a0, dan n = 0, maka _a 0 _1

Nah, bagaimana jika a0? Maka berapa nilai ₀0_?

 Dari sifat pembagian bilangan berpangkat yang sudah kita pelajari sebelumnya bahwa m n n

m

a a

a _  _.

Jika a0 dan m, kita ganti sebarang bilangan misalnya n mn3 maka kita peroleh:

... ... 3

3

0

0

0





...(1)

 Tulis 0 sebagai perkalian berulang 3

... ...

0

...

...

...

...

...

...













…(2)

 Sederhanakan kedua ruas. Ingat bahwa



tak

terdefinis

i

0

0

.

3.Pangkat Bulat Negatif

Anda telah memahami definisi bilangan berpangkat bulat positif dan nol. Bagaimana dengan definisi bilangan berpangkat bulat negatit? Untuk memahaminya, lakukanlah kegiatan berikut.

LEBAR KEGIATAN SISWA Menemukan Definisi Bilangan Berpangkat Nol

Lakukan kegiatan ini secara perseorangan. Kemudian, presentasikan hasilnya di depan kelas.

1. Perhatikan sifat pembagian bilangan berpangkat m n n

m

a a

a _  _{untuk a0dan mn.}

2. Sifat pada langkah 1 hanya berlaku untuk mn. Jika ditetapkan bilangan m dan n dengan mn, misalnya m5 dan n7 maka sifat pada Langkah 1 memberikan:

... ... ... 7 5

a a

a

a _  _{ …(1)}

3. Sekarang, hitunglah ₇5

a

a _{dengan menyatakan a}5_{dan a}7_{dalam perkalian berulang a.}

a a

a

a a

a a a

  

   

... ...

7 5

Sederhanakan factor yang sama pada pembilang dan penyebut di ruas kanan dan tulis hasilnya.

... 7

5 ₁

a a

a _{ sifat …(2)}

4. Ruas kiri persamaan (1) dan (2) adalah sama sehingga Anda dapat menyamakan ruas kanannya dan diperoleh ... 1_...

a

a  …(3)

5. Ulangi langkah 2 sampai dengan langkah 4 untuk nilai m dan n lainnya dengan mn. Perhatikan persamaan (3) yang Anda peroleh.

Dari kegiatan diatas apa yang dapat Anda simpulkan tentang definisi bilangan berpangkat negatif?

Jika a bilangan real, a0, dan n bilangan bulat positif, maka n _n

a a  1

atau

a

_n



a

n

1

…..faktor

…..faktor

Contoh Soal

Nyatakan bilangan berpangkat bulat negative berikut ke bilangan berpangkat bulat positif. Kemudian, tentukan hasil pemangkatannya.

a.

 

_25 _b. 3

4 1



Penyelesaian:

a.

 

     

32 1 32 1 2 2 2 2 2

1

2 5 _

       

 

b. 4 4 4 4 64 4

1 3

3     



Uji Kompetensi 1.1

Kerjakan soal-soal berikut di buku latihan Anda! 1. Tulislah dalam notasi bilangan berpangkat

a. 555pp b.

   

2a 2a 2a 2. Tulislah tanpa menggunakan notasi pangkat

a. _3b3

b. _x3_y3 c.

 

_2q 4

3. Sederhanakan dan tulislah tanpa pangkat negative.

a.



4_xy2



5, _x 0, _y 0 _d.



_a5_b2



3_{,a  0,b 0}

b. 2 ₃8, y0 y

y _e.



_xy



  

_2x3_{y 4x}3_y c. 2 8₄ 2_, 0, 0

  

 

 

q p q p

q p

4. Hitunglah nilainya, jika x 5dan y3

a.



_3x2



2 _c.



_xy



1

b.

b a2

d. ₄



_p2_q2



5. Sederhanakan dan tulislah tanpa pangkat negative.

a.





_{1 2 3}





₂

3 4 2 2

2 3

 



r q p

r q

p _b.

 

3 1

2 3 2 1

4 2

c b

c b a

  

6. Nyatakan dalam pecahan sederhana

a. _12 _₁2

  b a

b

a _b. 1

1 1

1 

 

    

 

y x

x

Soal aplikasi

7. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan persamaan

3 1

2 1

1

1 _R

R R

R _ 

  

 

 



8. Energy diam E sebuah proton dengan massa diam m dinyatakan dengan persamaan Einstein 2

c m

E , dengan c = kecepatan cahaya. Tentukan E jika m_{ ,1710}27 kg _dan ik

m

c_ ,30_108 /det _{. Nyatakan jawaban Anda dalam notasi ilmiah.}

9. Satu atomic mass unit (amu) sama dengan _,1661027kg_{. Berapakah massa 15.000.000 atom}

karbon (dalam kg) jika massa 1 atom karbon sama dengan 12,0 amu?

10.Massa bumi kira-kira _5,981024kg _{dan volumenya kira-kira ,10810}21 _m3_{. Gunakan notasi ilmiah} untuk menghitung massa jenis rata-rata bumi.

11.







_{2 2}



1

2

1 2

1 



 

 

x y x

x y y y

12.Jika pqr 1, hitunglah nilai dari

   

 

      

 1 1 ₁ 1

1 1

1 1

1

p r r

q q

p

13.Jika a2 dan b3 maka nilai dari

1

1 1 1

1

  

ab

adalah …

B.

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

1. Konsep Bilangan Irasional

Sebelum kita mendiskusikan apa itu bilangan irasional, perlu diingat kembali definisi dari bilangan rasional. Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan decimal berulang ataupun pecahan biasa (

q

p _{dengan p,qR dan q0) disebut bilangan rasional. Sedangkan bilangan irasional}

adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan decimal berulang atau pecahan biasa.

Contoh bilangan rasional: a. 0,171717...

99 17 _

b. 9 3,000... c. 4

d. 1,66666... 9

15 _

Contoh bilangan irasional: a. 2  ,1414213... b. 7 2,6457... c. e 2,718281... d.  3,141592...

 Buktikan bahwa 2 bukan bilangan rasional Bukti:

Misalkan

q p 

2 …(1)

Dimana p dan q tidak mempunyai factor yang sama kecuali 1. Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada persamaan (1) diperoleh:

2 2

2 q p

 atau

2 2 _2q

p  …(2)

Karena _p2 _2q2 _{maka p}2 _{bilangan genap dan p juga genap.}

Andaikan p2r, dimana r bilangan bulat dan disubtitusikan ke persamaan (2) maka: 2

2 ₂

4r  q

2 2

2r q …(3)

Karena _q2 _2r2 _{maka q bilangan genap}

Jika p dan q bilangan genap maka memiliki factor perkalian yang sama yaitu 2. Hal ini bertentangan dengan pemisalan, jadi 2 bukan bilangan rasional.

 Nyatakan pecahan decimal 3,242424… dalam

q

p_{; p dan q bilangan bulat}

Jawab:

Misalkan x3,242424... kalikan 100 pada kedua ruas

100x324,2424... _ 99x321

Maka . 99 321



x atau 33 107

2. Bentuk Akar

a. Pemahaman Definisi Bentuk Akar

Bentuk akaradalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional. Contoh:

1) 2  ,1414213... ( 2 merupakan bil rasional, namun 1,414213… bilangan irasional) 2) 7 2,6457... ( 7 merupakan bil rasional, namun 2,6457… bilangan irasional) 3) 9 bukan bentuk akar sebab 93 (bil rasional)

4) 0,25 bukan bentuk akar sebab 0,25 0,5 (bil rasional) Bentuk umum bentuk akar ditulis:

n

a

dengan: n _{adisebut bentuk akar (radikal)} disebut lambing bentuk akar n disebut indeks (pangkat akar)

a disebut radikan (bilangan dibawah tanda akar) dengan a bilangan riil positif untuk n bilangan asli dan untuk n bilangan ganjil, a dapat berupa bilangan riil negatif.

b. Pangkat Pecahan atau Pangkat Rasional

Definisi Pangkat Pecahan atau Pangkat Rasional

Untuk mempelajari definisi sifat-sifat pecahan pelajarilah uraian berikut. Misalkan:

a

 

2

 

2

2 2 _ a

a

2

2 2

a

2

1 ₂

2 

a

2 1

2 1

 a

 Jadi, 2 1

2 2 

Uraian tersebut menggambarkan definisi bilangan berpangkat pecahan sebagai berikut. Jika a0, m dan n bilangan bulat positif (bilangan asli), maka

n m n

m

a

a  atau n m n _am _a

Catatan: a boleh diganti negative jika n bilangan ganjil, sebagai contoh:

 

1 1

1 3 3

3 _{   }

 

2 2 32 5 5

5 _{   }

Akan tetapi untuk n bilangan genap diperoleh 1

1

2 _{   tak terdefinisi untuk bilangan real}

Sifat-sifat Bilangan Pangkat Pecahan

Sifat-sifat pada bilangan berpangkat bulat juga berlaku bagi bilangan berpangkat pecahan. 1) _am _an _amn

2) _am _an _amn

3)

 

_am n _{ a}mn

4)

 

_ab m _am_bm

5) m _mm

b a b

a_{ }    

 _{, untuk b0}

6) _a0 _1_{, untuk a0} 7) m _m

a

a  1 _{, untuk a0}

8) _an _

 

n _a

1

, untuk aR, n2, dan n bilangan asli

9) n

 

n m n m m

a a

a   , untuk n a_R_{, m bilangan bulat, n2, dan n bilangan asli} Contoh

Tentukan nilai dari:

a) 3 1

27 d) 3

2 2 1 1

8 25 

b) 3

4 3 2

a

a  e) 4

1 2 1 2

16 4 

c) 3 2

64 f)





2

1 3 3

3 _{2 3}

1  

Penyelesaian:

a) 273

 

33 ₃1 31 3

1

  

b) 3 2

6 3 4 3 2 3 4 3 2

a a a

a

c)

 

16 1 2

1 2 2

64 3 6 ₃2 4 ₄ 2

  

  



d) 25 83

   

52 ₂3 23 ₃2 53 22 125 4 500

2 2 1 1

     

 

e) 421_{2 }16₄1 _

   

22 5_{2 } 24 1_{4 }25 _21 _32_2_34

f)



13 _23 _33



₂1 _1₂3 _2₂3 _33_{2 }2 31 _2 23 _2 33 _ 1_ 8_ 27 _1_2 2_3 3

Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut.

1) Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk pangkat rasional:

a) 3 _ab2 _{c) x}3

b) _4xy6 _d) 4 _16x8_y6

2) Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk akar:

a) 3 2

5 c) 4

1

4 3 2

       

b a

b) 3

1 2

2p q d)





2 1 2 _8 x

3) Tentukan hasil operasi dari:

a)

   

 

2

5

2 1 3

1 3 2

4 25

10 8

27   



b)

   

2

5

4 3 3

1

3 27 81

125 

      

4) Jika x = 25 dan y = 64, tentukan nilai dari

2 1 3 1

3 2

2 3

x y

y x

 



5) Tentukan bentuk sederhana dari: a) 5 ₁₆3 _{4 4}

b) 4 ₄ 4 _0,04

625 1 25 5 5

1 _{  }

c. Jenis-Jenis Bentuk Akar

Bentuk akar terdiri atas 2 jenis: 1) Akar senama

Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama. Contoh:

a) 2, 3, 5 mempunyai indeks 2 b) 3 _5,3_10,3 _{11 mempunyai indeks 3}

2) Akar sejenis

Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama. Contoh:

3 3

d. Sifat-Sifat Bentuk Akar

1) _a2 _{ a};_a 0

2) ab  a b;a0 dan b0

3)  ;a0 b

a b

a _dan

0

 b

4)

 

   

ganjil n jika a

genap n jika a a n

n

, ,

5) n _an _bn _ab

6) n

n n

b a b a _

7) m n _{a }mn_a

Contoh:

Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar, sederhanakan bentuk akar berikut.

1) 54 4)

25 2

2) 72 5) 3₁₂₈

3) 81

Penyelesaian:

1) 54 96 9 63 6

2) 72 362 36 26 2

3) 81_ 9_9 _ 92 _9

4)

5 2 25

2 25

2 _{ }

5) 3_{128 }3 _{642 }3 _643 _{2 4} 3 ₂

e. Menyederhanakan Bentuk Akar

Syarat-syarat yang harus dipenuhi agar bentuk akar dikatakan paling sederhana . 1) Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu, contohnya

0 ,x

x bentuk paling sederhana

5

x dan _x2 _{bukan bentuk sederhana}

2) Tidak ada bentuk akar pada penyebut, contohnya

x

1 _{bukan bentuk sederhana}

x

x _{bentuk sederhana}

3) Tidak mengandung pecahan, contohnya

2

5 _{bukan bentuk sederhana}

2

10 _{bentuk sederhana}

Contoh:

Sederhanakan bentuk akar berikut!

b) 48_x4 _y13; _{dengan y0} Penyelesaian:

a) 12 43 4 32 3

b) _48x4 _y13 _



_163



_x4 _



_y12 _{ y}1



_ 16x4y12 _ 3y _4x2y6 3y _{karena 16x}4_y12 _



_4x2_y6



2

c)



_3x5



9 _



_3x5

 

8 _{ 3x5}



1



3 _5



8 _



3 _5

 

_ 3 _5



4 3 _5

 x x x x karena



_3x5



8 _





_3x5



4



2

f. Operasi Aljabar Bentuk Akar

1) Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Ingat kembali !! Operasi aljabar dan sSuku-suku sejenis di kelas VIII Contoh:





a a

a

a 2 3 2 5

3    





b b

b

b 4 7 4 3

7    

b

a 3

5  tidak dapat dijumlahkan

Begitu pula pada penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, variable pada bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika sejenis.

Jika p,qR dan a0, maka



p q



a a

q a

p   



p q



a a

q a

p   

Misal: 2 3 5

2  tidak dapat dijumlahkan



7 2 1



5 6 5 5

5 2 5

7      

2) Perkalian Bentuk Akar

Berdasarkan sifat bentuk akar ab  a b maka, Untuk p,qR dan a0 dan b0, berlaku:

ab pq b q a

p  

Misal



3 5



2 3 15 6 3

5 2

3     

5 4 5 16 5 16 80 10 8 10

8        

3) Pembagian Bentuk Akar

Untuk a,bR dan a0 dan b0, berlaku:

b a b a _

Misal

3 6 18 6

18 _{ }



4 2

  

22 2 4 2 2

2 4 2 8 2 5 40 3 6 5 3

40

6 _{       }

Contoh:

Selesaikan operasi aljabar berikut

Penyelesaian:

a) 5 2 323 8 5 2 1623 42 2 2 3 2 4 2

5   



2 6 2 4 2

5  





546



2 3 2



b)



4 3 3 5



2 3 5



4 3



2 3 5



3 5



2 3  5



           

4 3 2 3  4 3 5  3 5 2 3  3 5 5



5 5 3 3 5 6 5 3 4 3 3

8       



 

3 4 15 6 15 3

 

5

8   





4 6



15 15 9 2 15 24     

g. Merasionalkan Penyebut

1) Merasionalkan Penyebut ;

b

a _b0

Untuk merasionalkan penyebut dalam pecahan

b

a _{, pecahan tersebut harus anda kalikan}

dengan b b

. Dengan demikian, proses merasionalkan penyebut dalam pecahan

b

a _adalah

b

a _{= b}

b a b b b a b

a _{  }

Contoh

Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya a)

10

6 _{b) ; 0}

3 5

4 _x

x

Penyelesaian:

a) 10

5 3 10 10

6 10

10 6 10 10 10 6 10

6 _{    }

b) x

x x x x

x x

x 15 3

4 3 5

3 4 3 3 3 5

4 3

5

4 _

  



1) Sederhanakan perkalian berikut

a)



x 2



x 2



c)



x y



x y



b)



x 5



x 5



d)



x y



x y



2) Pola apakah yang anda temukan dari hasil pada langkah 1 diatas? Dengan melihat pola tsb, dapatkah anda menyederhanakan bentuk berikut?

a)



a b



a b



.... c)



a b



a  b



b)



a b



a b



.... d)



a b



a  b



3) Rasionalkan penyebut dari

7 2



x dengan melakukan perkalian berikut:

.... 7 7 7 2 _     x x x

4) Rasionalkan penyebut dari pecahan

5 2

 x

5) Dari hasil pada langkah 3 dan langkah 4, jelaskan bagaimana merasionalkan penyebut yang melibatkan bentuk akar berikut:

b a c b a c b a c b a c     ; ; ;

2) Merasionalkan Penyebut bentuk

b a

c

 atau a b

c 

Dari tugas diatas, dengan menggunakan sifat perkalian



_ab



_ab



_a2_b2_atau



_ab



_ab



_a2_b2_{selalu menghasilkan bilangan rasional. Bentuk}



_ab



_merupakan kawan dari



ab



begitu juga sebaliknya.



a b



a b



a2 

 

b 2 a2 b _dan



a b



a  b

    

 a 2  b 2 ab

Berdasarkan dua hal diatas maka untuk merasionalkan penyebut yang bentuk akarnya berupa jumlah atau selisih dari dua bilangan adalah dengan mengalikan baik pembilang maupun penyebut dari pecahan tersebut dengan pasangan bentuk sekawannya seperti yang telah dikerjakan pada tugas 1.3 langkah 5:





 

 



a b



b a c b a b a c b a b a b a c b a c           

 2 2 2





 

 



a b



b a c b a b a c b a b a b a c b a c           

 ₂ 2 2





   



a b



b a c b a b a c b a b a b a c b a c           

 2 2





   



a b



b a c b a b a c b a b a b a c b a c           

 2 2

1) Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya

a)

6 4

10

 b) 5 10

6  2) Jika 3 2 3 2   

p dan

3 2 3 2   

q , hitunglah operasi berikut

a) pq b) pq c) pq d)

q p

Penyelesaian:

1) a) Pasangan sekawan dari



4 6



adalah



4 6



, sehingga untuk merasionalkan

penyebutnya, kalikan pecahan tersebut dengan

6 4 6 4   6 4 6 4 6 4 10 6 4 10      





 

 



 

10



6 4 10 6 16 6 4 10 6 4 6 4 10 2 2        



4 6





b) Pasangan sekawan dari



15 10



adalah



15 10



, sehingga untuk

merasionalkan penyebutnya, kalikan pecahan tersebut dengan

10 15 10 15   . 10 15 10 15 10 15 6 10 15 6      





   

15 10

60 90 10 15 10 15 6 2 2 _      5 15 4 10 9 10 15 15 4 10

9 _ 

     15 5 2 10 5 3 5 15 2 10

3  _{ }

 2) a) 3 2 3 2 3 2 3 2       q p





 







2 3



2 3



3 2 3 2 3 2 3 2        



 



 

₂

 

2 2 2 3 2 3 2 3 2     

b)



 



3 4 3 3 4 4 3 3 4 4        q p 14 1 14 _ 

c)







 











 



 

 



4

 

3



3 3 4 4 3 3 4 4 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2             8 3 1 3 8 1 3 4 7 3 4

7   _  _  d) 1 3 2 3 2 3 2 3 2 _       q p e) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2            q p

















7 4 3

3 4 7 3 3 4 4 3 3 4 4 3 2 3 2 2 2            3 4 7 3 4 7 3 4 7 3 4 7      





 

1 97 56 3

3 56 97 48 49 48 3 56 49 3 4 7 3 4 7 2 2 2           

h. Menyederhanakan Bentuk a2 b dengan



a2 b



0

Bentuk a2 b dapat diubah menjadi bentuk lain yang sederhana misalnya p  q atau q

p  . Untuk lebih jelasnya pelajari contoh berikut. Contoh

Sederhanakan bentuk akar berikut

a) 62 8 b) 5 24

Penyelesaian:

a) Misalkan, x 62 8 dengan x0. Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh 8

2 6 2 _{ } x



42



2 42 42 42 2



 

2

 

2

2 2 4 2 4 2 2 4 2

4        







2

2 _{ 4  2}

x sehingga x 4  2 karena _a2 _2abb2 _



_{a b}



2

 Jadi, 62 8  4  2 2 2

b) Misalkan, x 5 24 dengan x0. Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh 24

5

2 _{ }

x

5 4 6

52 6 



32



2 32

 

2

 

2

2 _{32 3 2 2 3 2 3 2  2}

x





3  2



2sehingga x 3 2

Tugas

Lakukan tugas ini dengan teman sebangku. Kemukakan hasilnya di depan kelas

1) Perhatikan hasil penyederhanaan bentuk akar a2 b dengan



a2 b



0yang anda peroleh pada contoh diatas:

2 4 8 2

6   …(*)

2 3 6 2

5   …(**)

2) Perhatikan kesamaan (*). Dapatkah anda melengkapi kalimat terbuka berikut dengan tanda operasi



,,,



agar diperoleh pernyataan yang benar?

4 ….. 2 = 6 4 ….. 2 = 8

Sekarang perhatikan kesamaan (**). Dapatkah anda melengkapi kalimat terbuka berikut dengan tanda operasi



,,,



agar diperoleh pernyataan yang benar?

3 ….. 2 = 5 3 ….. 2 = 6

Dengan mengamati kesamaan (*) dan kesamaan (**) dengan saksama dan hasil pada langkah 2. Dapatkah anda menyatakan rumus untuk menyederhanakan bentuk

b

a2 ke dalam bentuk jumlah atau selisih dari dua bentuk akar? Kesimpulan:

Untuk



a 2 b



0, berlaku a 2 b  p  q ; dengan p q0 jika dan hanya jika p q a dan p qb

Latihan

1. Sederhanakanlah

a) 6 24 210 2 c) 2 28 20 125 b) 2 20 80 d)



3 22 2



2

2. Sederhanakan bentuk berikut

a) 5 6



4 23 6



c)



3 52 2



3 52 2



b)



2 3



6 2



d)



2 7 3 2



2

3. Sederhanakanlah penyebut dari bentuk akar berikut

a) 2 3

4 _c)

2 2

3 3

 

b)

7 3

7 3

 

d)

6 2 3

2 4

 4. Sederhanakan bentuk berikut

a) 152 54 b) 2010 3

5. Jika diketahui sebuah persegipanjang PQRSdengan panjang    

 

 3 2

2 _{cm dan lebar}

   

 

2 3 5

2 _{cm. Tentukan:}

i. PersamaanPangkatSederhana

Persamaan yang berbentuk ax _b _{disebut persamaan pangkat. Misalnya 3}x _27,

5 5 52x _

dan ₂3x _42x1

1) Bentuk _a f(x) _ac_{; c konstanta dan a0,a 1,maka f(x)c}

Contoh

Tentukan nilai x jika:

a) 3x 27 _c)

5 5 52x _

b) 2x1 _128 Penyelesaian: a) 3x 27

3

3 3x  Jadi, x3 b) 2x1 _128

7

1 ₂

2x  7 1  x

Jadi, x6

c)

5 5 52x _

1 2 1

2 ₅

5 x   1 2 1 2x 

2 1 2x 

Jadi,

4 1

  x

2) Bentuk _a f(x) _ag(x)_{; a0,a1,maka f(x) g(x)}

Contoh

Tentukan nilai x yang memenuhi:

a) ₂3x _42x1 _{b) 3}5x2 _9x4

Penyelesaian: a) ₂3x _42x1

 

₂ 2 1

3 ₂

2 x  x

2 4 3x x

Jadi, x2 b) ₃5x2 _9x4

 

₂ 4

2

5 ₃

3 x _ x 8 2 2

5x  x

6 3x

Jadi, x2

3) Bentuk _a f(x) _bf(x)_{; a,b0,a,b1,maka f(x)0}

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi a) ₃x2 _2x2

Penyelesaian:

a) ₃x2 _2x2 _{maka f(x)0 sehingga x20}

Jadi, x2

b) 2xx2 _5xx2_{maka xx}2 _{0sehingga x}



_1x



_0

Jadi, x0 atau x1

Latihan

Kerjakanlah soal-soal berikut

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut

a) 23x _ 256 _{c) 0,001}x _01, b) 8x  2 _d)

 

16 1 4 2 2 _  x 2. Tentukan nilai x yang memenuhi

a) 3 2 _{2 5}

3 1 9  _{ }

x x

b) ₄x3 _3 ₈x5

C.

LOGARITMA

1. Logaritma sebagai Invers dari Pangkat

Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya 16

24 _{ , 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2}

oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4. Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:

4 16 log 16

24 _{ }2 _

Secara umum:

Jika _{x a}n_maka a_{logx n dan sebaliknya jika} a_{logx n maka xa}n_.

Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:

n a_{logxnx a}

dengan: a = bilangan pokok atau basis, a> 0; a≠ 1;

x = numerus(yang dicari nilai logaritmanya), x > 0 n= hasil logaritma.

(a_{log dibaca"logaritma x dengan basis a")} x

Contoh:

1. Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat atau sebaliknya

a) 3log9_2 _c)

49 1 72 _

b) 2log32_2p _{d) 2}3a _16

2. Tentukan nilai dari:

a) 2log32 _c)

64 1 log

2 1

b) 5log125

Penyelesaian:

1. a) 3log9_2_32 _9 b) 2log32_2_p22p _32

c) 2

49 1 log 49

1

72 _{ }7 _

d) ₂3a _162_log163a 2. a) Misalkan 2log32 x

2x 32 ₂x _25

Jadi, x5 b) Misalkan 5log125 p

5p 125 ₅p _53

Jadi, p 3

c) Misalkan  m 64

1 log

2 1

64 1 2 1m _

6

2 1 2

1 _

     

m

Jadi, m6

2. Sifat-Sifat Logaritma

Untuk menemukan sifat-sifat logaritma lakukan kegiatan berikut secara berpasangan dan kemukakan hasilnya di depan kelas.

Sifat 1

 Misalkan: m a

p_{log  maka a...}

n b

p_{log  maka b...}

 Kalikan a dan b sehingga diperoleh ...

... ... _{p p} p

b

a    …(*)  Tulis persamaan (*) dalam bentuk logaritma





... ... logab  

p _…(**)

 Substitusikan kembali p_loga_m _dan p_{logbn ke persamaan (**)}





log... log...

log p p

Jika a dan b bilangan real positif p 0 dan p1, berlaku



a b



p a p b p_{log   log  log}

Contoh:

Jika 4log3 p_, 4_{log5 q, dan} 4_{log8 r, hitunglah:}

a) 4log15_4log64 b) 4log120

Penyelesaian:

a) 4log15_4log64_4log



3_5



_4log



8_8



8 log 8 log 5 log 3

log 4 4 4

4 _{  }



r r q

p  



r q p 2 

b) 4log120_4log



3_5_8



_4log3_4log5_4log8

r q

p 



Sifat 2

 Misalkan: m a

p_{log  maka a...}

n b

p_{log  maka b...}

 Bagilah a dan b sehingga diperoleh

.... ... ... ...

 

 p

p p b

a _…(*)

 Tulis persamaan (*) dalam bentuk logaritma

... ... log  

     b a

p _…(**)

 Substitusikan kembali p_loga_m _dan p_{logbn ke persamaan (**)}

... log ... log

log p p

p

b

a_{ }

   

 _…(***)

Jika a dan b bilangan real positif p0 dan p1, berlaku

b a

b

a p p

p_{log  log  log}

    

Contoh:

a) Jika log 2 = 0,3010, hitunglh log 5

b) Sederhanakan dan hitung log 21 – log 210

Penyelesaian:

a) log10 log2 1 0,3010 0,6990 2

10 log 5

log      

b) log1 log10 0 1 1

10 1 log 210

21 log 210 log 21

Sifat 3

 Misalkan: m a

p_{log  maka a... …(*)}

 Kedua ruas dalam (*) dipangkatkan n , sehingga diperoleh

 

_p... _p...

an _ n _{ …(**)}

 Tulis persamaan (**) dalam bentuk logaritma

 

... log n 

p _{a …(***)}

 Substitusikan kembali plogam ke persamaan (***)

Jika a dan b bilangan real positif p 0 dan p1, berlaku

a n an p p_{log  log}

Jika a p maka plogpn n

Contoh:

Nyatakan dahulu sebagai logaritma tunggal dan hitunglah

a) log2

2 1 12 log 5

5 _

b)

2 5 log 25 log 

Penyelesaian:

a) 2 log25 log5 2

2 1 12 log 2 log 2 1 12

log 5 5 5 5 2

5 _{  }

  



 _

 

b) log10 1

2 5 25 log 2 5 log 25

log    

Sifat 4

 Misalkan:

p_loga_ y _{maka a... …(*)}

 Kedua ruas dalam (*) diambil logaritmanya dengan bilangan pokok baru (misalnya q) , sehingga diperoleh

... log log q

q _a

... log ...

log q

q _{a }

... loga

y q …(**)

 Substitusikan kembali ploga y ke persamaan (**) sehingga diperoleh

... log loga q a

Jika a 0, p 0, p1, q  0, dan q 1 berlaku

p a a _qq

p

log log log 

Jika diambil qa maka diperoleh

p

a _a

p

log 1 log 

Contoh

Jika 3log5 p_{, tunjukkan bahwa:}

a)

p 1 3 log

5 _

b) p

4 1 5 log

9 _

Penyelesaian:

a)

p 1 5 log

3 log 3

log ₃3

5 _{ }

b) log5

2 1 5 log 5

log 9 ₂1 9

9 _{  }

p p

4 1 2 2 1 3 log

5 log 2

1 9 log

5 log 2 1

2 3

3

3 3

   

 



Sifat 5

Dengan menuliskan

p a a

p

log log

log  dan

a b a

a

log log

log  akan diperoleh sifat sebagai berikut:

Jika a, , danb p0, a 1, p1 berlaku

b b

a a p

p_{log  log  log}

Contoh:

Kerjakan soal-soal berikut

a) Hitunglah 2log5_5log16

b) Sederhanakan a_logb_b_logc_c_logd

Penyelesaian:

a) 2log5_5log16_2log16_2log24 _4

Sifat 6

Dengan menuliskan

p a

am m

pn

log log

log  (Sifat 4a) dan sifat 3a buktikan bahwa

a n

m

am p

pn

log

log  …(*)

Jika diambil mn buktikan pula pn an p a

log log 

Contoh Hitunglah

a) 8log16

b) Jika 3_log5 a_{, hitung} 25_log27

Penyelesaian

a) 8_log16 23_log24



2 log 3 4_2 

3 4 1 3 4_{ }



b)

a

a 1

5 log

1 3 log 5

log 5 ₃

3 _{   }

a

a 2

3 1 2 3 3 log 2 3 3 log 27

log 5 3 5

25 2

   

 

Sifat 7

Perhatikan uraian berikut

Misalkan n_p_loga_{, maka a p}n

Karena n_p_loga_{, maka} n p a

p p

a_{ } log

Jika p dan a bilangan real positif p1 maka pp a a 

log

Contoh Sederhanakan

a) ₁₀logx2 b) 279logb

Penyelesaian

a) ₁₀logx2 _1010logx2

 x2

b)

 

 

b b

b log

2 1 3 log

2 1 log

9 9

9

3 27

27 _

 

b

b log

4 3 2 log

2

3 9 9

3

3 _

              

 

4

3 log

9

9 b



4 3

4 3

b

b 



Latihan

Kerjakanlah soal-soal berikut

1. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma.

a) 2

1

7

7  c) ₃5p _q

b)

4 1

22q _{ d) 4}x1 _8

2. Nyatakan bentuk logaritma berikut ke dalam bentuk pangkat

a) 5

32 1 log

2 _{ c)} 2_loga2 _{ 4}

b) 5log



2p1



q _{d) 4}3_{logr 24} 3. Tentukan nilai x dari logaritma berikut.

a) 2log



2_x6



_3 b) 3log_x2 _2

c) 5log



_x2_2_x22



_2

4. Sederhanakan bentuk logaritma berikut

a) 12log3_12log4 _c)

36 25 log 6

5 log 7

log 3

1 3

1 2 1 3 1

 

b) 3log16_3log5_3log4 _d)

2 1 log 3

log 125

log 243

1

log 3 81 16

3 _{  }

    

5. Sederhanakan bentuk logaritma berikut a) 5log4_2log3_9log5

b)

2 1 log

3 log 2

log 2

log

3 5 4

3

3 5 16

9  

6. Jika _a5log1_{; b}10_{log0,01; c}5_{log0,2; dan d}1_{2log8. Tentukan nilai dari}





d

c b

a_{ } 2

!

7. Jika 2log



2_x1



_ 4_; y_{log0,1253;} 2_{logz 2. Tentukan nilai} x_y_z_!

8. Jika log2 x dan log3 y, tentukan nilai dari 5log24_! 9. Jika 5_log3a _dan 3_{log4b, tentukan nilai dari} 12_log75!

10.Jika 2log3a_{, tentukan nilai dari}

4 1 log

1 2 log 4

log

3 27

Evaluasi 1. Bentuk sederhana dari 3₇ 4₁ 6₄

84 7      z y x z y

x _{= …}

a. 10 10₃ 12y z x _d. 4 2 3 12x z y

b. ₄2 ₃ 12x y

z _e.

2 3 10

12y z x

c. 10 ₂5 12z

y x

2. Bentuk sederhana dari ₂ 7₃2₆ 6 24      c b a c b

a _{= …}

a. 4₃5₅ b a c _d. 5 7 4 a bc

b. 4_{5 5} c a b _e. b a c 3 7 4 c. c a b 3 4

3. Bentuk sederhana dari

1 5 7 5 3 5 3 27              b a b

a _adalah

…

a. (3 ab)2 _d.

2

) (

3 ab

b. 3 (ab)2 _e.

2

) (

9 ab c. 9 (ab)2

4. Bentuk sederhana dari ₄3 ₅2 4₂ ) 5 ( ) 5 (     b a b

a _{adalah …}

a. 56 _a4 _b–18 _{d. 5}6 _ab–1

b. 56 _a4 _b2 _{e. 5}6 _a9 _b–1

c. 52 _a4 _b2

5. Diketahui a = 2 + 5 dan b = 2 – 5. Nilai dari a2 _{– b}2 _{= …}

a. –3 b. –1 c. 2 5 d. 4 5 e. 8 5

6. Bentuk sederhana dari

3 3 5 3 2 5   _{= …} a. 22 15 5

20 _d.

22 15 5 20   b. 22 15 5

23 _e.

22 15 5 23   c. 22 15 5 20  

7. Bentuk sederhana dari

2 6 3 2 3 3   _{= …}

a. (13 3 6) 23

1 _



b. (13 3 6) 23

1 _



c. ( 11 6) 23

1 _{ } 

d. (11 3 6) 23

1 _

e. (13 3 6) 23

1 _

8. Bentuk sederhana dari

a. ) 5 3 ( ) 3 2 )( 3 2 ( 4    _{= …}

b. –(3 – 5) c. –

4

1 (3 – 5)

d. 4

1 (3 – 5) e. (3 – 5) f. (3 + 5)

9. 6 2 ) 5 3 )( 5 3 ( 6    =…

a. 24 + 12 6 b. –24 + 12 6 c. 24 – 12 6 d. –24 – 6 e. –24 – 12 6

10. Hasil dari 12 27 3adalah