MENENTUKAN PARAMETER PADA MODEL ARIMA (1,1,0) BOX-JENKINS MENGGUNAKAN ESTIMASI
MAKSIMUM LIKELIHOOD
S K R I P S I
CHRISTIANSEN W M S 090823015
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : MENENTUKAN PARAMETER PADA MODEL ARIMA (1,1,0) BOX-JENKINS MENGGUNAKAN ESTIMASI MAKSIMUM LIKELIHOOD
Kategori : SKRIPSI
Nama : CHRISTIANSEN W M S Nomor Induk Mahasiswa : 090823015
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di Medan, Juni 2011 Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. Suwarno Ariswoyo, M. Si Drs. Marwan Harahap, M. Eng NIP. 1950 2103 1980 03 1001 NIP. 1946 12251974 03 1001
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
MENENTUKAN PARAMETER PADA MODEL ARIMA (1,1,0) BOX-JENKINS MENGGUNAKAN ESTIMASI MAKSIMUM LIKELIHOOD
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2011
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang dengan limpah karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.
ABSTRAK
Runtun waktu adalah himpunan observasi berurutan dalam waktu. Runtun waktu dibedakan menjadi 2 yaitu runtun waktu stasioner dan runtun waktu non stasioner. Runtun waktu non stasioner yang telah distasionerkan dengan metode pembeda disebut proses ARIMA. Salah satu model ARIMA adalah ARIMA (1,1,0). Langkah selanjutnya setelah ditentukan model adalah mengestimasikan parameternya.Bentuk umum fungsi Likelihood dari model ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins dapat dilakukan dengan asumsi kenormalan dan independensi di sesatan at, sehingga jika data observasi diketahui maka fungsi Likelihood untuk parameternya adalah:
L(φ,
σ
2a W)ABSRACT
Time series is assemble observation regularly in time. Time series is different becomes 2 that is time series stationary and time series non stationary. Time series non stationary that has stationaried by difference method known as ARIMA process. One of a model ARIMA called the ARIMA (1,1,0). The next step after we can determined the model that is estimation the parameters. General shape of likelihood function from ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins model can be done asumtion normally and independent in at, so if the observation data has known then use the likelihood function for the parameter is:
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan ii
Pernyataan iii
Penghargaan iv
Abstrak v
Abstract vi
Daftar Isi vii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tinjauan Pustaka 3
1.4 Tujuan Penelitian 5
1.5 Kontribusi Penelitian 5
1.6 Metode Penelitian 6
BAB 2 LANDASAN TEORI 7
2.1 Konsep Dasar Analisis Runtun Waktu 7
2.1.1 Stasioner dan Non Stasioner serta Faktor Musiman 7
2.1.2 Fungsi Autokorelasi 9
2.1.3 Autokorelasi 10
2.1.4 Autokorelasi Parsial 11
2.1.5 Metode Box-Jenkins 12
2.2 Model Runtun Waktu 15
2.2.1 Model Runtun Waktu Stasioner 16
2.2.2. Model Runtun Waktu Non Stasioner 27
2.3 Tinjauan Distribusi Normal Multivariate 31
2.3.1 Fungsi Densitas Normal Multivariate Bersama 31
2.3.2 Fungsi Likelihood dan Estimasi Maksimum Likelihood 32
BAB 3 PEMBAHASAN 36
3.1.Inferensi Selisih Pertama Runtun Waktu 36
3.1.1 Menentukan Selisih Pertama Runtun Waktu 36
3.1.2 Fungsi Likelihood Model ARIMA (p,d,o) 41
3.1.3 Fungsi Likelihood Model ARIMA (1,1,0) 42
3.2 Estimasi Maksimum Likelihood pada Model ARIMA (1,1,0) 43
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 61
4.1 Kesimpulan 61
4.2 Saran 61
ABSTRAK
Runtun waktu adalah himpunan observasi berurutan dalam waktu. Runtun waktu dibedakan menjadi 2 yaitu runtun waktu stasioner dan runtun waktu non stasioner. Runtun waktu non stasioner yang telah distasionerkan dengan metode pembeda disebut proses ARIMA. Salah satu model ARIMA adalah ARIMA (1,1,0). Langkah selanjutnya setelah ditentukan model adalah mengestimasikan parameternya.Bentuk umum fungsi Likelihood dari model ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins dapat dilakukan dengan asumsi kenormalan dan independensi di sesatan at, sehingga jika data observasi diketahui maka fungsi Likelihood untuk parameternya adalah:
L(φ,
σ
2a W)ABSRACT
Time series is assemble observation regularly in time. Time series is different becomes 2 that is time series stationary and time series non stationary. Time series non stationary that has stationaried by difference method known as ARIMA process. One of a model ARIMA called the ARIMA (1,1,0). The next step after we can determined the model that is estimation the parameters. General shape of likelihood function from ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins model can be done asumtion normally and independent in at, so if the observation data has known then use the likelihood function for the parameter is:
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Suatu runtun waktu adalah himpunan observasi beraturan dalam waktu. Jika pengalaman yang lalu atau keadaan yang akan datang dapat diramalkan secara pasti maka runtun waktu itu dinamakan deterministik dan tidak memerlukan pen2 yelidikan lebih lanjut. Sebaliknya jika pengalaman yang lalu hanya bisa menunjukkan struktur probabilitas keadaan yang akan datang suatu runtun waktu maka runtun waktu semacam ini dinamakan stokastik (proses statistik).
Runtun waktu statistik dapat dipandang sebagai suatu realisasi dari proses statistik (stokastik). Biasanya tidak mungkin diperoleh realisasi yang lain suatu proses statistik, yaitu tidak dapat diulang kembali keadaan untuk memperoleh himpunan observasi serupa seperti yang telah dikumpulkan. Selanjutnya, misalkan Z1,Z2,…,Zn adalah observasi yang telah diidentifikasikan suatu model yang diperkirakan telah menghasilkan observasi itu. Dengan demikian Zt dapat dipandang sebagai suatu realisasi dari suatu variable random Zt yang mempunyai distribusi dengan fungsi densitas probabilitas (fdp) tertentu, misalnya p(Zt).
Untuk proses Gaussian yang didefinisikan dengan sifat bahwa fkp yang berkaitan dengan sebarang himpunan waktu adalah normal multivariate, stasioneritasnya hanya memerlukan stasioneritas tingkat dua. Dengan demikian biasanya cukup puas dengan stasioneritas tingkat dua, yang dinamakan stasioneritas lemah dengan mengharapkan asumsi normalitas yang berlaku.
Runtun waktu yang stasioner pada umumnya jarang sekali dijumpai dalam praktek namun stasioneritas merupakan asumsi yang sangat bermanfaat dalam mengestimasi runtun waktu. Pada tahun 1970-an Box-Jenkins membahas tentang model runtun waktu klasik, termasuk didalamnya model autoregresif klasik. Dalam perkembangannya model autoregresi itu mempunyai dua macam yakni model autoregresif yang stasioner dan model autoregresif yang tidak stasioner (nonstasioner). Pada runtun waktu yang stasioner biasanya bisa langsung dilakukan estimasi terhadap parameter- parameter yang ada, tetapi untuk model runtun waktu yang tidak stasioner perlu dilakukan langkah untuk menjadikan runtun waktu itu stasioner dulu, kemudian mengestimasi parameter-parameternya.
Jika data asli menunjukan adanya ketidakstasioneran, maka perlu dilakukan transformasi, apabila ragam runtun aslinya telah stasioner tetapi nilai tengah runtun menunjukan keadaan yang tidak stasioner maka untuk menghilangkan ketidakstasioneran itu digunakan metode pembeda (diferensi). Cara ini akan membuat runtun waktu selisih (derajat tertentu) nilai-nilai yang beurutan dari runtun aslinya Zt (ditulis Wt=Zt-Zt-1) menjadi stasioner, yang dipandang bahwa Zt sebagai integrasi runtun waktu Wt yang dikenal sebagai proses autoregresife integrated moving average (ARIMA), sehingga ketentuan yang berlaku pada proses ARMA barlaku pula untuk proses ARIMA.
Proses ARIMA yang tidak mempunyai proses moving average disebut ARI(p,d) atau ARIMA (p,d,0). Model ini mempunyai beberapa macam model, diantaranya model autoregresif atau ARIMA(1,d,0), (2,d,0), (1,1,0), (2,1,0), (2,2,0) dan (p,d,0).
(nonstasioner) tak homogen. Runtun waktu nonstasioner yang homogen ditunjukkan oleh selisih (perubahan) nilai-nilai yang berurutan secara stasioner. Proses runtun waktu ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins klasik ditulis dalam bentuk:
(1-φB){(1-B) Z
t- µ} = αt
Selanjutnya misalkan Z1,Z2,…,Zn adalah sekumpulan observasi dan telah diidentifikasikan suatu model yang diperkirakan telah menghasilkan observasi itu dengan memandang observasi itu sebagai variabel random yang diambil dari distribusi bersama p(W φ,µ,
σ
2a), dengan φ, µ danσ
2a adalah parameter-parameter yang tidak diketahui, sedangkan W menunjukkan barisan atau vector yang stasioner dan merupakan selisih observasi di atas. Dari fungsi bersama tersebut dapat ditentukan estimasi maksimum Lielihoodnya.1.2 Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah menentukan nilai-nilai parameter pada model ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins dengan mengegunakan metode maksimum likelihood.
1.3 Tinjauan Pustaka
Dalam penelitian ini penulis menggunakan buku-buku berikut sebagai sumber utama, diantaranya:
1. Bain dan Engelhardt: Bentuk umum proses runtun waktu Arima (1,1,0) Box-Jenkins adalah:
Φ (B)
{
(
1−B)
Zt−µ}
=t α
Dimana:
Φ = Fungsi autokorelasi parsial (fkp) B = Operator autoregresif stasioner Zt = Runtun waktu stasioner
µ = Rata-rata populasi
t = Garisan variabel random yang independent
2. Arthanari, T. S dan Dodge, Y : Fungsi Likelihood untuk model ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins dapatt dikontruksikan melalui asumsi kenormalan dan independensi dari
t dengan distribusi probabilitas bersamanya p(a1, a2,..., t|
2
,σa
φ ), dan fungsi densitas bersama Wn adalah p(Wn|
2
,σa
φ ) dan fungsi likelihood untuk parameter-parameternya adalah:
Dimana:
L = Fungsi Likelihood
φˆ = Estimator untuk parameter φ 2
a
σ = Estimator untuk parameter σ
Wn = Runtun waktu stasioner setelah dilakukan differensi π = Nilai konstan (3,14)
n = Banyak data sampel
Mn = Matriks simetri ukuran nxn
exp = Eksponensial bilangan konstan (2,7183) S(φ) = Fungsi jumlah kuadrat untuk φ
P = Fungsi densitas probabilitas
Dalam proses maksimum likelihood, bentuk |M(n1,0)| untuk ukuran sampel kecil atau sedang dapat diabaikan karena tidak berpengaruh terhadap hasil yang diperoleh. Sedangkan parameter-parameter yang diestimasi masuk pada
bentuk jumlah kuadrat S(φ) dan mendominasi log fungsi likelihood sehingga langkah untuk memperoleh estimatornya yaitu dengan cara meminimumkan S(φ) dengan metode kuadrat terkecil sehingga diperoleh:
Dimana:
φˆ = Estimator untuk parameter φ
D = Matriks simetri ukuran (p+1)x(p+1)
W = Runtun waktu stasioner setelah dilakukan differensi
2
a
σ = Estimator untuk parameter σ S(φ) = Fungsi jumlah kuadrat untuk φ n = Banyak data sampel
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menguraikan cara mengestimasi parameter pada model ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins dengan meminimumkan jumlah kuadrat mengunakan maksimum Likelihood.
1.5 Kontribusi Penelitian
1. Mengembangkan fungsi estimasi maksimum likelihood dan penggunaannya dalam peramalan.
2. Meningkatkan pemahaman yang baik dalam rangka menerapkan fungsi estimasi maksimum likelihood dalam statistika maupun penerapannya dengan ilmu lain.
1.6 Metode Penelitian
Uraian metode yang digunakan dalam penelitian secara rinci sebagai berikut: 1. Dengan melakukan studi literatur terlebih dahulu mengenai estimasi maksimum likelihood model ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins.
2. Memparkan langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan nilai-nilai parameter pada model ARIMA (1,1,0) yang homogen dengan menggunakan metode maksimum likelihood.
3. Mengidentifikasi masalah penentuan selisih proses autoregresif tak stasioner sehingga menjadi stasioner.
4. Aplikasi fungsi likelihood untuk model ARIMA (1,1,0) dan model-model autoregresif (ARI) dan estimasi likelihood pada model ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins yang homogen.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Peramalan
Peramalan adalah kegiatan memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang.
Ramalan adalah sesuatu kegiatan situasi atau kondisi yang diperkirakan akan terjadi pada masa
yang akan datang. Peramalan dilakukan dengan memanfaatkan informasi terbaik yang ada
pada masa itu, untuk menimbang kegiatan di masa yang akan datang.
2.1.1 Manfaat peramalan
Kegunaan peramalan terlihat pada saat pengambilan keputusan atau menetapkan berbagai
kebijakan. Keputusan yang baik adalah keputusan yang didasarkan atas pertimbangan apa yang
akan terjadi pada waktu keputusan itu dilaksanakan. Ramalan diperlukan untuk memberikan
informasi sebagai dasar untuk membuat suatu keputusan dalam berbagai kegiatan, seperti
penerbangan, peternakan, perkebunan dan sebagainya.
Pertimbangan tentang peramalan telah tumbuh karena beberapa faktor, yang pertama
adalah karena meningkatnya kompleksitas organisasi dan lingkungan. Hal ini menyebabkan
semakin sulit bagi pengambil keputusan untuk mempertimbangkan semua faktor secara
memuaskan. Ke dua, meningkatnya ukuran organisasi menyebabkan bobot dan kepentingan
suatu keputusan meningkat pula. Ke tiga, lingkungan dari kebanyakan organisasi telah berubah
dengan cepat.
Peramalan diperlukan karena adanya perbedaan-perbedaan waktu antara kebijakan baru
dengan waktu pelaksanaan tersebut. Oleh karena itu dalam menentukan kebijakan sangat
diperlukan pemanfaatan kesempatan yang ada, dan gangguan yang mungkin terjadi pada saat
kebijakan baru tersebut dilaksanakan. Peramalan diperlukan untuk mengantisipasi suatu
peristiwa yang dapat terjadi pada masa yang akan datang, sehingga dapat dipersiapkan
kebijaksanaan atau tindakan-tindakan yang perlu dilakukan.
Adapun manfaat dari peramalan adalah sebagai berikut:
2. Merupakan suatu pedoman dalam menentukan tingkat persediaan perencanaan dapat
bekerja secara optimal.
3. Sebagai masukan untuk penentuan jumlah investasi.
4. Membantu menentukan pengembangan suatu pekerjaan untuk periode selanjutnya.
2.1.2 Jenis-jenis Peramalan
Berdasarkan sifatnya peramalan dibedakan atas 2 (dua) macam yaitu:
1. Peramalan Kualitatif
Peramalan Kualitatif merupakan peramalan yang didasarkan atas data kualitatif pada masa
lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada orang yang menyusunnya. Hal
ini penting karena hasil peramalan tersebut ditentukan berdasarkan pemikiran yang
bersifat intuisi, pendapat dan pengetahuan serta pengalaman penyusunan.
2. Peramalan Kuantitatif
Peramalan Kuantitatif merupakan peramalan yang didasarkan atas data kuantitatif pada
masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada metode yang dipergunakan
dalam peramalan tersebut. Baik tidaknya metode yang digunakan ditentukan oleh
perbedaan antara penyimpangan hasil ramalan dengan kenyataan yang terjadi. Peramalan
kuantitatif hanya dapat digunakan apabila terdapat 3 (tiga) kondisi sebagai berikut:
1. Adanya informasi masa lalu yang dapat dipergunakan.
2. Informasi tersebut dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data.
3. Dapat diasumsikan bahwa pola yang lalu akan berkelanjutan pada masa yang akan
datang.
Peramalan yang baik adalah peramalan yang dilakukan dengan mengikuti
langkah-langkah atau prosedur penyusunan yang baik. Pada dasarnya ada 3 (tiga) langkah-langkah peramalan
yang penting, yaitu:
1. Menganalisis data masa lalu
2. Menentukan metode yang dipergunakan
3. Memproyeksi data masa lalu dengan menggunakan metode yang dipergunakan dan
2.1.3 Metode Peramalan
Metode peramalan adalah cara memperkirakan secara kuantitatif apa yang terjadi pada masa
depan berdasarkan data yang relevan pada masa lalu. Oleh karena metode peramalan
didasarkan atas data yang relevan pada masa lalu, sehingga metode peramalan ini
dipergunakan dalam peramalan yang objektif. Metode peramalan sangat berguna untuk
membantu dalam mengadakan pendekatan analisis terhadap pola data yang lalu, sehingga
dapat memberikan cara pemikiran, pekerjaan dan pemecahan yang sistematis, serta memberi
tingkat keyakinan yang lebih atas ketepatan hasil ramalan yang dibuat. Keberhasilan dari suatu
peramalan ditentukan oleh:
1.Pengetahuan teknik tentang informasi masa lalu yang dibutuhkan, informasi ini bersifat
kuantitatif.
2.Teknik dan metode peramalan.
2.1.4 Jenis-jenis Metode Peramalan Kuantitatif
1. Metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisis pola hubungan antara
variabel yang diperkirakan dengan variabel waktu yang merupakan deret berkala (time
series). Metode peramalan yang termasuk data deret berkala adalah:
a.Metode pemulusan
b. Metode Box-Jenkins
c.Metode proyeksi trend dengan regresi
2. Metode peramalan yang didasarkan atas analisa pola hubungan antara variabel yang
mempengaruhinya, yang bukan waktu disebut metode korelasi atau sebab akibat (metode
kausal).
a. Metode regresi dan korelasi
b.Metode ekonometri
c. Model input dan output
Salah satu metode yang mencampurkan pendekatan deret berkala dan pendekatan
kausal yaitu metode fungsi transfer (adakalanya disebut multivariat ARIMA atau MARIMA).
Hal ini disebabkan karena model multivariat menggabungkan beberapa karakteristik dari
2.2 Pemilihan Teknik dan Metode Peramalan
Semua tipe organisasi telah menunjukkan keinginan yang meningkat untuk mendapatkan
ramalan dan menggunakan sumber daya peramalan secara lebih baik. Oleh karena metode
peramalan yang tersedia sangat banyak, maka masalah yang timbul bagi para praktisi adalah
memahami bagaimana karakteristik suatu metode peramalan cocok bagi situasi pengambilan
keputusan tertentu.
Ada enam faktor utama yang dapat didefinisikan sebagai teknik dan metode peramalan
yaitu:
1. Horizon waktu
Merupakan pemilihan yang didasarkan atas jangka waktu peramalan yaitu: a. Peramalan yang segera dilakukan dengan waktu kurang dari satu bulan.
b. Peramalan jangka pendek dengan waktu antara satu sampai tiga bulan.
c. Peramalan jangka menengah dengan waktu antara tiga bulan sampai dua tahun.
d. Peramalan jangka panjang dengan waktu tiga tahun ke atas.
2. Pola Data
Salah satu dasar pemilihan metode peramalan adalah dengan memperhatikan pola. Ada
empat jenis pola data mendasar yang terdapat dalam suatu deretan data yaitu:
a. Apabila pola data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang konstan (deret seperti ini
adalah stasioner terhadap nilai rata-ratanya), maka disebut dengan Pola Horisontal (H).
Gambar 2.1 Pola Data Horizontal
b. Apabila pola data terjadi saat suatu deret dipengaruhi oleh faktor musiman (misalnya:
kuartalan, bulanan, atau hari-hari pada minggu), maka disebut dengan Pola Musiman
Gambar 2.2 Pola Data Musiman
c. Apabila pola data terjadi saat data dipengaruhi oleh fluktuasi jangka panjang dan lebih
lama dari pola musiman, lamanya berbeda dari satu siklus yang lain, maka pola ini
disebut dengan Pola siklis (C).
Gambar 2.3 Pola Data Siklis
d. Apabila pola data terjadi saat terdapat kenaikan dan penurunan jangka panjang dalam
data, maka disebut dengan Pola Trend (T).
Gambar 2.4 Pola Data Trend
3. Jenis dari model
Untuk mengklasifikasikan metode peramalan kuantitatif perlu diperhatikan model yang
didasarinya. Model sangat penting diperhatikan, karena masing-masing model mempunyai
fungsi yang berbeda.
Biaya sangat diperlukan dalam meneliti suatu objek, yang termasuk biaya dalam
penggunaan metode peramalan antara lain, biaya penyimpangan data, biaya perhitungan,
biaya untuk menganalisisa dan biaya pengembangan.
5. Ketepatan metode peramalan
Tingkat ketepatan yang sangat erat hubungannya dengan tingkat perincian yang
dibutuhkan dalam suatu peramalan. Dalam pengambilan keputusan, variasi atau
penyimpangan atas peramalan yang dilakukan antara 10% sampai 15% bagi
maksu-maksud yang diharapkan, sedangkan untuk hal atau kasus lain mungkin menganggap
bahwa adanya variasi atau penyimpangan atas ramalan sebesar 5% adalah cukup
berbahaya.
6. Kemudahan dalam penerapan
Metode peramalan yang digunakan adalah metode yang mudah dimengerti dan mudah
diterapkan dalam pengambilan dan analisanya.
2.3 Model Deret berkala
Metode peramalan yang sering digunakan adalah deret berkala (time series), dengan
menggunakan sejumlah observasi selama beberapa periode sebagai dasar dalam penyusunan
suatu ramalan untuk beberapa periode di masa depan yang diinginkan. Dengan kata lain, deret
berkala adalah deret waktu dimana pengamatan pada suatu waktu berkorelasi linier dengan
waktu sebelumnya secara dinamis.
Peramalan dengan model deret waktu ini tidak memperhatikan setiap faktor yang
mempengaruhi suatu perubahan, melainkan berdasarkan pada pola tingkah laku peubah itu
sendiri pada masa lampau. Kemudian dengan menggunakan informasi tentang tingkah laku
peubah tersebut dilakukan proses menduga kecenderungan peubah tersebut pada masa yang
akan datang. Pada umumnya perhatian utama dalam analisis deret waktu bukan pada titik
waktu pengamatan, melainkan pada urutan pengamatan.
Tujuan metode peramalan deret berkala adalah menemukan pola dalam deret data
historis dan mengekstrapolasikan data tersebut ke masa depan. Metode peramalan Box-Jenkins
merupakan suatu metode yang sangat tepat untuk menganalisis deret waktu dan situasi
peramalan lainnya. Pada dasarnya ada 2 (dua) model dari metode Box-Jenkins, yaitu model
linier untuk deret statis (Stationary Series) disebut ARMA dan model untuk data yang tidak
Metode fungsi transfer merupakan perluasan metode Box-Jenkins untuk analisis deret
berkala multivariat yaitu yang melibatkan dua atau lebih kelompok data.
2.3.1 Alat-alat Metodologi untuk Menganalisa Data Deret Berkala
Pada bagian ini kita akan memusatkan pada analisis tertentu yang dapat diterapkan untuk
analisis deret berkala secara empiris guna menetapkan sifat-sifat statistikanya dan dengan
demikian dapat kita peroleh pengertian tentang jenis model formal yang tepat.
1. Plot Data
Langkah pertama yang baik untuk menganalisis data deret berkala adalah membuat plot data
tersebut secara grafis. Untuk mempermudah hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan
program komputer yang tersedia.
2. Koefisien Autokorelasi
Statistika kunci di dalam analisis deret berkala adalah koefisien autokorelasi (korelasi deret
berkala dengan deret berkala itu sendiri dengan selisih waktu (lag) 0,1,2 periode atau lebih.
Menurut Pindyck dan Rubinfield (1981) secara matematis rumus untuk koefisien
autokorelasi dapat dituliskan dengan rumus seperti pada persamaan sebagai berikut:
n t t k n t k t t k X X X X X X r 1 2 1 ) ( ) )( ( (2.1)Apabila rk merupakan fungsi atas waktu, maka hubungan autokorelasi dengan lagnya
dinamakan fungsi autokorelasi (Autocorrelation function) sering disebut ACF dan dinotasikan
oleh: 2 _ 1 _ _ 1 ) ( ) )( ( X X X X X X t n t k t t k n i k
(2.2)Konsepsi lain pada autokorelasi adalah autokorelasi parsial (Partial Autocorrelation Function)
sering disebut PACF. Seperti halnya autokorelasi yang merupakan fungsi atas lagnya, yang
hubungannya dinamakan autokorelasi (ACF), autokorelasi parsial juga merupakan fungsi atas
Gambar dari ACF dan PACF dinamakan kolerogram dan dapat digunakan untuk
menelaah signifikansi autokorelasi dan kestasioneran data.
3. Distribusi sampling autokorelasi
Tercapainya keberhasilan analisis deret berkala sangat bergantung pada keberhasilan
menginterpretasikan hasil analisis autokorelasi dan kemampuan membedakan pola dan
kerandoman data. Koefisien autokorelasi dari data random mendekati distribusi sampling yang
mendekati kurva normal dengan nilai tengah nol dan kesalahan standar 1/ n. Dengan
demikian suatu deret data dapat disimpulkan bersifat random apabila koefisien korelasi yang
dihitung berada didalam batas tersebut. Sedangkan uji Box-Pierce Pormanteau untuk
sekumpulan nilai-nilai rkdidasarkan pada nilai-nilai statistik Q.
m
k k r n Q
1 2
(2.3)
Seperti yang diperlihatkan oleh Anderson (1942), Bartlett (1946), Quenouille (1949)
suatu deret berkala dikatakan bersifat acak apabila koefisien korelasi yang dihitung berada di
dalam batas:
) / 1 ( 96 . 1 )
/ 1 ( 96 .
1 n rk n
(2.4)
Ini berarti bahwa 95% dari seluruh koefisisien autokorelasi berdasarkan sampel harus terletak
di dalam daerah nilai tengah ditambah atau dikurangi 1,96 kali galat standart.
4. Periodogram dan Analisis Spektral
Salah satu cara untuk menganalisis data deret berkala adalah dengan menguraikan data tersebut
ke dalam himpunan gelombang sinus (siklus) pada frekuensi yang berbeda-beda. Hal ini
merupakan prosedur yang sangat terkenal pada masa sebelum adanya komputer tetapi prosedur
masih sangat berguna untuk menetapkan kerandoman dan musiman (seasonality) di dalam
suatu deret berkala, dan untuk mengenali adanya autokorelasi positif dan negatif.
5. Koefisien Autokorelasi Parsial
Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan (association) antara Xtdan
k t
X , pengaruh dari time-lag 1,2,3,.. dan seterusnya sampai k-1 dianggap terpisah.
Satu-satunya tujuan di dalam analisis deret berkala adalah untuk membantu menetapkan model
2.3.2 Aplikasi Analisis Deret Berkala
Analisis deret berkala dapat diaplikasikan dalam hal sebagai berikut:
1. Penentuan Kerandoman Data
Membuat plot koefisien autokorelasi sangat bermanfaat untuk membantu menentukan model
yang tepat. Autokorelasi dapat digunakan untuk menetapkan apakah terdapat suatu pola dalam
suatu kumpulan data dan apabila tidak terdapat kumpulan data tersebut, maka dapat dibuktikan
bahwa kumpulan data tersebut adalah random. Membuat plot koefisien autokorelasi sangat
bermanfaat untuk membantu menetapkan adanya suatu pola. Apabila suatu model peramalan
telah dipilih, maka autokorelasi kesalahan nilai sisa dapat dihitung untuk menetapkan apakah
data tersebut random.
2. Pengujian Stasioner Data Deret Berkala
Plot autokorelasi dapat dengan mudah memperlihatkan ketidakstasioneran. Nilai-nilai
autokorelasi dari data stasioner akan turun sampai nol sesudah time lag kedua atau ketiga
sedangkan untuk data yang tidak stasioner, nilai-nilai tersebut bernilai signifikan dari nol
beberapa periode waktu. Apabila disajikan secara grafik, maka autokorelasi data yang tidak
stasioner memperlihatkan suatu trend searah diagonal dari kanan ke kiri bersama dengan
meningkatnya jumlah time lag.
Kestasioneran data dapat diperiksa dengan analisa autokorelasi dan autokorelasi parsial.
Data yang dianalisa dalam model ARIMA Box-Jenkins adalah data yang bersifat stasioner
yaitu data yang rata-rata dan variansinya relatif konstan dari satu periode ke periode
selanjutnya, demikian juga halnya dengan analisis dengan model Fungsi transfer.
Autokorelasi-autokorelasi dari data yang tidak stasioner berbeda secara signifikan dari
nol dan mengecil secara perlahan membentuk garis lurus, nilai-nilai tersebut bernilai signifikan
dari nol beberapa periode waktu sedangkan autokorelasi-autokorelasi dari data yang stasioner
mengecil secara drastis membentuk garis lengkung ke arah nol setelah periode kedua atau
ketiga.
Jadi bila autokorelasi pada periode satu, dua, maupun periode ketiga tergolong signifikan
sedangkan autokorelasi-autokorelasi pada periode lainnya tergolong tidak signifikan, maka
datanya bersifat stasioner.
Menurut Box-Jenkins data deret waktu yang tidak stasioner dapat ditransformasikan
menjadi deret data yang stasioner dengan melakukan proses pembedaan (differencing) pada
untuk t = 2, 3, …, N (2.5)
Secara umum proses pembedaan(differencing) ordo ke – d dapat ditulis sebagai berikut:
(2.6)
3. Menghilangkan Ketidakstasioneran Data Deret Berkala
Jika proses pembangkitan yang mendasari suatu deret berkala didasarkan pada nilai tengah
konstan dan varians konstan, maka deret berkala stasioner. Apabila sebuah deret sudah
stasioner, maka sifat statistiknya bebas dari periode selama pengamatan. Jadi, stasioner adalah
fluktuasi data berada di sekitar nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan
varian dari fluktuasi tersebut serta tetap konstan setiap waktu.
Dalam metode deret berkala (time series) pengujian kestasioneran data sangat
diperlukan karena apabila data tersebut sudah stasioner, maka dapat digunakan untuk
melakukan peramalan di masa yang akan datang.
Ada beberapa hal yang yang diperlukan untuk melihat suatu data telah stasioner
antaralain sebagai berikut:
1. Apabila suatu deret berkala diplot, dan kemudian tidak terbukti adanya perubahan nilai
tengah dari waktu kewaktu, maka dikatakan bahwa deret tersebut stasioner pada nilai
tengahnya.
2. Apabila plot deret berkala tidak memperlihatkan adanya perubahan yang jelas dari
waktu ke waktu, maka dapat dikatakan bahwa deret berkala tersebut adalah stasioner
pada variasinya.
3. Apabila plot deret berkala memperlihatkan adanya penyimpangan nilai tengah atau
terjadi perubahan varians yang jelas dari waktu ke waktu, maka dikatakan bahwa deret
berkala tersebut mempunyai nilai tengah yang tidak stasioner atau mempunyai nilai
variasi yang tidak stasioner.
4. Apabila plot deret berkala memperlihatkan adanya penyimpangan pada nilai tengah
serta terjadi perubahan nilai tengah dari waktu ke waktu, maka dikatakan bahwa deret
data tersebut mempunyai nilai tengah dan variasi yang tidak stasioner.
Untuk melakukan peramalan dengan metode deret berkala Box-Jenkins, maka dipilih
deret berkala yang stasioner baik nilai tengahnya maupun variasinya, sehingga untuk deret
berkala yang tidak stasioner baik nilai tengah maupun variasinya perlu dilakukan suatu proses
untuk mendapatkan keadaan stasioner. Proses untuk mendapatkan keadaan stasioner nilai
stasioner varians perlu dilakukan transformasi. Ke dua hal tersebut biasa dilakukan salah satu
saja atau ke dua-duanya, tergantung dari keadaan stasioner dari deret data deret berkala yang
akan dipilih untuk peramalan.
4. Mengenali Adanya Faktor Musiman dalam Suatu Deret Berkala
Musiman didefinisikan sebagai pola yang berulang-ulang dalam selang waktu yang tetap.
Sebagai contoh, penjualan minyak untuk alat pemanas adalah tinggi untuk musim dingin dan
rendah pada musim panas yang memperlihatkan suatu pola musim 12 bulan.
Untuk data stasioner, faktor musiman dapat ditentukan dengan mengidentifikasi
koefisien autokorelasi pada dua atau tiga time lag yang berbeda nyata dari nol. Autokorelasi
yang berbeda nyata dari nol menyatakan adanya suatu pola dalam data.
Adanya faktor musiman dapat dengan mudah dilihat di dalam grafik autokorelasi
namun hal ini tidaklah selalu mudah dikombinasikan dengan pola lain seperti trend. Semakin
kuat pengaruh trend akan semakin tidak jelas adanya ketidak stasioneran data (adanya trend).
Sebagai pedoman data tersebut harus ditransformasikan ke bentuk yang stasioner sebelum
ditentukan adanya faktor musiman.
2.4 Model Deret Berkala Box-Jenskin
ARIMA sering juga disebut metode runtun waktu Box-Jenskins. Model Autoregresif Integrated
Moving Average (ARIMA) adalah model yang secara penuh mengabaikan variabel bebas
dalam membuat peramalan. ARIMA menggunakan nilai masa lalu dan sekarang dari variabel
dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek yang akurat. ARIMA cocok
digunakan untuk observasi dari deret waktu (time series) secara statistik berhubungan satu
sama lain (dependent).
ARIMA hanya menggunakan satu variabel (univariat) deret waktu. Misalnya: variabel
IHSG. Model ARIMA terdiri dari tiga langkah dasar, yaitu tahap identifikasi, tahap penaksiran
dan pengujian, dan pemeriksaan diagnostik.
Hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa kebanyakan deret berkala bersifat
nonstasioner dan bahwa aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berkenaan dengan
Dalam anlisis data deret berkalauntuk mendapatkan hasil yang baik nilai pengamatan
harus cukup besar, paling kecil 50 dah lebih baik lagi jika lebih dari 100 dan autokorelasi
dikatan berarti jika jika k diambil lebih kecil atau sama dengan seperempat dari pengamatan.
Model Box-Jenkins dikelompokkan ke dalam tiga kelompok yaitu:
1. Model Autoregressive
2. Model Moving Average
3. Model Campuran
Model campuran ini terdiri dari model Autoregressive-Moving Average (ARMA) dan
model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).
2.4.1 Model Autoregresif (AR)
Metode autoregresif adalah model yang menggambarkan bahwa variabel dependent
dipengaruhi oleh variabel dependent itu sendiri pada periode-periode yang sebelumnya, atau
autokorelasi dapat diartikan juga sebagai korelasi linier deret berkala dengan deret berkala itu
sendiri dengan selisih waktu (lag) 0,1,2 periode atau lebih. Bentuk umum autoregresif dengan
ordo p atau ditulis dengan AR (p) atau model ARIMA (p,0,0) mempunyai persamaan sebagai
berikut:
t p t p t
t
t X X X e
X
1 1
2 2
(2.7)
Keterangan:
Xt = Nilai series yang stasioner
= nilai konstan
i
= parameter autokorelasi ke-i dengan i=1,2,3,….,p
t
e = nilai kesalahan pada saat t
2.4.2 Model Rataan Bergerak/Moving Average (MA)
Metode rataan bergerak (Moving Average) mempunyai bentuk umum dengan ordo q atau biasa
(2.8)
Keterangan:
t
X = Nilai series yang stasioner
= konstantai
= parameter moving average ke- i dengan i = 1, 2,…,q
t
X = Variabel yang akan diramalkan
q t
e = Nilai kesalahan pada saat t- q
Perbedaan moving average dan model autoregressif terletak pada jenis variabel bebas
pada model autoregresif adalah nilai sebelumnya (lag) dari variabel dependent (X) itu sendiri,
pada model moving average sebagai variabel bebas adalah nilai residual pada periode
sebelumnya.
2.4.3 Model Campuran Autoregressive-Moving Average(ARMA)
Model umum untuk campuran proses AR (p) dan MA (q) atau sering disebut ARMA (p,q)
adalah sebagai berikut:
q t q t
t p t p t
t X X e e X
X 1 1 1 1
(2.9)
2.4.4 Model Autoregressive Integrated Moving Average(ARIMA)
Apabila proses nonstasioner ditambahkan pada campuran proses ARMA, maka model
umum ARIMA (p,d,q) ditulis sebagai berikut:
(2.10)
Salah satu tahapan dalam analisis deret berkala adalah menggetahui adanya pola AR,
MA dan ARMA dalam data tersebut. Hal ini dapat diidentifikasi dibantu dengan mengamati
pola Fungsi autokorelasi (ACF) dan pola fungsi autokorelasi Parsial (PACF) Tabel 2.1 berikut:
Tabel 2.1 Pola ACF dan PACF
Model ACF PACF
MA (q) Menuju nol setelah lag q Menurun secara bertahap/bergelombang
AR (p) Menurun secara Menuju nol setelah lag q
q t q t
t t
t e e e e
bertahap/bergelombang
ARMA
(p,q)
Menurun secara
bertahap/bergelombang Menurun secara bertahap/bergelombang
2.5 Metode Fungsi Transfer
Peramalan data deret waktu pada dasarnya adalah analisis univariat, sedangkan dalam
kenyataan, sebagian besar pengamatan merupakan data multivariat (lebih dari satu data). Misal
dalam bidang pemasaran, volume penjualan yang masing-masing bergantung pada cara
pemasaran, bentuk promosi, dan daerah pemasaran, yang masing-masing faktor tersebut lebih
dari satu macam, sehingga jika analisis peramalan hanya didasarkan pada volume penjualan
saja tanpa memperhatikan faktor-foktor yang mempengaruhinya, maka informasi untuk
pembuatan perencanaan menjadi tidak lengkap, sehingga tujuan peramalan menjadi tidak
tercapai secara utuh.
Salah satu upaya menganalisis data deret waktu multivatiat agar diperoleh hasil yang
dapat memberikan informasi yang lengkap dan simultan, adalah dengan menggunakan model
fungsi transfer.
Model Fungsi Transfer adalah suatu model yang menggambarkan bahwa nilai prediksi
masa depan dari suatu time series (disebut output series atau Yt) adalah berdasarkan pada
nilai-nilai masa lalu dari time series itu sendiri dan berdasarkan pula pada satu atau lebih time series
yang berhubungan (disebut input series atau Xt) dengan output series tersebut.
Model fungsi transfer merupakan pengembangan dari model ARIMA satu peubah atau
satu deret berkala. Jika deret berkala Yt berhubungan dengan satu atau lebih deret berkala lain
t
X maka dapat dibuat suatu model berdasarkan informasi deret berkala Xt, untuk menduga
nilai Yt.
Contoh:
1. Model antara total sales (Yt) dan advertising expenditure (Xt) yang diamati per bulan.
(Makridakis, Wheelwright, and Mc Gee, 1983).
2. Model antara sales (Yt) dan leading indicator (Xt) yang telah dianalisis oleh Box dan
Jika deret berkala Yt berhubungan dengan satu atau lebih deret berkala lain Xt maka
dapat dibuat suatu model berdasarkan informasi deret berkala lain Xt, untuk menduga nilai Yt
model yang dihasilkan desebut fungsi transfer. Jadi, fungsi transfer adalah suatu cara untuk
meramalkan nilai Yt dari Xt dan gabungan deret ke dua-duanya serta melihat pengaruh ke dua
[image:30.595.143.515.202.322.2]deret tersebut.
Gambar 2.5 Konsep Fungsi Transfer
Pada Gambar 2.5 diperlihatkan konsep fungsi transfer, di mana terdapat deret output
disebut Yt, yang diperkirakan akan dipengaruhi oleh deret berkala input Xt, dan input-input
lain yang disebut gangguan (noise) Nt. Seluruh sistem-sistem tersebut adalah dinamis, dengan
kata lain deret input Xt memberikan pengaruh-pengaruhnya melalui fungasi transfer,
mendistribusikan dampak Xt melalui beberapa periode yang akan datang. Tujuan pemodelan
fungsi transfer adalah untuk menetapkan model yang sederhana, yang menghubungkan Yt
dengan Xt dan Nt, sehingga dengan menetapkan peranan indikator penentu (leading
indicator) deret input sehingga dapat ditetapkan variabel yang dibicarakan yaitu variabel
output.
Dengan kata lain fungsi transfer membuat suatu konsep dengan cara mentransfer data
deret input (indikator penentu) melalui sistem dan keluaran sebagai deret output.
Untuk deret input (Xt) dan deret output (Yt) tertentu dalam bentuk data mentah,
terdapat empat tahap utama dan beberapa sub tahap di dalam proses yang lengkap dari
pembentukan model fungsi transfer yang akan penulis bahas di Bab 3.
Deret input Fungsi Transfer Deret output
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Tahapan Pembentukan Fungsi Transfer
Untuk deret input Xt dan deret output Yt tertentu, terdapat 4 (empat) tahap utama dan
beberapa sub tahap di dalam proses dari pembentukan model fungsi transfer.
3.1.1 Identifikasi Bentuk Model
Identifikasi bentuk model dibagi dalam delapan tahap sebagai berikut:
3.1.1.1 Mempersiapkan Deret Input dan Output
Dalam mempersiapkan model fungsi transfer hal yang pertama dilakukan adalah
mempersiapkan deret input dan output. Kestasioneran data merupakan kondisi yang diperlukan
dalam analisis deret berkala karena dapat memperkecil kekeliruan model, sehingga pada tahap
ini dilakukan identifikasi apakah data mentah (input dan output) sudah stasioner dalam rataan
dan ragam. Apabila belum stasioner, maka perlu dilakukan pembedaan (mungkin
pertama-tama ditransformasikan ke dalam bentuk logaritma) atau transformasi deret input dan output
untuk menghilangkan ketidakstasionerannya.
Tahap identifikasi untuk mempersiapkan deret input dan output ini adalah tahap untuk
menetapkan apakah transformasi terhadap data input dan output perlu dilakukan, dan berapa
besar tingkat pembedaan yang seharusnya diterapkan untuk deret input dan deret output agar
menjadi stasioner, serta apakah deret input dan deret output perlu dihilangkan pengaruh
musimannya. Dengan demikian deret rataan yang telah ditransformasikan dan yang telah
sesuai disebut sebagai
x
t dan yt, transformasi yang biasa diterapkan adalah dalam bentuk:)
log(
,
m
X
3.1.1.2 Pemutihan Deret Input (
x
t)Pada pemutihan deret input dimaksudkan untuk menghilangkan pola yang diketahui sehingga
yang tinggal hanya data hasil pemutihan (white noise).
Misalkan deret input xt, apabila dimodelkan sebagai proses ARIMA (px,0,qx), maka
dalam hal ini tidak perlu dilakukan pembedaan (dx) karena sudah dilakukan pembedaan pada
tahap sebelumnya. Model ini dapat diidentifikasi sebagai berikut:
t x t
x B x B
( ) ( ) (3.1)
Keterangan:
) (B
x
= operator autoregresif
) (B
x
= operator moving average
t
= kesalahan random
Dengan menyusun kembali suku-suku pada persamaan 3.1, sehingga dapat diubah deret xt
kedalam t yang disebut dengan pemutihan deret xt, maka persamaan tersebut diubah
menjadi:
t x x
t x
B B
) (
) (
(3.2)
3.1.1.3 Pemutihan Deret Output (yt)
Fungsi transfer yang akan ditetapkan adalah, memetakan xt ke dalam yt. Apabila telah
diterapkan suatu taransformasi pemutihan untuk deret xt, maka untuk deret output yt
dilakukan hal yang sama untuk mempertahankan integritas hubungan fungsional. Dengan
demikian deret yt diubah ke dalam deret t sebagai berikut:
t x x
t y
B B
) (
) (
(3.3)
3.1.1.4 Perhitungan Korelasi Silang dan autokorelasi untuk Deret Input dan Output yang
Dalam pemodelan fungsi transfer, korelasi diri mempunyai peranan yang ke dua setelah
korelasi silang. Korelasi silang dugunakan untuk mengetahui hubungan dua deret waktu t x
dan y yang terpisah atau dalam bentuk yang telah diputihkan dan yang salah satu deret
dilambatkan (lag) tergadap deret lainnya.
Korelasi silang antara dan dihitung dengan rumus:
S S k C k
r ( ) ( ) (3.4)
S S n k r k t k n t ) )( ( 1 ) ( 1
Keterangan: ) (kr = korelasi silang antara deret dan pada lag ke-k
) (k
C = kovarian antara deret dan pada lag ke-k
S = standar deviasi deret
S = standar deviasi deret
k = 0,1,2,…
Untuk menguji tingkat kepercayaan 95% dari nilai korelasi silang,menurut rumus
Bartlett (1955) dilakukan pendekatan perhitungan kesalahan baku dengan rumus:
k n se k
XY
r
1
(3.5)
Keterangan:
n= Jumlah pengamatan
k= Kelambatan (lag)
Untuk perhitungan autokorelasi dapat dilihat pada persamaan 3.7 dan uji Box-Pierce
Portmanteau untuk sekumpulan nilai rk didasarkan pada niai statistik Q yang menyebar
mengikuti sebaran chi-kuadrat dengan derajat bebas.
m= lag maksimum rk= Autokorelasi untuk lag ke-k
n= N-d N = Jumlah pengamatan asli
d= Pembedaan
Koefisien autokorelasi deret Xt yang stasioner untuk lag ke-k, dapat dihitung dengan rumus:
2 _ 1 _ _ 1 ) ( ) )( ( X X X X X X r t n t k t t k n i k
(3.7)
Keterangan:
k
r = Korelasi pada lag ke-k
t
X = Nilai pengamatan ke-t
k t
X = Nilai pengamatan saat ke-t+k
_
X = Rata-rata pengamatan
Untuk deret xt yang telah diputihkan dinamakan deret t seharusnya tidak terdapat beberapa
autokorelasi yang signifikan, tetapi pada deret yt yang diputihkan dinamakan deret t
terdapat beberapa pola.
3.1.1.5 Pendugaan Langsung Bobot Respons Impuls
Setelah diperoleh deret input dan deret output yang telah diputihkan, kemudian menghitung
korelasi silang sehingga dapat diperoleh pendugaan langsung untuk masing-masing bobot
respons impuls, dengan rumus sebagai berikut:
S
S
k
r
v
k
(
)
(3.8)Dasar pemikiran teoritis untuk persamaan 3.8 mudah dipahami sesudah tahapan persiapan
input dan output pada tahap pertama dan mengasumsikan b=0 untuk fungsi transfer ditulis:
t t
t v B x n
y ( ) (3.9)
Apabila
x
t ditransformasikan dengan (B)/ (B)x
x
dan memasukkan transformasi ini kedalam persamaan 3.9 secara keseluruhan, maka diperoleh:
(3.10)
atau
t t
t v B
( ) t
adalah deret gangguan yang telah ditransformasikan yang diperkirakan tidak berhubungandengan deret
t. Kemudian jika ke dua sisi persamaan 3.9 dikalikan dengan
tk nilaiekspektasinya, maka diperoleh:
) ( ) ( ) ( ]
[ t k t v0E t k t v1E t k t 1 E t k t E
C(k)vkC(tk)0 (3.11)
Dengan mensubsitusikan nilai sampel pada persamaan 3.11 dan menyusun kembali
suku-sukunya akan diperoleh:
S S k r S k C vk ) ( ) ( 2
(3.12)
3.1.1.6 Penetapan Parameter (r,s,b)
Dalam model fungsi transfer terdapat 3 (tiga) parameter kunci yaitu (r,s,b), r menunjukkan
derajat fungsi (B), s menunjukkan derajat fungsi (B), dan b menunjukkan keterlambatan
yang dicatat pada subskrip Xtb. Pada persamaan fungsi transfer dilakukan penetapan seperti
dalam persamaan (1.3), selanjutnya untuk penetapan persamaan:
b t t x B B x B
v
) ( ) ( ) (
Apabila pernyataan v(B), (B), dan (B)koefisisen-koefisiennya dibandingkan, maka akan
didapat hubungan sebagai berikut:
0
j
v untuk jb
0 1
1
j r jr
j v v
v untuk jb
b j r j r j
j v v
v 1 1 untuk jb1,...,bs
r j r j
j v v
Arti (r,s,b) itu sendiri merupakan aturan yang mudah diuraikan, nilai b menyatakan bahwa y
tidak dipengaruhi oleh nilai xt sampai periode t+b, sehingga nilainya menjadi:
b t t
t t
t x x x x
y 0 0 10 2 0
sedangkan arti s menyatakan untuk berapa lama deret output (y) secara terus-menerus
dipengaruhi nilai baru dari deret input (x), dalam keadaan yt dipengaruhi oleh:
s b t b
t b
t
x
x
x
,
1,...,
Selanjutnya nilai r menunjukkan bahwa yt berkaitan dengan nilai-nilai masa lalu, sehingga
nilainya menjadi:
r t t
t
y
y
y
1,
2,...,
Dalam menentukan parameter (r,s,b) dapat digunakan 3 (tiga) prinsip untuk membantu
dalam menentukan nilai yang tepat adalah sebagai berikut:
1. Sampai lag waktu ke b, korelasi silang tidak akan berbeda dari nol secara signifikan.
2. Untuk s time lag selanjutnya, korelasi silang tidak akan memperhatikan adanya pola
yang jelas.
3. Untuk r time lag selanjutnya, korelasi silang akan memperlihatkan suatu pola yang
jelas.
3.1.1.7 Pendugaan deret gangguan (nt)
Perhitungan nilai taksiran awal deret gangguan nt menggunakan rumus sebagai berikut:
g t g t
t t
o t
t y v x v x v x v x
n 1 1 2 2 (3.14)
untuk g adalah hasil lag dari korelasi silang.
3.1.1.8 Penetapan (pn,qn) untuk Model ARIMA (pn,qn) dari deret gangguan
Untuk menemukan apakah terdapat model ARIMA (pn,0,qn), dianalisis nt dengan cara
ARIMA. Autokorelasi, autokorelasi parsial dan spektrum garis ditetapakan dan selanjutnya
nilai pn dan qn untuk autoregresif dan proses moving average berturut-turut dipilih. Dengan
cara ini, fungsi n(B) dan n(B)untuk deret gangguan nt diperoleh:
t n t
n B n B
( ) ( ) (3.15)
Pada tahap ini terbagi atas 2 (dua) sub tahap sebagai berikut:
3.1.2.1 Pendugaan Awal Parameter Model
Pada tahap ini ditentukan model fungsi transfer untuk menduga nilai awal dari parameter.
Untuk mendapatkan nilai parameter-parameter tersebut digunakan algoritma Marquardt dengan
iterasi, tujuannya untuk mendapatkan nilai dugaan yang lebih baik.
Misalkan untuk nilai (r,s,b)=(2,2,2) dan deret gangguan mempunyai model ARIMA
(2,0,1) model tentatif yang digunakan adalah:
t t t a B B B x B B B B y ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 1 1 2 2 1 2 2 1 0
Selanjutnya adalah menaksir nilai awal parameter 0, 1, 2, 1, 2, 1, 1 dan 2 dengan
memperhatikan hubungan pada persamaan 3.13.
3.1.2.2 Pendugaan Akhir Parameter Model
Dengan menggunakan algoritma Marquardt pada setiap iterasi, nilai-nilai baru parameter
ditemukan dan dugaan baru nilai dapat dihitung. Untuk memilih nilai parameter yang terbaik
dilihat dari nilai jumlah kuadrat sisa yang paling kecil.
3.1.3 Pemeriksaan Uji Diagnosa Model
Pemeriksaan uji diagnosa model pada fungsi transfer dilakukan bila nilai sisa (residu)
autokorelasi sangat kecil tau tidak signifikan dan model yang diperoleh akan bersifat acak.
Dengan menggunakan uji Box-Pierce untuk deret stasioner ARIMA (p,d,q) rumusnya adalah
sebagai berikut: ) ( ) ( 2 1 2 k r n df m k
(3.15) Keterangan:n = Jumlah pengamatan
m = lag terbesar yang diperhatikan
rk = Autokorelasi untuk lag ke-k
df = derajat bebas (m-p-q)
) ( ) ( 2 1 2 k r b s r n m k
(3.16)(r,s,b) merupakan parameter fungsi transfer.
Untuk menunjukkan bahwa at merupakan deret acak maka perlu dilakukan uji
Box-Pierce seperti pada persamaan 3.16. Apabila 2tabel>2hitung, maka model at pada hakikatnya
adalah acak.
3.1.4 Peramalan dengan Model Fungsi Transfer
Di dalam peramalan pada pemodelan fungsi transfer tujuannya adalah untuk menduga nilai
deret waktu untuk masa yang akan datang dengan penyimpangan yang diperoleh harus dapat
sekecil mungkin. Jika model yang ditetapkan menunjukkan residual yang acakan, maka model
tersebut dapat digunakan untuk tujuan peramalan. Model yang digunakan adalah sebagai
beriut: n b t n b t b t r t r t t
t y y y x x x
y 1 12 2 0 1 1 (3.17)
3.2 Contoh Kasus
Untuk memperjelas mengenai proses analisis fungsi transfer seperti yang telah dikemukakan
berikut ini penulis menyajikan proses membangun fungsi transfer. Data yang digunakan adalah
data Indeks Osilasi Selatan (IOS) dan dan curah hujan, yang datanya seperti pada tabel di
bawah. Dalam analisis ini curah hujan IOS sebagai deret masukan (Xt), dan data sebagai deret
[image:38.595.99.536.546.763.2]keluaran (Yt).
Tabel 3.1 Data Bulanan IOS (mb) Kota Medan
Thn 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Tabel 3.2 Data Bulanan Curah Hujan (mm) Kota Medan
Thn 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Jan 341 76 106 181 315 59 217 91 51 138 35 Feb 159 63 97 50 260 87 15 79 99 130 25 Mar 203 78 134 29 127 182 158 104 192 155 155 Apr 61 215 110 35 322 115 165 71 192 257 225 May 240 152 81 134 303 60 256 192 364 191 192 Jun 185 175 175 145 256 191 308 192 271 287 90
Jul 121 195 226 213 30 122 281 139 215 193 423 Aug 424 248 96 321 111 325 121 156 729 139 193 Sep 221 320 291 170 119 451 373 383 153 160 65 Oct 301 311 139 340 204 382 732 364 732 122 340 Nov 336 354 256 276 126 108 431 158 70 220 159 Dec 192 143 182 414 456 174 339 102 321 246 136
3.2.1 Plot Data
[image:39.595.109.540.227.631.2]Gambar 3.2 Autokorelasi IOS Kota Medan
[image:40.595.129.541.147.624.2]Gambar 3.4 Plot Curah Hujan
[image:41.595.116.540.52.713.2]Gambar 3.5 Autokorelasi Curah Hujan Kota Medan
Gambar 3.6 Autokorelasi Parsial Curah Hujan
3.2.2 Identifikasi Bentuk Model
Tahapan dalam mengidentifikasi bentuk model fungsi transfer sebagai berikut: 3.2.2.1 Memeriksa Kestasioneran Data
Dari plot data IOS tahun 1999-2009 pada Gambar 3.1 memperlihatkan deret data tersebut tidak
artinya bahwa nilai dari autokorelasi berturut turut bernilai positif antara satu dengan yang
lainnya, hal ini juga ditandai adanya fluktuasi data yang semakin naik dan menurun dengan
meningkatnya waktu, maka untuk menstasionerkannya dilakukan pembedaan pertama untuk
deret input dapat dicari dengan persamaan (2.5) sebagai berikut:
1
t t
t x x
x
x x x2 2
2,7(4)
1,3
[image:42.595.97.515.328.773.2]Untuk x3,...,x132 dapat dilihat pada Tabel 3.3
Tabel 3.3 Pembedaan Pertama Deret Input
No. xt No. xt No. xt No. xt
1 * 34 -3 67 1.8 100 1.3
2 1.3 35 3 68 9 101 -1.9
3 6.2 36 6 69 4.6 102 -4.6
4 12.7 37 -15 70 -0.2 103 14.9
5 -25.2 38 4.8 71 12.7 104 -4.7
6 7.5 39 -9.8 72 -14.7 105 -0.2
7 5.7 40 5 73 1.2 106 0
8 -3.4 41 24.5 74 3 107 -1.4
9 2.4 42 9.4 75 -5.2 108 13.2
10 -4.2 43 4.7 76 -6.4 109 -21.8
11 2.3 44 -4.8 77 -9.3 110 20.6 12 -7.3 45 1.2 78 10.8 111 -8.4 13 14.4 46 0 79 -4.8 112 -15.2 14 -7.3 47 1.5 80 -5.9 113 28
15 5.1 48 0.5 81 10.3 114 -27
16 1.6 49 2.6 82 -3.4 115 7.1 17 -6.5 50 -12 83 9.2 116 -0.7 18 12.6 51 5.3 84 -16.2 117 4.6 19 -7.1 52 10.1 85 11.7 118 -1 20 -2.2 53 -17.7 86 5 119 -5.3
21 2.3 54 -0.3 87 -12.9 120 1.3
22 -2.7 55 3.8 88 1.4 121 9.8
23 -4.3 56 -2.7 89 -11.2 122 -30.8
24 7.3 57 -2.1 90 8.7 123 29.2
25 -3.1 58 9.1 91 -1.3 124 -11.2
27 -21.8 60 -0.1 93 7 126 17.6 28 -7.5 61 -7.9 94 1 127 -1.7
29 -6 62 7.8 95 1 128 -7.8
30 -2 63 -3.5 96 -5 129 10.8 31 14.5 64 7.6 97 9 130 7.1 32 -10.5 65 -13.4 98 -5.4 131 -13.7
[image:43.595.114.526.195.511.2]33 5 66 -9.1 99 0.6 132 3.3
Gambar 3.7 Plot IOS dengan Menggunakan Pembedaan Pertama
Pada data asli curah hujan terlihat musiman yang jelas yaitu fluktuasi mengecil dan
membesar deret data terjadi secara acak atau disebut random walk. Oleh karena itu untuk
mengatasi pola musiman dari data tersebut perlu dilakukan transformasi dan untuk membuat
data stasioner pada rataan dan ragamnya. Untuk transformasi logaritma digunakan rumus:
) log(Yt l
) log(
1 Yt
l
log(341)
2,53275
132 2,...,l
Tabel 3.4 Data Hasil Transformasi Logaritma
No. lt No. lt No. lt No. lt
1 2.53275 34 2.14301 67 2.08636 100 2.2833 2 2.2014 35 2.40824 68 2.51188 101 2.5611 3 2.3075 36 2.26007 69 2.65418 102 2.43297 4 1.78533 37 2.25768 70 2.58206 103 2.33244 5 2.38021 38 1.69897 71 2.03342 104 2.86273 6 2.26717 39 1.4624 72 2.24055 105 2.18469 7 2.08279 40 1.54407 73 2.33646 106 2.86451 8 2.62737 41 2.1271 74 1.17609 107 1.8451 9 2.34439 42 2.16137 75 2.19866 108 2.50651 10 2.47857 43 2.32838 76 2.21748 109 2.13988 11 2.52634 44 2.50651 77 2.40824 110 2.11394 12 2.2833 45 2.23045 78 2.48855 111 2.19033 13 1.88081 46 2.53148 79 2.44871 112 2.40993 14 1.79934 47 2.44091 80 2.08279 113 2.28103 15 1.89209 48 2.617 81 2.57171 114 2.45788 16 2.33244 49 2.49831 82 2.86451 115 2.28556 17 2.18184 50 2.41497 83 2.63448 116 2.14301 18 2.24304 51 2.1038 84 2.5302 117 2.20412 19 2.29003 52 2.50786 85 1.95904 118 2.08636 20 2.39445 53 2.48144 86 1.89763 119 2.34242 21 2.50515 54 2.40824 87 2.01703 120 2.39094 22 2.49276 55 1.47712 88 1.85126 121 1.54407 23 2.549 56 2.04532 89 2.2833 122 1.39794 24 2.15534 57 2.07555 90 2.2833 123 2.19033 25 2.02531 58 2.30963 91 2.14301 124 2.35218 26 1.98677 59 2.10037 92 2.19312 125 2.2833 27 2.1271 60 2.65896 93 2.5832 126 1.95424 28 2.04139 61 1.77085 94 2.5611 127 2.62634 29 1.90849 62 1.93952 95 2.19866 128 2.28556 30 2.24304 63 2.26007 96 2.0086 129 1.81291 31 2.35411 64 2.0607 97 1.70757 130 2.53148 32 1.98227 65 1.77815 98 1.99564 131 2.2014 33 2.46389 66 2.28103 99 2.2833 132 2.13354
Untuk membuat data stasioner terhadap rataannya perlu dilakukan pembedaan pertama dengan
rumus:
1
t t
t y y
1 2 2 2 y y
y
2,201402,53275
0,33136
[image:45.595.97.524.276.768.2]Untuk nilai y2,...y132 dapat dilihat dalam Tabel 3.5
Tabel 3.5 Pembedaan Pertama Dari Data Transformasi Curah Hujan
No. yt No. yt No. yt No. yt
32 -0.37184 65 -0.28255 98 0.28807 131 -0.33008 33 0.48162 66 0.50288 99 0.28767 132 -0.06786
Dari Gambar 3.7 dapat dilihat deret data sudah stasioner pada nilai tengahnya, sehingga
ARIMA (Auto Regresive Integrate-Moving Average) cocok digunakan untuk data IOS.
Koefisien korelasi sederhana antara xt dengan xt1 dapat dicari dengan menggunakan rumus
pada persamaan (2.2) sebagai berikut:
2 1 1 ) ( ) )( (
X X X X X X t n t k t t k n t k Untuk r1 dapat dihitung
0,483
Untul nilai ,...
2
r dan
[image:46.595.94.526.407.597.2]seterusnya dapat dilihat pada Tabel 3.6
Tabel 3.6 Nilai -nilai Autokorelasi dan Autokorelasi Parsial Data Hasil Pembedaan Pertama Deret Input
Lag k kk Lag k kk Lag k kk
1 -.483 -.483 12 -.059 -.007 23 .058 .075 2 .033 -.261 13 .109 .035 24 -.092 .069 3 .148 .059 14 -.177 -.138 25 -.017 -.073 4 -.224 -.140 15 .008 -.194 26 -.014 -.117 5 .164 .006 16 .032 -.101 27 .127 .027 6 -.153 -.149 17 .049 .077 28 -.031 .107 7 .115 .033 18 -.021 .012 29 -.019 .021 8 -.042 -.032 19 -.069 -.062 30 .065 .006 9 -.139 -.170 20 .090 -.048 31 -.137 -.039 10 .215 .016 21 -.167 -.238 32 .047 -.033 11 -.053 .129 22 .130 -.063 33 .015 -.111
Untuk meyakinkan bahwa deret input yang telah dilakukan pembedaan pertama memiliki pola
AR dan MA maka dilakukan pengujian sebagai berikut:
) / 1 ( 96 . 1 ) / 1 ( 96 .
1 n rk n
) 0873 . 0 ( 96 . 1 ) 0873 . 0 ( 96 .
1
rk
1710.171rk 0.
Ini berarti bahwa 95% dari seluruh koefisien korelasi berdasarkan sampel harus terletak dalam
daerah batas interval penerimaan ditambah atau dikurangi 1,96 kali galat standart. )) 775 , 0 ( 3 , 3 ( ... )) 775 , 0 ( 7 , 1 )) 775 , 0 ( 0 ( ) 775 , 0 ( 3 , 3 ))( 775 ., ( ) 7 , 13 (( ... ) 0775 , 0 3 , 1 ))( 775 , 0 ( 0 (( 2 2
1
Setelah dilakukan pengujian ternyata autokorelasi dan autokorelasi parsial memenuhi batas
[image:47.595.120.532.170.370.2]penerimaan, sehingga data deret input telah memiliki pola yang jelas. Hal ini dapat dilihat pada
Gambar 3.8 dan Gambar 3.9 berikut ini.
[image:47.595.115.536.171.600.2]Gambar 3.8 Autokorelasi IOS dengan Pembedaan Pertama
Gambar 3.9 Autokorelasi Parsial IOS dengan Pembedaan Pertama
Dari plot autokorelasi terdapat 5 autokorelasi yang berbeda nyata dengan nol sehingga
diduga orde dari proses AR adalah 5 (p=5), autokorelasi parsial menunjukkan empat nilai
[image:47.595.118.533.448.645.2]dengan keterangan Gambar 3.8, model sementara data yang dibedakan adalah ARIMA (5,1,4).
[image:48.595.95.537.469.761.2]Oleh karena itu pendugaan parameter model ARIMA dapat dibuat ke dalam Tabel berikut:
Tabel 3.7 Pendugaan Parameter Model ARIMA
Parameter Taksiran SE Nilai-t
0.095 0.223 2.17
0.081 1.331 3.19
3.2.2.2 Pemutihan Deret Input
Data IOS sebagai deret input (Xt) dimodelkan sebagai proses ARIMA (5,1,4) dan xt
merupakan bentuk pembedaan Xt, sehingga xt dimodelkan sebagai ARMA (5,4),dengan
rumus persamaan sebagai berikut:
t
x x
t x
B B
) (
) (
t
t B
x
B ) (1 0,081 )
095 , 0 1
( 5 4
t xt 0,095xt5 0,081t4
Tabel 3.8 Pemutihan Deret Input
No. t No. t No. t No. t
1 0 34 -1.15 67 -0.95 100 -1.23
2 1.3 35 4.95 68 11.86 101 3.35
3 6.2 36 0.5 69 -2.64 102 -8.19
